8. FUNGSI TRANSENDEN

8.1 FUNGSI INVERS

Misalkan dengan

f : D_f  R_f

x



y



f

(

x

)

v

u



f(u)  f(v)

Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v

atau jika maka

x

y



fungsi y = x satu-satu

x y  

fungsi y=-x satu-satu

2 x y  u v fungsi tidak satu-satu 2 x y 

Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema : Jika fungsi f satu-satu, maka f mempunyai invers Notasi : 1

f

f f

D

R

f

1

:



 

y

f

x

y





1 Berlaku hubungan

x

x

f

f

1

(

(

))



y

y

f

f

(

1

(

))



f f f f

R

R

D

D

1



,

1



Df Rf f x y = f(x) R R 1 

f

) ( 1 y f x  

Teorema : Jika f monoton murni (selalu naik/selalu turun), maka f mempunyai invers

x

x

f

(

)



f (x) x 2 ) (x x f  u v f(x) = x

R

x

x

f

'

(

)



1



0

,





f selalu naik f(x) = -x

R

x

x

f

'

(

)





1



0

,





f selalu turun



















0

,

0

0

,

0

2

)

(

'

x

x

x

x

f

f naik untuk x > 0 f turun untuk x < 0 1  f 1 

f

1 

Contoh : Diketahui

_{f x}

x

x

( )







1

2

a. Periksa apakah f mempunyai invers? b. Jika ada, tentukan inversnya !

Jawab: a. 2

)

2

(

)

1

.(

1

)

2

.(

1

)

(

'











x

x

x

x

f

x

Df

x











0

,

)

2

(

3

2

Karena f selalu naik (monoton murni), maka f mempunyai invers b. Misal

2

1







x

x

y

1

2







y

x

xy

1

1

2

1

2



















y

y

x

y

x

y

x

1

1

2

)

(

1

1

2

)

(

1 1



















 

x

x

x

f

y

y

y

f

2

) (x x

f 

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya

dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.

2 ) (x x f  u v 1  f

R

x



Untuk tidak ada

Untuk x >0 ada1

f

2

)

(

x

x

f



Untuk x<0 ada1

f

Grafik fungsi invers

Titik (x,y) terletak pada grafik f

Titik (y, x) terletak pada grafik 1

f

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y = x

Grafik f dan 1 simetri terhadap garis y = x

f

f

1 

Turunan fungsi invers

Teorema

Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan pada selang I. Jika

_f

_'

₍

_x

₎

_

₀

_,

_x

_

_I

maka 1 dapat diturunkan di y = f(x) dan

f

)

(

'

1

)

(

)'

(

1

x

f

y

f





Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dx

dy

dy

dx

/

1



Contoh: Diketahui

f

(

x

)



x

5



2

x



1

. Tentukan

(

f

1

)'

(

4

)

2

5

)

(

'

x



x

4



f

, y = 4 jika hanya jika x = 1

7

1

)

1

(

'

1

)

4

(

)'

(

1





f

f

Jawab :

8.2 FUNGSI LOGARITMA ASLI

•

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

•

Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

•

Secara umum, jika

u

=

u

(

x

) maka

ln

x

,

t

dt x

x



_

1



0

1

 

x

dt

t

D

x

D

x x x

1

1

ln

1























( ) 1

1

1

1

ln

'

u x x x

du

D

u

D

dt

u

t

u dx

u

























.

Contoh :

Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

))

2

4

ln(sin(

)

(

x



x



f

))

2

4

(sin(

)

2

4

sin(

1

)

(

'







D

x

x

x

f

_x



4

cot(

4

x



2

)

0

,

|

|

ln





x

x

y















0

,

)

ln(

0

,

ln

x

x

x

x

y

x

y

_x

1

'

ln







x x y x y ln( ) ' 1  1      

.

0

,

1

|)

|

(ln



x



x

x

dx

d



dx



ln

|

x

|



C

x

1

Sifat-sifat Ln :

1. ln 1 = 0

2. ln(

ab

) = ln

a

+ ln

b

3. ln(

a/b

)=ln(

a

) – ln(

b

)

4. ln a

r

_{= r ln a}

2 2 3 2

3

2

x

du

u

x

dx

x

x









c

u

du

u









ln

|

|

3

1

1

3

1

c

x







ln

|

2

|

3

1

₃



0

4

|

2

|

ln

3

1

2

3 4 0 3 2









dx

x

x

x

dx

x

x



4

_

0 3 2

2

dx

x

du

x

u



3



2





3

2 Contoh: Hitung Jawab: Misal

1

1

(ln 66 ln 2)

ln 33

3

3







sehingga

Grafik fungsi logaritma asli

1

1

( )

ln

,

0

x

f x

x

dt x

t









f

D

x

x

x

f

'

(

)



1



0





f selalu monoton naik pada Df

f

D

x

x

x

f

''

(

)





1

₂



0





Diketahui a. b. c.

Grafik selalu cekung kebawah

d. f(1) = 0 1

8.3 FUNGSI EKSPONEN ASLI

•

Karena

maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga

mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli

disebut

fungsi eksponen asli,

notasi

exp

.

Jadi berlaku hubungan

•

Dari sini didapat : y = exp (ln y) dan x = ln (exp (x))

•

Definisi 8.2

Bilangan

e

adalah bilangan real positif

yang bersifat ln

e

= 1.

Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

x

e

x

)



(

exp

 

ln



1



0

untuk

x



0

,

x

x

D

_x

y

x

x

y



exp(

)





ln

r

e

r

e

x

e

y

dy

dx

dx

dy

_

_

_

/

1

x x x

e

e

D

(

)



,

Jadi

'

.

)

(

e

( )

e

u

D

_x u x



u

y

x

e

y



x





ln

Turunan dan integral fungsi eksponen asli

Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan

y

dy

dx

1



Secara umum Sehingga



_e

x

_dx



_e

x



_C

3/ 3/ 2

1

1

1

1

.

3

3

3

3

x u u u x

e

dx

e du

e du

e

c

e

c

x

 

 

 

  









Contoh 1

: Hitung

_dx

x

e

x



2 / 3 Jawab :

du

dx

x

dx

x

du

x

u

3

1

1

3

3

2 2















Misalkan Sehingga 3 ln 3 ln 3 ln

(

x x

)

x x

.

(3 ln )

x x

(3ln

3)

x x

D e



e

D

x

x



e

x



Contoh 2:

1

y=ln x y=exp

(x)

Grafik fungsi eksponen asli

Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y = x

'( )

'( )

'( ) ln( ( ))

( )

( )

( )

f x

g x

h x

g x

h x

f x





g x

'( )

'( )

'( ) ln( ( ))

( )

( )

( )

g x

f x

h x

g x

h x

f x

g x







_



_





) (

))

(

(

)

(

x

g

x

h x

f



Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

))

(

ln(

)

(

))

(

ln(

f

x



h

x

g

x

)))

(

ln(

)

(

(

)))

(

(ln(

f

x

D

h

x

g

x

D

_x



_x

?

)

(

'

,

f

x







1

ln

'

x

D

u

u

u



Ingat!!!

x

x

x

f

(

)



(sin

)

4

Contoh :

Tentukan turunan fungsi

))

ln(sin(

4

)

ln(sin

)

(

ln

f

x



x

4x



x

x

Jawab:

)))

ln(sin(

4

(

))

(

(ln

f

x

D

x

x

D

_x



_x

'( )

cos

4 ln(sin( ))

4

4 ln(sin( ))

4 cot

( )

sin

f

x

x

x

x

x

x

x

f x





x





x

x

x

x

x

x

f

'

(

)



(

4

ln(sin(

))



4

cot

)(sin

)

4

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli

Soal Latihan





2

( )

1

,

1

f x

 

x

x

 

f x

( )



3

2

x



1

f x

( )



5

4

x



2

f x

x

x

( )



,





5

1

0

2

f x

x

x

( )







1

1

2

3

2

)

(







x

x

x

f

A. Periksa apakah fungsi-fungsi berikut memiliki

invers! Jika ada, tentukan fungsi inversnya!

1. 2. 3. 4. 5. 6.

'

y

x x

e

e

y



sec

2



2sec x

e

x

y



5 3ln

tan

x

y



e

B.Tentukan

dari :

3 3

ln

(ln )

y



x



x

1 x

y



e





5

6



ln

2







x

x

y

ln cos3

y



x

y

x

x



ln

2

 

y



ln sin

x

))

1

2

sin(ln(





x

y

8. 6. 7. 10. 9. 1. 2. 5. 3. 4.

4

2

x



1

dx



4

2

5

2

x

x

x

dx



 



(

x



)

e

x  x

dx



3

2 6

(cos )

x e

sin

x

dx





x

2

e

2x3

dx

1. 2. 3. 4. 5.

D. Selesaikan integral tentu berikut

4 1

3

1 2



x

dx



1 2 3 0 x

e



dx



ln 2 3 0 x

e



dx



3 2 2 1 x

e

dx

x



2 2 4 0 x

xe



dx



1. 2. 3. 4. 5.

8.4 FUNGSI EKSPONEN UMUM

Fungsi ,

a

> 0 disebut fungsi eksponen umum

Untuk

a

> 0 dan

x



R

, definisikan

Turunan dan integral

Jika

u

=

u

(

x

), maka

Dari sini diperoleh :

:

x

a

x

f

(

)



a

x



e

x

ln

a

a

a

a

e

e

D

a

D

_x

(

x

)



_x

(

xlna

)



xlna

ln



x

ln

a

u

a

u

a

e

e

D

a

D

_x

(

u

)



_x

(

ulna

)



ulna

ln

.

'



u

'

ln





a



C

a

dx

a

x x

ln

1

x x x

b

a

ab

)



(

Sifat–sifat fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

y x y x

a

a

a



 y x y x

a

a

a

_



xy y x

a

a

)



(

x x x

b

a

b

a















1. 2. 3. 4. 5.





4x2.xdx



4

x2

.

xdx

2

1

1 4

4

4

4

2

2

2 ln 4

2ln 4

u x u

du

u

du

C

C





 







x x

x

f

(

)



3

2 1



2

sin2

2

ln

2

cos

2

.

2

3

ln

3

.

2

)

(

'

x

2 1 sin2

x

f



x



x Contoh:

1. Hitung turunan pertama dari

Jawab : 2. Hitung Jawab :

du

dx

xdx

du

x

u



2





₂





₂1_x Misal

Grafik fungsi eksponen umum

0

,

)

(

x



a

a



f

x

)

,

(







Df

a. b.

_f

_x

_a

x

_a

ln

)

(

'





















1

,

0

ln

1

0

,

0

ln

a

a

a

a

a

a

x x

f monoton naik jika a > 1

f monoton turun jika 0 < a < 1

f x

D

x

a

a

x

f

''

(

)



(ln

)

2



0





c.

Grafik f selalu cekung keatas

d. f(0) = 1 Diketahui 1 , ) (x  a a  f x 1 0 , ) (x a a f x

8.5 FUNGSI LOGARITMA UMUM

Karena fungsi eksponen umum monoton murni, maka ada

inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi

Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok

a

), notasi

, sehingga berlaku :

Dari hubungan ini, didapat

Sehingga

Jika

u

=

u

(

x

), maka

x

a

log

y



a

log

x



x



a

y

a

x

x

a

x

y

a

y

a

x

y a

ln

ln

log

ln

ln

ln

ln

ln













a

x

a

x

D

x

D

_x a _x

ln

1

)

ln

ln

(

)

log

(





a

u

u

a

u

D

u

D

_x a _x

ln

'

)

ln

ln

(

)

log

(





Contoh: Tentukan turunan pertama dari

)

1

log(

)

(

x



3

x

2



f

)

1

1

log(

)

(

4







x

x

x

f

1. 2. Jawab : 1. 2

2

'( )

(

1) ln 3

x

f x

x





2.

'( )

(

1

).

1 1

1

1 ln 4

x

x

f x

Dx

x

x











2

1

1 (

1) (

1)

ln 4

1

(

1)

x

x

x

x

x



  







2

2

ln 4(

x

1)







x x f ( )alog x x f ( )alog

Grafik fungsi logaritma umum

Untuk a > 1 x

a

x

f

(

)



Untuk 0 < a < 1 x

a

x

f

(

)



Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x

y



3

2

x



4

x

4



9



log

2 10





x

y

x

2

x

dx

2



10

5

x



1

dx



Soal Latihan

A. Tentukan

y

'

dari 1. 2. _4.

_y



2

_log

_e

x B. Hitung 5. 6.

2 ln(

x

5)

y



x



3. 1 3 3 0

10

x



10

 x

dx



4 1

5

x

dx

x



7. 8.

y

x

x

y



sin

1





sin

8.6 FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu. Jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi

satu-satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers fungsi sinus

Diketahui f(x) = sinx , 2 2  

_

_



_x

Karena pada , f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x) atau

_sin

1

₍

₎

x

 2 2  

_

_



_x

Sehingga berlaku 2   2 

1 sin sin y   x  x  y y dy dx dx dy cos 1 / 1 _  2 1 1 1 ) (sin x x D_x   

Turunan

Dari hubungan 2 2

1

x

1,



y



  

 

dan rumus turunan fungsi invers diperoleh

1 | | , 1 1 sin 1 1 2 2      x x y atau Jika u = u(x), 2 1

1

'

)

(sin

u

u

u

D

_x







Dari rumus turunan diperoleh 1

2

sin

1

dx

x C

x











Dengan cara yang sama diperoleh turunan fungsi invers trigonometri yang lain. Secara ringkas perhatikan tabel berikut:

2 1

1

1

'

cos

x

y

x

y











 2 1

1

1

'

tan

x

y

x

y











1

|

|

1

'

sec

2 1











x

x

y

x

y











_

C

x

dx

x

1 2

cos

1

1

1 2 1 tan 1 x dx x C    





    C x dx x x | | sec 1 1 ₁ 2 1 2

1

cot ( )

'

1

y

x

y

x













1 2

1

cot

1

x

dx

x C





_

_





1 2

1

cosec ( )

'

| |

1

y

x

y

x

x







 



1 2 1 csc | | 1 dx x c x x   _{ } 



1 2

1

sin ( )

'

1

y

x

y

x











1 2

1

sin

1

dx

x C

x













_ dx x2 4 1 1 1 2 2 2

1

1

2

1

sin

sin

2

2

4

(1

)

(1

)

x

dx

du

du

u C

c

x

u

u

 

 







 

_{ }



 













Contoh: Hitung





x

2

dx

4

1

Jawab :







dx

x

)

4

1

(

4

1

2







dx

x

₂

)

2

(

1

(

1

2

1

Misal

_u

x

_du

_dx

_dx

₂

_du

2

2 1











Contoh : 1 2

1.

D

_x

(tan (



x



1))

(

1

)

)

1

(

1

1

₂ 2 2









Dx

x

x

2 2

)

1

(

1

2







x

x

1 2

2.

D

_x

(sin (



e

x



x

))

2 2 2

1

(

)

1 (

)

x x x

D e

x

e

x









2 2 2

2

1

1 (

)

x x

e

e

x









1

3.

D

_x

(cot (sin )



x

(sin

)

)

(sin

1

1

2

Dx

x

x







x

x

2

sin

1

cos







2

4.

...

4

dx

x











   x dx x dx ) 4 1 ( 4 1 4 1 2 2







dx

x

2

)

2

(

1

1

4

1

du

dx

dx

du

x

u

2

2

2 1











1 1 2 2 2

1

1

2

1

1

1

1

tan

tan ( )

4

4 1

2 1

2

2

2

x

dx

du

du

u C

C

x

u

u

 







 



















 _{ }   x x dx x dx 3 ) 1 ( 1 4 2 2 2



















C

u

du

u

x

x

dx

₁ 2 2

tan

3

1

1

3

3

1

4

2



_





dx

x

)

3

)

1

(

1

(

3

1

2













 





dx

x

2

3

)

1

(

1

1

3

1

du

dx

dx

du

x

u

3

3

1

3

1













Misal

C

x













 





3

1

tan

3

1

₁ 2

5.

...

2

4

dx

x



x







Soal Latihan

2 1

)

(sin

x

y





)

(

tan

1

e

x

y





x

x

y



tan

1

ln

t

e

t

f

(

)



sec1

)

3

(

cot

1 2

x

x

y





)

1

(

tan

1

x

x

2

y









A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1. 2. 3. 4. 5. 6.

B. Hitung



₉

2

_

₁₆

x

dx



_

16

4

x

x

2

dx



_

2

5

2

x

dx



_

dx

e

e

x x

1

2 1. 2. 3. 4.