Materike April 2014

Materi ke - 6

Penggunaan Integral Tak Tentu

Penggunaan Integral Tak Tentu

10 April 2014

Persamaan Diferensial

dan Penggunaannya

Persamaan diferensial

mengaitkan

suatu fungsi dengan turunannya (

diferensial )

Contoh

2

'

2

2

'

''

2

'

2

x

y

y

y

y

x

y

x

y

=

−

−

−

=

=

Persamaan Diferensial

dan Penggunaannya

Dengan proses integral tak tentu

persamaan diferensial

C

x

y

x

y

'

=

2

mempunyai

solusi

=

2

+

Solusi umum

keluarga kurva yg

memenuhi persamaan

Solusi khusus satu kurva yg

memenuhi syarat tertentu

C

x

y

x

Metoda Pemisahan Peubah

Digunakan untuk persamaan diferensial

yang dapat ditulis dalam bentuk

dy

y

q

dx

x

p

y

y

q

x

p

(

)

+

(

)

'

=

0

atau

(

)

+

(

)

=

0

dy

y

q

x

Q

dx

x

p

x

P

C

dy

y

q

dx

x

p

dy

y

q

dx

x

p

y

y

q

x

p

=

+

=

=

=

+

=

+

=

+

∫

∫

∫

∫

)

(

)

(

dan

)

(

)

(

Jika

)

(

)

(

tak tentu

integral

dengan

diperoleh

Solusi

0

)

(

)

(

atau

0

)

(

)

(

Metoda Pemisahan Peubah

singgung

garis

gradien

diketahui

jika

(2,-1)

titik

melalui

yang

kurva

persamaan

Tentukan

1

Contoh

'.

adalah

)

,

(

kurva

pada

singgung

garis

Gradien

1

Jawab

ordinat

dan

absis

an

perbanding

titik

disetiap

singgung

garis

gradien

diketahui

jika

(2,-1)

titik

y

k

y

x

f

=

=

Metoda Pemisahan Peubah

persamaan

maka

,

(2,-1)

titik

melalui

yang

kurva

dan

(y)

ordinat

dan

(x)

absis

an

perbanding

dengan

sama

)

y'

(

singgung

garis

gradien

karena

2

)

1

(

,

'

adalah

lnya

diferensia

persamaan

maka

,

(2,-1)

titik

melalui

yang

kurva

=

−

=

y

y

x

y

Metoda Pemisahan Peubah

pemisahan

metoda

dengan

Selesaikan

=

⇒

=

⇒

=

ydy

xdx

_∫

ydy

_∫

xdx

y

x

dx

dy

3

adalah

solusinya

Maka

3

sehingga

1

4

maka

2

)

1

(

Karena

2

1

2

1

tak tentu

integral

dengan

diperoleh

Solusi

2

2

2

2

2

2

+

=

=

+

=

=

−

+

=

⇒

+

=

x

y

C

C

y

C

x

y

C

x

y

Metoda Pemisahan Peubah

2

'

persamaan

memenuhi

yang

x

fungsi

y

Tentukan

2

Contoh

xy

x

y

=

−

1

2

1

2

ln

)

1

2

(

dy

)

1

2

(

dy

)

1

2

(

dx

dy

2

Jawab

c

x

y

xdx

y

xdx

y

y

x

+

−

=

−

⇒

−

=

−

−

=

−

⇒

−

−

=

∫

∫

Metoda Pemisahan Peubah

2 2 1 2

0

,

1

2

1

2

₂

₂

x

x

c

x

c

e

c

y

e

y

−

−

+

−

≠

=

−

>

=

−

⇒

=

−

2 2

2

1

0

,

1

2

₃

₃

x

x

Ce

y

c

e

c

y

−

−

+

=

≠

=

−

Penggunaan Persamaan Diferensial

Seorang penerjun , terjun dari ketinggian

tertentu dan parasut terbuka pada saat t=0 ,

pada saat itu kecepatannya v(0)=10 m/det.

Berat penerjun 712 N . Jika hambatan udara

Berat penerjun 712 N . Jika hambatan udara

sebanding dengan kuadrat kecepatannya

dengan konstanta perbandingan b = 30 N /

(m

2

_/det

2

_{) dan g = 9,8 m/det}

2

_{, tentukan fungsi}

kecepatn penerjun setiap saat ? Apakah

kecepatan bertambah untuk t yang semakin

besar ?

Penggunaan Persamaan Diferensial

STOP

STOP

Untuk menyelesaikan masalah diatas kita

Untuk menyelesaikan masalah diatas kita

HARUS mengerti sistem tersebut

( dalam hal ini FISIKA )

Penggunaan Persamaan Diferensial

Berdasarkan hukum Newton yang kedua

F=ma diperoleh

10

)

0

(

,

2

=

=

−

bv

m

dv

v

mg

10

)

0

(

,

l

diferensia

pers

diperoleh

sini

Dari

10

)

0

(

,

2

2

=

−

=

=

=

−

v

v

m

b

g

dt

dv

v

dt

dv

m

bv

mg

Penggunaan Persamaan Diferensial

(

)

(

dv

)

b

dt

(

dv

)

b

dt

b

mg

k

k

v

m

b

dt

dv

b

mg

v

m

b

dt

dv

,

2

2

2

2

−

=

⇒

−

=

=

−

−

=

⇒













−

−

=

∫

∫

(

)

(

)

m

kb

p

Ce

k

v

k

v

c

t

m

kb

k

v

k

v

c

t

m

b

k

v

k

v

k

dt

m

k

v

dt

m

k

v

pt

2

,

2

ln

ln

2

1

2

1

2

2

2

2

=

=

+

−

+

−

=

+

−

⇒

+

−

=

+

−

−

=

−

⇒

−

=

−

−

∫

∫

Penggunaan Persamaan Diferensial

(

)

Ce

k

v

Ce

k

v

pt

pt

1

saat

setiap

penerjun

kec

fungsi

Sehingga

+

+

=

−

−

−

m

kb

p

b

mg

k

Ce

Ce

k

t

v

_pt

pt

2

dan

dimana

1

1

)

(

2

=

=

−

+

=

₋

−

Penggunaan Persamaan Diferensial

m/det

87

,

4

712

maka

)

/det

(m

/

N

30

b

dan

N

712

mg

W

Dari

2

2

=

=

=

=

=

=

mg

k

0,345

C

diperoleh

m/det

10

)

dengan v(0

dari

m/det

87

,

4

30

maka

=

=

=

+

−

=

=

=

−

pt

Ce

k

v

k

v

b

k

Penggunaan Persamaan Diferensial

kb

p

k

kg

2

2

det

/

02

,

4

2

maka

)

/det

(m

/

N

30

b

dan

m/det

87

,

4

,

7

,

2

7

m

Dari

=

=

=

=

=

t

t

e

e

t

v

m

kb

p

02

,

4

02

,

4

345

,

0

1

345

,

0

1

78

,

4

)

(

saat

setiap

penerjun

kecepatan

Jadi

det

/

02

,

4

2

maka

−

−

−

+

=

=

=

Penggunaan Persamaan Diferensial

konstan

hampir

kec

besar

semakin

untuk t

Artinya

87

,

4

)

(

,

untuk

?

bertambah

kec

besar

semakin

apakah t

Selidiki

→

∞

→

v

t

t

m/det

4,87

mendekati

yaitu

konstan

hampir

kec

besar

semakin

untuk t

Artinya

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

)

(

)

(

'

umum

bentuk

mempunyai

Satu

Tingkat

Linier

l

Diferensia

Persamaan

x

q

y

x

p

y

+

=

)

(

)

(

'

diperoleh

Maka

P(x)

,

faktor

dng

ruasnya

kalikan

,

kan

menyelesai

Untuk

)

(

)

(

)

(

)

(

x

q

e

y

x

p

e

y

e

p(x)dx

e

x

P

x

P

x

P

x

P

=

+

=

_∫

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

(

P

x

)

=

P

x

⇒

(

P

x

)

=

P

x

dx

x

q

e

y

e

d

x

q

e

y

e

dx

d

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

ruas

kedua

n

Integralka

)

(

)

(

ditulis

dapat

diatas

Bentuk

( )

₌

₊

₌

∫

=

+

→

=

∫

∫

dx

x

p

x

P

x

P

x

P

e

(f.i)

C

dx

x

(f.i)q

y

i

f

x

q

y

x

p

y

(f.i)

e

dx

x

q

e

y

e

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

.

adalah

)

(

)

(

'

dari

umum

Solusi

1

Teorema

Integrasi

Faktor

,

)

(

ruas

kedua

n

Integralka

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

4

Jawab

2

'

Umum

Solusi

Tentukan

4

Contoh

x

xy

y

+

=

2 2 2 2 2 2

2

1

2

1

)

(f.i)

Integrasi

Faktor

1

Teorema

n

menggunaka

Dengan

4

Jawab

2

)

(

x

x

x

x

x

x

dx

x

dx

x

p

Ce

y

C

e

y

e

dx

x

e

y

e

e

e

e

−

+

=

⇒

+

=

⇒

=

=

∫

=

∫

=

∫

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

y)dy

x

(

)dx

y-bentuk

dlm

Tulis

5

Jawab

0

2

2

(

Umum

Solusi

Tentukan

5

Contoh

=

−

+

)

y-y

)

y-x

x

)

y-y

)

y-x

dx

y

x

dx

)

y-y)

x

(

dx

)

y-2

(

2

(

2

'

2

(

2

(

2

dy

2

dy

2

(

0

2

dy

2

(

bentuk

dlm

Tulis

=

+

⇒

=

+

=

+

⇒

=

−

+

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

2

2

2

)

2

ln(

2

2

2

(

.

)

2

(

)

2

(

)

2

(

(f.i)

Integrasi

Faktor

2

−

=

−

−

=

=

∫

=

∫

−

−

dy

)

y-y

y

x

y

y

e

e

y

dy

y

2

2

3

2

3

2

)

2

(

3

1

ditulis

dapat

atau

3

1

)

2

(

2

(

−

+

−

=

+

−

=

−

∫

y

C

y

y

x

C

y

y

x

y

)

y-Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

Perhatikan gambar dibawah ( Persoalan

Rangkaian Listrik )

R

E(t)

L

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

Rangkaian Listrik terdiri dari daya

E(t)=100sin40t volt , R=10 Ohm , L=0.5 Henry

dan Saklar ( S ). Jika S ditutup I(0)=0 ,

tentukan arus listrik pada setiap T

tentukan arus listrik pada setiap T

Sekali lagi …. Kita Harus memahami sistem

sebelum meng-aplikasikan persamaan

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

5

.

0

arus

perubahan

laju

dengan

lurus

berbanding

induktor

sepanjang

Besar

10

Ohm

hukum

n

Berdasarka

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⇒

dI

E

dI

L

E

I

E

I

E

RI

E

L L L R R

0

)

0

(

,

40

sin

200

20

'

atau

0

)

0

(

,

40

sin

100

10

5

.

0

)

(

Kirchoff

Hukum

5

.

0

arus

perubahan

laju

dengan

=

=

+

=

=

+

+

=

⇒

=

⇒

=

⇒

I

t

I

I

I

t

I

dt

dI

E

E

t

E

dt

E

dt

L

E

I

L R L L

Persamaan Diferensial Linier Tingkat

Satu dan Penggunaannya

t

t

t

t

dt

C

I

Ce

t

t

I

C

tdt

e

I

e

e

e

i

f

20

20

20

20

20

khusus

solusi

Maka

4

0

)

0

(

Syarat

)

40

cos

2

40

(sin

2

40

sin

200

.

.

.

−

⇒

=

⇒

=

+

−

=

+

=

⇒

=

∫

=

_∫

t

t

t

e

t

I

I

e

t

I

e

t

t

I

C

I

20

1

20

20

4

)

11

.

1

40

(sin

5

2

saat

setiap

Fungsi

11

.

1

5

5

1

cos

,

4

)

40

(sin

5

2

atau

4

)

40

cos

2

40

(sin

2

khusus

solusi

Maka

4

0

)

0

(

Syarat

−

−

−

−

+

−

=

=

=

+

−

=

+

−

=

⇒

=

⇒

=

φ

φ

Inspirasi Hari Ini

Inspirasi Hari Ini

Ancaman TERBESAR bagi KEBERHASILAN

bukan pada CITA-CITA yang setinggi

langit hingga tak mampu mencapainya

langit hingga tak mampu mencapainya

secara penuh ;

Namun berasal dari pematokan cita-cita

yang terlalu DATAR hingga mudah