Menerapkan Eliminasi Gauss untuk
Mendapatkan Determinan Matriks
Bujursangkar Orde
n
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
Email: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan matriks bujursangkar orden:
A=
a11 a12 . . . a1j . . . a1(n−1) a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2(n−1) a2n
..
. ... ... ... ... ... ...
ai1 ai2 ... aij ... ai(n−1) ain
..
. ... ... ... ... ... ...
a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)j . . . a(n−1)(n−1) a(n−1)n
an1 an2 . . . anj . . . an(n−1) ann
, (1)
dengan notasiaij (i= 1, . . . , n, j= 1, . . . , n) merepresentasikan entri pada baris
idan kolomj pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss diterapkan pada
Auntuk mengenolkan:
• entri (2,1) pada baris 2
• entri (3,1) dan (3,2) pada baris 3
sedemikian sehinggga diperoleh matriks segitiga atas1:
ij merepresentasikan entri pada baris i dan kolomj padaU.
Super-skripk= 0, . . . , m,m=n−1 padaak
ij menunjukkan jumlah operasi eliminasi
yang dialami entri (i, j) padaAuntuk menghasilkanU.
Jika eliminasi Gauss tersebut dilakukan dengan mempertimbangkan teorema berikut ini2:
(i) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris
padaA, maka determinan kedua matriks tersebut akan memiliki besar
yang sama namun berlawanan tanda,|B|=−|A|,
(ii) JikaBadalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan suatu baris
dengan hasil perkalian baris yang lain padaA, maka|B|=A,
denganp= 0,1, . . .adalah jumlah pertukaran baris yang dilakukan selama per-hitungan3. Perhitungan (3) mungkin dilakukan mengingat determinan suatu matriks segitiga adalah hasil perkalian diagonalnya.
Pada metode eliminasi Gauss, pertukaran baris pada suatu matriks dilakukan ketika nilaipivotsama dengan nol. Konsekuensi pertukaran baris tersebut pada nilai determinan harus diperhatikan dalam setiap tahap mendapatkanU.
Pendekatan dengan eliminasi Gauss ini berguna terutama untuk mendapatkan determinan matriks bujursangkar dengan orde n >3. Hal ini akan diperlihat pada bagian Contoh.
1
Di sini, pembahasan dibatasi pada matriks segitiga atas.
2
Lihat Bronson & Costa (2006), Teorema 8.9, hal. 269.
3
2
Komputasi
Superskripk= 0 pada (2) menunjukkan nilai mula-mulaaij sebelum eliminasi
Gauss diterapkan. Dengan demikian, (1) dapat ditulis ulang sebagai:
A=
Karena di sinia011digunakan sebagaipivot, maka nilai seluruh entri pada baris pertama (4) dibiarkan tetap sepanjang komputasi.
Pengenolan entri (i > k,j=k) ketikak>1 dilakukan dengan eliminasi Gauss, yang diberikan oleh:
akij =ak−1
dengank di sini juga digunakan sebagai penanda posisi baris dan atau kolom suatu entri4. Beberapa catatan untuk memperjelas (5):
• Penerapan (5) pada barisj =k akan mengkasilkan nilai nol. Misal, un-tukk= 1, operasi baris pada entri (2,1) dan (3,1) masing-masing meng-hasilkan:
• syarat i > k berarti ketika k = 1, operasi baris diterapkan pada baris
i= 2, . . . , n; ketikak= 2 operasi baris diterapkan pada barisi= 3, . . . , n; dan seterusnya.
• Entri mengalami operasi baris adalah yang berada pada kolom j > k. Misalnya, untukk= 1, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom
j = 1, . . . , n,untuk k = 2, entri yang mengalami operasi baris adalah
22, dan seterusnya. Seharusnya
3
Contoh
3.1
Skenario
a
kk6
= 0
Hitung|A|jika diberikan:A=
Metode reduksi orde dengan operasi baris elementer yang dilanjutkan dengan perhitungan determinan orde tiga untuk (6)5menghasilkan|A|= 38.
Matriks segitiga atas untuk (6) memiliki bentuk:
U=
Perhitungan untuk entri (2,1) sampai dengan (2,4) (i= 2):
Perhitungan untuk entri (3,1) sampai dengan (3,4) (i= 3):
a131=a031−
a031 a011
a011
=−5−
−5 5
5
= 0. (12)
a132=a032− a0
31
a0 11
a012
=−7− −5
5
4
=−3. (13)
a133=a033− a0
31
a0 11
a013
=−3− −5
5
2
=−1. (14)
a134=a034− a0
31
a011
a014
= 9− −5
5
1
Perhitungan untuk entri (4,1) sampai dengan (4,4) (i= 4):
Perhitungan untuk entri (3,2) sampai dengan (3,4) (i= 3):
Perhitungan untuk entri (4,2) sampai dengan (4,4) (i= 3): i= 4:
Memasukkan nilai-nilai numerik (8)-(27) ke dalam (7), diperoleh matriks segit-iga:
Dengan demikian, (3) dapat diterapkan menggunakan (28) dengan p= 0. Ini karena selama perhitungan tidak dilakukan pertukaran baris, diperoleh:
|A| ≡(−1)p|U|
3.2
Skenario
a
kk= 0
Hitung|A|jika diberikan:
A=
0 3.5 2
5 6 −1
−4 3 3
. (29)
Perhitungan dengan aturan Sarrus memberikan:
|A|=
0 3.5 2 ... 0 3.5
5 6 −1 ... 5 6
−4 3 3 ... −4 3
= [(0·6·3) + (3.5·(−1)·(−4)) + (2·5·3)]
−[((−4)·6·2) + (3·(−1)·0) + (3·5·3.5)]
= 39.5. (30)
Tampak bahwaa11= 0. Hal ini berarti pertukaran baris perlu dilakukan untuk mengganti pivot. Di sini, baris 1 bertukar dengan baris 3 sehingga diperoleh:
B=
−4 3 3
5 6 −1
0 3.5 2
. (31)
Bentuk matriks yang dikehendaki adalah matriks segitiga yang berasal dariB:
U=
−4 3 3 0 b1
22 b123 0 0 b233
. (32)
yang mengikuti bentuk (31).
• k= 1 :
Perhitungan untuk entri (2,1):
b121=b021−
b021 b011
b011
= 0 (33)
(34)
Perhitungan untuk entri (2,2):
b122=b122− a0
21
b0 11
b012
= 6− 5
Perhitungan untuk entri (2,3):
b123=b123−
b021 a011
b013
=−1−
5
−4
3
= 2.75. (36)
Tampak pada 31 bahwa nilai entri (3,1) sama dengan nol. Karena
b031 b011 =
0
−4 = 0,
maka nilai entri (3,2) dan (3,3) untukk= 1 tidak berubah:
b132=b032= 3.5 (37)
b133=b033= 2. (38)
• k= 2 :
Perhitungan untuk entri (3,2):
b232=b131− b1
31
b1 22
b122
= 0. (39)
Perhitungan untuk entri (3,3):
b233=b133− b1
31
b1 22
b123
= 2− 3.5
9.75
2.75
= 1.012821. (40)
Memasukkan nilai-nilai numerik (33)-(40) ke dalam (32), diperoleh matriks se-gitiga:
U=
−4 3 3 0 9.75 2.75 0 0 1.012821
(41)
Penerapan (3) dapat diterapkan menggunakan (41) denganp= 1. Ini karena selama perhitungan dari A hingga mendapatkan U dilakukan satu kali
per-tukaran baris. Sehingga diperoleh:
|A| ≡(−1)p|U|
= (−1)1·b0
Kepustakaan
1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines). Third Edition, McGraw-Hill, 2006.
2. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014.
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any concept or method in this paper that represents the author’s original contribu-tion.