• Tidak ada hasil yang ditemukan

Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapa"

Copied!
10
0
0

Teks penuh

(1)

Menerapkan Eliminasi Gauss untuk

Mendapatkan Determinan Matriks

Bujursangkar Orde

n

Yohannes S.M. Simamora

Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193

Email: simamora@me.purbaya.ac.id

1

Pendahuluan

Diberikan matriks bujursangkar orden:

A=             

a11 a12 . . . a1j . . . a1(n−1) a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2(n−1) a2n

..

. ... ... ... ... ... ...

ai1 ai2 ... aij ... ai(n−1) ain

..

. ... ... ... ... ... ...

a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)j . . . a(n−1)(n−1) a(n−1)n

an1 an2 . . . anj . . . an(n−1) ann

            

, (1)

dengan notasiaij (i= 1, . . . , n, j= 1, . . . , n) merepresentasikan entri pada baris

idan kolomj pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss diterapkan pada

Auntuk mengenolkan:

• entri (2,1) pada baris 2

• entri (3,1) dan (3,2) pada baris 3

(2)

sedemikian sehinggga diperoleh matriks segitiga atas1:

ij merepresentasikan entri pada baris i dan kolomj padaU.

Super-skripk= 0, . . . , m,m=n−1 padaak

ij menunjukkan jumlah operasi eliminasi

yang dialami entri (i, j) padaAuntuk menghasilkanU.

Jika eliminasi Gauss tersebut dilakukan dengan mempertimbangkan teorema berikut ini2:

(i) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris

padaA, maka determinan kedua matriks tersebut akan memiliki besar

yang sama namun berlawanan tanda,|B|=−|A|,

(ii) JikaBadalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan suatu baris

dengan hasil perkalian baris yang lain padaA, maka|B|=A,

denganp= 0,1, . . .adalah jumlah pertukaran baris yang dilakukan selama per-hitungan3. Perhitungan (3) mungkin dilakukan mengingat determinan suatu matriks segitiga adalah hasil perkalian diagonalnya.

Pada metode eliminasi Gauss, pertukaran baris pada suatu matriks dilakukan ketika nilaipivotsama dengan nol. Konsekuensi pertukaran baris tersebut pada nilai determinan harus diperhatikan dalam setiap tahap mendapatkanU.

Pendekatan dengan eliminasi Gauss ini berguna terutama untuk mendapatkan determinan matriks bujursangkar dengan orde n >3. Hal ini akan diperlihat pada bagian Contoh.

1

Di sini, pembahasan dibatasi pada matriks segitiga atas.

2

Lihat Bronson & Costa (2006), Teorema 8.9, hal. 269.

3

(3)

2

Komputasi

Superskripk= 0 pada (2) menunjukkan nilai mula-mulaaij sebelum eliminasi

Gauss diterapkan. Dengan demikian, (1) dapat ditulis ulang sebagai:

A=

Karena di sinia011digunakan sebagaipivot, maka nilai seluruh entri pada baris pertama (4) dibiarkan tetap sepanjang komputasi.

Pengenolan entri (i > k,j=k) ketikak>1 dilakukan dengan eliminasi Gauss, yang diberikan oleh:

akij =ak−1

dengank di sini juga digunakan sebagai penanda posisi baris dan atau kolom suatu entri4. Beberapa catatan untuk memperjelas (5):

• Penerapan (5) pada barisj =k akan mengkasilkan nilai nol. Misal, un-tukk= 1, operasi baris pada entri (2,1) dan (3,1) masing-masing meng-hasilkan:

• syarat i > k berarti ketika k = 1, operasi baris diterapkan pada baris

i= 2, . . . , n; ketikak= 2 operasi baris diterapkan pada barisi= 3, . . . , n; dan seterusnya.

• Entri mengalami operasi baris adalah yang berada pada kolom j > k. Misalnya, untukk= 1, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom

j = 1, . . . , n,untuk k = 2, entri yang mengalami operasi baris adalah

22, dan seterusnya. Seharusnya

(4)

3

Contoh

3.1

Skenario

a

kk

6

= 0

Hitung|A|jika diberikan:

A=

Metode reduksi orde dengan operasi baris elementer yang dilanjutkan dengan perhitungan determinan orde tiga untuk (6)5menghasilkan|A|= 38.

Matriks segitiga atas untuk (6) memiliki bentuk:

U=

Perhitungan untuk entri (2,1) sampai dengan (2,4) (i= 2):

(5)

Perhitungan untuk entri (3,1) sampai dengan (3,4) (i= 3):

a131=a031

a031 a011

a011

=−5−

−5 5

5

= 0. (12)

a132=a032a0

31

a0 11

a012

=−7− 5

5

4

=−3. (13)

a133=a033a0

31

a0 11

a013

=−3− 5

5

2

=−1. (14)

a134=a034a0

31

a011

a014

= 9− 5

5

1

(6)

Perhitungan untuk entri (4,1) sampai dengan (4,4) (i= 4):

Perhitungan untuk entri (3,2) sampai dengan (3,4) (i= 3):

(7)

Perhitungan untuk entri (4,2) sampai dengan (4,4) (i= 3): i= 4:

Memasukkan nilai-nilai numerik (8)-(27) ke dalam (7), diperoleh matriks segit-iga:

Dengan demikian, (3) dapat diterapkan menggunakan (28) dengan p= 0. Ini karena selama perhitungan tidak dilakukan pertukaran baris, diperoleh:

|A| ≡(1)p|U|

(8)

3.2

Skenario

a

kk

= 0

Hitung|A|jika diberikan:

A=  

0 3.5 2

5 6 −1

−4 3 3

. (29)

Perhitungan dengan aturan Sarrus memberikan:

|A|=

0 3.5 2 ... 0 3.5

5 6 −1 ... 5 6

−4 3 3 ... −4 3

= [(0·6·3) + (3.5·(−1)·(−4)) + (2·5·3)]

−[((−4)·6·2) + (3·(−1)·0) + (3·5·3.5)]

= 39.5. (30)

Tampak bahwaa11= 0. Hal ini berarti pertukaran baris perlu dilakukan untuk mengganti pivot. Di sini, baris 1 bertukar dengan baris 3 sehingga diperoleh:

B=  

−4 3 3

5 6 −1

0 3.5 2

. (31)

Bentuk matriks yang dikehendaki adalah matriks segitiga yang berasal dariB:

U=  

−4 3 3 0 b1

22 b123 0 0 b233

. (32)

yang mengikuti bentuk (31).

k= 1 :

Perhitungan untuk entri (2,1):

b121=b021

b021 b011

b011

= 0 (33)

(34)

Perhitungan untuk entri (2,2):

b122=b122a0

21

b0 11

b012

= 6− 5

(9)

Perhitungan untuk entri (2,3):

b123=b123

b021 a011

b013

=−1−

5

−4

3

= 2.75. (36)

Tampak pada 31 bahwa nilai entri (3,1) sama dengan nol. Karena

b031 b011 =

0

−4 = 0,

maka nilai entri (3,2) dan (3,3) untukk= 1 tidak berubah:

b132=b032= 3.5 (37)

b133=b033= 2. (38)

k= 2 :

Perhitungan untuk entri (3,2):

b232=b131b1

31

b1 22

b122

= 0. (39)

Perhitungan untuk entri (3,3):

b233=b133b1

31

b1 22

b123

= 2− 3.5

9.75

2.75

= 1.012821. (40)

Memasukkan nilai-nilai numerik (33)-(40) ke dalam (32), diperoleh matriks se-gitiga:

U=  

−4 3 3 0 9.75 2.75 0 0 1.012821

 (41)

Penerapan (3) dapat diterapkan menggunakan (41) denganp= 1. Ini karena selama perhitungan dari A hingga mendapatkan U dilakukan satu kali

per-tukaran baris. Sehingga diperoleh:

|A| ≡(1)p|U|

= (−1)1·b0

(10)

Kepustakaan

1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines). Third Edition, McGraw-Hill, 2006.

2. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014.

Disclaimer

Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya.

This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any concept or method in this paper that represents the author’s original contribu-tion.

Referensi

Dokumen terkait

Sistem persamaan linear selanjutnya diselesaikan dengan eliminasi gauss untuk mendapatkan nilai yang ada pada masing-masing urutan berkala.. Selanjutnya, nilai f(x) dapat

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SIMULTAN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS DAN ATURAN CRAMER.. Pada bagian ini akan dijelaskan cara menyelesaikan persamaan aljabar

has pada contoh pertama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara komputasi) bila dibandingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem

Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linier dengan mengubah Sistem Persamaan Linear tesebut ke dalam bentuk sistem persamaan linier

4.3 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan dengan Eliminasi Gauss Metoda eliminasi Gauss mempergunakan operasi baris elementer untuk menghapuskan semua elemen-elemen

Menyelesaikan Persamaan Aljabar Linear: Eliminasi & Subtitusi EDUCATION | TECHNOLOGY | INNOVATION Menyelesaikan tanpa matriks operasi baris elementer: Eliminasi dan substitusi... PR

Metode Eliminasi Gauss Backward Capaian Pembelajaran: • Mampu menggunakan hukum fisika yang berlaku pada sistem dinamik - dan menyusun nya dalam bentuk persamaan aljabar linier.. •

Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor  Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka Minor elemen aij disimbolkan dengan Mij didefinisikan sebagai determinan dari