INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS a n1 a

INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS

Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id

Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia

Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11x1+a12x2+. . .+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+. . .+a2nxn = b2 . . . = _{. . .}

. . . = _{. . .}

an1x1+an2x2+. . .+annxn = bn

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik,

Ax=b ₍₁₎

sehingga bentuknya menjadi seperti ini:



Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrikAdisebut matrik non-singular jika matrik Amemiliki matrik invers dirinya yaituA−1_{. Atau dengan kata lain, matrik}A−1_adalah

in-vers dari matrikA. Jika matrikAtidak memiliki invers, maka matrikAdisebut singular. Bila matrikAdikalikan dengan matrikA−1 maka akan menghasilkan matrik identitasI,

yaitu suatu matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.

Misalnya diketahui,

Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,

AA−1 ₌

Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A−1_{? Persamaan (2) bisa dijadikan}

pedoman..

dalam hal ini matrikA−1_adalah

A−1 ₌

Elemen-elemen matrik invers,A−1dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi

gauss. Diawali dengan membentuk matrik augment:

Langkah berikutnya, matrik augment yang telah mengalami triangularisasi tersebut dipecah menjadi tiga buah matrik augment seperti berikut ini:



Langkah pamungkasnya adalah melakukan proses substitusi mundur pada ketiga matrik augment di atas, sehingga diperoleh:

i11 =−

Hasil tersebut digabung menjadi sebuah matrik, yaitu matrikA−1_,

A−1 ₌

Keberadaan matrik A−1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

(mencari nilai x_{), dengan cara sebagai berikut}

Ax = b

A−1A_{x =} A−1_b

Ix = _A−1_b

x = _A−1_{b (3)}

Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui sistem persamaan linear

x1+ 2x2−x3 = 2

2_x1+x2 = 3

−x1+x2+ 2x3 = 4

Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi

Berdasarkan persamaan (3), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara

x=_A−1_b

x=



  

−2 9

5

9 −

1 9 4

9 −

1 9

2 9

−1 3

1 3

1 3



  



  

2 3 4



  

=



  

7 9 13

9 5 3



  

Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian

sis-tem persamaan linear menjadi lebih mudah bila matrikA−1 _{sudah diketahui. Sayangnya,}

untuk mendapatkan matrik A−1, diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah

diba-has pada contoh pertama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara komputasi) bila dibandingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem persamaan linear. Namun bagaimanapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui cara bagaimana mendapatkan matrikA−1_.

Saya telah memodifikasi program eliminasi gauss yang terdahulu, untuk keperluan perhi-tungan matrik invers. Program ini ditulis dengan bahasa fortran, sudah berhasil dikompi-lasi dalam Linux Debian (g77) dan Windows XP (Visual Fortran). Inilah programnya,

DIMENSION A(10,20), D(10,10), X(10)

REAL MJI

INTEGER TKR, BK, TK, Q

WRITE (*,*) ’=PROGRAM INVERS MATRIK DENGAN ELIMINASI GAUSS=’

WRITE (*,*)

C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A

WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’

READ (*,*) N

WRITE (*,*)

WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’

M = N + 1

DO 50 I = 1,N

DO 60 J = 1,N

WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’

READ (*,*) A(I,J)

60 CONTINUE

C LANGKAH 2: MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS

WRITE (*,*) ’MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS’

DO 70 I = 1,N

DO 80 J = M,N+N

A(I,J) = 0

IF (I+N .EQ. J) THEN

A(I,J) = 1

END IF

80 CONTINUE

70 CONTINUE

WRITE (*,*)

C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT

WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’

DO 110 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)

110 CONTINUE

WRITE (*,*)

C MENGHITUNG JUMLAH TUKAR (TKR) POSISI. MULA2 TKR = 0

TKR = 0

C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI BAGI/KALI (BK).

BK = 0

C MENGHITUNG JUMLAH OPERASI TAMBAH/KURANG (TK).

TK = 0

C LANGKAH 3: MEMERIKSA ELEMEN2 PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI

NN = N-1

DO 10 I=1,NN

C LANGKAH 4: MENDEFINISIKAN P

P = I

100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200

P = P+1

GOTO 100

200 IF(P.EQ.N+1)THEN

C MENAMPILKAN PESAN SINGULAR

GOTO 400

END IF

C LANGKAH 5: PROSES TUKAR POSISI

IF(P.NE.I) THEN

DO 20 JJ=1,N+N

C = A(I,JJ)

A(I,JJ) = A(P,JJ)

A(P,JJ) = C

TKR = TKR + 1

20 CONTINUE

END IF

C LANGKAH 6: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI

JJ = I+1

DO 30 J=JJ,N

C LANGKAH 7: TENTUKAN MJI

MJI = A(J,I)/A(I,I)

BK = BK + 1

C LANGKAH 8: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI

DO 40 K=JJ,N+N

A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)

BK = BK + 1

TK = TK + 1

40 CONTINUE

A(J,I) = 0

30 CONTINUE

10 CONTINUE

C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI

WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’

DO 120 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)

120 CONTINUE

C LANGKAH 9: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)

IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN

WRITE(*,5)

GOTO 400

END IF

DO 500 J = 1,N

Q=N+J

C LANGKAH 10: MENGHITUNG A(N,N)

D(J,N) = A(N,Q)/A(N,N)

BK = BK + 1

C LANGKAH 11: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR

L = N-1

DO 15 K=1,L

I = L-K+1

JJ = I+1

SUM = 0.0

DO 16 KK=JJ,N

SUM = SUM+A(I,KK)*D(J,KK)

BK = BK + 1

TK = TK + 1

16 CONTINUE

D(J,I) = (A(I,Q)-SUM)/A(I,I)

BK = BK + 1

TK = TK + 1

15 CONTINUE

500 CONTINUE

C LANGKAH 12: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN

WRITE (*,*)

WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK INVERS:’

DO 220 I = 1,N

WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (D(J,I),J=1,N)

220 CONTINUE

WRITE(*,8) TKR

WRITE(*,9) BK

WRITE(*,11) TK

5 FORMAT(1X,’MATRIK A BERSIFAT SINGULAR’)

8 FORMAT(1X,’JUMLAH TUKAR POSISI = ’,3X,I5)

9 FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI BAGI/KALI = ’,3X,I6)

11 FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI JUMLAH/KURANG = ’,3X,I6)

END