MAKALAH
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Program Studi: ...
Nama: ...
NIM: ...
Dosen Pengampu: ...
UNIVERSITAS ...
2025
DAFTAR ISI
1. Pendahuluan 2. Landasan Teori
2.1 Pengantar Sistem Persamaan Linier 2.2 Sistem Persamaan Linier
2.3 Operasi-operasi Baris Dasar 2.4 Eliminasi Gauss
2.5 Bentuk Eselon Baris 3. Contoh dan Pembahasan Soal 4. Penutup
5. Daftar Pustaka
BAB I
PENDAHULUAN
Sistem persamaan linier (SPL) merupakan konsep fundamental dalam cabang aljabar linier.
SPL berisi sekumpulan persamaan linier yang disusun untuk dicari nilai variabel-variabel yang memenuhinya secara bersamaan. Persamaan linier sendiri adalah persamaan matematika yang memuat satu atau lebih variabel dengan pangkat satu.
Keberadaan SPL memiliki peranan besar dalam pemecahan masalah-masalah dunia nyata, seperti dalam bidang teknik, ekonomi, sains, dan teknologi informasi. Misalnya, dalam bidang teknik sipil, SPL digunakan untuk menganalisis kekuatan struktur bangunan, sedangkan dalam ilmu komputer digunakan dalam pemrograman dan pengolahan data.
Oleh karena itu, pemahaman terhadap SPL sangat diperlukan oleh mahasiswa dalam berbagai disiplin ilmu.
Makalah ini membahas secara sistematis mengenai pengertian SPL, operasi-operasi baris dasar yang digunakan untuk menyederhanakan sistem, metode eliminasi Gauss sebagai salah satu metode penyelesaian SPL, serta penyajian lima contoh soal untuk memperkuat pemahaman. Semua pembahasan dilengkapi dengan landasan teori yang bersumber dari literatur ilmiah nasional.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Pengantar Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier (SPL) merupakan himpunan dari dua atau lebih persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Persamaan linier sendiri adalah jenis
persamaan aljabar di mana semua variabel berpangkat satu dan tidak dikalikan antar sesamanya. SPL muncul dalam berbagai permasalahan nyata seperti perencanaan
keuangan, optimasi, dan rekayasa teknik, di mana beberapa kondisi atau persyaratan harus dipenuhi secara bersamaan.
Menurut Suparno (2014), SPL merupakan alat dasar dalam aljabar linier yang membantu dalam memformulasikan serta menyelesaikan berbagai persoalan yang melibatkan hubungan linier antar variabel. SPL secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk:
a x + a x + … + a x = b₁₁ ₁ ₁₂ ₂ ₁ₙ ₙ ₁ a x + a x + … + a x = b₂₁ ₁ ₂₂ ₂ ₂ₙ ₙ ₂
…
a x + a x + … + a x = bₘ₁ ₁ ₘ₂ ₂ ₘₙ ₙ ₘ
di mana a adalah koefisien, x adalah variabel, dan b adalah konstanta.ᵢⱼ ⱼ ᵢ SPL dapat memiliki tiga kemungkinan solusi, yaitu:
1. Satu solusi unik – sistem konsisten dan determinan.
2. Tak hingga banyak solusi – sistem konsisten tetapi tidak determinan.
3. Tidak ada solusi – sistem tidak konsisten, biasanya terlihat dari adanya kontradiksi seperti 0 = 1.
Contohnya, sistem berikut:
x + y = 5 2x + 2y = 10
memiliki tak hingga banyak solusi karena kedua persamaan tersebut saling bergantung.
2.2 Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier diklasifikasikan berdasarkan jumlah variabel dan banyaknya persamaan. Terdapat dua bentuk penyajian utama dalam SPL, yaitu bentuk aljabar dan bentuk matriks. Dalam bentuk aljabar, SPL ditulis sebagai himpunan persamaan biasa, sedangkan dalam bentuk matriks, SPL ditulis sebagai AX = B.
Contoh sistem dua variabel:
2x + 3y = 12 x - y = 1
dan sistem tiga variabel:
x + y + z = 6 2x - y + 3z = 14 3x + y + 2z = 13 Notasi matriks:
A adalah matriks koefisien m×n; X adalah vektor kolom variabel; B adalah vektor kolom konstanta.
2.3 Operasi-operasi Baris Dasar
Menurut Purwanto (2017), terdapat tiga operasi baris dasar:
1. Pertukaran dua baris (R_i ↔ R_j).
2. Perkalian baris dengan konstanta tak nol (R_i ← kR_i, k ≠ 0).
3. Penjumlahan baris dengan kelipatan baris lain (R_j ← R_j + kR_i).
Ketiga operasi ini tidak mengubah himpunan solusi sistem dan memudahkan transformasi matriks ke bentuk eselon baris.
2.4 Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah metode sistematis untuk menyelesaikan SPL melalui reduksi matriks augmented ke bentuk eselon baris diikuti substitusi balik. Langkah-langkah menurut Sumarno (2015):
1. Bentuk matriks augmented.
2. Lakukan eliminasi maju untuk menghilangkan elemen di bawah pivot.
3. Capai bentuk eselon baris.
4. Lakukan substitusi balik dari baris bawah ke atas.
Metode ini efisien untuk SPL berdimensi besar dan umum diimplementasikan dalam perangkat lunak ilmiah seperti MATLAB dan Python.
2.5 Bentuk Eselon Baris
Bentuk eselon baris (REF) memenuhi:
1. Baris nol di bagian bawah.
2. Pivot setiap baris non-nol terletak di kanan pivot baris di atasnya.
3. Semua elemen di bawah pivot bernilai nol.
Contoh REF:
[1 2 3 | 5]
[0 1 4 | 3]
[0 0 1 | 2]
Bentuk eselon baris tereduksi (RREF) memiliki pivot = 1 dan satu-satunya elemen non-nol di kolomnya. Bentuk ini mempermudah identifikasi solusi langsung.
