Pertemuan ke-2. Metode Eliminasi GAUSS-JORDAN

Pertemuan Ke - 2 METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Pertemuan Ke - 2 METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Ax = b  A  b 

Matriks diperbesar (Augmented Matrices)

SPL

^non

homogen

dibentuk

 A  b  eselon baris Matriks tereduksi

diubah

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

 Jika A adalah matriks ukuran n x n.

Eliminasi terhadap matriks ekstensi A akan menghasilkan invers matriks A.

Matriks ekstensi (Augmented Matrix) A adalah matriks yang dibentuk dengan meletakan matriks Idendentitas (I) disebelah kanan Matriks A :

 

 





 

 







 

 





 

 





 

 





 

 





1 ...

0 0

...

...

...

...

...

0 ...

1 0

...

0 ...

0 1

...

.

1 ...

0 0

...

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

...

...

...

...

.

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2 21

21

1 12

11

nn n

n

n n nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a I A

a a

a

a a

a

a a

a

I

A

Eliminasi Gauss Jordan Terhadap matriks Eksistensi A

 

 





 

 







 

 





 

 





 

 





 

 





nn n

n

n n nn

n n

n n

I A

a a

a

a a

a

a a

a I A



















...

1 ...

0 0

...

...

...

...

...

0 ...

1 0

...

0 ...

0 1

.

1 ...

0 0

...

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

...

...

...

...

.

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

2 21

21

1 12

11

 Jadi Eliminasi Gauss-Jordan :

 Dimana λ_ij adalah entri Matriks Invers yang berasal dari

a

_ij setelah mengalami beberapa kali operasi Baris Elementer.

 

 





 

 









nn n

n

n n

A Jadi



















...

...

...

...

...

:

2 1

2 21

21

1 12

11 1

Contoh 1

Tentukan Invers Matriks Berikut:

X = 2 Y = -1 Z= 3

 







 









2 2

1

1 2

2

2 3

2

A

Contoh 2

Tentukan Invers Matriks Berikut:

X = 2 Y = -1 Z= 3

 







 













2 3

1

4 5

2

3 4

1

A

 







 



















 







 























3 7

11

2 5

8

1 1

2 . 2

2 1

2

2 2

3

1 2

2 . 1

1 1

A

Contoh Solusi

A

Contoh

Solusi

DETERMINAN MATRIKS

Untuk n = 2

Jadi, det (A) = a₁₁ . a₂₂ - a₁₂ . a₂₁

 

 



 

22 21

12 11

. .

a a

a A a

Permutasi Inversi Hasil Perkalian

Elementer Bertanda

(1,2) 0 a

₁₁

. a

₂₂

(2,1) 1 -a

₁₂

. A

₂₁

Untuk n = 3

Jadi, det (A) = a₁₁ . a₂₂ . A₃₃ + a₁₂ . a₂₃ . A₃₁ + a₃₁ . a₂₁ . A₃₂

- a11 . a23 . A32 - a12 . a21 . A33 - a13 . a22 . a31

 







 









33 32

31

23 22

21

13 12

11

. .

. .

. .

a a

a

a a

a

a a

a A

Permutas

i Inversi Hasil Perkalian Elementer Bertanda (1,2,3) 0 a₁₁ . a₂₂ . a₃₃

(1,3,2) 1 -a₁₁ . a₂₃ . a₃₂ (2,1,3) 1 -a₁₂ . a₂₁ . a₃₃ (2,3,1) 2 a₁₂ . a₂₃ . a₃₁ (3,1,2) 2 a₃₁ . a₂₁ . a₃₂ (3,2,1) 3 -a₁₃ . a₂₂ . a₃₁

Untuk n = 4

 

 





 

 







44 43

42 41

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

A

Permutas

i Inversi Hasil Perkalian Elementer Bertanda

(1,2,3,4) 0 + a₁₁ . a₂₂ . A₃₃ . a₄₄ (1,2,4,3) 1 - a₁₁ . a₂₂ . a₃₄. a₄₃ (1,3,2,4) 1 - a₁₁ . a₂₃ . a₃₂. a₄₄ (1,3,4,2) 2 + a₁₁ . a₂₃ . a₃₄. a₄₂ (1,4,2,3) 2 + a₁₁ . a₂₄ . a₃₂. a₄₃ (1,4,3,2) 3 - a₁₁ . a₂₄ . a₃₃. a₄₂

Lanjutan ….

(2,1,3,4) 1 - a₁₂ . a₂₁ . a₃₃ . a₄₄ (2,1,4,3) 2 + a₁₂ . a₂₁ . a₃₄. a₄₃ (2,3,1,4) 2 + a₁₂ . a₂₃ . a₃₁. a₄₄ (2,3,4,1) 3 - a₁₂ . a₂₃ . a₃₄. a₄₁ (2,4,1,3) 3 - a₁₂ . a₂₄ . a₃₁. a₄₃ (2,4,3,1) 4 + a₁₂ . a₂₄ . a₃₃. a₄₁ (3,1,2,4) 2 + a₁₃ . a₂₁ . a₃₂ . a₄₄ (3,1,4,2) 3 - a₁₃ . a₂₁ . a₃₄. a₄₂ (3,2,1,4) 3 - a₁₃ . a₂₂ . a₃₁. a₄₄ (3,2,4,1) 4 + a₁₃ . a₂₂ . a₃₄. a₄₁ (3,4,1,2) 4 + a₁₃ . a₂₄ . a₃₁. a₄₂ (3,4,2,1) 5 - a₁₃ . a₂₄ . a₃₂. a₄₁

Lanjutan …..

(4,1,2,3) 3 - a₁₄ . a₂₁ . A₃₂ . a₄₃ (4,1,3,2) 4 + a₁₄ . a₂₁ . a₃₃. a₄₂ (4,2,1,3) 4 +a₁₄ . a₂₁ . a₃₃. a₄₃ (4,2,3,1) 5 - a₁₄ . a₂₂ . a₃₃. a₄₁ (4,3,1,2) 5 - a₁₄ . a₂₃ . a₃₁. a₄₂ (4,3,2,1) 6 + a₁₄ . a₂₃ . a₃₂. a₄₁

Jadi, det (A) = (a11 . a22 . a33 . a44 + a11 . a23 . a34. a42 + a11 . a24 . a32. a43

+ a12 . a21 . a34. a43 + a12 . a23 . a31. a44 + a12 . a24 . a33. a41

+ a13 . a21 . a32 . a44 + a13 . a22 . a34. a41 + a13 . a24 . a31. a42

+ a14 . a21 . a33. a42 +a14 . a21 . a33. a43 + a14 . a23 . a32. a41 ) – (a11 . a22 . a34. a43 + a11 . a23 . a32. a44 + a11 . a24 . a33. a42

+ a12 . a21 . a33 . a44 +a12 . a23 . a34. a41 + a12 . a24 . a31. a43

+ a13 . a21 . a34. a42 + a13 . a22 . a31. a44 + a13 . a24 . a32. a41

+ a14 . a21 . a32 . a43 + a14 . a22 . a33. a41 +a14 . a23 . a31. a42)

Contoh. 6

Tentukan Determinan dari matriks-matriks berikut ini:

 

 





 2 4

1 ). 3

a

 







 













 4 2

1

1 1

2

2 1

1 ).

b

 

 





 

 











1 0

1 2

1 2

0 0

1 2

3 1

1 2

2 1

).

c

Penyelersaian: (a)

10

) 4 )(

1 ( )

2 )(

3 (

2 4

1 det 3











 

 



 



 







Penyelesaian : (b)

21 8 13

) 8 2

2 ( )

8 1

4 (

4 2

1

1 1

2

2 1

1 det



















 







 







 







 















Penyelesaian : (c)

16 1

0 1

2

1 2

0 0

1 2

3 1

1 2

2 1

det  

 

 







 

 







 

 





 

 











Menghitung Determinan dengan Operasi Baris Elementer

Teorama 1:

Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris (kolom) yang elemennya semua nol, maka det(A) = 0

0 1

2 1

1

0 0

0 0

1 2

3 1

1 2

2 1

det 

 

 







 

 







 

 





 

 











Teorama 2:

Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom) yang sama, maka det(A) = 0

0 4

3 2

1

2 1

1 1

4 4

2 2

4 3

2 1

det 

 

 







 

 







 

 





 

 













Teorama 3:

Apabila A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n, maka det(A) adalah

hasil dari perkalian elemen-elemen diagonal utama, yaitu det(A)= a₁₁.a₂₂.a₃₃…a_nm

6

) 1 ).(

2 ).(

3 ).(

1 (

1 0

0 0

1 2

0 0

1 2

3 0

1 2

2 1

det





 

 







 

 







 

 





 

 







6

) 1 ).(

2 ).(

3 ).(

1 (

1 4

3 1

0 2

1 4

0 0

3 2

0 0

0 1

det





 

 







 

 







 

 





 

 











Teorama 4:

Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A yang sebuah baris/kolom –nya

dikalikan dengan konstanta k, maka det(A1)=

k.det(A).

15 )

det(

4 2

1

2 1

2

1 1

1



 







 













 A A

30 )

det(

4 2

1

4 2

4

1 1

1



 







 















B

B

Teorama 5:

Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B (Bila dua baris matriks B

dipertukarkan letak tempatnya), maka det(B1)= -det(B).

15 )

det(

1 1

1

2 1

2

4 2

1





 







 













 A A

15 )

det(

4 2

1

2 1

2

1 1

1



 







 















A

A

Teorama 6:

Jikan C1 adalah matriks yang dihasilkan bila

kelipatan sebuah konstanta k ≠ 0 dari 1 baris (kolom) Matriks C yang ditambahlan ke baris (kolom) yang lain, maka det(C1)= det(C).

15 4

2 1

2 1

2

1 1

1 det

4 2

1

0 3

0

1 1

1

 

 





 







 







 













 

 





 







 







 















A

Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

 Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka Minor elemen

a

_ij

(disimbolkan dengan M

_ij

) didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah baris ke-i dan kolom ke-j di coret dari A. Nilai (-1)

^i+j

ditulis sebagai C

_ij ^dan

dinamakan Kofaktor elemen a

_{ij .}

 Jadi, Cij = (-1)

^i+j

.a

_ij

. M

_ij

.

Contoh. 8

Hitunglah Determinan Matriks A Berikut ini:

Gunakan Ekspansi Kofaktor baris 1 dan ekpansi kofaktor kolom 2.

 







 









1 1

3

3 2

1

1 2

1

A

Penyelesaian

 Perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor baris 1 adalah sbb:

 

10 )

det(

) 5 .(

1 )

8 ( 2 )

1 .(

1 )

det(

1 3

2 1 1

1 3

3 2 1

1 1

3 1 2

) det(















 

 



 

 

 



 

 

 



 

A

A

A

Lanjutan …

Perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor kolom 2 adalah sbb:

 

10 )

det(

) 2 .(

1 )

2 ( 2 )

8 ).(

2 ( )

det(

3 1

1 1 1

1 3

1 2 1

1 3

3 2 1

) det(















 

 



 

 

 



 

 

 



 



A

A

A

Latihan

 Tentukan Determinan Matriks Berikut:

 

 





 

 







 

4 0

0 1

1 6

1 1

3 2

0 1

4 2

1 5

A

Tugas-2.1



Tentukan Invers Matriks Berikut:

 







 











6 5

5

4 3

2

1 0

2 A

 







 









8 3

4

3 0

1

2 1

0 B

 

 





 

 







2 1

1 2

2 2

2 1

2 2

1 4

1 2

1 2

C

Tentukan determinan untuk matriks-matriks berikut:

Gunakan :

a). Metode Determinan

b). Metode Ekspansi Kofaktor

 







 







 







 















2 1

2

1 0

1

3 2

1 ).

1 A

Tugas-2.2

 







 







 







 













1 1

0

0 1

1

1 3

1 ).

2 B    





 

 















1 3

1 5

7 5

4 2

6 3

0 3

5 4

2 0

).

3 C

TERIMAKASIH