MINOR DAN KOFAKTOR
Definisi:
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor aij dinyatakan oleh Mij adalah submatriks A yang didapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke – j.
Kofaktor aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai: Cij = (-1)I + j .Mij
Contoh: A =
−
8 4 1
6 5 2
4 1 3
M11= 8 4
6
5 = 16, C11 = (-1)1+1.M11= 16
M32 = 6 2
4 3 −
= 26, C32 = (-1)3+2.M32 = -26
Determinan suatu matriks kuadrat A dapat juga dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/kolom.
Teorema:
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk setiap 1≤ i ≤ n dan 1≤ j ≤ n, maka
Det(A) = a1j.C1j + a2j.C2j+ . . . + anj.Cnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan
Det(A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2+ . . . + ain.Cin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
Contoh: hitunglah det(A) dimana A =
−
−
0 8 1 0
3 3 0 0
1 1 2 1
3 1 1 0
Jawab: jika det(A) dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, maka
Det (A) = 0.C11+1.C21+0.C31+0.C41 = C21 = (-1)2+1.M21 = - M21 = -
0 8 1
3 3 0
3 1
−1
= -18
Definisi:
Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks
nn n
n
n n
C C
C
C C
C
C C
C
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoin A ditulis adj(A)
contoh: A =
−
− 0 4 2
3 6 1
1 2 3
kofaktor A adalah:
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
Sehingga matriks kofaktornya adalah:
−
− 16 10 12
16 2 4
16 6
12
Dan adjoin A adalah: Adj(A) =
−
− 16 16 16
10 2 6
12 4 12
Latihan:
1. misal A =
−
−
− 4 1 3
1 7 2
3 6 1
, Carilah semua minor dan kofaktornya.
2. misalkan A =
−
−
2 14 3 6
3 0 3 1
1 1 0 1
4 4 0 4
, Carilah:
a. M13 dan C13 b. M23 dan C23 c. M21 dan C21
3. Dari matriks pada no.2 hitunglah det(A) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang a. baris pertama b. kolom pertama c. baris kedua
4. Untuk matriks pada no.2, carilah:
a. matriks kofaktor A b. Adj(A)
5. hitunglah determinan matriks berikut menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris / kolom pilihan anda.
a. A =
2 2 3
8 6 8
0 6 0
b. B =
2 2 2
1 1 1
k k k
k k
k
c. C =
−
− 6 3 14 6
1 3 0 3
1 0 1 1
4 0 4 4
d.
−
3 3 3 0 0
2 2 2 1 1
4 6 4 3 0
2 4 2 3 0
2 9 1 3 4
