3. MATRIKS dan DETERMINAN
Matriks Determinan Invers Matriks Nilai Eigen dan Vektor Eigen Terapan
3.1.
Matriks
Definisi 1:
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-elemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi 2:
Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n, ditulis :
( )
, a Ra a
a
a a
a
a a
a
a
A ij
mn 2
m 1 m
n 2 22
21
n 1 12
11
n m ij n
m ∈
=
= ×
×
L M M
M
L L
Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,
k=1,2, ... ,n.
Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujur-sangkar dengan elemen diagonal utama 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama 0.
Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua elemennya 0.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris
Kesamaan Dua Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka
A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Operasi-Operasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n
Contoh :
=
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
A dan
=
23 22 21
13 12 11
b b b
b b b B
+ +
+
+ +
+ =
+
23 23 22 22 21 21
13 13 12 12 11 11
b a b a b a
b a b a b a B A
2. Pergandaan Skalar Matriks
Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n
3. Perkalian Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian
Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif, artinya AB≠BA
4. Transpose Matriks
Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m
Teorema 1
Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka
berlakulah :
1. Sifat Komutatif : A+B=B+A
2. Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C 3. Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB 4. (AT)T=A
5. (A+B)T=AT+BT
6. (kA)T=kAT
Teorema 2
Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :
1. (AB)T=BTAT
2. (AB)C=A(BC)
3.2.
Determinan
Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka Det(A)=|A| adalah suatu bilangan real. Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.
Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.
Definisi 3:
Definisi 4:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.
(a). Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A.
Contoh:
⇒
(b). Kofaktor (Cofaktor) elemen aij disimbolkan Cij
didefinisikan oleh Cij=(-1)i+j Mij
(c). Determinan matriks An×n didefinisikan sebagai berikut:
det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…+ainCin untuk 1≤i≤n
atau
det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj untuk 1≤j≤n.
Sifat 1
Jika A matriks ukuran 2×2, maka determinan dapat dihitung dengan aturan berikut :
=
44 43 42 41
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
44 43 41
24 23 21
14 13 11
32
a a a
a a a
a a a
M =
( )
11 22 12 2122 21
12 11
a a a a a
a a a A
det = = −
Sifat 2 : (Aturan Sarrus)
Jika A matriks ukuran 3×3, maka determinan A dapat dihitung dengan aturan berikut :
Teorema 3 (Teorema-Teorema Determinan)
1. Jika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu baris elemen nol, maka det(A)=0.
2. Jika AT adalah transpose matriks A, maka det(AT)=det(A).
3. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila suatu baris elemen matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka :
det(A∗)=k det(A)
4. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen matriks A dipertukarkan, maka :
det(A∗)=−det(A)
5. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris elemen yang lain, maka :
det(A∗)=det(A).
Catatan
Operasi-operasi terhadap suatu matriks berikut :
1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k≠0 2. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya 3. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,
( )
33 21 12 32 23 11 31 22 13
32 21 13 31 23 12 33 22 11
32 31 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a A det
− −
−
+ +
= =
disebut Operasi Baris Elementer(elementary row operations). Operasi serupa jika dikerjakan pada kolom-kolom suatu matriks disebut Operasi Kolom Elementer.
3.3.
Invers Matriks
Definisi 5:
Diketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. Jika dapat ditemukan matriks A-1 sedemikian hingga AA-1=A-1A=I,
dengan I matriks identitas, maka A dikatakan invertible dan matriks A-1 disebut invers matriks A.
Teorema 4
1. Jika B dan C masing-masing invers matriks A, maka B=C. 2. Matriks A invertible jika hanya jika det(A)≠0.
3. Jika A invertible, maka det(A-1)=1/det(A).
4. Jika Anxn dan Bnxn invertible maka (AB)-1=B-1A-1
5. Jika A invertible, maka A-1 juga invertible dan (A-1)-1=A.
Definisi 6:
Diketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran n×n. 1. Matriks
=
nn 2
n 1 n
n 2 22
21
n 1 12
11
C C
C
C C
C
C C
C
) A ( C
L M M
M
L L
, Cij kofaktor elemen aij
disebut Matriks KofaktorA.
Teorema 5 :
Jika A invertible, maka
( )
Adj( )
A Adet 1 A−1 =
Dengan teorema 5 tersebut, maka invers suatu matriks dapat dicari dengan determinan dan adjoinnya.
Contoh
− − =
0 4 2
3 6 1
1 2 3
A , diperoleh :
det(A)=64
−
− =
− − =
16 16 16
10 2
6
12 4 12 )
A ( Adj , 16 10 12
16 2
4
16 6
12 ) A ( C
−
− =
−
− =
−
4 1 4 1 4 1
32 5 32 1 32 3
16 3 16 1 16 3
16 16 16
10 2
6
12 4 12
64 1 A 1
Invers suatu matriks (jika ada) juga dapat dicari melalui serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema berikut ini.
Teorema 6
Jika matriks An×n dapat ditransformasi menjadi matriks
Identitas I melalui serangkaian operasi baris elementer, maka matriks A nonsingular. Rangkaian operasi baris yang
Ilustrasi teorema :
( )
operasi bariselementer
I
A
−1I
A
Contoh :
Akan dicari kembali invers matriks
Keterangan : -5/8 B3+B2 artinya, -5/8 kali baris ke-3 ditambahkan ke baris ke-2.
Jadi diperoleh
♦ Dua matriks A dan B dikatakan Ekuivalen Baris (row
equivalent) jika salah satu dari matriks tersebut dapat diperoleh dari serangkaian operasi baris pada matriks lainnya.
♦ Suatu matriks dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris Tereduksi (reduced row-echelon form) jika memenuhi :
(i). Pada suatu baris tak nol (tidak semua elemennya nol), elemen pertama (dari kiri) tak nol adalah 1 (satu). Elemen tersebut disebut 1 utama.
(ii). Di dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen 1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih jauh ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
(iii). Baris-baris dengan elemen-elemen semuanya 0 (nol) terkelompokkan bersama-sama di bagian bawah matriks.
(iv). Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka elemen lainnya 0.
Catatan : Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan (i), (ii) dan (iii) saja dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris.
Contoh: - Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris tereduksi
−1 1 0 0
3 0 1 0
5 0 0 1
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
0 0
0 0
,
−
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4 1 0 0 0
1 0 3 1 0
♦ Eliminasi Gauss-Jordan adalah serangkaian operasi baris elementer yang dikerjakan pada suatu matriks sedemikian hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks tersebut.
Contoh :
Pada bagian terapan, akan ditunjukkan penggunaan eliminasi Gauss-Jordan tersebut untuk menyelesaikan suatu SPL.
Selanjutnya akan ditinjau pengertian rank suatu matriks dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor baris dan vektor kolom suatu matriks.
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn. Vektor-vektor
u1=(a11, a12, ..., a1n),
u2=(a21, a22, ..., a2n), ∂
um=(am1, am2, ..., amn)
disebut Vektor-vektor Baris matriks A, sedangkan vektor-vektor
Definisi 7
Rank matriks Amxn disimbolkan Rank(A) adalah bilangan yang
menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris (vektor-vektor kolom) matriks A yang independen linear.
Sifat 3: Diketahui Amxn. Rank(A)=0 hanya bila A=O.
Teorema 7
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn dan A≠O.
Rank(A)=r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat terbesar sedemikian hingga Det(Aˆ )≠0, dengan Aˆ rxr
submatriks A.
Keterangan : Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan satu atau beberapa baris atau kolom matriks A.
Teorema 8
Diketahui matriks bujursangkar Anxn.
Pernyataan-pernyata-an berikut ini ekuivalen : (a). A invertible
(b). Rank(A)=n
(c). A ekuivalen baris dengan matriks Identitas In
3.4.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 8
Diketahui matriks bujursangkar An×n. Bilangan λ disebut nilai
eigen matriks A, jika terdapat vektor v≠0 sedemikian hingga Av=λv
Diperhatikan bahwa
Av=λv ⇔(A-λI)v=0 ,
dengan I dan O masing-masing matriks identitas dan matriks nol. Untuk mendapatkan penyelesaian v≠0, maka harus dipenuhi
det(A-λI)=0.
Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. Dari persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian terhadap λ dan selanjutnya untuk setiap nilai λ akan menentukan suatu vektor v.
Contoh:
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
− − −
− =
1 2 1
0 1 6
1 2 1 A
Dari persamaan karakterisitik det(A-λI)=0
⇔ 0
1 2 1
0 1
6
1 2
1
= λ − − − −
λ − − λ −
⇔ λ3+λ2-12λ=0
⇔ λ(λ+4)(λ-3)=0
⇔ λ1=0, λ2=-4 atau λ3=3
untuk λ1=0, diperoleh
(A-λI)v=0 ⇔ (A-0⋅I)v=0
⇔
=
− − −
−
− − −
0 0 0
v v v
0 1 2 1
0 0 1 6
1 2
0 1
diperoleh vektor eigen v= , t R t
13 / t 6
13 / t
∈
−
−
agar sederhana, dipilih t=-13, sehingga diperoleh vektor eigen
v=
−13 6 1
Dengan cara serupa, untuk λ2=-4 dan λ3=3 dapat diperoleh
vektor eigen masing-masing
v=
− −
1 2 1
dan v= − −
2 3 2
Teorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk meghitung invers suatu matriks (jika ada).
Teorema 9 (Cayley-Hamilton)
Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan karakteristiknya.
Jadi, jika diketahui matriks bujursangkar An×n dengan
persamaan karakteristik :
(-1)nλn+cn-1λn-1+ cn-2λn-2+…+ c1λ+c0=0
maka menurut teorema Cayley-Hamilton berlakulah : (-1)nAn+cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I=0
⇔ An=(-1)1-n(cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I)
Terlihat bahwa teorema Cayley-Hamilton dapat digunakan untuk menghitung matriks berpangkat.
( )
Contoh
Diketahui matriks
Akan digunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung A-1
dan Am.
Dari persamaan karakteristik : det(A-λI)=0, yaitu
0
(
2)(
3)
4 0Berdasarkan teorema, diperoleh
A2−A−2I=0 ⇔ A-1=(A−I)/2 ⇔
Selanjutnya,
3.5.
Terapan
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem Persamaan Linear adalah suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah :
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ∂
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
SPL tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik : AX=B
dengan
dan
x
Teorema 10
Diketahui SPL dalam bentuk matriks AX=B, dengan matriks
mxn
b b b
B dan
x
Diketahui pula A~, matriks imbuhan (augmented matriks).
(b). Jika Rank(A)=Rank( A~)=n, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
(c). Jika Rank(A)<n, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian yang banyaknya takhingga.
Secara umum dapat dinyatakan bahwa suatu SPL konsisten, dapat diselesaikan melalui Eliminasi Gauss-Jordan.
Berikut ditinjau SPL pada teorema 10 untuk kasus m=n, yaitu matriks Anxn, Xnx1 dan Bnx1 dengan A invertible.
Penyelesaian SPL Menggunakan Invers
Melalui operasi matriks, sistem persamaan AX=B, dapat diselesaikan, dengan syarat A suatu matriks invertible
(berdasarkan teorema 8 maka Rank(A)=n) yaitu AX=B ⇔ A-1AX=A-1B ⇔ IX=A-1B ⇔ X=A-1B.
Penyelesaian SPL Menggunakan Determinan
Selain invers, determinan matriks pun dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, seperti dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema 11 (Aturan Cramer)
Jika AX=B adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dan n peubah, dan diketahui det(A)≠0 maka
sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal
( )
( )
( )
( )
det( )
( )
A A det x, , A det
A det x
, A det
A det
dengan Ak , k=1,2,...,n adalah matriks yang diperoleh dengan
menggantikan elemen-elemen kolom ke-k dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh: Akan dicari penyelesaian SPL berikut :
3x1+2x2-x3=0 dan x
♦ Dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Penyelesaian dengan cara ini adalah melalui eliminasi gauss-jordan pada matriks imbuhan A~. Elemen-elemen pada kolom terakhir A~ setelah proses eliminasi selesai meyatakan penyelesaian SPL.
Diperhatikan
128 9
Jadi diperoleh : X=
♦ Dengan Invers
Karena
♦ Dengan Determinan (Teorema 11) Dari SPL di atas diperoleh :
− − =
32 4 2
48 6
1
0 2 3
A3 , det(A3)=-256
Maka berdasarkan teorema 11 diperoleh
x1=192/64=3, x2=-416/64=-6,5 dan x3=-256/64=-4.
Jadi X=
− − =
4 2 13
3
x x x
3 2 1
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan rank matriks-matriks berikut :
dan 2
2. Hitung invers matriks-matriks berikut :
3. Diketahui Det(A)=5 dan A suatu matriks ukuran 4×4. Hitunglah :
Det(3A), Det(2A-1) dan Det((2A)-1)
4. Diketahui matriks-matriks
Jika Det(B)=2 Det(A), hitunglah nilai konstanta k
5. Carilah nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen masing-masing
matriks-matriks berikut
7. Suatu matriks Anxn dikatakan simetris (symetric) jika AT=A dan
dikatakan anti-simetris (skew-symetric) jika AT=-A. Jika diketahui
8. Selesaikan masing-masing SPL berikut :
(a). x1+2x2+2x3=2 (b). x1+x2+x3=3
x1+x2+x3=0 x1-x2-x3=-1
x1-3x2-x3=0 3x1+2x2+x3=5
9. Tentukan Ak , k bilangan bulat positif, jika
=
2 2 2
2 5 4
2 4 5 A
10. Diperhatikan sebuah pelat bujursangkar dengan temperatur pada
masing-masing sisi seperti gambar. Pada beberapa keadaan
tertentu, hampiran temperatur pada titik P1, P2, P3 dan P4 dapat
dihitung masing-masing dengan rumus:
4
100 100 u
u u
4
200 100 u
u u
4
200 100 u
u u
4
100 100 u
u u
3 1 4
4 2 3
3 1 2
4 2 1
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ + + =
a. Tunjukkan Sistem Persamaan Linear di atas equivalen
dengan persamaan matriks
− − − − =
− − − −
200 300 300 200
u u u u
4 1 0 1
1 4 1 0
0 1 4 1
1 0 1 4
4 3 2 1
b. Selesaikan persamaan matriks pada bagian a dengan
mencari invers matriks koefisiennya.
100oC
100oC 100oC
200oC
P1
P2 P3
