A x = b apakah solusi x

MATRIKS INVERSI & SIFAT-SIFATNYA

Bila adalah skalar bilangan real yang memenuhi , maka apabila b x a ,, a x = b ax = b 1 − _a≠0.

Sekarang, untuk sistem persamaan linier Ax = b apakah solusi x dapat diselesaikan dengan x = A−1b ?

Matriks Identitas

Untuk skalar (real number dan

a

a ≠0), maka a−1a = aa−1 =1. Untuk matriks

A

(n x n), apabila

A

mempunyai A , maka −1

n I = A A AA−1 = −1

Matriks identitas didefinisikan sebagai matriks (n x n) sebagai berikut: n I                 = 1 0 0 0 : : : : 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n I       = 1 0 0 1 2 I _;           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I

TEOREMA 12

Bila

B

adalah matriks (m x n), maka I_mB = B_dan BI_n = B_.

Demikian pula, bila

A

adalah matriks (n x n), maka InA= AIn = A

n

I _{pada dasarnya adalah}I_n =

[

l1 l2 ... ln

]

                = 0 : 0 0 1 1 l                 = 0 : 0 1 0 2 l                 = 1 : 0 0 0 n l Matriks Inversi Definisi 12

Sebuah matriks

B

(n x n) adalah invers dari matriks

A

(n x n) jika memenuhi AB = BA= In.

Contoh:       = 4 3 2 1 A _      − − = 2 1 2 3 1 2 B

Tunjukkan bahwa matriks A2×2berikut ini tidak memiliki invers.

      = 6 3 2 1 A Jawab: Katakanlah       = = − d c b a B A 1       =       + + + + = =             = 1 0 0 1 6 3 6 3 2 2 6 3 2 1 2 d b c a d b c a I d c b a AB sehingga a+ c2 =1 dan 3a+ c6 =0 tidak ada solusi

⇒

TEOREMA 13

Bila dan adalah invers dari matriks B C

A

, maka B =C.

Bila matriks

A

mempunyai invers, maka inversnya adalah unik.

Formula sederhana untuk menghitung invers matriks (2x2):

Matriks A2×2 sebagai berikut: _     = d c b a A bila ∆= ad−bc maka

a. jika

∆

=

0

, maka

A

tidak mempunyai invers

b. jika

∆

≠

0

, maka

A

mempunyai invers sebagai berikut:

      − − ∆ = − a c b d A 1 1       − − ∆ ⋅       = − a c b d d c b a AA 1 1       − − ∆ = bc ad bc ad 0 0 1       = 1 0 0 1

Contoh:       = 4 3 8 6 A _      = 5 3 7 1 B Jawab: Matriks A: ∆ = 4(6) – 3(8) = 24 – 24 = 0

Matriks A tidak mempunyai invers, sebab ∆ =0

Matriks B: 16 ) 3 ( 7 ) 5 ( 1 − =− = ∆ _,

maka B mempunyai invers yaitu:

      − − = − 1 3 7 5 16 1 1 B _.

SIFAT-SIFAT INVERS MATRIKS

TEOREMA 14

A dan adalah matriks (n x n) yang keduanya mempunyai B invers, maka:

1. A−1 mempunyai sebuah invers, dan

( )

A−1 −1 = A 2. AB mempunyai invers, dan

( )

AB −1 = B−1A−1

3. Bila

k

adalah scalar tak nol, maka

kA

mempunyai sebuah

invers, dan

( )

kA −1 = A1_k −1

4.

A

T mempunyai invers, dan

( ) ( )

AT −1 = A−1 T Contoh:

A dan B adalah matriks-matriks (2x2) sebagai berikut:

      = 4 2 3 1 A _      − − = 1 1 2 3 B

a. Gunakan formula sederhana untuk menghitung _A−1_,B−1_,

( )

_AB −1

b. Gunakan teorema 14 untuk menghitung

( )

AB −1 c. Perlihatkan bahwa

( )

AB −1 ≠ A−1B−1

INVERS MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

TEOREMA 15 b

x

A = adalah sebuah sistem persamaan linier (n x n), dan anggap A mempunyai invers. Maka sistem tersebut mempunyai solusi yang unik yakni: x = A−1b

Contoh:

Tentukan solusi SPL sebagai berikut: 1 3 ₂ 1 + x = − x 2 4 2x₁ + x₂ = Jawab: Matriks koefisien       = 4 2 3 1 A _{; }      − − = − 2 1 1 2 3 2 1 A maka:       − =      −       − − =       2 5 2 1 2 1 1 2 3 2 2 1 x x 5 1 = x _dan x₂ = −2

Catatan:

• Ax =b mempunyai solusi x₌ A−1b

hanya bila A merupakan matriks bujur sangkar dan mempunyai invers.

• Meskipun demikian, meski A mempunyai invers, mereduksi matriks yang diperbesar

[ ]

A

b

1 −

adalah lebih efisien dibandingkan dengan menghitung A .

• Dari sudut pandang komputasi, metode eliminasi Gauss lebih disukai untuk memecahkan sistem persamaan linier

b x

MENENTUKAN INVERS

DARI SEBUAH MATRIKS TAK SINGULAR

TEOREMA 16

Bila A (n x n) adalah sebuah matriks tak singular, maka ada sebuah matriks B (n x n) sedemikian rupa sehingga AB = I .

Contoh:

Sebuah matriks A (3 x 3) sebagai berikut:

          − − − − = 2 5 1 1 5 2 1 3 1 A

Perlihatkan bahwa A tak singular dan tentukan matriks B (3 x 3) sedemikian rupa sehingga AB = I .

Jawab:

SPL homogen Ax=θ mempunyai matriks yang diperbesar sebagai berikut:

[ ]

          − − − − = 0 2 5 1 0 1 5 2 0 1 3 1 θ A _,

bila direduksi ke dalam bentuk eselon, diperoleh

          − − = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 1 C

Æ SPL homogen tersebut mempunyai solusi trivial, maka Aadalah matriks tak singular, sehingga Ax=b akan mempunyai solusi yang unik untuk setiap vektor b (3 x 1).

Matriks Identitas I (3 x 3)

[

1 2 3

]

1 0 0 0 1 0 0 0 1 l l l =           = I matriks

[

1 2 3

]

33 32 31 23 22 21 13 12 11 x x x b b b b b b b b b B =           =

Dengan demikian: Ax1 =l1 , Ax2 =l2 , Ax3 =l3 akan juga

Persamaan linier Ax1 =l1 mempunyai matriks yang diperbesar sebagai berikut:

[ ]

          − − − − = 0 2 5 1 0 1 5 2 1 1 3 1 1 l A Bentuk eselon:           − − 5 1 0 0 2 1 1 0 1 1 3 1 5 1 = x _, x₂ =−3_, x₃ =−5 maka           − − = 5 3 5 1 b _,

dengan cara yang sama diperoleh

          − − = 2 1 1 2 b _dan          − = 1 1 2 3 b _.

Dengan demikian, matriks B (invers dari matriks A):

[

]

          − − − − − = = 1 2 5 1 1 3 2 1 5 , , 2 3 1 b b b B check!           =           − − − − −           − − − − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 5 1 1 3 2 1 5 2 5 1 1 5 2 1 3 1

TEOREMA 17

Bila A dan B adalah matriks (n x n) sedemikian rupa sehingga I

AB = , maka

BA

=

I

. Dalam hal ini B = A−1

TEOREMA 18

Sebuah matriks A (n x n) mempunyai invers, jika dan hanya jika A tak singular.

TEOREMA 19

A adalah matriks (n x n). Berikut ini berlaku:

1. A tak singular, yaitu x =θ hanya merupakan solusi Ax =θ 2. Vektor-vektor kolom matriks A tak bergantungan linier. 3. Ax = selalu mempunyai solusi b

x

yang unik.

Cara lain menghitung invers matriks

Sebagai ilustrasi, misalkan A (3x3) sebuah matriks tak singular yang sebelumnya telah dijelaskan.

1 −

A sebagai matriks B =

[

b1 b2 b3

]

.

Dalam hal ini b1,b2,b3 adalah solusi tunggal dari 3 SPL berikut: 1 1 =l b A 2 2

=

l

b

A

2 2 =l b A

Dari 3 kali melakukan reduksi membentuk matriks eselon, Æ sekarang cukup satu kali:

[

A

l

1

l

2

l

3

]

matriks (3x6) _→

Contoh:           − = 10 1 1 4 5 2 3 2 1 A

[

A

]

=

[ ]

AI           − = 1 0 0 10 1 1 0 1 0 4 5 2 0 0 1 3 2 1 3 2 1 l l l 1 3 1 2 2R ,R R R − −           − − − − 1 0 1 7 3 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 2 3 3R R + Æ bentuk eselon           − − − 1 3 7 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 3 2 1 3 2 3 1 3R ,R 2R R − +           − − − − 1 3 7 1 0 0 2 7 16 0 1 0 3 9 22 0 2 1 2 1 2R R − =

[ ]

I B           − − − − 1 3 7 1 0 0 2 7 16 0 1 0 7 23 54 0 0 1           − − − − = = → − 1 3 7 2 7 16 7 23 54 1 A B

DETERMINAN

Didefinisikan hanya untuk matriks bujur sangkar

Definisi 1

) (a_ij

A= _{adalah matriks (2x2).}

Determinan

A

adalah: det(A) = a11a22 −a12a21

notasi: 22 21 12 11 ) det( a a a a A = Contoh:

Tentukan determinan matriks-matriks sebagai berikut:

      − = 3 1 2 1 A _      = 8 6 4 3 B Jawab: 5 2 3 3 1 2 1 ) det( = + = − = A 0 24 24 8 6 4 3 ) det(B = = − =

Definisi 1a

A

adalah matriks (3x3). Determinan

A

adalah

32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 ) det( a a a a a a a a a a a a a a a A = − + Definisi 2 ) (a_ij

A= _{adalah matriks (n x n).}

M

_{rsadalah matriks (n-1)x(n-1)} yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-r dan kolom ke-s. Matriks

M

rs dikatakan sebagai matriks minor dari matriks

A

. Selanjutnya: ) det( ) 1 ( i j _ij ij M

A = − + _{yang dikatakan sebagai kofaktor.}

Contoh:

Tentukan minor matriks-matriks , dan untuk matriks 11

M

M₂₃

M

₃₂ A sebagai berikut:           − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1 A

Jawab:

11

M _{diperoleh dengan menghilangkan baris 1 dan kolom 1 pada} matriks A:           − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1 A _{diperoleh ,}      − = 1 5 3 3 11 M

dengan cara yang sama:

          − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1 A _{diperoleh }      − = 5 4 1 1 23 M           − − = 1 5 4 3 3 2 2 1 1 A _{diperoleh }      − = 3 2 2 1 32 M Kofaktor: 18 5 . 3 1 . 3 det ) 1 ( 1 1 ₁₁ 11 = − = + = + _M A 9 ) 4 . 1 5 . 1 ( 1 det ) 1 ( 2 3 ₂₃ 23 = − =− + =− + _M A 7 ) 4 3 ( 1 det ) 1 ( 3 2 ₃₂ 32 = − =− − − = + _M A

Definisi 3

) (a_ij

A = _{adalah matriks (n x n).}

Determinan

A

adalah: det(A) =a11A11−a12A12 +...+a1nA1n

dimana Aij adalah kofaktor aij, 1≤ j ≤ n.

Contoh:

Hitung determinan matriks

A

sebagai berikut:

          − = 1 0 4 3 1 2 1 2 3 A Jawab: 13 13 12 12 11 11 ) det(A =a A +a A +a A 0 4 1 2 1 1 4 3 2 2 1 0 3 1 3 − − − + = =3(1)−2(14)+1(−4)=−29

Contoh:

Hitung determinan matriks

A

sebagai berikut:

            − − − − − = 1 2 3 2 0 1 2 3 1 3 2 1 2 0 2 1 A Jawab: 14 12 11 14 14 13 13 12 12 11 11 2 2 ) det(A =a A +a A +a A +a A = A + A + A 15 2 3 1 2 1 1 3 0 2 3 1 2 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 3 2 11 _{− −} =− − + − − − − = − − − = A 18 1 2 2 0 1 3 1 3 1 12 =− − − − − = A 2 3 2 1 2 3 3 2 1 14 − − − − = A 63 12 36 15 2 2 ) det(A = A₁₁+ A₁₂+ A₁₄ =− − − =−

Soal:

Hitung determinan matriks segitiga bawah sebagai berikut:

            = 1 5 4 1 0 2 3 2 0 0 2 1 0 0 0 3 T solusi: 14 14 13 13 12 12 11 11 ) det(T =t T +t T +t T +t T karena t12 = t13 =t14 = 0, maka 12 1 2 2 3 1 5 0 2 2 3 1 5 4 0 2 3 0 0 2 3 ) det(T = Tt_{11 11} = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

TEOREMA 1

) (t_ij

T = _{adalah matriks segitiga bawah (n x n). Maka,}

nn t t t t ⋅ ⋅ T)= ₁₁⋅ ₂₂⋅ ₃₃ ... det( Contoh: n

I _{adalah matriks identitas (n x n). Hitung determinan .} I_n

Jawab:

Karena

I

dapat dikatakan sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal = 1, maka:

1 1 ... 1 1 1 ) det(I = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

OPERASI ELEMENTER DAN DETERMINAN

TEOREMA 2

Bila

A

adalah matriks (n x n), maka det(AT)₌det(A).

TEOREMA 3

[

A A An

]

A = 1 2 ... adalah matriks (n x n). Bila

B

diperoleh dari

A

melalui pertukaran 2 kolom atau 2 baris, maka:

) det( )

Contoh:

Tentukan determinan dari matriks-matriks sebagai berikut:

          = 3 2 1 4 0 2 1 3 1 A           = 3 1 2 4 2 0 1 1 3 B           = 2 3 1 0 4 2 3 1 1 C           = 2 1 3 0 2 4 3 1 1 F

Dalam hal ini

[

A1 A2 A3

]

A = B =

[

A2 A1 A3

]

[

A1 A3 A2

]

C = F =

[

A3 A1 A2

]

10 ) det(A = 10 ) det( ) det( ) det(B = C =− A =+

[

A2 A1 A3

]

F

[

A3 A1 A2

]

G A→ = → = maka, ) det( ) det(G =− A

dan det(F)= −det(G), selanjutnya

[

det( )

]

det( ) 10 ) det( ) det(F =− G =− − A = A =

TEOREMA 4

Bila

A

adalah matriks (n x n), dan bila adalah matriks (n x n) B yang diperoleh dengan mengalikan kolom ke-j (atau baris ke-j) matriks

A

dengan sebuah skalar c, maka:

) det( ) det(B = c A contoh:       = 22 21 12 11 a a a a A _      = 22 21 12 11 ' a ca a ca A _      = 22 21 12 11 '' ca a ca a A

)

det(

)

(

)

det(

_A

'

₌

_ca

₁₁

_⋅

_a

₂₂

₋

_ca

₂₁

_⋅

_a

₁₂

₌

_c

_a

₁₁

_a

₂₂

₋

_a

₂₁

_a

₁₂

₌

_c

_⋅

_A

) det( ) ( ) det(_A'' _{= ca11⋅a22 −ca21 ⋅a12 = c a11a22 −a21a12 = c⋅ A}

TEOREMA 4 a.

A

adalah matriks (n x n) dan c adalah sebuah skalar, maka: )

det( )

det(cA ₌ cn A

Contoh:

Hitung determinan (3A)

      = 1 4 2 1 A Jawab: 7 ) det(A = − 63 7 3 ) det(_{cA =} 2_{⋅ = −} check:       = 3 12 6 3 3A 63 72 9 ) 3 det( A = − =− Microsoft Equation 3.0