PEMAHAMAN MAHASISWA PENDIDIKAN MATEMATIKA
STKIP PGRI LUMAJANG TERHADAP DEFINISI FUNGSI
Yulia Izza El Milla, Eka Resti Wulan
STKIP PGRI Lumajang
e-mail: [email protected], [email protected]
Abstrak: Tujuan dari penelitian ini adalah mendeskripsikan pemahaman definisi fungsi
mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang. Penelitian dilakukan kepada 169 partisipan. Diperoleh 15 kategori jawaban definisi fungsi dan hanya 15,98% yang dapat menuliskan definisi fungsi dengan tepat. Hal ini menunjukkan bahwa pemahaman mahasiswa terhadap konsep fungsi masih sangat terbatas. Berdasarkan hasil wawancara, diperoleh bahwa pemahaman subjek mengenai konsep fungsi masih pada pemahaman prosedural, misalnya: uji garis vertikal, aturan, diagram panah, dan relasi. Subjek cenderung menjelaskan konsep fungsi dengan menggunakan representasi mental geometri.
Kata Kunci: Definisi, Fungsi, Konsep, Mahasiswa, Matematika, Pemahaman
PENDAHULUAN
Definisi formal yang dapat diterima secara matematis sangat krusial dalam belajar dan pembelajaran matematika (Fujita dan Jones, 2006). Definisi suatu konsep yang diputuskan masuk dalam kurikulum mempengaruhi pendekatan yang digunakan dalam proses pengajaran dan pembelajaran matematika, serta teorema dan bukti yang akan dipelajari (Zaskis dan Leikin, 2008). Definisi suatu konsep dalam matematika dan struktur yang ada di dalamnya serta proses pendefinisiannya merupakan pengetahuan yang penting untuk dimiliki seorang guru matematika (Zaskis dan Leikin, 2008). Pengetahuan ini mempengaruhi keputusan guru dalam bagaimana suatu konsep diajarkan dan gambaran pedagogis mengenai cara yang tepat bagi siswa untuk mempelajari suatu konsep matematika (Zaskis dan Leikin, 2008).
Salah satu konsep penting yang dipelajari dalam matematika adalah konsep fungsi. Konsep fungsi berkaitan dengan berbagai cabang ilmu pengetahuan (Bardini, dkk, 2013; Hagen, 2015; Larue
dan Engelke, 2015). Dalam matematika, konsep fungsi digunakan untuk mengaitkan suatu konsep dengan yang lain juga antara matematika dengan kehidupan di dunia nyata (Bardini, dkk, 2014; Güçler dan Trahan-Martins, 2015).
Dalam kurikulum sekolah menengah, konsep fungsi juga memiliki porsi yang cukup besar (Bardini, dkk, 2013, 2014; Carlson, dkk, 2002; Gagatsis, dkk, 2006). Namun demikian, banyak mahasiswa di tingkat perguruan tinggi memiliki pemahaman yang lemah mengenai fungsi (Bardini, dkk, 2013; 2014; Carlson, dkk, 2002). Kesulitan yang muncul disebabkan oleh kurangnya pemahaman dan/atau adanya miskonsepsi mengenai fungsi yang dipelajari mahasiswa di tingkat sekolah menengah. Banyak sarjana matematika yang mengusai keterampilan tanpa diiringi pemahaman konseptual (Bardini, dkk, 2014). Lemahnya pemahaman dan/atau miskonsepsi yang dimiliki mahasiswa merupakan hal yang tidak mudah diperbaiki pada saat ia sudah berada di tingkat perguruan tinggi. Hal ini
disebabkan mahasiswa sudah terlanjur percaya pada pengetahuan awal yang dimilikinya sehingga mengalami ketidakpercayaan terhadap pikirannya sendiri (Bardini, dkk, 2014). Berbagai penelitian yang dilakukan pada tingkat sekolah menengah dan perguruan tinggi menunjukkan bahwa konsep fungsi merupakan konsep yang sulit dipahami (Clement, 2001). Hasil serupa juga ditemukan pada mahasiswa STKIP PGRI Lumajang. Salah satu contoh, mahasiswa tidak dapat membedakan contoh fungsi dan bukan fungsi.
Salah satu penyebab konsep fungsi merupakan konsep yang sulit untuk dipahami adalah definisi fungsi yang berkembang seiring jalannya waktu hingga mencapai definisi yang saat ini digunakan (Bardini, dkk, 2013; Gagatsis, dkk, 2006). Representasi visual atau penjelasan verbal yang mendahului definisi formal menjadi salah satu penyebab dari kesulitan dalam mempelajari konsep fungsi (Hah Roh, 2008; Kidron dan Picard, 2006). Ketidaksesuaian tugas yang diberikan dengan definisi fungsi yang dipelajari juga menjadi salah satu faktor penyebab sulitnya mempelajari konsep fungsi (Bardini, dkk, 2013; 2014; Gagatsis, dkk, 2006). Perkembangan kemampuan matematis lebih ditujukan pada kemampuan prosedural ketimbang pengetahuan konseptual (Hejný, dkk, 2006).
Penelitian mengenai bagaimana pemahaman mahasiswa terhadap definisi fungsi penting untuk dilakukan karena mahasiswa sebagai calon guru harus mengetahui dengan benar konsep fungsi sebelum konsep tersebut ia ajarkan kepada anak didik nantinya. Untuk dapat membimbing siswa agar memperoleh pengalaman dalam membentuk kembali
definisi, guru harus memiliki kemampuan untuk terlibat dalam proses tersebut (Fujita dan Jones, 2006; Zaskis dan Leikin, 2008). Pengetahuan yang dimiliki guru memiliki peran yang sangat penting dalam membentuk kualitas dari pengajaran (Fujita dan Jones, 2006).
METODE
Penelitian yang dilakukan mendeskripsikan pemahaman partisipan mengenai fungsi. Dengan demikian, data yang dikumpulkan bersifat deskriptif, yaitu bagaimana partisipan mendeskripsikan apa yang mereka ketahui tentang fungsi. Dalam proses pengumpulan data, peneliti bertindak sebagai instrumen utama. Hal ini disebabkan peneliti bertindak sebagai perencana, perancang, pelaksana, pengumpul data, penganalisis data, penarik kesimpulan, dan pembuat laporan penelitian. Dengan demikian, pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif (Cresswell, 2008; 2009).
Subjek dalam penelitian ini adalah mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang mulai dari tahun pertama hingga tahun keempat. Metode pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes dan wawancara, sehingga triangulasi yang digunakan adalah triangulasi metode (Cohen, Manion, dan Morrison, 2007; Creswell, 2012).
Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini mengacu pada teknik analisis data yang dipaparkan oleh Miles dan Huberman (1994) yang terdiri dari: (1) reduksi data, (2) penyajian data, dan (3) penarikan kesimpulan atau verifikasi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pengambilan data melalui instrumen tes dilakukan terhadap 206 mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika. Dari hasil analisis terhadap jawaban tes tulis, dilakukan reduksi menjadi 169 mahasiswa disebabkan data tidak baik dan tidak informatif.
Hasil analisis terhadap jawaban tes tulis dari 169 mahasiswa, diperoleh 15 kategori jawaban mahasiswa mengenai definisi fungsi. Kategori jawaban tersebut antara lain adalah sebagai berikut.
1. Disebut fungsi jika anggota domain memiliki pasangan tepat satu pada anggota kodomain.
2. Fungsi adalah himpunan yang direpresentasikan ke sumbu- dan sumbu- berupa grafik.
3. Fungsi adalah aturan tertentu untuk menentukan daerah hasil.
4. Fungsi adalah hubungan atau relasi. 5. Fungsi adalah batas-batas dari
himpunan.
6. Fungsi adalah rumus matematika .
7. Disebut fungsi jika
memetakan/memasangkan semua anggota domain ke anggota kodomain. 8. Fungsi adalah himpunan penyelesaian
dari persamaan matematika.
9. Disebut fungsi jika menentukan nilai hitung operasi (output).
10. Fungsi adalah relasi dari himpunan ke himpunan dimana setiap anggota dipasangkan tepat satu ke anggota .
11. Disebut fungsi jika anggota kodomain memiliki pasangan tepat satu pada anggota domain.
12. Fungsi adalah persamaan dengan dua variabel ( dan ).
13. Fungsi adalah himpunan pasangan berurutan yang memetakan anggota domain ke anggota kodomain.
14. Disebut fungsi jika dilakukan uji garis vertikal, maka garis vertikal hanya memotong grafik fungsi di satu titik. 15. Fungsi adalah ekspresi dalam variabel
dan konstanta.
Adapun prosentase kategori jawaban siswa mengenai definisi fungsi adalah sebagai berikut.
Tabel 1 Prosentase Kategori Definisi Fungsi Kategori Frekuensi Jawaban Prosentase 1 16 9,47 % 2 7 4,14 % 3 7 4,14 % 4 11 6,51 % 5 2 1,18 % 6 11 6,51 % 7 61 36,09 % 8 6 3,55 % 9 5 2,96 % 10 27 15,98 % 11 3 1,78 % 12 4 2,37 % 13 3 1,78 % 14 1 0,59 % 15 2 1,18 % Tidak Menjawab 3 1,78 % Total 169 100 %
Berdasarkan hasil yang diperoleh, hanya 15,98% mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang yang dapat menuliskan definisi formal fungsi dengan baik. Hal ini menunjukkan bahwa pemahaman mahasiswa mengenai definisi fungsi masih rendah.
Terdapat 10 partisipan yang dipilih sebagai subjek wawancara. Mayoritas subjek yang diwawancara mengenai jawabannya menjelaskan dengan menggunakan bantuan diagram panah. Mayoritas subjek dapat menjelaskan tentang ke-tepat-satu-an pasangan domain kepada kodomain. Namun demikian,
mayoritas subjek tidak menyebutkan kuantor universal yang mengikuti domain.
Pada subjek ID, dengan tipe jawaban (1), ke-tepat-satu-an dijelaskan dengan menggunakan pernyataan logika
matematika jika maka
. Subjek ID menjelaskan definisi fungsi dengan bantuan diagram panah.
Subjek AG, dengan tipe jawaban (11), terbalik dalam menyatakan ke-tepat-satu-an. Subjek AG menyatakan bahwa anggota kodomain harus memiliki pasangan tepat satu pada domain. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang salah, karena yang harus memiliki pasangan tepat satu adalah setiap anggota pada domain. Anggota pada kodomain boleh memiliki pasangan lebih dari satu pada domain jika fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif yang mana setiap anggota kodomainnya memiliki pasangan pada domain.
Subjek AS, dengan tipe jawaban (12), berfokus pada variabel dan . Pemasangan yang dijelaskan oleh subjek AS terjadi pada variabel yang dipasangkan dengan variabel . Hal ini sesuai dengan temuan Bardini, dkk (2014), bahwa salah satu pemahaman mengenai definisi fungsi yang kerap dimiliki mahasiswa adalah pemasangan suatu variabel dengan variabel yang lain. Subjek AS menyebutkan bahwa fungsi dinotasikan oleh . Hal ini sesuai dengan temuan Wilson (1994) dan Bardini, dkk (2014) terhadap mahasiswa yang ia teliti bahwa salah satu pemahaman mengenai definisi fungsi adalah suatu bentuk yang memuat . Subjek AS juga dapat menyebutkan jenis-jenis fungsi satu variabel seperti fungsi linier dan fungsi
kuadrat. Namun demikian, subjek AS salah dalam memberikan contoh bahwa
sebagai fungsi.
Subjek RE, dengan tipe jawaban (13), dapat menyatakan fungsi sebagai himpunan yang berisikan pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang terbentuk memasangkan anggota domain dengan anggota kodomain. Dalam hal ini, subjek RE juga tidak menyebutkan kuantor universal dalam penjelasan definisi fungsinya bahwa pemasangan diberlakukan untuk setiap anggota domain. Subjek NW, dengan tipe jawaban (3), menyatakan bahwa fungsi adalah suatu aturan yang menghasilkan suatu daerah hasil. Hal ini sesuai dengan temuan Bardini, dkk (2014) bahwa pemahaman mengenai definisi fungsi yang kerap dimiliki oleh mahasiswa adalah suatu aturan yang menghasilkan output. Subjek NW mengetahui bahwa suatu fungsi melibatkan domain dan kodomain. Dalam proses wawancara, subjek NW juga dapat menyebutkan bahwa dalam fungsi terdapat suatu pemetaan yang tepat satu. Namun, subjek NW tidak dapat menjelaskan lebih lanjut apa yang ia maksud dengan pemetaan tepat satu. Subjek NW hanya menyatakan bahwa pemataan tersebut menghasilkan suatu daerah hasil.
Subjek SH, dengan tipe jawaban (4), menyatakan bahwa fungsi adalah relasi. Subjek SH menjelaskan apa yang ia maksud dengan relasi dengan menggunakan contoh diagram panah.
Subjek UA, dengan tipe jawaban (14), menyatakan definisi fungsi sebagai uji garis vertikal. Hal ini sesuai dengan temuan Wilson (1994), bahwa salah satu definisi fungsi yang sering digunakan oleh mahasiswa adalah penggunaan uji garis vertikal. Dalam proses wawancara, subjek
UA menjelaskan dengan menggunakan diagram panah. Subjek UA dapat menyebutkan macam-macam fungsi seperti surjektif, injektif, dan bijektif, namun tidak menyebutkan tentang syarat ke-tepat-satu-an.
Subjek YS, dengan tipe jawaban (11), menyatakan definisi fungsi dengan lengkap. Subjek YS dapat menyebutkan poin-poin penting yang harus ada dalam definisi fungsi, yaitu: adanya domain dan kodomain, ke-tepat-satu-an pemasangan anggota domain kepada anggota kodomain, dan kuantor universal yang mengikuti anggota domain.
Berdasarkan temuan yang telah dipaparkan, mayoritas subjek menjelaskan dengan menggunakan diagram panah. Hal ini sesuai dengan temuan Bardini, dkk (2013), bahwa hal tersebut disebabkan menurut sejarahnya, fungsi dijelaskan dalam dua versi, yaitu dalam representasi mental geometri dan representasi aljabar. Oleh sebab itu, tidak sedikit subjek yang menjelaskan definisi fungsi dengan menggunakan representasi mental geometri.
KESIMPULAN DAN SARAN
Diperoleh 15 kategori jawaban yang diberikan oleh mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Lumajang mengenai definisi fungsi, antara lain: (a) disebut fungsi jika anggota domain memiliki pasangan tepat satu pada anggota kodomain, (b) fungsi adalah himpunan yang direpresentasikan ke sumbu- dan sumbu- berupa grafik, (c) fungsi adalah aturan tertentu untuk menentukan daerah hasil, (d) fungsi adalah hubungan atau relasi, (e) fungsi adalah batas-batas dari himpunan, (f) fungsi adalah rumus matematika , (g)
disebut fungsi jika
memetakan/memasangkan semua anggota domain ke anggota kodomain, (h) fungsi adalah himpunan penyelesaian dari persamaan matematika, (i) disebut fungsi jika menentukan nilai hitung operasi (output), (j) fungsi adalah relasi dari himpunan ke himpunan dimana setiap anggota dipasangkan tepat satu ke anggota , (k) disebut fungsi jika anggota kodomain memiliki pasangan tepat satu pada anggota domain, (l) fungsi adalah persamaan dengan dua variabel ( dan ), (m) fungsi adalah himpunan pasangan berurutan yang memetakan anggota domain ke anggota kodomain, (n) disebut fungsi jika dilakukan uji garis vertikal, maka garis vertikal hanya memotong grafik fungsi di satu titik, (o) fungsi adalah ekspresi dalam variabel dan konstanta.
Berdasarkan temuan yang diperoleh, masih perlu dilakukan perbaikan-perbaikan dalam menanamkan pemahaman konsep mengenai definisi fungsi. Pembelajaran bermakna diperlukan sehingga tidak ada lompatan konsepsi yang dialami mahasiswa yang menimbulkan miskonsepsi.
DAFTAR RUJUKAN
Bardini, C., Pierce, R., dan Vincent, J. 2013. First Year University Students’ Understanding of Functions: Over a Decade after the Introduction of CAS in Australian High Schools, What is New? Makalah dipresentasikan di “The 9th Delta Conference on Teaching and Learning of Undergraduate Mathematics and Statictics”, Kiama, Australia, 24-29 November 2013. Dalam “Delta Conference” database, (Online), (http://www.deltaconference.org/docume nts/ program/6B-2-Bardini2013.pdf), diakses 4 April 2017.
Bardini, C., Pierce, R., Vincent, J., dan King, D. 2014. Undergraduate Mathematics Students‟ Understanding of the Concept of Function. IndoMS-JME, 5(2): 85-107. Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S.,
dan Hsu, E. 2002. Applying Covariational Reasoning While Modelling Dynamic Events: A Framework and a Study. Journal for Research in Mathematics Education, 33(5): 352-378.
Clement, Lisa L. 2001. What Do Students Really Know about Functions? Connecting Research to Teaching NCTM, 94(9): 745-748.
Cohen, L., Manion, L., dan Morrison, K. 2007. Research Methods in Education. 6th Edition. New York: Routledge.
Creswell, John W. 2008. Educational Research: Planning, Conducting, and Evaluating Quantitative and Qualitative Research. 3rd Edition. New Jersey: Pearson.
Creswell, John W. 2009. Research Design: Qualitative, Quantitative, and Mixed Methods Approaches. 3rd Edition. California: SAGE.
Creswell, John W. 2012. Educational Research: Planning, Conducting, and Evaluating Quantitative and Qualitative Research. 4th Edition. Boston: Pearson. Fujita, Taro dan Jones, Keith. 2006. Primary
Trainee Teachers’ Understanding of Basic Geometrical Figures in Scotland. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 3, Prague, Republik Czech, 16-21 Juli 2006. Gagatsis, A., Elia, I., Panaoura, A., Gravvani,
K., dan Spyrou, P. 2006. An Empirical Four-Dimensional Model for the Understanding of Function. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 3, Prague, Republik Czech, 16-21 Juli 2006.
Güçler, Beste dan Trahan-Martins, Heather. 2015. A Discursive Approach to Support Teachers’ Development of Student Thinking About Functions. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 18th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, Pittsburgh, Pennsylvania, 19-21 Februari 2015.
Hagen, Caroline. 2015. Undergraduate Students' Understandings of Functions and Key Calculus Concepts. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 18th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education. Pittsburgh, Pennsylvania, 19-21 Februari 2015.
Hah Roh, Kyeong. 2008. Students‟ Image and Their Understanding of Definitions of the Limit of a Sequence. Educational Studies in Mathematics, 69: 217-233.
Hejný, M., Jirotková, D., dan Kratochvílová, J. 2006. Early Conceptual Thinking. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 3, Prague, Republik Czech, 16-21 Juli 2006.
Kidron, Ivy dan Picard, Thierry Dana. 2006. Concept Definition, Concept Image and the Discrete-Continuous Interplay. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Volume 3, Prague, Republik Czech, 16-21 Juli 2006.
Larue, Renee dan Engelke, Nicole. The Influence of Function and Variable on Students' Understanding of Calculus Optimization Problems. Makalah disajikan dalam Proceedings of the 18th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, Pittsburgh, Pennsylvania, 19-21 Februari 2015.
Miles, Matthew B. dan Huberman, A. Michael. 1994. Qualitative Data
Analysis: an Expanded Sourcebook. 2nd Edition. California: SAGE Publication. Wilson, Melvin R. 1994. One Preservice
Secondary Teacher‟s Understanding of Function: the Impact of a Course Integrating Mathematical Content in
Pedagogy. Journal for Research in Mathematics Education, 25(4): 346-370. Zazkis, Rina dan Leikin, Roza. 2008.
Exemplifying Definitions: a Case of a Square. Educational Studies in Mathematics, 69: 131-148.
