BUKU AJAR FISIKA. Ira Puspasari, S.Si.,M.T. Ir. Henry Bambang Setyawan, M.M. Pengarang: INSTITUT BISNIS & INFORMATIKA STIKOM SURABAYA

(1)

BUKU AJAR

“FISIKA”

Pengarang:

Ira Puspasari, S.Si.,M.T.

Ir. Henry Bambang Setyawan, M.M.

(2)

i

PRAKATA

Buku “Fisika” digunakan untuk buku ajar sebagai penunjang dalam perkuliahan fisika di Prodi S1 Sistem Komputer. Buku ini berisikan materi dasar, ringkasan dan contoh soal yang sederhana dan mudah dipahami, sehingga tepat untuk mahasiswa semester awal. Materi yang terdapat di dalam buku ini diantaranya: besaran dan satuan yang merupakan teori dasar belajar fisika, dinamika, kinematika dari gerak benda, hingga teori tentang fisika dasar listrik yaitu penerapan Hukum Ohm, Hukum Kirchoff, serta pengenalan beberapa komponen listrik diantaranya resistor dan kapasitor yang akan berguna sebagai dasar mata kuliah rangkaian listrik serta elektronika. Untuk lebih memahami konsep, pada setiap akhir bab diberikan latihan – latihan soal.

Ucapan Terima kasih

Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan kesehatan, pikiran, dan rahmatNya, sehingga buku ajar “Fisika” dapat terselesaikan. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

1. Kabag Penelitian Akademik, Bapak Tutut Wurijanto, M.Kom. (terimakasih atas kesempatan yang diberikan)

2. Kepada Reviewer, yang telah mereview, memberikan saran dan masukan sehingga buku ini menjadi lebih baik.

3. Rekan – rekan dosen.

4. Terhadap semua pihak yang telah membantu dalam pembuatan buku materi ini. Sebagai penutup, penulis menyadari bahwa penyusunan buku ini masih banyak kekurangan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan masukan, supaya buku berikutnya menjadi buku yang lebih baik dan lebih bermanfaat. Amin.

Surabaya, Agustus 2015

(3)

ii

Daftar Isi

Prakata i

Daftar isi ii

Daftar Gambar iii

Daftar Tabel iv

GBPP v

1. Besaran dan Satuan 1

1.1. Pendahuluan 1

1.2. Dimensi Besaran 3

1.3. Awalan dan Lambang Bilangan Sepuluh Berpangkat 5 1.4. Klasifikasi persamaan difernsial 3

Ringkasan 7

Latihan Soal 8

2. Vektor 9

2.1. Skalar 9

2.2. Vektor 9

2.2.1. Notasi dan penggambaran Vektor 10

2.2.2. Penjumlahan Vektor 11

2.2.3. Pengurangan Vektor 15

2.2.4. Perkalian Dua Vektor 22

2.2.5. Vektor Satuan 24

Ringkasan 27

Latihan Soal 28

3. Kinematika 31

3.1. Perpindahan, Kecepatan, dan Percepatan 31

3.2. Gerak Lurus Beraturan (GLB) 33

(4)

iii

3.4. Gerak Jatuh Bebas (GJB) 35

3.5. Gerak Peluru 39 Ringkasan 45 Latihan Soal 47 4. Dinamika 49 4.1. Hukum Newton 49 4.2. Gaya Gesek 50

4.3. Pemakaian Hukum Newton 52

Ringkasan 57

Latihan Soal 58

5. Usaha, Energi dan daya 61

5.1. Usaha 61

5.1.1. Usaha positif 62

5.1.2. Usaha negatif 63

5.1.3. Usaha dengan nilai nol 63

5.2. Energi 63

5.2.1. Energi Potensial Gravitasi 64

5.2.2. Energi Kinetik 65

5.2.3. Energi Mekanik 65

5.2.4. Hukum Kekekalan Energi 65

5.2.5. Hubungan antara Usaha dan Energi 66

5.2.6. Daya 67

Ringkasan 70

Latihan Soal 71

6. Muatan Listrik dan Hukum Coulomb 72

6.1. Pendahuluan Muatan Listrik 72

6.2. Hukum Coulomb 76

(5)

iv

Latihan Soal 91

7. Medan dan Potensial Listrik 92

7.1. Medan Listrik 92

7.2. Potensial Listrik 94

Ringkasan 101

Latihan Soal 102

8. Hukum Ohm, Energi dan Daya Listrik 103

8.1. Hukum Ohm 103

8.2. Energi 109

8.3. Daya 111

Ringkasan 116

Latihan Soal 118

9. Resistor, Hukum Kirchoff, dan Kapasitor 120

9.1. Resistor 120 9.2. Hukum Kirchoff 127 9.3. Kapasitor 131 Ringkasan 137 Latihan Soal 138 Daftar Pustaka 139 Indeks 140

(6)

v

Daftar Gambar

Gambar 2.1. Metode Jajaran Genjang 12

Gambar 2.2. Ilustrasi segitiga 12

Gambar 2.3. Ilustrasi tegak lurus 13

Gambar 2.4. Uraian Vektor 15

Gambar 2.5. ResultanVektor 16

Gambar 2.6. Pengurangan Vektor 16

Gambar 2.7. Vektor mengapit sudut 45o 17 Gambar 2.8. Vektor mengapit sudut 135o 18 Gambar 2.9. Vektor saling tegak lurus 19

Gambar 2.10. Vektor searah 19

Gambar 2.11. Vektor berlawanan arah 20

Gambar 2.12. Vektor a-b 20

Gambar 2.13. Penguraian vektor 21

Gambar 2.14. Vektor a terhadap vektor b memutar ke kanan 23 Gambar 2.15. Vektor a terhadap vektor b memutar ke kiri 24 Gambar 2.16. Vektor c = -4i – 6j + 2 k 25

Gambar 3.1. Ilustrasi GLB 33

Gambar 3.2. Grafik perpndahan, kecepatan, dan percepatan untuk GLB 33

Gambar 3.3. Ilustrasi GLBB 34

Gambar 3.4. Grafik perpndahan, kecepatan, dan percepatan untuk GLBB 35

Gambar 3.5. Gerak Jatuh Bebas 36

Gambar 3.6. Gerak Peluru 39

Gambar 4.1. Keadaan benda dari segi gerak 52

Gambar 4.2. Posisi benda soal no.1 53

Gambar 4.3. Posisi benda soal no.2 53

Gambar 4.4. Penguraian gaya soal no.3 54

Gambar 4.5. Penguraian gaya soal no.4 55

Gambar 4.6. Penguraian gaya latihan soal no.2 58 Gambar 4.7. Posisi benda latihan soal no.4 59

(7)

vi Gambar 4.8. Posisi benda latihan soal no.5 59 Gambar 4.9. Posisi benda latihan soal no.6 59 Gambar 4.10. Posisi benda latihan soal no.7 60 Gambar 4.11. Posisi benda latihan soal no.8 60

Gambar 6.1. Fenomena petir 73

Gambar 6.2. Fenomena listrik statis 73

Gambar 6.3. Gaya tarik dan tolak pada dua muatan 75 Gambar 6.4. Charles-Augustin de Coulomb 76 Gambar 6.5. Gaya Coulomb antara dua muatan 77 Gambar 6.6. Partikel dengan posisi segaris 78 Gambar 6.7. Partikel dengan posisi tidak segaris 79 Gambar 6.8. Partikel dengan posisi membentuk segitiga 79

Gambar 6.9. Dua partikel tolak menolak 80

Gambar 6.10. Tiga muatan 80

Gambar 6.11. Interaksi antara tiga buah muatan 81 Gambar 6.12. Penguraian gaya pada partikel muatan soal 3. 83 Gambar 6.13.Penguraian gaya pada partikel muatan soal 4. 84 Gambar 6.14. Penggambaran posisi muatan soal no.7 86 Gambar 6.15. Penggambaran posisi muatan soal no.10 88 Gambar 7.1. Medan listrik pada satu muatan 93 Gambar 7.2. Medan listrik pada dua satu muatan 93 Gambar 7.3. Analogi Mekanika dengan Listrik 95

Gambar 7.4. Soal nomor 1 97

Gambar 7.5. Soal nomor 5 97

Gambar 7.6. Posisi muatan latihan soal no.1 102 Gambar 7.7. Posisi muatan latihan soal no.3 102 Gambar 7.8. Posisi muatan latihan soal no.4 102

Gambar 8.1. Rangkaian Listrik 105

Gambar 8.2. Resistor 106

Gambar 8.3. Rangkaian Listrik Sederhana 107 Gambar 9.1. Contoh susunan resistor dalam sebuah rangkaian 121

(8)

vii

Gambar 9.2. Resistor 121

Gambar 9.3. Sumber tegangan bebas 121

Gambar 9.4. Sumber tegangan tak bebas 121

Gambar 9.5. Arus bebas 122

Gambar 9.6. Arus tak bebas 122

Gambar 9.7 Contoh susunan seri resistor 122 Gambar 9.8. Contoh susunan paralel resistor 123 Gambar 9.9. Susunan paralel dua resistor 123

Gambar 9.10. Rangkaian seri 124

Gambar 9.11. Rangkaian seri 125

Gambar 9.12. Rangkaian kombinasi seri dan parallel 125

Gambar 9.13. Rangkaian pembagi arus 127

Gambar 9.14. Arus masuk dan arus keluar 128

Gambar 9.15. Rangkaian loop tertutup 128

Gambar 9.16. Rangkaian pembagi arus 129

Gambar 9.17. Rangkaian Loop tertutup 129

Gambar 9.18. Rangkaian Loop tertutup 130

Gambar 9.19. Simbol kapasitor non polar 132

Gambar 9.20. Simbol kapasitor polar 132

Gambar 9.21. Kapasitor yang disusun secara seri 132 Gambar 9.22. Kapasitor yang disusun secara paralel 133 Gambar 9.23. Kapasitor yang disusun kombinasi 134 Gambar 9.24. Kapasitor yang disusun kombinasi 134 Gambar 9.25. Rangkaian latihan soal no.1 138 Gambar 9.26. Rangkaian latihan soal no.3 138 Gambar 9.27. Rangkaian latihan soal no.4 139 Gambar 9.28. Rangkaian latihan soal no.5 139 Gambar 9.29. Rangkaian latihan soal no.6 129

(9)

viii

Daftar Tabel

Tabel 1.1. Tujuh besaran pokok dalam SI 2 Tabel 1.2. Contoh Besaran Turunan dan Satuannya 2 Tabel 1.3. Lambang Dimensi Besaran Pokok 3 Tabel 1.4. Contoh Dimensi Besaran Turunan 4 Tabel 1.5. Beberapa istilah bilangan sepuluh berpangkat 5

(10)

Buku Ajar “Fisika” 1

BESARAN & SATUAN

Materi : Pendahuluan

Sub Materi : Besaran dan Satuan Dimensi Besaran

Istilah dan Lambang Bilangan Sepuluh Berpangkat

Tujuan : Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian besaran, satuan, besaran pokok, dan besaran turunan, memahami besaran pokok dan satuan yang digunakan dalam Sistem Internasional, mampu menjelaskan tentang dimensi dari suatu besaran, mampu mengonversi dimensi besaran turunan ke dalam dimensi besaran pokok, memahami istilah dan lambang bilangan sepuluh berpangkat serta mengimplementasikan dalam perhitungan-perhitungan.

1.1. Pendahuluan

Dalam ilmu fisika, terdapat banyak sekali besaran dan banyak pula satuan yang digunakan untuk mengukur besaran tersebut. Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur atau dihitung, dinyatakan dengan angka, dan mempunyai satuan. Satuan didefinisikan sebagai pembanding dalam suatu pengukuran besaran. Sebagai contoh sehari-hari, besaran panjang bisa mempunyai satuan

centi meter, meter, killo meter, inci, feet, dan lain-lain, besaran waktu bisa mempunyai satuan sekon atau detik, menit, jam, dan lain-lain, dan besaran suhu bisa mempunyai satuan derajat Celsius, derajat Kelvin, dan lain-lain. Jadi terdapat banyak sekali besaran dan banyak sekali satuan yang digunakan untuk pengukuran suatu benda atau zat. Besaran-besaran tersebut kemudian dikelompokkan menjadi dua macam yaitu besaran pokok dan besaran turunan.

Besaran pokok adalah besaran yang satuannya didefinisikan atau ditetapkan terlebih dahulu, dapat berdiri sendiri, dan tidak tergantung pada besaran lain. Dalam Sistem Internasional (SI) terdapat tujuh besaran pokok, yaitu panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, suhu, jumlah zat, dan intensitas cahaya,

(11)

dengan satuan masing-masing adalah: meter untuk panjang, kilogram untuk massa, sekon atau detik untuk waktu, ampere untuk kuat arus listrik, derajat Kelvin untuk suhu, mol untuk jumlah zat, dan kandela untuk intensitas cahaya. Besaran pokok, simbol besaran, satuan, dan simbol satuan tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.1.

Tabel 1.1. Tujuh besaran pokok dalam SI

Besaran Pokok Simbol Besaran Satuan Simbol Satuan

Panjang L meter m

Massa M killogram kg

Waktu S sekon s

Kuat arus listrik I ampere A

Suhu T derajat kelvin 0K

Jumlah zat N mol mol

Intensitas cahaya Iv kandela cd

Besaran turunan adalah besaran yang dapat diturunkan atau didefinisikan dari besaran pokok, dan satuan besaran turunan disesuaikan dengan satuan besaran pokoknya. Contoh besaran turunan yang sederhana adalah besaran luas yang diturunkan dari besaran pokok panjang, karena luas merupakan hasil kali dari dua besaran panjang yaitu panjang dan lebar, sehingga dalam SI luas mempunyai satuan m2. Contoh besaran turunan yang lain adalah kelajuan, yang diturunkan dari besaran panjang dan besaran waktu, karena kelajuan adalah besaran panjang (jarak) dibagi dengan besaran waktu, sehingga dalam SI kelajuan mempunyai satuan m/s. Contoh beberapa besaran turunan dan satuannya dapat dilihat pada Tabel 1.2.

Tabel 1.2. Contoh Besaran Turunan dan Satuannya

Besaran turunan Satuan Simbol

satuan Satuan dalam besaran pokok Luas meter persegi m2 m2

Volume meter kubik m3 m3

Kelajuan meter per detik

m/s m/s

Percepatan meter per detik kuadrat

(12)

Massa jenis killogram per meter kubik

kg/m3 kg/m3

Gaya Newton N kg.m/s2

Usaha dan energi Joule J kg.m2/s2

Tekanan Pascal Pa kg/m.s2

Daya Watt W kg.m2/s3

Muatan listrik Coulomb C A.s Hambatan listrik Ohm Ω kg.m2/A2.s3 Potensial listrik Volt V kg.m2/A.s3

Dan lain-lain

1.2. Dimensi Besaran

Dimensi adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol (lambang) besaran pokok. Hal ini berarti bahwa dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Apapun jenis satuan besaran yang digunakan, tidak akan berpengaruh terhadap dimensi besaran tersebut. Misalnya besaran panjang yang mempunyai satuan yang berbeda-beda, seperti cm, m, km, inci, dan lain-lain, dimensinya tetap sama, yaitu L.

Dalam ilmu mekanika, besaran pokok panjang, massa, dan waktu merupakan besaran yang berdiri bebas satu sama lain, sehingga besaran pokok panjang, massa, dan waktu dapat berperan sebagai dimensi. Dimensi besaran panjang dinyatakan dengan L, besaran massa dinyatakan dengan M, dan besaran waktu dinyatakan dengan T. Dimensi besaran yang dinyatakan dengan lambang huruf tertentu, biasanya diberi tanda [ ], sehingga besaran panjang mempunyai lambang dimensi [L], besaran massa mempunyai lambang dimensi [M], dan besaran waktu mempunyai lambang dimensi [T]. Tabel 1.3. menunjukkan lambang dimensi besaran pokok.

Tabel 1.3. Lambang Dimensi Besaran Pokok

Besaran pokok Satuan Dimensi

Panjang meter (m) [L]

Massa killogram (kg) [M]

Waktu sekon atau detik (s) [T] Kuat arus listrik ampere (A) [I] Suhu derajat Kelvin (oK) [o]

(13)

Intensitas cahaya kandela (cd) [J]

Dimensi besaran turunan dapat disusun dari dimensi-dimensi besaran pokok, dengan cara menganalisis hubungan antara besaran turunan terhadap besaran pokok, berdasarkan rumus yang berlaku. Contoh dimensi besaran turunan dapat dilihat pada Tabel 1.4.

Tabel 1.4. Contoh Dimensi Besaran Turunan

Besaran Turunan Analisis Dimensi

Luas panjang x panjang [L]2

Volume panjang x panjang x panjang [L]3 Kelajuan panjang / waktu [L][T]-1 Percepatan kelajuan / waktu [L][T]-2 Massa jenis massa / volume [M][L]-3 Gaya massa x percepatan [M][L][T]-2 Usaha gaya x panjang [M][L]2[T]-2 Tekanan gaya / luas [M] [L]-1[T]-2 Daya usaha / waktu [M][L]2[T]-3

Dan lain-lain

Contoh Soal:

1. Tentukan dimensi untuk besaran Berat Jenis

Penyelesaian:

Dimensi besaran dapat ditentukan dengan cara mencari hubungan antara besaran tersebut dengan besaran panjang, besaran massa, dan besaran waktu, sehingga dimensi besaran tersebut dapat dapat dinyatakan dalam [M], [L], dan/atau [T]. Berat jenis adalah perbandingan antara berat dengan volume (Rumus: BJ = W/V). Berat adalah gaya tarik bumi (Rumus: W=mg). Massa mempunyai dimensi [M] dan percepatan gravitasi bumi mempunyai dimensi [L] [T]-2, sedangkan volume mempunyai dimensi [L]3, sehingga dimensi berat jenis adalah:

[berat jenis] = [M][L][T]-2/[L]3 = [M][L]-2[T]-2

Contoh Soal:

2. Tentukan dimensi untuk besaran Energi Kinetik

(14)

Energi kinetik adalah setengah dari perkalian massa dengan kuadrat dari kelajuan (Rumus: Ek=1/2 mv2). ½ adalah bilangan konstan sehingga tidak mempunyai dimensi, massa mempunyai dimensi [M], dan kelajuan mempunyai dimensi [L/T], sehingga dimensi Energi Kinetik adalah:

[Energi Kinetik] = [M] [L/T]2 = [M] [L]2[T]-2

1.3. Awalan dan Lambang Bilangan Sepuluh Berpangkat

Dalam perhitungan-perhitungan yang menggunakan bilangan yang besar dan bilangan yang kecil, serta untuk mempermudah penulisan dan pembacaannya, sering kali digunakan istilah yang menyatakan bilangan sepuluh berpangkat. Tabel 1.5 menunjukkan beberapa istilah yang sering dipakai untuk menyatakan bilangan sepuluh berpangkat.

Tabel 1.5. Beberapa istilah bilangan sepuluh berpangkat

Istilah Lambang Nilai

kilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 peta P 1015 exa E 1018 centi c 10-2 milli m 10-3 mikro µ 10-6 nano N 10-9 pico P 10-12 femto F 10-15 atto A 10-18 Contoh Soal:

1. Sebuah pembangkit listrik dapat menghasilkan daya sebesar 2.500 MWatt. Berapa besar daya tersebut bila dinyatakan dalam Watt, kWatt, dan GWatt?

Penyelesaian:

(15)

= 25 x 108 x 10-3 kW = 25 x 105 kW = 25 x 108 x 10-9 GW = 2,5 GW.

2. Sebuah partikel mempunyai muatan listrik sebesar 240 µCoulomb (µC). Berapa Coulomb muatan partikel tersebut?

Penyelesaian:

240 µC = 240. 10-6 = 24. 10-5 C.

3. Seorang anak mengendarai sepeda dengan kelajuan 12 m/s. Berapa kelajuan sepeda tersebut bila dinyatakan dalam km/jam.

Penyelesaian:

Kelajuan = 2 m/s = 2 x 10-3 km/1/3.600 jam = 7,2 km/jam.

4. Peralatan listrik memerlukan daya 700 watt untuk mengoperasikannya. Berapa kWh energi yang diperlukan untuk mengoperasikan peralatan tersebut selama 10 jam?

Penyelesaian:

kWh adalah satuan energi, yang artinya kilo watt hour (kilo watt jam). Dari soal di atas, energi yang diperlukan = daya x waktu = 700 watt x 10 jam

(16)

RINGKASAN

1. Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur atau dihitung, dinyatakan dengan angka, dan mempunyai satuan.

2. Satuan didefinisikan sebagai pembanding dalam suatu pengukuran besaran.

3. Besaran pokok adalah besaran yang satuannya didefinisikan atau ditetapkan terlebih dahulu, dapat berdiri sendiri, dan tidak tergantung pada besaran lain.

4. Dalam Sistem Internasional (SI) terdapat tujuh besaran pokok, yaitu panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, suhu, jumlah zat, dan intensitas cahaya, dengan satuan masing-masing adalah: meter untuk panjang, kilogram untuk massa, sekon atau detik untuk waktu, ampere untuk kuat arus listrik, derajat Kelvin untuk suhu, mol untuk jumlah zat, dan kandela untuk intensitas cahaya.

5. Besaran turunan adalah besaran yang dapat diturunkan atau didefinisikan dari besaran pokok, dan satuan besaran turunan disesuaikan dengan satuan besaran pokoknya.

6. Dimensi adalah cara penulisan suatu besaran dengan menggunakan simbol (lambang) besaran pokok.

7. Dimensi besaran turunan dapat disusun dari dimensi besaran pokok, dengan cara menganalisis hubungan antara besaran turunan terhadap besaran pokok, berdasarkan rumus yang berlaku.

8. Dalam perhitungan-perhitungan yang menggunakan bilangan yang sangat besar dan bilangan yang sangat kecil, serta untuk mempermudah penulisan dan pembacaannya, dapat menggunakan istilah dan lambang yang menyatakan bilangan sepuluh berpangkat.

(17)

LATIHAN SOAL

1. Tunjukkan bahwa usaha dan energi mempunyai dimensi yang sama. 2. Sebuah mobil dikendarai dengan kecepatan sebesar 80 km/jam. Berapa kecepatan mobil tersebut bila dinyatakan dalam m/s? (22,22 m/s)

3. Suatu benda mempunyai massa jenis 9.600 kg/m3. Nyatakan massa jenis tersebut dalam satuan g/cm3. (9 g/cm3).

4. Foot (kaki) dan inc adalah satuan panjang, dimana 1 foot = 30,48 cm dan 1 inch = 2,54 cm. Bila lebar sebuah trotoar adalah 5 kaki, berapa lebar tersebut bila dinyatakan dalam meter dan dalam inch? (1,52 m), (60 inch).

5. Tekanan adalah gaya per satuan luas, dan satuan dalam SI adalah Newton/m2 (N/m2). Bila 1 N = 105 dyne, nyatakan tekanan yang dialami oleh sebuah benda sebesar 135 N/m2 ke dalam satuan dyne/cm2. (1.350 dyne/cm2).

6. Angstrom (Ǻ) adalah satuan besaran panjang yang pertama kali didefinisikan oleh J.A. Bearden pada tahun 1965 (1 Ǻ = 10-10

m). Bila suatu preparat panjangnya 0,4 Ǻ, berapakah panjangnya bila dinyatakan dalam mikrometer dan dalam nanometer? (4.10-5 µm), (4.10-2 nm).

7. Panjang gelombang cahaya yang dipancarkan oleh sebuah lampu adalah 4 x 10-8m. Nyatakan panjang gelombang tersebut dalam satuan Angstrom. (400 Ǻ).

8. Sebuah flashdisk mempunyai kapasitas penyimpanan data sebesar 8 gigabytes. Nyatakan kapasitas penyimpanan data tersebut dalam megabytes dan dalam terabytes. (8.103 Mbytes), (8.10-3 Terabytes).

(18)

VEKTOR

Materi : Vektor Sub Materi: - Skalar

- Pengertian Vektor

- Notasi dan Penggambaran Vektor - Penjumlahan Vektor

- Pengurangan Vektor - Perkalian Vektor - Vektor Satuan Tujuan

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan dan membedakan besaran skalar dan besaran vektor , memahami operasi vektor (penjumlahan, pengurangan, dan perkalianvektor), dan memahami vektor satuan serta operasinya.

Pada Bab I telah dibahas tentang besaran dan satuan, di mana dalam ilmu fisika terdapat banyak sekali besaran dan satuan yang digunakan untuk analisis, implementasi, dan perhitungan-perhitungan. Ditinjau dari segi besar dan arah, besaran-besaran tersebut dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai besaran saja, disebut dengan skalar, dan besaran yang mempunyai nilai besaran serta arah, disebut dengan vektor.

2.1. Skalar

Skalar adalah besaran yang mempunyai nilai besaran saja dan tidak mempunyai arah. Contoh skalar adalah panjang, volume, massa, waktu, kelajuan, dan lain-lain. Sebagai contoh, panjang tali = 5 m, volume air = 10 m3, massa benda = 12 kg, waktu tempuh = 6 jam, dan kelajuan mobil = 50 km/jam, yang kesemuanya hanya mempunyai nilai besaran saja dan tidak ada arahnya.

2.2. Vektor

(19)

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai besaran dan mempunyai arah. Contoh vektor adalah perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, tekanan, dan lain-lain. Sebagai contoh: a. Sebuah benda mengalami perpindahan sejauh 2 m, arah ke utara. b. Seoarang anak mendorong meja dengan gaya 10 Newton, arah ke depan. c. Mobil berjalan dengan kecepatan sebesar 50 km/jam, arah ke timur (besarnya kecepatan = kelajuan). d. Sebuah benda bergerak dipercepat dengan percepatan sebesar 10 m/s2, arah ke sumbu-X positif. e. Tekanan air sebesar 5 Newton/m2, arah ke atas. Contoh-contoh tersebut memperlihatkan bahwa vektor mempunyai besar dan mempunyai arah.

2.2.1. Notasi dan penggambaran Vektor

Vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai titik pada pangkalnya. Panjang anak panah menyatakan besarnya vektor, arah anak panah menyatakan arah vektor, dan titik pangkal anak panah menyatakan titik dimana vektor tersebut bekerja.

PQ

Pada gambar vektor PQ, panjang PQ menyatakan besarnya vektor PQ, arah anak panah menyatakan arah vektor PQ, dan titik P adalah titik dimana vektor PQ bekerja.

Jadi apabila vektor PQ yang besarnya 3 Newton digambarkan dengan anak panah sepanjang satu satuan, maka vektor AB yang besarnya 6 Newton digambarkan dengan anak panah sepanjang dua satuan.

Catatan:

a. Dua vektor dikatakan sama apabila dua vektor tersebut besarnya sama dan arahnya sama (searah).

a = b

b. Dua vektor dikatakan tidak sama apabila: - Besarnya sama, arahnya tidak sama

(20)

a ≠ b

- Besarnya tidak sama, arahnya sama.

a ≠ b

- Besarnya tidak sama, arahnya tidak sama

a ≠ b

c. Suatu vektor dikatakan negatif dari vektor yang lain, apabila kedua vektor tersebut besarnya sama dan arahnya berlawanan.

` a = - b

2.2.2. Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan sehingga menghasilkan jumlahan dari beberapa vektor tersebut, yang disebut dengan resultante vektor (resultan). Beberapa metode dapat digunakan untuk menjumlahkan beberapa vektor, yaitu: Metode Jajaran Genjang, Metode Segi Siga, Metode Polygon, dan Metode Uraian.

A. Metode Jajaran Genjang

Metode jajaran genjang ini digunakan untuk menjumlahkan dua vektor, dan akan menghasilkan resultan dari kedua vektor tersebut. Perhatikan gambar 2.1.      A B R

(21)

Gambar 2.1. Metode Jajaran Genjang

Untuk mencari besarnya R atau R, digunakan rumus trigonometri.

 cos 2 2 2 AB B A R   dimana θ adalah sudut apit antara kedua vektor yang dijumlahkan (



Adan



B). Arah resultan R ditentukan dengan menggunakan rumus sinus:

   sin sin sin ₂ ₁ R B A _ _

Rumus tersebut diperoleh dari:

) 180 sin( sin sin 0 1 2       R B A

karena sin (1800-θ) = sin θ, maka

   sin sin sin ₂ ₁ R B A  

Lihat gambar 2.2, ilustrasi perolehan rumus di atas:

Gambar 2.2. Ilustrasi segitiga

Dari rumus tersebut, θ1 (sudut apit antara A dan R) atau θ2 (sudut apit antara B dan R) dapat dihitung, dan dapat digunakan untuk menentukan arah R, terhadap vector A atau terhadap vektor B.

Keadaan khusus: θ1 θ2 θ P  A  R  B θ1 θ2 1800-θ

(22)

Apabila vektor A tegak lurus dengan vektor B, pada gambar 2.3. maka:

90 cos 2 2 2 AB B A R    0 . 2 2 2 AB B A R   2 2 B A R 

Gambar 2.3. Ilustrasi tegak lurus

Apabila vektor A searah dengan vektor B, maka:

0 cos 2 2 2 AB B A R    1 . 2 2 2 AB B A R    B A R 

Apabila vektor A berlawanan arah dengan vektor B, maka:

180 cos 2 2 2 AB B A R   1 . 2 2 2     A B AB R B A R 

B. Metode Segi Tiga

Metode segi tiga digunakan untuk menjumlahkan dua vektor secara grafis, dengan cara menempelkan titik pangkal vektor yang satu (A) ke ujung vektor yang lain (B). Resultan kedua vektor tersebut (R) diperoleh dengan cara menarik anak panah dari titik pangkal B ke ujung vektor A.

 A _B  A P  R  B

(23)

Buku Ajar “Fisika” 14  A  B

+

menghasilkan resultan:

C. Metode Polygon

Metode polygon digunakan untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor secara grafis, dengan cara menempelkan titik pangkal vektor yang satu (B) ke ujung vektor yang lain (A), kemudian titik pangkal vektor yang lainnya lagi ditempelkan pada ujung vektor B, dan seterusnya.. Resultan kedua vektor-vektor tersebut (R) diperoleh dengan cara menarik anak panah dari titik pangkal A ke ujung vektor yang terakhir dijumlahkan.

menghasilkan resultan:

+ + +

D. Metode Uraian

Metode uraian digunakan untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan menggunakan koordinat, dan dalam hal ini akan digunakan koordinat sumbu-x dan sumbu-y atau dua dimensi. Caranya adalah dengan menguraikan masing-masing vektor ke arah sumbu-x dan ke arah sumbu-y, atau menjadi komponen sumbu-x dan komponen sumbu-y, kemudian masing-masing dijumlahkan, sehingga menghasilkan resultan untuk vektor-vektor komponen sumbu-x (Rx) dan vektor-vektor komponen sumbu-y (Ry). Dengan menjumlahkan Rx dan Ry maka akan diperoleh resultan (R), yang merupakan hasil akhir dari penjumlahan vektor-vektor. Arah resultan dapat ditentukan dengan

 A  B p R  A  B  C  D  A  B  C  D P  R

(24)

mencari sudut apit (θ) antara R dengan sumbu-x, dengan menghitung tangen θ, yaitu tg θ = Ry/Rx, θ = arc tg Ry/Rx.

Komponen arah sumbu-x: ∑ Rx = ax – b – dx Komponen arah sumbu-y: ∑ Ry = ay – c – dy

R = , sedangkan arah dari R bisa diperoleh dari

Rx Ry tg     Rx Ry arc     Perhatikan gambar 2.4. uraian vektor berikut ini:

Gambar 2.4. Uraian Vektor

Perhatikan tanda positif dan tanda negatif dari penjumlahan vektor-vektor pada sumbu-x dan pada sumbu-y. Pada umumnya vektor yang ke arah kanan sumbu-x diberi tanda positif dan vektor yang ke arah kiri sumbu-x diberi tanda negatif. Demikian pula vektor yang ke arah atas sumbu-y diberi tanda positif dan vektor yang ke arah bawah sumbu-y diberi tanda negatif.

2.2.3. Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor prinsipnya sama dengan penjumlahan vektor, tetapi karena vektor adalah besaran yang mempunyai arah maka tanda minus (-) pada vektor menunjukkan penjumlahan (+) namun arahnya berlawanan. Jadi A - B = A + (-B). Perhatikan gambar 2.5 resultan vektor, dan pengurangan vektor 2.6..

θ1 θ ay  a x y  dx  d y d   c  ax  a

(25)

Gambar 2.5. ResultanVektor

Gambar 2.6. Pengurangan Vektor

) 0 180 cos( 2 2 2     A B AB R ) cos ( 2 2 2      A B AB R ) (cos 2 2 2  AB B A R   Contoh Soal:

1. Vektor a dan b besarnya masing-masing 30 N dan 40 N. Tentukan besar dan arah resultan a dan b, apabila kedua vektor tersebut adalah:

a. Mengapit sudut 45o b. Mengapit sudut 135o c. Saling tegak lurus d. Searah

e. Berlawanan arah

f. Tentukan besar dan arah a - b θ1 θ2 θ P  A  R  B θ 180o-θ  A P  B     A B R

(26)

Penyelesaian:

a. Apabila kedua vektor mengapit sudut 45o, maka: a = 30 N

b = 40 N θ = 450

Gambar 2.7. Vektor mengapit sudut 45o ) (cos 2 2 2  AB B A R   0 2 2 45 cos . 40 . 30 . 2 40 30    R N R R 78 , 64 7 , 0 . 2400 1600 900     Arah R:     sin 78 , 64 sin 30 sin sin 2 2   R a 0 2 2 0 2 92 , 18 32 , 0 sin 78 , 64 ) 45 .(sin 30 sin      

Maka arah R terhadap vektor B adalah 18,920 b. Apabila kedua vektor mengapit sudut 135o, maka:

a = 30 N b = 40 N θ = 1350  a _R P  b 1  2  

(27)

Gambar 2.8 Vektor mengapit sudut 135o ) (cos 2 2 2  AB B A R   0 2 2 135 cos . 40 . 30 . 2 40 30    R N R R 34 , 28 ) 7 , 0 .( 2400 1600 900      Arah R:     sin 34 , 28 sin 30 sin sin 2 2   R a 0 2 2 0 2 59 , 48 75 , 0 sin 34 , 28 ) 135 .(sin 30 sin      

Maka arah R terhadap vektor B adalah 48,590 c. Apabila kedua vektor saling tegak lurus, maka:

a = 30 N b = 40 N θ = 900  a R  b 1  2  

(28)

Gambar 2.9 Vektor saling tegak lurus

) (cos 2 2 2  AB B A R   0 2 2 90 cos . 40 . 30 . 2 40 30    R N R R 50 1600 900    Arah R:     sin 50 sin 30 sin sin 2 2   R a 0 2 2 0 2 87 , 36 6 , 0 sin 50 ) 90 .(sin 30 sin      

Maka arah R terhadap vektor B adalah 36,870 d. Apabila kedua vektor searah, maka:

a = 30 N b = 40 N θ = 00

Gambar 2.10 Vektor searah

N R b a R 70 40 30     Arah R ke kanan  a _R  b 1  2    a  b

(29)

e. Apabila kedua vektor berlawanan arah, maka: a = 30 N

b = 40 N

θ = 1800

Gambar 2.11 Vektor berlawanan arah

        N R N R b a R 10 10 40 30

Tanda negatif berarti arah R ke kiri f. a - b

a = 30 N b = 40 N

Gambar 2.12 Vektor a-b

) (cos 2 2 2  AB B A R   0 2 2 45 cos . 40 . 30 . 2 40 30    R N R R 78 , 64 7 , 0 . 2400 1600 900    

2. Pada koordinat sumbu-x dan sumbu-y terdapat vektor-vektor sebagai berikut: vektor a sebesar 4 N arah ke sumbu-y positif, vektor b sebesar 6 N

 b _a  b  b  R  a 

(30)

arah ke sumbu-x negatif, vektor c sebesar 8 N membentuk sudut 30o dengan sumbu x-positif, dan vektor d sebesar 6 N membentuk sudut 135o dengan sumbu x-positif. Tentukan besar dan arah resultan dari keempat vektor tersebut.

Gambar 2.13 Penguraian vektor a = 4 N b = 6 N c = 8 N d = 6 N θ = 300 θ = 1350 Arah sumbu x: N Rx b d c Rx b d c Rx o o x x 17 , 5 6 135 cos . 6 30 cos . 8 cos . cos . ₁ ₂          



     Arah sumbu y: N Rx d c Ry d c a Ry o o y y 76 , 3 6 135 sin . 6 30 sin 8 4 sin . sin . 4 ₁ ₂           



     y x  a  c  b  d  y d  x d  y c  x c 1  2 

(31)

Buku Ajar “Fisika” 22 2 2 y x R R R   N R  5,172 3,762 6,39 Arah R: o Ry Rx tg 98 , 38 81 , 0 39 , 6 17 , 5    



 

Maka arah R adalah 38,98o

2.2.4. Perkalian Dua Vektor

Dalam pembahasan perkalian dua vektor ini, akan dibahas perkalian dua vektor untuk dua dimensi. Dalam perkalian dua vector, dikenal dua jenis, yaitu Perkalian Skalar antara dua vektor dan Perkalian Vektor antara dua vektor.

A. Perkalian Skalar

Jika terdapat dua vektor a dan b, dengan sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah θ, maka perkalian skalar antara vektor a dan b besarnya adalah:

a.b = a b cos θ

Hasil dari perkalian skalar antara dua vektor adalah besaran skalar, sehingga hanya mempunyai besar saja dan tidak mempunyai arah. Perkalian skalar antara dua vektor disebut juga dengan Perkalian Titik (Dot Product).

B. Perkalian Vektor

Jika terdapat dua vektor a dan b, dengan sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah θ, maka perkalian vektor antara vektor a dan b besarnya adalah:

a x b = a b sin θ

Hasil dari perkalian vektor antara dua vektor adalah besaran vektor, sehingga selain mempunyai besar, juga mempunyai arah. Perkalian vektor antara

(32)

dua vektor disebut juga dengan Perkalian Titik (Cross Product). Vektor hasil perkalian a x b mempunyai arah sesuai dengan arah putar sekrup, sebagai berikut:

- Jika vektor a terhadap vektor b memutar ke kanan (searah jarum jam), maka hasil a x b adalah vektor yang arahnya tegak lurus ke bawah (besarnya adalah ab sin θ). Demikian pula sebaliknya, hasil b x a adalah vektor yang arahnya tegak lurus ke atas (besarnya adalah ba sin θ). Perhatikan gambar 2.14.

Gambar 2.14 Vektor a terhadap vektor b memutar ke kanan

- Jika vektor a terhadap vektor b memutar ke kiri (berlawanan arah jarum jam), maka hasil a x b adalah vektor yang arahnya ke atas (besarnya adalah ab sin θ). Demikian pula sebaliknya, hasil b x a adalah vektor yang arahnya ke bawah (besarnya adalah ba sin θ).

 a  b x  a x  b   b  a

(33)

Gambar 2.15 Vektor a terhadap vektor b memutar ke kiri

2.2.5. Vektor Satuan

Vektor Satuan adalah vektor yang menunjukkan satu satuan dan menunjukkan arah dari vektor dalam sistem koordinat x,y, dan z.. Dalam system koordinat x,y, dan z, dikenal tiga vektor satuan, yaitu i, j, dan k. Vektor satuan i menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-x, vektor satuan j menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-y, dan vektor satuan k menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-z.

Sebagai contoh, apabila dituliskan a = 6 i, artinya adalah bahwa vektor a besarnya 6 satuan dan arahnya ke sumbu-x positif. Bila dituliskan b = 6 i + 10 j, artinya adalah bahwa b tersusun dari komponen sumbu-y ang besarnya 6 satuan, arah ke sumbu sumbu-x, dan komponen vektor yang besarnya 10 satuan, arah ke sumbu-y positif. Bila dituliskan c = -4i – 6j + 2 k, artinya adalah bahwa c tersusun dari komponen vektor yang besarnya 4 satuan, arah ke sumbu-x negatif, komponen vektor yang besarnya 6 satuan, arah ke sumbu-y negatif, dan komponen vektor yang besarnya 2 satuan, arah ke sumbu-z positif. Perhatikan gambar 2.16.  a  b x  a x  b   b  a

(34)

Gambar 2.16 Vektor c = -4i – 6j + 2 k

Dari uraian di atas dapat dirumuskan perkalian skalar dan perkalian vektor antara dua vektor satuan sebagai berikut:

i.i = j.j = k.k = 1.1 cos 00 = 1 i.j = j.k = k.i = 1.1 cos 900 = 0 i x i = j x j = k x k = 1.1 sin 00 = 0

i x j = 1.1 sin 900 = 1, arah ke ke sumbu-z sehingga i x j = k j x k = 1.1 sin 900 = 1, arah ke ke sumbu-x sehingga j x j = i k x i = 1.1 sin 900 = 1, arah ke ke sumbu-y sehingga k x i = j Jadi:

i x j = k j x i = - k j x k = i dan k x j = - i k x i = j i x k = - j Bila:

a = a1i + a2j + a3k b = b1i + b2j + b3k

di mana a1, a2, a3, b1, b2, dan b3 adalah bilangan konstan, maka:

a x b = (a1i + a2j + a3k) x (b1i + b2j + b3k), bila dihitung dengan menggunakan rumus perkalian vektor satuan, akan diperoleh hasil sebagai berikut: y x        i j k c 4 6 2 z      i j b 6 10    i a 6

(35)

a x b = (a1i x b1i + a1i x b2j + a1i x b3k) + (a2j x b1i + a2j x b2j + a2j x b3k) + (a3k x

b1i + a3k x b2j + a3k x b3k)

= ( 0 + a1b2k + a1b3j) + (a2b1k) + 0 + (a2b3i)) + (a3b1j + (-a3b2i) + 0)

= (a2b3i – a3b2i) + (-a1b3j + a3b1j) + (a1b2k - a2b1k)

= (a2b3 – b2a3) i – (a1b3 – b1a3) j + (a1b2 – b1a2) k

Hasil di atas jika disusun dalam bentuk determinan, akan diperoleh sebagai berikut:

a x b = i j k = i a2 a3 + j a1 a3 + k a1 a2 a1 a2 a3 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3

(36)

RINGKASAN

1. Skalar adalah besaran yang mempunyai nilai besaran saja dan tidak mempunyai arah.

2. Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai besaran dan mempunyai arah.

3. Pada vektor-vektor dapat dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor.

4. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode jajaran genjang, metode segitiga, metode polygon, dan metode uraian pada sistem koordinat X dan Y.

5. Pengurangan vektor adalah sama dengan penjumlahan vektor, tetapi dengan vektor negatifnya.

6. Perkalian vektor ada dua, yaitu perkalian skalar (dot product) dan perkalian vektor (cross product), dimana hasil perkalian skalar adalah besaran skalar dan hasil perkalian vektor adalah besaran vektor.

7. Vektor Satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan dan menunjukkan arah vektor dalam sistem koordinat X, Y, dan Z. Dalam sistem koordinat X, Y, dan Z, dikenal tiga vektor satuan, yaitu i, j, dan k.

8. Vektor satuan i menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-X, vektor satuan j menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-Y, dan vektor satuan k menunjukkan bahwa arah vektor adalah ke sumbu-Z.

9. Pada vektor satuan i,j, dan k berlaku operasi perkalian vektor yaitu dot product dan cross product.

10.Hasil dot product vektor satuan adalah: i.i = j.j = k.k = 1 dan i.j = j.k = k.i = i.i = 0

11.Hasil cross product vektor satuan adalah: i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = k, j x j = i, dan k x i = j

(37)

LATIHAN SOAL

1. Vektor p dan vektor q terletak pada sebuah bidang datar, sebagai berikut: a. Berapa besar p x q, dan ke mana arahnya?

b. Berapa besar q x p, dan ke mana arahnya?

2. Pada koordinat x, y, dan z terdapat vektor a, vektor b, dan vektor c, sebagai berikut:

a. Berapa besar a x b, dan ke mana arahnya? b. Berapa besar b x c, dan ke mana arahnya? c. Berapa besar c x a, dan ke mana arahnya? 3. Terdapat vektor a dan vektor b sebagai berikut:

a = 3i + 4j b = 3j + 6k

Hitunglah berapa a x b?

4. Terdapat vektor p dan vektor q sebagai berikut: p = 4i + 5j – 10k

q = 3i - 4j + 3k Hitunglah berapa p x q

5. Dua vektor besarnya masing-masing 100 satuan dan 100 satuan. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor tersebut, apabila kedua vektor tersebut adalah:

a. Mengapit sudut 60o

b.

Mengapit sudut 120o c. Saling tegak lurus d. Searah

e. Berlawanan arah

Tentukan pula besar dan arah untuk hasil pengurangan kedua vektor tersebut.

(38)

6. Bila diketahui vektor a = 2 satuan, vektor b = 4 satuan, vektor c = 6 satuan, α = 60o

, tentukan besar dan arah resultan ketiga vektor tersebut. (2,54 N), arah ke sb Y+

7. Bila diketahui vektor a = 20 satuan, vektor b = 6 satuan vektor c = 2 satuan, dan α = 60o, tentukan besar dan arah resultan ketiga vektor tersebut.

8. Pada koordinat sumbu-x dan sumbu-y terdapat vektor-vektor sebagai berikut: vektor p sebesar 20 N arah ke sumbu-x positif, vektor q sebesar 16 N arah ke sumbu-x positif, vektor r sebesar 10 N membentuk sudut 45o dengan sumbu x-positif, vektor s sebesar 10 N membentuk sudut 180o dengan sumbu x-positif, dan vektor t membentuk sudut 315o dengan sumbu x-positif. Tentukan besar dan arah resultan dari kelima vektor tersebut.

9. Gambar berikut menunjukkan vektor a dan vektor b yang keduanya terletak pada bidang buku (kertas) ini. Tentukan besar dan arah dari a x b dan b x a. Berapa besar dari dot product antara kedua vektor tersebut? 10.Pada koordinat x, y, dan z terdapat vektor p, vektor q, dan vektor r, sebagai

berikut:

a. Berapa besar q x p, dan ke mana arahnya? b. Berapa besar r x q, dan ke mana arahnya? c. Berapa besar p x r, dan ke mana arahnya? d. Berapa besar p x p, dan ke mana arahnya? e. Berapa besar p . r?

f. Berapa besar p . p?

(39)

p = 4i + j q = 5j - 2k r = -5i – 4k

a. Berapa p x q dan berapa p . q b. Berapa q x r dan berapa q . r c. Berapa r x p dan berapa r . p

12.Terdapat vektor a dan vektor b sebagai berikut: a = i - 10j – 20k

b = -5i - 2j + k

(40)

KINEMATIKA

Materi : Kinematika Sub Materi : - Perpindahan

- Kecepatan - Percepatan

- Gerak Lurus Beraturan

- Gerak Lurus Berubah Beraturan - Gerak Dengan Percepatan Konstan - Gerak Jatuh Bebas

- Gerak Peluru

Tujuan : Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian kinematika, mampu menjelaskan pengertian perpindahan, kecepatan, dan percepatan, memahami gerak lurus beraturan. gerak lurus berubah beraturan, gerak dengan percepatan konstan, gerak jatuh bebas, dan gerak peluru.

Kinematika adalah bagian dari ilmu mekanika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan penyebab gerak tersebut. Partikel adalah benda yang ukurannya amat kecil, diasumsikan hanya bergerak translasi tanpa rotasi, dan akan digunakan sebagai suatu model yang akan diamati pada pembahasan kinematika ini

3.1. Perpindahan, Kecepatan, dan Percepatan

Perpindahan, Kecepatan, dan Percepatan, semuanya adalah besaran vektor sehingga masing-masing mempunyai besar dan arah. Tetapi kalau besarnya perpindahan, yang biasa disebut dengan jarak tempuh adalah besaran skalar. Demikian pula, besarnya kecepatan yang biasa disebut dengan kelajuan adalah besaran skalar.

- Perpindahan

(41)

Apabila suatu partikel bergeser dari posisi 1 (posisi awal) ke posisi 2 (posisi sekarang), maka perpindahan adalah perubahan posisi yang dialami oleh partikel tersebut, tanpa memperhatikan lintasan atau jalan yang dilalui oleh partikel tersebut. Posisi suatu titik dinyatakan dengan suatu vektor terhadap titik

pusat koordinat. Jika posisi titik awal dinyatakan dengan vektor

 1

r dan posisi titik sekarang dinyatakan dengan vektor

 2

r , maka perpindahan didefinisikan sebagai

 

 1 2 r

r . Gerak benda dalam suatu ruang dinyatakan dengan vektor perpindahan sebagai berikut:       xi y j zk r - Kecepatan

Kecepatan partikel P adalah perpindahan yang dilakukan oleh partikel P tersebut dibagi dengan waktu yang diperlukan oleh partikel P untuk melakukan perpindahan. Dengan demikian kecepatan rata-rata partikel P selama selang waktu ∆t, adalah: t r V_rata_rata     

Kecepatan sesaat pada saat waktu t dapat dituliskan:

dt r d t r V t ins        0 lim - Percepatan

Percepatan yang dialami oleh partikel P, adalah perubahan kecepatan dibagi dengan waktu yang diperlukan oleh partikel P untuk perubahan kecepatan tersebut. Dengan demikian percepatan rata-rata yang dialami partikel P, adalah:

t v a_rata _rata     

(42)

Buku Ajar “Fisika” 33 dt v d t v a t ins        0 lim

3.2. Gerak Lurus Beraturan (GLB)

Gerak lurus beraturan (GLB) adalah gerak benda titik yang membuat lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tetap, baik besar dan arahnya. Oleh karena itu, pada GLB ini percepatan benda yang bergerak adalah nol. GLB dapat diilustrasikan pada gambar 3.1. dan gambar 3.2.

t1=t2

Gambar 3.1. Ilustrasi GLB

Gambar 3.2. Grafik perpndahan, kecepatan, dan percepatan untuk GLB

Karena partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 0, maka diperoleh persamaan: 0 0 x 1 t t2 1 x 2 x x t v t a t

(43)

Buku Ajar “Fisika” 34 0   dt dv a berarti v adalah suatu bilangan konstan.

Dari persamaan: vdt dx dt dx v  

Jika pada saat t = 0, posisi partikel berada pada x0, dan pada saat t = t, posisi partikel berada pada x(t), maka dapat dituliskan persamaan:

vt x t x vt x t x vdt dx vdt dx t xt x      



0 0 0 0 ) ( ) (

3.3. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Adalah gerak benda titik yang membuat lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tidak sama besar karena adanya percepatan yang tetap, sedangkan arah gerak tetap. Oleh karena itu, pada GLBB ini percepatan benda yang bergerak tetap, bisa positif (dipercepat) dan bisa negatif (diperlambat). GLBB dapat diilustrasikan pada gambar 3.3 dan gambar 3.4. t1≠t2 Gambar 3.3. Ilustrasi GLBB 0 0 x 1 t x1 t₂ x₂

(44)

Gambar 3.4. Grafik perpndahan, kecepatan, dan percepatan untuk GLBB Gerak partikel dengan kecepatan konstan

Apabila suatu partikel bergerak lurus dengan percepatan konstan (a bilangan konstan), maka: adt dv dt dv a  

Bila pada saat t = 0, kecepatan awal partikel adalah V0, dan pada saat t = t, kecepatan partikel adalah v(t), maka:

at v t v at vo vt adt dx adt dv t vt v      



0 0 0 ) ( Dari persamaan: vdt dx dt dx v  

Jika pada saat t = 0, posisi partikel berada pada x0, dan pada saat t = t, posisi partikel berada pada x(t), maka dapat dituliskan persamaan:

2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 ) ( 2 1 ) ( . at t v x t x at t v x t x tdt a v vdt dx vdt dx t t xt x          



3.3. Gerak Jatuh Bebas (GJB)

x t v t a t

(45)

Gerak jatuh bebas dapat dianggap sebagai kondisi khusus dari gerak lurus pada sumbu-y. Pada gerak jatuh bebas diperoleh kondisi: vo = 0, karena benda jatuh bebas (tanpa kecepatan awal), a = percepatan gravitasi bumi (g) dan arahnya menuju ke pusat bumi (ke bawah).

Gambar 3.5. Gerak Jatuh Bebas

Gambar 3.5 adalah benda jatuh bebas dari ketinggian h di atas tanah, maka diperoleh persamaan gerak lurus berubah beraturan untuk gerak jatuh bebas, sebagai berikut:

Titik A

Pada titik A(titik awal jatuh), kecepatan benda adalah nol, percepatan (a) = percepatan gravitasi bumi (g), arah ke pusat bumi (ke bawah).

Titik B

Pada titik B (antara titik awal dengan tanah), maka percepatan, kecepatan, dan posisi benda adalah sebagai berikut:

Percepatan: a=g, arah ke bawah.

Kecepatan: V_B  g.t_B Posisi: 2 0 2 1 .tB gtB V AB  2 2 1 0 gt_B AB  A B C h 0   v g a  

(46)

Jadi posisi benda berada pada jarak 2 2 1

B

gt dari titik awal jatuh bebas,

dimana tB adalah waktu yang diperlukan benda sampai ke titik B.

Titik C

Pada titik C (titik dipermukaan tanah), maka waktu tempuh, percepatan, kecepatan, dan posisi benda adalah sebagai berikut:

Waktu tempuh:

Waktu tempuh untuk mencapai permukaan tanah:

g h tc g h t gt t V h c 2 2 2 1 2 2 0    

dimana tc adalah waktu yang diperlukan benda dari titik awal jatuh bebas sampai ke tanah dan h adalah jarak titik awal jatuh bebas dengan permukaan tanah. Percepatan: a= g, arah ke bawah Kecepatan: VL = g.tc = g h g 2 Posisi: 2 2 1 c gt h

Apabila waktu tc bisa diukur, maka h bisa diketahui nilainya.

Mari kita lihat beberapa contoh soal berikut ini:

(47)

a. Berapakah laju bola sesaat sebelum sampai di tanah? (31,4 m/s). b. Berapakah waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah? (3,2

s). Diketahui (g=9,8 m/s2). Jawab:

t = 2h/g= (2 (50)/9,8)1/2 = 3,2 s v = gt = 9,8 (3,2) = 31,4 m/s.

2. Seorang pemain ski dari keadaan diam meluncur ke bawah sejauh 9 m dalam waktu 3 detik. Setelah berapa waktu orang itu mencapai kecepatan 24 m/s. Anggaplah orang itu mengalami percepatan tetap. (12 s). Jawab: x = vot + ½ at2 9 = 0 + ½ a 32 a = 2 m/s2 v = vo + at 24 = 0 + 2t t = 12 s.

3. Batu dilempar ke atas dengan kecepatan 20 m/s, dan ditangkap lagi sewaktu turun di titik 5,0 m di atas titik awalnya.

a. Hitunglah kecepatan batu pada saat ditangkap. (17,3 m/s). b. Hitung juga waktu perjalanan batu. (3,8 s).

Pada saat batu sampai titik tertinggi, kecepatannya = 0, sehingga: 0 = vo – gt

0 = 20 – 10t, sehingga diperoleh t = 2 s. Saat dilempar ke atas, ketinggian batu mencapai:

h = vot – ½ gt2 = 20 (2) – ½ (10) 22 = 40 – 20 = 20 m.

a. Pada saat ditangkap lagi, batu berada di titik 5,0 m di atas titik awalnya, berarti posisi batu berada pada jarak 15 m dari titik tertinggi, sehingga:

(48)

15 = 0 + ½ (g) t2 atau 15 = 5 t2 t = 1,73 s

Kecepatan batu saat ditangkap: v = vo + gt = 0 + 10 (1,73) = 17,3 m/s. b. Waktu yang diperlukan batu dari titik tertinggi sampai titik awal: h = vot + ½ g t2 20 = 0 + 5 t2 atau t = 2s 5 20 _ 3.4. Gerak Peluru

Gerak peluru merupakan gerak dalam dua dimensi (bidang). Gerak peluru terjadi apabila sebuah benda dilempar dengan kecepatan yang besarnya tertentu, dan membentuk sudut dengan sudut tertentu dengan arah horizontal, yang disebut sudut elevasi. Karena lintasan yang terbentuk adalah lintasan parabola, maka gerak peluru disebut juga dengan gerak parabola, seperti pada Gambar . . .

Gambar 3.6. Gerak Peluru

Pada Gambar 3.6., sebuah benda dilempar dari titik awal A di permukaan tanah dengan kecepatan awal Vo dan sudut elevasi α. Selanjutnya benda akan bergerak melalui titik P (titik sebelum benda mencapai titik tertinggi lintasan), titik B (titik tertinggi lintasan), titik Q (titik setelah benda mencapai titik tertinggi lintasan), dan titik C (titik dimana benda kembali ke tanah). Berikut akan ditinjau keadaan benda pada saat berada pada masing-masing titik tersebut (massa benda dan gesekan benda dengan udara diabaikan).

(49)

Titik A.

Pada titik A (titik awal ini, keadaan benda adalah sebagai berikut: - Kecepatan

Kecepatan benda pada saat benda berada di titik A adalah Vo, yang dapat diuraikan menjadi Vocos(arah sb-x) dan Vsin(arah sb-y) - Posisi

Posisi benda pada saat berada pada titik A adalah (0,0). Titik P.

Pada titik P (titik sebelum benda mencapai titik teratas) ini, keadaan benda adalah sebagai berikut:

- Kecepatan

Kecepatan benda pada saat benda berada di titik P adalah sebagai berikut:  cos Vo Vpx p gt Vo

Vpy sin (gerak diperlambat oleh percepatan gravitasi bumi) 2 2 y x Vp Vp Vp  Arah Vp: Vpx Vpy tg  , sehingga: Vpx Vpy arctg   - Posisi

Posisi benda pada saat berada pada titik P adalah sebagai berikut:

p t Vo Xp cos. 2 2 1 . sin t_p gt_p Vo Yp  

dimana tp adalah waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik

(50)

Titik B.

Pada titik B (titik tertinggi lintasan) ini, keadaan benda adalah sebagai berikut: - Waktu Tempuh

Pada saat benda mencapai titik B, maka kecepatan ke arah sb-Y (ke atas) adalah nol, karena benda berhenti sejenak. sehingga:

0  B Vy g Vo t gt Vo B B   sin 0 . sin   

Jadi waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik tertinggi B adalah:

g Vo t_B  sin

- Kecepatan

Kecepatan benda pada saat benda berada di titik B adalah sebagai berikut:  cos Vo V_Bx  0  BY

V , sehingga kecepatan benda pada saat berada di titik B adalah:



cos Vo V_Bx  - Posisi

Posisi benda pada saat berada pada titik B adalah sebagai berikut:

B B Vo t X  cos g Vo Vo X_B  cos sin g Vo X_B  2 cossin g Vo X_B 2 sin cos 2 2   

(51)

Buku Ajar “Fisika” 42 g Vo X_B sin2 2  2 2 1 sin B B B Vo t gt Y    2 sin 2 1 sin sin _        g Vo g g Vo Vo YB            g Vo g Vo Y_B   2 2 2 2 sin 2 1 sin g Vo Y_B 2 sin2 2  

Jadi koordinat titik B (titik tertinggi) adalah _

     g Vo g Vo 2 sin , 2 sin 2 2 2   Titik Q.

Pada titik Q (titik setelah benda melewati titik tertinggi) ini, keadaan benda adalah sebagai berikut:

- Kecepatan

Kecepatan benda pada saat benda berada di titik Q adalah sebagai berikut:  cos Vo VQX  Q Qy Vo gt V  sin

(gerak dipercepat oleh percepatan gravitasi bumi)

2 2 y Q x Q Q V V V   Arah VQ : x Q y Q V V tg  , sehingga: Qx y Q V V arctg   - Posisi

(52)

Buku Ajar “Fisika” 43 Q Q Vo t V  cos. 2 2 1 . sin Q Q Q Vo t gt Y   

dimana tQ adalah waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik Q.

Jadi koordinat titik Q adalah (XQ, YQ).

Titik C.

Pada titik C (titik terjauh lintasan) ini, keadaan benda adalah sebagai berikut: - Waktu Tempuh

Pada saat benda mencapai titik C, maka ketinggian benda terhadap permukaan tanah adalah nol, sehingga:

0  C Y 0 2 1 . sin tC  gtC2  Vo  2 2 1 . sin t_C gt_C Vo   g Vo t_C  2 sin

Hal tersebut berarti bahwa waktu tempuh untuk mencapai titik terjauh (titik C) adalah dua kali waktu tempuh untuk mencapai titik tertinggi (titik B).

- Kecepatan

Kecepatan benda pada saat benda berada di titik C adalah sebagai berikut: C x Vo t V  cos. g Vo Vo Vx  .2 sin cos  g Vo V_x sin2 2  2 2 1 . sin tc gtc Vo Vy  

(53)

Buku Ajar “Fisika” 44 2 sin 2 2 1 sin 2 . sin _        g Vo g g Vo Vo Vy    g Vo g Vo Vy   2 2 2 2 sin 2 sin 2 _  g Vo Vy  2 2 sin 4  - Posisi

Posisi benda pada saat berada pada titik C adalah sebagai berikut:

C t Vo Xc cos. g Vo Vo Xc cos.2 sin g Vo Xc 2 sin2 2  0  Yc

Jadi koordinat titik C adalah _

     0 , 2 sin 2 2 g Vo 

(54)

RINGKASAN

1. Kinematika adalah bagian dari ilmu fisika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan penyebab gerak tersebut.

2. Perpindahan adalah perubahan posisi yang dialami oleh partikel, tanpa memperhatikan lintasan atau jalan yang dilalui oleh partikel tersebut. Perpindahan merupakan besaran vektor, sedangkan jarak tempuh (lintasan) adalah besaran skalar.

3. Kecepatan adalah perpindahan yang dilakukan oleh partikel dibagi dengan waktu yang diperlukan oleh partikel untuk melakukan perpindahan. Kecepatan merupakan besaran vektor, sedangkan kelajuan (besarnya kecepatan) adalah besaran skalar.

4. Terdapat dua macam kecepatan yaitu kecepatan rerata dan kecepatan sesaat, dimana kecepatan rerata adalah perubahan posisi dibagi dengan selang waktu,

sedangkan kecepatan sesaat adalah

dt r d t r V t ins        0

lim (merupakan turunan

pertama dari perpindahan yang merupakan fungsi waktu).

5. Percepatan adalah perubahan kecepatan dibagi dengan waktu yang diperlukan oleh partikel untuk melakukan perubahan kecepatan.

6. Terdapat dua macam percepatan yaitu percepatan rerata dan percepatan sesaat, dimana percepatan rerata adalah perubahan kecepatan dibagi dengan

selang waktu, sedangkan percepatan sesaat adalah

dt v d t v a t ins        0 lim .

(merupakan turunan pertama dari kecepatan dan turunan kedua dari fungsi posisi, yang merupakan fungsi waktu).

7. Gerak lurus beraturan (GLB) adalah gerak benda yang membuat lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tetap, baik besar dan arahnya. sehingga pada GLB percepatan benda yang bergerak adalah nol.

(55)

8. Gerak Lurus Beraturan (GLBB) adalah gerak benda yang membuat lintasan berbentuk garis lurus dengan jarak yang ditempuh tiap satu satuan waktu tidak sama besar karena adanya percepatan yang tetap, sedangkan arah gerak tetap. Oleh karena itu, pada GLBB ini percepatan benda yang bergerak adalah tetap.

9. Gerak jatuh bebas adalah GLBB dipercepat oleh percepatan gravitasi bumi arah ke bawah, sedangkan kecepatan awalnya nol.

10. Gerak peluru adalah gerak yang terdiri atas GLB (arah horizontal) dan GLBB (arah vertikal) sehingga membentuk lintasan peluru (lintasan parabola).

(56)

LATIHAN SOAL

Soal Gerak Jatuh Bebas

1. Sebuah bola jatuh bebas dari ketinggian 80 m di atas lantai. Setelah sampai di lantai, bola memantul kembali ke atas. Karena lantai kasar maka besarnya kecepatan saat memantul hanya sebesar 50 % dari besarnya kecepatan waktu bola jatuh di lantai. Bila percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s2 dan massa bola diabaikan, hitunglah:

a. Kecapatan bola saat jatuh di lantai dan saat memantul dari lantai. (40 m/s, 20 m/s)

b. Ketinggian bola 1,50 detik setelah memantul. (5 m/s)

2. Sebuah bola jatuh bebas dari titik A di atas lantai dan sepuluh detik kemudian bola tersebut sampai di lantai. Bila massa bola diabaikan dan percepatan gravitasi=10 m/s2, tentukan:

a. Besar kecepatan bola saat jatuh di lantai. b. Jarak titik A dari lantai

3. Sebuah bola jatuh bebas dari ketinggian 20 m di atas lantai. Setelah sampai di lantai, bola memantul kembali ke atas. Karena lantai kasar maka besarnya kecepatan saat memantul hanya sebesar 75 % dari besarnya kecepatan waktu bola jatuh di lantai. Bila percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s2 dan massa bola diabaikan, hitunglah:

a. Kecapatan bola saat jatuh di lantai dan saat memantul dari lantai.

b. Ketinggian bola setelah memantul selama satu detik, dan berapa besar kecepatannya.

Soal Gerak Peluru

1. Sebuah bola dilempar dengan kecepatan awal 10 m/s sehingga membentuk lintasan parabola. Bila g=10 m/s2 dan sudut elevasi adalah 60o tentukan: a. Waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi. (0,685 s) b. Berapa tinggi titik tersebut pada soal a? (3,75 m)

(57)

d. Berapa jauhnya titik tersebut pada soal c.? (8,65 m)

2. Sebuah benda kecil dilempar dengan sudut elevasi 30o dan benda tersebut memerlukan waktu dua detik untuk mencapai titik tertinggi. Bila g=10m/s2, hitunglah:

a. Besarnya kecepatan awal lemparan tersebut. (40 m/s)

b. Tentukan koordinat titik tertinggi lemparan tersebut. (138,4 m, 20 m).

3. Sebuah robot melempar bola kecil dengan sudut elevasi 45o. Bila titik tertinggi yang harus dicapai adalah 2,5 m, tentukan berapa besar kecepatan awal yang dilakukan robot pada saat melempar. Diketahui g=10m/s2. (10 m/s). Tentukan pula jarak terjauh lemparan tersebut. (5 m).

4. Sudut elevasi suatu lintasan peluru adalah 30o, kecepatan awalnya adalah 40m/s. Tentukan besar dan arah kecepatan benda tersebut pada saat satu detik setelah dilempar. Diketahui g=10m/s2. (36 m/s, arc tg 0,29).

5. Sebuah meriam memuntahkan peluru dan mencapai sasaran di tanah setelah 10 s. Bila g=10 m/s2 dan sudut elevasi adalah 30o, hitunglah:

a. Besar kecepatan awal peluru (100 m/s)

b. Tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut (125 m)

6. Sebuah benda dilempar dengan sudut elevasi 30o , sehingga membentuk lintasan parabola. Bila percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s2, dan benda mencapai titik tertinggi setelah empat detik, tentukan titik terjauh dan titik tertinggi benda tersebut.(553,6 m dan 80 m).

7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal sebesar 100 m/s dan sudut elevasinya 30o . Bila percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s2, tentukan posisi peluru setelah empat detik (ketinggian peluru dan jauhnya peluru dari titik awal).

(58)

DINAMIKA

Materi : Dinamika

Sub Materi : - Dinamika partikel - Hukum Newton I - Hukum Newton II - Hukum Newton III - Gaya gesek statis - Gaya gesek kinetis

- Pemakaian Hukum Newton

Tujuan : Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian dinamika, memahami Hukum Newton I, Hukum Newton II, Hukum Newton III, mampu menjelaskan pengertian gaya gesek statis dan gaya gesek kinetis, dan memahami pemekaian Hukum Newton dalam gerak.

4.1. Hukum Newton

Hukum Newton I

Suatu benda yang diam akan tetap dalam keadaan diam, dan suatu benda yang bergerak lurus beraturan akan tetap bergerak lurus beraturan, kecuali pada benda tersebut bekerja gaya dari luar. Dari Hukum Newton I tersebut dapat disimpulkan bahwa suatu benda mempunyai sifat untuk mempertahankan terhadap gerakan. Sifat benda untuk mempertahankan terhadap gerakan tersebut disebut dengan sifat inersia atau sifat kelembaman, sehingga Hukum Newton I disebut pula dengan Hukum Inersia atau Hukum Kelembaman.

Hukum Newton II

Bila suatu gaya bekerja pada benda, maka benda tersebut akan mengalami percepatan yang besarnya sebanding dengan gaya tersebut dan berbanding terbalik dengan massa benda. Secara umum Hukum Newton II dapat dituliskan sebagai berikut: