PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2 k SKRIPSI

PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.si)

Program Studi Matematika

Disusun oleh : C. Bintarti Novi Suryani

NIM : 003114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagimana layaknya karya illmiah.

Yogyakarta, 31 Juli 2007

Segala sesuatu indah pada waktunya

(Pth : 3:11)

Kelak disaat begitu banyak jalan tebentang dihadapanmu dan kau tak tau jalan mana yang harus kau ambil.

Janganlan memilihnya dengan asal saja. Tetapi…..

Duduklah dan tinggallah sesaat,

Tariklah nafas dalam-dalam dengan penuh kepercayaan seperti saat kau bernafas di hari pertamamu di dunia

ini

Jangan biarkan apapun mengalihkan perhatianmu, Tunggulah ….dan tunggulah lebih lama lagi… Berdiam dirilah tetap hening dan dengarkan hatimu…

Ketika hatimu berbicara, beranjaklah dan Pergilah kemana hatimu membawamu. (Va dove ti porta il Coure, Susanna Tamaro)

Skripsi ini ku persembahkan kepada Sahabatku Yesus Kristus yang selalu setia dan hadir menemaniku

ABSTRAK

Dalam praktek sering tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan faktorial 2k secara lengkap dalam keadaan yang homogen, maka dilakukan pembauran. Pembauran 2k-p dalam rancangan percobaan faktorial 2k merupakan suatu teknik dalam rancangan percobaan faktorial dengan membagi jumlah amatan dalam percobaan faktorial 2k menjadi 2p blok dengan memilih p efek yang akan dibaurkan. Sehingga akan meminimumkan kesalahan amatan.

Banyaknya amatan dalam rancangan rancangan percobaan faktorial 2k akan mengakibatkan tidak praktis dan efisien. Jika jumlah faktor yang diamati cukup besar maka beberapa faktor akan mempunyai efek yang sama, sehingga dengan perulangan fraksional jumlah amatan lebih kecil dari rancangan faktorial 2k. Perulangan fraksional 2k-p dalam rancangan percobaan faktorial 2k merupakan suatu cara untuk menganalisis rancangan percobaan faktorial 2k dalam 2-p dari 2k amatan.

ABSTRACT

Practically, it I imposisible to do the experiment of 2k factorial completely in a homogene condition, so there shuold be coufunding . Confunding in the 2 k-p factorial design is tecnique in factorial design by divinding the number of treatment in 2k factorial experiment into 2p block by choosing p effect that will be diffused.

A large number of treatment in 2k factorial design will be unpractical and unefficient. If the treatment is larger enough, some factors will have same effect so by doing fractional replication.,the treatment will be less than 2k factorial design.The 2k-p fractional design is a way to analyse the 2k factorial design in 2-p from 2k treatment.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria karena berkat karunia dan rahmat yang telah diberikan , penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan menulis skripsi ini. Namun berkat kasih, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik langsung maupun tak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu CH. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran dan kasih telah meluangkan waktu, pikiran serta kesabaran membimbing penulis menyusun dan menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan FMIPA USD Yogyakarta.

3. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama di bangku kuliah.

4. Ibu Suwarni dan Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan adminitrasi dalam urusan – urusan akademik kepada penulis.

5. Bapak Sopir Angkot ’’twety” dan bus kota jalur 2 yang telah mengantar penulis ke kampus.

6. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya mendoakan dan memberikan dukungan baik moral maupun materi sehingga penulis dapat menyelesikan skripsi ini.

7. Kakak-kakakku tercinta.

8. Sahabat – sahabat yang telah memberikan semangat, keceriaan dan kehangatan selama ini: Ayuk, Bunga, Lina, Vincent, Lia, Duduk, Prast, Wawan, Willy, Feliks, Ferry, Narto, Toni, Wahyu “Broto”, Fr. Resto, Ririn, Tawang, Rm Riana, Rm. Kristyanto dan Rm. Jayasewaya, Netty.

9. Teman-teman angkatan ’00, angkatan ‘98 ,angkatan ‘99 dan angkatan ‘01

10. Teman-teman Jumping Choir, mas Hahan, mbak Tyas dan keluarga besarnya, Andre, Ari, mas Loly

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, Juli 2007

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii

HALAMAN PENGESAHAN iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA iv

HALAMAN PERSEMBAHAN v

ABSTRAK vi

ABSTACT vii

KATA PENGANTAR viii

DAFTAR ISI x

DAFTAR GAMBAR xii

DAFTAR TABEL xiii

DAFTAR LAMPIRAN xv BAB I PENDAHULUAN 1 A. Latar Belakang 1 B. Rumusan Masalah 3 C. Batasan Masalah 3 D. Manfaat Penulisan 4 E. Tujuan penulisan 4 F. Metode Penulisan 4 G. Sistematika Penulisan 4

BAB II LANDASAN TEORI 6 A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi - F 6

B. Analisis Variansi 23

C. Kontras 31

D. Rancangan Percobaan 33

1. Tahap - Tahap Percobaan 33

2. Dasar Percobaan 34

3. Jenis-jenis rancangan Percobaan 37 BAB III RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k 39

A. Rancangan Percobaan faktorial 22 40 B. Rancangan Percobaan faktorial 23 50 C. Rancangan Percobaan faktorial 2k 57

D. Algoritma Yate’s 61

BAB IV PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL 2k-p 69

A. Pembauran 72 B. Perulangan Fraksioanal 2k-p 81 1. Rancangan Fraksional 2k-1 83 2. Rancangan Fraksional 2k-p 94 3. Mengabungkan Pecahan 98 BAB V KESIMPULAN 105 DAFTAR PUSTAKA 108 LAMPIRAN 109

DAFTAR GAMBAR

Halaman

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1 23 Tabel 2.2 29 Tabel 2.3 29 Tabel 2.4 31 Tabel 3.1 41 Tabel 3.2 43 Tabel 3.3 46 Tabel 3.4 47 Tabel 3.5 48 Tabel 3.6 51 Tabel 3.7 52 Tabel 3.8 53 Tabel 3.9 58 Tabel 3.10 64 Tabel 3.11 65 Tabel 3.12 66 Tabel 4.1 73 Tabel 4.2 75 Tabel 4.3 75 Tabel 4.4 78 Tabel 4.5 79

Tabel 4.6 80 Tabel 4.7 86 Tabel 4.8 89 Tabel 4.9 90 Tabel 4.10 93 Tabel 4.11 96 Tabel 4.12 98 Tabel 4.13 99 Tabel 4.14 100 Tabel 4.15 102 Tabel 4.16 103 Tabel Lampiran 1 109 Tabel Lampiran 2 110 Tabel Lampiran 3 111

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Tabel Lampiran 1 109 Tabel Lampiran 2 110 Tabel Lampiran 3 111 Tabel Lampiran 4 113 Tabel Lampiran 5 115 Tabel Lampiran 6 118 Tabel Lampiran 7 120 Tabel Lampiran 8 122

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Rancangan percobaan (design ekperiment) merupakan langkah lengkap yang perlu diambil sebelum melakukan percobaan (ekperiment), agar data yang semestinya diperlukan dapat diperoleh. Sehingga akan membawa kepada analisis yang obyektif dan kesimpulan yang berlaku untuk persoalan yang dibahas.

Secara umum rancangan percobaan dapat dibagi menjadi dua kelompok yaitu rancangan percobaan lengkap dan rancangan percobaan tidak lengkap. Yang dimaksud dengan rancangan percobaan lengkap adalah percobaan yang seluruh perlakuannya muncul bersama-sama dalam satu kelompok. Sedangkan percobaan tak lengkap ialah percobaan yang sebagian perlakuannya ada yang muncul dalam satu kelompok.

Berikut merupakan contoh penggunaan rancangan percobaan dalam kehidupan sehari-hari:

1. Seorang peneliti pertanaian akan meneliti faktor apa saja yang mempengaruhi hasil panenan padi, maka ia meneliti dua jenis varietas, dua jenis pupuk dan dua metode pengendalian gulma.

2. Suatu proses kimia mempunyai dua buah faktor yang mempengaruhi kecepatan reaksi yaitu konsentrasi reaktan dan jumlah katalis, pada konsentrasi reaktan mempunyai dua jenis yaitu yang berkadar 15% dan

yang bekadar 25%. Sedangkan jumlah katalis ditempatkan dikotak A dan kotak B.

Percobaan di atas termasuk rancangan percobaan faktorial 2k. Suatu percobaan dapat dimasukan kedalam rancangan percobaan faktorial 2k apabila pada percobaan tersebut terdiri atas dua faktor atau lebih (k>2) yang mempengaruhi dan masing-masing faktor mempunyai dua perlakuan. Rancangan percobaan faktorial digunakan untuk menguji (menganalisis) semua kombinasi perlakuan yang ada sehingga diperoleh perlakuan yang berpengaruh terhadap percobaan tersebut

Jumlah amatan dalam sebuah rancangan faktorial 2k akan meningkat sebanding dengan jumlah faktor yang terlibat. Sebagai contoh, rancangan percobaan 26 dengan replikasi sebanyak satu kali akan membutuhkan 64 amatan. Untuk mengetahui faktor atau kombinasi perlakuan yang mempengaruhi percobaan tersebut maka diperlukan pengamatan secara lengkap yaitu sebanyak 64 dalam keadaan yang homogen. Karena keadaan yang homogen sulit atau bahkan tidak mungkin dicapai, maka dapat dilakukan pembauran. Pembauran merupakan sebuah teknik dalam rancangan percobaan faktorial, yaitu dengan membagi rancangan percobaan faktorial kedalam blok-blok yang berukuran lebih kecil. Dengan pembauran ini akan di dapat keadaan yang lebih homogen.

Untuk melakukan percobaan faktorial dengan jumlah amatan lengkap memerlukan biaya, waktu dan materi yang cukup banyak. Jika dalam melakukan rancangan percobaan ada keterbatasan biaya, waktu dan materi

maka dapat dilakukan percobaan dengan mengamati sebagian dari jumlah amatan faktorial lengkap. Penyelesaian rancangan percobaan faktorial dengan mengamati sebagian dari rancangan faktorial lengkap disebut dengan perulangan fraksional. Rancangan yang terbentuk dari perulangan fraksional sering dikenal dengan rancangan fraksional.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan rancangan percobaan.

2. Apa yang dimaksud rancangan percobaan faktorial 2k.

3. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial dengan pembauran.

k

2

4. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial dengan perulangan fraksional.

C. PEMBATASAN MASALAH

Penulisan skripsi ini tidak membahas semua teori yang berhubungan dengan skripsi ini. Tetapi dibatasi pada beberapa hal yaitu:

1. Teorema ketunggalan tidak dibuktikan, karena diluar jangkauan skripsi ini.

2. Pembahasan tentang rancangan faktorial 2k hanya dibatasi pada pembauran dan perulangan fraksional dengan jumlah amatan sama.

3. Penambahan titik tengah, rancangan Plackett-Burman dan rancangan resolusi tidak dibahas.

D. MANFAAT PENULISAN

Manfaat penulisan adalah untuk mempelajari tentang pembauran dan pengulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial 2 .k

E. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang ingin dicapai adalah memahami teknik dalam rancangan percobaan khususnya rancangan percobaan faktorial 2k dengan pembauran dan perulangan fraksional.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan rancangan percobaan faktorial.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini , berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

Bab I membahas tentang gambaran umum skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan, dan metode penulisan.

Bab II akan membahas tentang distribusi normal, Khi-kuadrat dan distibusi -F, Analisis variansi, rancangan percobaan, serta tentang kontras.

Pada bab III berisi tentang rancangan percobaan faktorial 22,23, 2k dan algoritma Yate’s yang akan digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat dan estimasi efek dalam rancangan faktorial 2k.

Bab IV berisi tentang pembauran rancangan faktorial 2k dalam 2 blok dan dalam p blok serta perulangan fraksional dalam rancangan faktorial 2k. Dan untuk bab V berisi tentang kesimpulan.

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan membahas materi yang berhubungan dengan pembauran dan perulangan fraksional rancangan percobaan faktorial 2k.

A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F

Subbab ini akan membahas distribusi normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F karena dalam pembahasan selanjutnya ketiga distribusi tersebut sangat diperlukan.

Definisi 2.1

Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal jika fungsi densitasnya di berikan sebagai berikut:

2 2 1 2 1 ) ( ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ μ π σ x e x f untuk - ∞<x<∞

dengan parameter μ dan σ berada dalam interval -∞<μ<∞ dan σ > 0.

Teorema 2.1

Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka rata-rata dan variansi variabel random X adalah E(X) = μ dan V(X) =σ2.

Bukti:

[ ]

_∫

_∫

∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∞ ∞ − = = x f x dx x e dx X E x 2 2 1 2 ) ( . σ μ π σ misal σ μ − = x y maka

[ ]

X y e dy y e dy E y y 2 2 2 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( ∞ − ∞ − − ∞ ∞ −

∫

∫

+ = + = π μ σ σ π σ μ σ μ μ π μ π σ _{+ = + ⋅ =} = ∞ − ∞ − ∞ ∞ − −

∫

∫

0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dy e dy ye y y

sedangkan variansi dari distribusi normal adalah

( )

[

]

_∫

(

)

∞

_∫

( ) ∞ − − − ∞ ∞ − − = − = − =E X x f x dx x e dx X V x 2 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( . ) ( σ μ π σ μ μ μ misal σ μ − = x y maka

[ ]

X

( )

y e dy V yσ π σ σ 2 2 1 2 2 − ∞ ∞ −

∫

=

( )

dy e y y2 2 1 2 2 2 − ∞ ∞ −

∫

= π σ

(

)

2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 2 2 σ σ π π σ = + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − =

_∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ − − dy e e y y y

Jadi fungsi distribusi normal mempunyai dua parameter yaitu μ dan σ2, dengan μ adalah rata-rata dan σ2 adalah variansi.

Teorema 2.2

Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka fungsi pembangkit momennya adalah:

( )

22 2 1 t t X t e m = μ+ σ Bukti:

Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 maka mempunyai fungsi pembangkit momen:

[ ]

tx X t Ee m ( )=

( )

( ) dx e e dx x f e x tx tx 2 2 2 1 2 1 . σ μ π σ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ −

∫

∫

= = ( ) ( ) ( ) dx e dx e t t t x t x x x tx 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μσ σ μ σ μ σ μ μ σ π σ π σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + + + − +} − ∞ ∞ − + − − ∞ ∞ −

∫

∫

= = ( ) ( ) ( ) ( ) dx e e dx e e t x t t t x t x t t 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μ σ σ μσ σ σ μ σ μ σ σ μσ π σ π σ + − − ∞ ∞ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + + +} − ∞ ∞ − +

∫

∫

= = 2 2 2 1 t t eμ + σ = .

Teorema 2.3

Jika X1, X2, X3, …,Xn suatu sampel random berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ2 maka:

∑

= = n i i X n X 1 1

berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi n

2

σ

Bukti:

Karena X1, X2, X3, …,Xn adalah sampel random dari populasi normal dengan rata- rata μ dan variansi σ2 dan Xi adalah variabel random saling bebas yang berdistribusi normal dengan E(X) = μ dan V(X) =σ2, i = 1,2,3,…,n

Selanjutnya

( )

( )

( )

( )

n n i i X n X n X n X n X n X 1 1 1 1 2 1 3 1 1 + + + + = =

∑

= Κ

Sehingga X berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi sebagai berikut:

( )

= _⎢⎣⎡

( )

+

( )

+

( )

+ +

( )

Xn _⎥⎦⎤ n X n X n X n E X E 1 ₁ 1 ₂ 1 ₃ Κ 1 μ μ μ μ μ = + + + + = n n n n 1 1 1 1 _Κ

( )

= _⎢⎣⎡

( )

+

( )

+

( )

+ +

( )

Xn _⎥⎦⎤ n X n X n X n V X V 1 1 1 2 1 3 Κ 1 n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 σ σ σ σ σ σ = ⋅ = + + + + = Κ

Dari Teorema 2.3 diatas maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata distribusi sampel X sama dengan rata-rata dari variabel random Xi dan variansi distribusi sampel X sama dengan variansi Xi di bagi ukuran sampel n.

Berdasarkan Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ_X =μ dan

variansi X = n 2 σ maka: n X X Z X X σ μ σ μ − = − =

berdisrribusi normal standart.

Teorema 2.4 (Teorema ketunggalan)

Misalkan X dan Y dua variabel random, dengan fungsi pembangkit momen mX(t) dan mY(t). Jika mX(t) = mY(t) untuk semua nilai t, maka X adan Y mempunyai distribusi probabilitas yang sama.

Teorema 2.4 dalam Skripsi ini tidak dibuktikan.

Definisi 2.2

Fungsi gamma didefinisikan dengan

( )

∫

untuk semua k >0

∞ − − = Γ 0 1 dt e t k k t Definisi 2.3

Suatu variabel random X mempunyai fungsi densitas

( )

2 1 2 2 2 2 1 ) ( x r r X x e r x f − − Γ = , x ∈ [0,∞)

Teorema 2.5

Jika X variabel random berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas r maka mempunyai fungsi pembangkit momen:

( )

2 2 1 1 r X t t m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Bukti:

Fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat akan ditunjukkan seperti di bawah ini: dx x f e t m_X( ) tx ( ) 0 ⋅ =

_∫

∞ dx e x r e t m x r tx X r 2 1 1 2 0 2 2 2 1 ) ( − − ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ =

_∫

misalkan 1 2− = r a maka

(

)

x e dx a e t m x a a tx X 2 1 0 12 1 ) ( ₊ − ∞ + Γ =

_∫

(

)

∫

∞ ₋ − + + Γ = 0 2 ) 2 1 ( 1 2 1 e dx a x x t a a misalkan y= x(1−2t) maka

(

t

)

dy a e t y t m _a y a X 2 1 2 ) 1 ( 2 1 ) ( 0 1 2 − ⋅ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∫

∞ ₊ −

1 0 1 2 1 0 1 2 ) 2 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 2 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 1 1 2 1 1 + ∞ + − + ∞ + − − = + Γ − = + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∫

∫

a a y a a a y a a t dy a e y t dy a e y t t untuk 2 1 <

t maka diperoleh fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-kuadrat yaitu 2 ) 2 1 ( 1 ) ( _r X t t m − = 2 2 1 1 r t⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = . Teorema 2.6

Jika Xi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 maka

2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

Z berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

Bukti:

Misal fungsi distribusi F

( )

w P

[

Z w

]

P

[

w Z w

]

f

( )

zdz

w w W

∫

− = ≤ ≤ − = ≤ = 2 dengan transformasi z= y sehingga y dy dz 2 = maka

( )

( )

, 0 2 1 2 2 1 2 2 0 2 1 0 2 1 0 2 2 ≥ = = =

_∫

_∫

−

_∫

e− dy w y y dy e dz z f w F w y w y w W π π

karena f(w)=F’W(w) maka

( )

2 1 2 1 2 1 w e w w f = − −

π berdasarkan Definisi 2.2 maka Zi2 berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

Teorema 2.7

Jika variabel random X1.X2,…,Xk berdistribusi normal dan saling bebas dengan rata-rata μdan variansi σ2 maka

2 1

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i i X U σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k. Bukti: Jika σ μ − = i i X

Z maka Zi berdistribusi normal standar. Maka fungsi pembangkit momen dari U ditentukan sebagai berikut

[ ]

tu U t Ee m ( )=

∏

∏

[ ]

= = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = k i tz k i tz z t i i k i i e E e E e E 1 1 2 2 1 2 dengan

[ ]

e e e dz E i i i z tz tz 2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

π ( ) dz e t zi 2 2 1 2 1 2 1 − − ∞ ∞ −

∫

= π untuk 2 1 < t maka

[ ]

2 i tz e E ( ) t dz e t t i z t 2 1 1 2 2 1 2 1 1 _{1 2} 2 2 1 − = − − = ∞ − − ∞ −

∫

π

Karena te ( t)zidz 2 2 1 2 1 2 2 1 − − ∞ ∞ −

∫

−

π menunjukkan luas daerah di bawah kurva normal

dengan variansi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − t2 1 1 . Maka

∏

[ ]

∏

= = − = k i k i tz t e E i 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 k t⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = merupakan

fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

Sehingga 2 1

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i i X U σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

Teorema 2.8

Jika X merupakan rata-rata dari X1, X2, X3, …,Xn adalah sampel random

berukuran n yang mempunyai rata-rata μ dan variansi n 2 σ maka:

(

)

n X U ₂ 2 σ μ − =

berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas 1. Bukti:

Menurut Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi

n 2 σ , maka n X

Z = _σ−μ berdistribusi normal standart, sehingga Fungsi Pembangkit

momen dari U dapat ditentukan sebagai berikut:

[ ]

tu U t Ee m ( )= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = k i z t e E 1 2 dengan

[ ]

e e e dz E tz tz z 2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

π ( ) dz e tZ 2 2 1 2 1 2 1 − − ∞ ∞ −

∫

= π untuk 2 1 < t maka

[ ]

_tz2 e E ( ) t dz e t t z t 2 1 1 2 2 1 2 1 1 _{1 2} 2 2 1 − = − − = ∞ − − ∞ −

∫

π =

₍

₎

2 1 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − t

maka menurut Teorema 2.5 maka

(

)

n X U ₂ 2 σ μ −

= berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas 1. 

Teorema 2.9

Andaikan X1, X2, X3,…, Xn adalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi

σ2 maka ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

Z adalah sampel random yang saling bebas dan

berdistribusi normal dan

∑

∑

= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas n. Bukti:

Karena X1, X2, X3,…,Xn adalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n dari distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ2 maka

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

menurut Teorema 2.6 maka

∑

∑

= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n. 

Teorema 2.10

Jika X1, X2,…, Xn merupakan sampel dari distribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 maka:

(

)

2 2 2 1 σ S n Zi − =

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1. Bukti:

Dengan menambah dan mengurangi rata-rata sampel X maka:

(

)

[

(

) (

)

]

2 1 1 2

∑

∑

= = − + − = − n i i n i i X X X X μ μ

(

)

(

) (

) (

_∑

)

∑

∑

= = = − − + − + − = n i i n i n i i X X X X X X 1 1 1 2 2 2 μ μ karena

(

) (

) (

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = − −

∑

∑

∑

= = = n i n i i n i i X X X X X X 1 1 1 2 2 μ μ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− − +} =

∑

∑

= = n i n i i i XnX X nX X X 1 1 2 μ μ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =

∑

∑

∑

∑

= = = = n i n i i i n i n i i i n X n X n X n X X X 1 1 1 1 2 μ μ

0 2 1 1 1 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− − −} =

∑

∑

∑

∑

= = = = n i n i i i n i i n i i X X X X X X μ μ maka

(

)

(

) (

)

2 1 2 2 1 μ μ = − + − −

∑

∑

= = X n X X X n i i n i i Dan

(

)

(

)

₍

₎

n X X X X i n i i n i i 2 2 2 1 2 2 1 2 σ μ σ σ μ − + − = −

∑

∑

= =

(

)

(

)

n X S n i 2 2 2 2 1 σ μ σ − + − =

Karena Xi berdistribusi normal dengan μ dan variansi σ2/n berdasarkan Teorema

2.8 maka

(

)

n Xi 2 2 σ μ −

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 dan

berdasarkan Teorema 2.9 maka

(

)

2 1 2 σ μ

∑

= − n i i X

berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas n, maka

(

)

₂

2

1

σ S

n− berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas (n-1). 

Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika ialah distribusi-F. Statistik F didefinisikan sebagai dua variabel random Khi-kuadrat yang saling bebas dan masing-masing dibagi dengan derajat bebasnya. Jadi dapat ditulis:

v Y

u X F =

dengan X dan Y merupakan variabel random yang masing-masing berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v.

Teorema 2.11

Jika X dan Y variabel random yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v. Maka distribusi variabel random

v Y

u X

F = mempunyai fungsi densitas probabilitas

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⎟ +} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ 0 , 0 0 , 2 1 2 2 1 2 2 f f f f u v u u f v u v v u f v u v u F

Dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u dan v. Bukti:

Diketahui X dan Y berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v maka

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 , 0 0 , 2 2 1 1 ₂ 2 2 x x e x u x f x u u X

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 , 0 0 , 2 2 1 1 ₂ 2 2 y y e y v y f y v v Y

( )

2 1 2 2 2 1 2 2 , 2 2 1 2 2 1 , y v v x u u Y X y e v e x u y x f − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 u v x y v u x y e v u

Misalkan z=y dan pandang transformasi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z f h v y u x : uy xv y v u x f v y u x = ⋅ = = fy v u x= karena z = y maka fz v u x=

Dan transformasinya menjadi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z fz v u x h :

dari fungsi- fungsi tersebut menghasilkan

z v u fz v u f f x ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂

_{( )}

0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ z f f y f v u fz v u z z x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂

_{( )}

1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ z z z y

Jacobian (J(x,y)) diperoleh dengan determinan dari

( )

z y f y z x f x y x J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ,

z v u f v u z v u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 sehingga z v u J =

Transformasi ini satu-satu memetakan titik

{

(u,v)0<u<∞,0<v<∞

}

ke himpunan

{

(f,z)0< f <∞,0<z<∞

}

maka diperoleh distribusi gabungan F dan Z:

( )

f,z = f_F,Z

( )

f,z J λ z v u e z v u fz v u fz z v u v v u u ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 1 2 2 2 2

( )

z v u e z v u z f v u z f z fz v u v v u u u u ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 f v u z v u v u u u f v u z v u v u u u e z v u f v u z v u e z v u f v u Maka

( )

=

_∫

∞

( )

0 , dzz f f f_F λ

dz e z v u f v u f v u z v u v u u u

∫

∞ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2

∫

∞ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 dz e z v u f v u f v u z v u v u u u

Untuk menentukan fF(f) dimisalkan : ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = 1 2 v f u z t sehingga 1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = f v u t z dan f dt v u dz 1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = .Maka diperoleh dt f v u e f v u t v u f v u f f t v u v u u u F 1 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ) ( − ∞ − − + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ₋ − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅

_∫

2 0 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 v u t v u v u v u v f v u v u dt e t f v u f v u − − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u v u f v u v u f v u

Jadi terbukti bahwa .

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 0 , 0 0 , 1 2 2 2 2 1 2 2 f f f v u v u v u f v u f f u v u u F

Derajat bebas yang berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat pada pembilang F selalu ditulis lebih dahulu kemudian diikuti oleh derajat bebas yang berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat yang muncul pada penyebut. Jadi kurva distribusi –F tidak hanya bergantung pada kedua parameter u dan v, tetapi juga pada urutan penulisannya. Begitu pula jika kedua bilangan ini ditentukan maka kurvanya menjadi tertentu.

Teorema 2.12

Jika S12 dan S22 variansi sampel random yang saling bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi berdistribusi normal maka:

2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 S S S S F σ σ σ σ = =

berdistribusi- F dengan derajat bebas u=n1-1 dan v=n2-1. Bukti:

Misalkan sampel random berukuran n1 dan n2 diambil dari populasi random, masing-masing dengan variansi dan . Mengunakan Teorema 2.10 maka diperoleh: 2 1 σ 2 2 σ

(

)

2 1 2 1 1 2 1 1 σ S n Z = − dan

(

₂

)

2 2 2 2 2 2 1 σ S n Z = −

menyatakan dua variabel random yang berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u=n1-1 dan v=n2-1. Karena kedua sampel diambil secara random maka variabel random tersebut saling bebas. Jika dan maka dengan mengunakan Teorema 2.9 diperoleh:

X

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 S S S S n S n n S n v Z u Z v Y u X F σ σ σ σ σ σ = = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = =

dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u=n1-1 dan v=n2-1.

B. Analisis Variansi

Misalkan sampel random berukuran n diambil dari k populasi, ke-k populasi ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau kelompok yang berbeda. Diasumsikan bahwa k populasi itu berdistribusi normal dengan rata-rata μ1, μ2, μ3,…,μk dan variansi σ2 yang sama. Sehingga uji hipotesisnya adalah:

Ho : μ1 = μ2 = μ3 =…= μk

H1 : sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama. Misalkan Xij adalah sampel ke-j dari populasi ke-i, maka data- data dari n pengamatan dari k populasi dapat di tuliskan sebagai berikut:

Tabel 2.1 : k sampel random Populasi Sampel 1 2 … i … k Total Pengamatan 1 2 : n X11 X21 … Xi1 … Xk1 X12 X22 … Xi2 … Xk2 : : … : … : X1n X2n … Xin … Xkn X.1 X.2 : X.n Total Populasi ke X1. X2. … Xi. … Xk. X.. Rata-rata Populasi ke ⋅ 1 X

X

_2⋅ … X _⋅i … X_k⋅ X⋅⋅

Dengan:

X i,j : Sampel ke–i dari populasi ke-j, dengan i = 1, 2, 3,…,k dan j =1, 2, 3,…,n

.

i

X = Jumlah total polulasi ke-i

..

X = Jumlah total semua nk pengamatan

.

i

X = Rata-rata pengamatan pada polulasi ke-i

..

X = Rata-rata semua nk pengamatan

Setiap pengamatan dapat ditulis dengan bentuk linear:

ij i ij

X =μ +ε (2.1)

dengan :

Xij : besarnya pengamatan ke-i, perlakuan ke-j. μi : parameter rata-rata.

εij : eror yang berdistribusi N(0,σ2)

i : 1,2, 3,…, k dan j : 1, 2, …, n

Bentuk lain dari persamaan (2.1) diperoleh dengan mensubtitusikan

i i μ τ

μ = + kedalam persamaan (2.1) dengan μ adalah rata-rata dari μi dan:

k k i i

∑

= = 1 μ μ

Sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis:

ij i ij X =μ+τ +ε (2.2) dengan:

(

)

0 1 1 = − =

∑

∑

= = k i i k i i μ μ τ

i

τ disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke-i.

Sehingga hipotesis nol yang menyatakan bahwa semua nilai rata-rata ke-k populasi sama melawan hipotesis alternatifnya yang menyatakan bahwa sekurang-kurangnya ada dua rata-rata tidak sama. Dapat dinyatakan sebagai berikut:

0 : ₁= ₂ = = _k =

o

H τ τ Λ τ

H1 : sekurang-kurangnya satu τitidak sama dengan nol.

Sehingga Uji yang akan digunakan berdasarkan pada perbandingan dua nilai dugaan bebas dari kesamaan variansi populasi σ2. Kedua nilai dugaan tersebut diperoleh dengan menguraikan total variansi menjadi dua komponen.

Teorema 2.11

(

)

_∑

(

)

_∑∑

(

)

∑∑

= = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j ij X n X X X X X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. Bukti :

(

)

[

(

)

(

)

]

2 1 1 . . 2 1 1

∑∑

∑∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ − + − = − k i n j i ij i k i n j ij X X X X X X

(

) (

)

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ − + − − + − = − + − − + − = k i n j k i n j k i n j i ij i ij i i k i n j i ij i ij i i X X X X X X X X X X X X X X X X 1 1 1 1 1 1 2 . . . 2 . 1 1 2 . . . 2 . 2 2

Suku pertama persamaan diatas dapat ditulis menjadi

∑

(

= ⋅⋅ − k i i X X n 1 2 .

)

karena suku

pertama persamaan diatas tidak menpunyai subkrip j.

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑ ∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − − k i n j k i n j i ij i i ij i X X X X X X X X 1 1 1 1 . . . . 2 2

(

)

(

)

(

)

( )

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

= = ⋅⋅ = = = ⋅⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j i ij i k i n j n j i ij i X n X X X X X X X 1 1 1 . . 1 1 1 . . 2 2

(

)

( )

∑ ∑

∑

∑

= = = = ⋅⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j n j ij ij i n X n X X X 1 1 1 1 . 2

(

)

( )

0 0 2 1 1 . = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

∑ ∑

= = ⋅⋅ k i n j i X X Jadi terbukti

∑∑

(

)

∑

(

)

∑∑

(

)

= = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j ij X n X X X X X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. .

Agar memudahkan penggunaannya maka suku-suku dalam Teorema 2.11 maka dinotasikan dengan:

(

∑∑

= = − k i n j ij X X 1 1 2

..

)

= jumlah kuadrat total (JKT) (2.4)

(

∑

= ⋅⋅ − k i i X X n 1 2

.

)

= jumlah kuadrat perlakuan (JKP) (2.5)

(

∑∑

= = − k i n j i ij X X 1 1 2

.

)

= jumlah kuadrat eror (JKE) (2.6)

sehingga jumlah kuadrat dalam Teorema 2.11 dapat dilambangkan dengan persamaan:

JKT = JKP + JKE (2.7)

Salah satu nilai dugaan bagi σ2 yang didasarkan pada k-1 derajat bebas adalah:

(

)

1 1 1 2 .. . 2 1 − − = − =

∑

= k X X k JK S k i i P (2.8) . i

X : rata- rata sampel dari populasi ke-i

..

X : rata- rata total pengamatan

2 1

S : variansi antar kelompok (between- group variance)

Bila Ho benar, S12 merupakan penduga tak bias bagi σ2. Jika H1 benar

maka JKP cenderung menghasilkan nilai yang lebih besar, artinya S12 menduga lebih dari σ2. Nilai dugaan bagi σ2 yang lain berdasarkan pada k(n-1) adalah:

(

)

(

)

(

1

)

1 1 1 2 . 2 2 − − = − =

∑∑

= = n k X X n k JK S k i n j i ij E (2.9) Nilai 2 menduga σ 2

S 2 berdasarkan eror yaitu selisih antara setiap pengamatan dengan rata-rata dari kelompok/perlakuan masing-masing. Nilai dugaan S₂2 bersifat takbias, baik untuk hipotesis benar atau salah.

Apabila hipotesis nol benar, maka penduga tak bias bagi σ2

adalah: 1 2 − = kn JK S T _(2.10)

Teorema 2.11 tidak hanya menguraikan Jumlah Kuadrat Total, tetapi juga jumlah total derajat bebasnya:

nk-1 = k-1 +k(n-1) (2.11)

Statistik uji untuk menguji Ho = τ1 = τ2 =…=τk =0 adalah perbandingan

dan . 2 1 S S22 2 2 2 1 S S f = (2.12)

Bila hipotesis nol benar, maka Persamaan (2.12) merupakan variabel random F yang mempunyai distribusi-F dengan derajat bebas (k-1) dan k(n-1). Jika Ho salah maka S₁2menduga lebih dari σ2 sehingga diperoleh uji variansi satu arah dengan daerah kritis yang seluruhnya terletak di ujung kanan fungsi distribusinya. Dan hipotesis nol ditolak pada taraf signifikan a bila:

(

) (

(

)

)

[

−1, −1

]

> f k k n

f _α (2.13)

Untuk perhitungan Jumlah Kuadrat dapat diperoleh dengan memperluas dan menyederhanakan definisi JKP dan JKT dalam Teorema 2.11.Sehingga menghasilkan: kn X X JK k i n j ij T 2 .. 1 1 2₋ =

∑∑

= = (2.14) kn X n X JK k i i P 2 .. 1 2 . − =

∑

= _(2.15) P T E JK JK JK = − (2.16)

Perhitungan analisis variansi dapat dituliskan sebagai berikut: Tabel 2.2 : Tabel analisis variansi satu arah

Sumber Variansi

Jumlah Kuadrat Derajat bebas Rata-rata jumlah kuadrat f hitung Antar perlakuan

∑

(

= ⋅⋅ − k i i X X n 1 2 .

)

k-1 1 2 1 − = k JK S P 2 2 2 1 S S f = Eror

(

∑∑

= = − k i n j i ij X X 1 1 2 .

)

_k(n-1)

(

)

1 2 2 = ₋ n k JK S E Total

₍

₎

∑∑

= = − k i n j i ij X X 1 1 2 . nk-1 Contoh 2.1

Sebuah pabrik tas menggunakan kertas sebagai bahan pelapis tas yang akan diproduksinya. Sehingga perlu diteliti kekuatan daya renggang kertas tersebut. Diduga kekuatan daya renggang kertas adalah fungsi konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kertas. Maka dilakukan penelitian dengan mengunakan lima konsentrasi kekerasan kayu yang berbeda dalam bubur kertas. Konsentrasi kekerasan kayu yang digunakan adalah 5%, 10%, 15%, 20% dan 25%. Dalam Penelitian tersebut diambil 25 pengamatan secara random pada masing-masing konsentrasi. Maka diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut:

Tabel 2.3: Data Contoh 2.1

Pengamatan Konsentrasi kekerasan kayu (%) _{1 2 3 4 5} Total pengamatan Xi. 5 10 15 20 25 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 376= X..

Jawab:

Akan dibandingkan pengaruh beberapa konsentrasi kekerasan kayu terhadap daya renggang produksi tas. Hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata daya renggang kelima perlakuan sama sedangkan untuk hipotesis alternatifnya menyatakan bahwa rata-rata daya renggang kelima perlakuan tidak sama. Sehingga hipotesis tersebut ditulis:

a. Ho : μ1 = μ2 = μ3 =μ4 = μ5

H1 : sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama. b. Jumlah kuadratnya adalah:

(

)

(

)

_475.76 25 376 5 54 77 49 5 . 5 5 96 . 636 25 376 11 15 7 7 5 . 5 2 2 2 2 2 .. 5 1 2 . 2 2 2 2 2 2 .. 5 1 5 1 2 = − + + + = − = = − + + + + = − =

∑

∑∑

= = = Κ Κ X X JK X X JK i i P i j ij T 20 . 161 76 . 475 96 . 636 − = = − = _{T P} E JK JK JK sehingga 99 . 118 4 96 . 475 1 2 1 = = − = k JK S P

(

)

20 8.06 20 . 161 1 2 2 = = − = n k JK S E 763 . 14 06 . 8 99 . 118 2 2 2 1 = = = S S f .

Tabel 2.4:Analisis variansi contoh 2.1

Sumber Variansi Jumlah Kuadrat Derajat bebas Rata-rata jumlah kuadrat f hitung Antar perlakuan JKP = 475.76 4 S₁2 =118.99 f =14.76 Eror JKE =161.20 20 S₂2 =8.06 Total JKT =636.96 24

c. Statistik uji F akan memiliki distribusi-F dengan derajat bebas pembilang 5-1= 4 dan derajat bebas penyebut 25-5 =20. Maka dari tabel nilai

F0.01;4:20=4.33. Sehingga daerah penerimaan Ho adalah [0: 4.43) dan

daerah penolakannya adalah [4.43:∼).

d. Karena maka hipotesis nol di tolak. Jadi ada perbedaan rata-rata daya renggang diantara kelima perlakuan tersebut. Sehingga disimpulkan bahwa konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kertas secara berarti mempengaruhi kekuatan daya renggang kertas.

43 . 4 76 . 14 ≥ = f C. Kontras

Uji hipotesis dalam analisis variansi satu arah menunjukkan bahwa apakah rata-rata perlakuan sama atau tidak. Tetapi dalam penelitian sering dilakukan analisis yang lebih jauh, sehingga perbandingan rata-rata perlakuan antar kelompok sangat berguna. Rata-rata perlakuan ke-i dapat didefinisikan sebagai μ_i =μ+τ_i dan μi diduga dengan Xi.

Misal dalam Contoh 2.1, hipotesis nolnya adalah H₀:τ_i =0ditolak dengan τi pengaruh konsentrasi kekerasan kayu. Padahal diketahui beberapa jenis konsentrasi menghasilkan daya kekuatan renggang yang berbeda, tetapi konsentrasi mana yang mengakibatkan perbedaan itu.

Dalam Contoh 2.1 misal diduga bahwa konsentrasi jenis 1 dan 5 akan menghasilkan kekuatan daya renggang sama, berarti hipotesis yang digunakan

5 1 1 5 1 0 : : μ μ μ μ ≠ = H H

Hipotesis ini dapat diuji dengan menggunakan sebuah kombinasi linear dari total perlakuan 0X1.− X5.=

Jika diduga rata-rata perlakuan konsentrasi 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-rata perlakuan konsentrasi 4 dan 5, maka hipotesisnya adalah

5 4 3 1 1 5 4 3 1 0 : : μ μ μ μ μ μ μ μ + ≠ + + = + H H

Yang berarti kombinasi linear total perlakuannya 0 . 5 . 4 . 3 . 1 +X −X −X = X

dengan X1. : total perlakuan konsentrasi 5% X3. : total perlakuan konsentrasi 15% X4. : total perlakuan konsentrasi 20% X5. : total perlakuan konsentrasi 25%

Secara umum perbandingan rata-rata perlakuan yang mempengaruhi dapat dinyatakan dalam sebuah kombinasi linear total perlakuan sebagai

∑

= = a i i iX q Q 1 (2.17) dengan 0, X 1 =

∑

= a i i

q i total perlakuan ke-i, a banyaknya perlakuan, qi merupakan

koefisien kontras. Kombinasi linear dalam Persamaan (2.17) disebut kontras. Maka jumlah kuadrat (JK) untuk setiap kontras adalah

∑

∑

∑

= = = ⋅ ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = _a i i a i i a i i i Q q n Q q n X q JK 1 2 2 1 2 2 1 (2.18)

dengan n adalah jumlah pengulangan setiap perlakuan dengan derajat bebas tunggal. Sebuah kontras diuji dengan membandingkan jumlah kuadrat rata-rata eror (JKE), maka statistik yang dihasilkan akan berdistribusi F dengan derajat bebas 1 dan N-a. Dengan N merupakan total pengamatan dan a adalah banyaknya perlakuan.

D. Rancangan Percobaan

Dalam merancang sebuah percobaan ada beberapa hal yang perlu diketahui antara lain apa yang dimaksud dengan percobaan, dan hal-hal yang perlu diperhatikan saat membuat sebuah rancangan percobaan. Pada bagian ini akan membahas tentang hal-hal yang berkaitan dengan rancangan percobaan. 1. Tahap- tahap percobaan

Percobaan sering dilakukan oleh berbagai bidang ilmu. Tujuan dilakukan nya sebuah percobaan adalah untuk menyelidiki hubungan antar perlakuan yang mempenggaruhi suatu proses. Merancang percobaan terlebih dahulu sangatlah

diperlukan, hal ini bertujuan agar data yang diperoleh relevan digunakan dan didapat informasi sebanyak mungkin. Sehingga percobaan yang dilakukan akan lebih efektif, efisien.

Dalam sebuah percobaan ada tiga tahap yang perlu dilakukan : a. Percobaan pendahuluan

Sebelum melakukan percobaan yang sesungguhnya maka diperlukan adanya percobaan pendahuluan, hal ini bertujuan untuk memperoleh petunjuk dalam pemilihan perlakuan. Sehingga pada tahap ini dilakukan perbandingan beberapa perlakuan.

b. Percobaan sebenarnya

Setelah percobaan pendahuluan maka tahap selanjutnya adalah percobaan sebenarnya. Pengendalian keragaman faktor yang mempengaruhi percobaan dilakukan secara ketat. Hal ini bertujuan untuk menentukan perlakuan (treatment). Pada tahap ini sangat memperhatikan prinsip rancangan percobaan, sehingga hasil yang diperoleh memenuhi persyaratan untuk dianalisis.

c. Percobaan demontrasi

Tahap terakhir dalam percobaan adalah percobaan demontrasi, yang bertujuan menujukkan hasil dan keunggulan dari percobaan yang telah dilakukan serta membandingkan dengan hasil percobaan sebelumnya.

2. Dasar- dasar rancangan percobaan

Dalam merancang sebuah percobaan, perumusan masalah secara rinci merupakan hal terpenting karena dengan perumusan masalah yang rinci akan

didapat berbagai alternatif penyelesaian dan kesimpulan yang valid dan objektif.

Dibawah ini merupakan langkah-langkah untuk merancang sebuah percobaan:

a. Menentukan adanya suatu masalah.

b. Merumuskan masalah secara jelas dan rinci.

Perumusan masalah yang jelas akan memberikan pengertian keadaan sebenarnya dan penyelesaian dari masalah tesebut dengan lebih baik.

c. Memilih faktor dan taraf

Faktor merupakan jenis perlakuan. Sedangkan yang dimaksud dengan perlakuan adalah kondisi tertentu yang diberikan dalam sebuah percobaan. Sehingga dalam merancang percobaan peneliti harus dapat memilih faktor yang mempengaruhi percobaan tersebut, faktor ini sering disebut dengan variabel bebas.

Taraf (level) merupakan perlakuan terhadap setiap faktor. Ada dua jenis taraf yaitu taraf kualitatif dan kuantitatif. Taraf kualitatif adalah taraf yang berupa data kualitatif (qualitative data) dan taraf kuantitatif adalah taraf yang berupa data kuantitatif (quantitative data). Data kualitatif secara sederhana disebut data yang bukan berupa angka. Data ini dibagi menjadi dua yaitu data nominal dan data ordinal. Data kuantitatif (quantitative data) merupakan data yang berupa angka dalam arti sebenarnya. Data kuantitatif dapat dibagi menjadi dua yaitu data interval dan data rasio.

d. Memilih variabel respon.

Variabel respon dalam suatu percobaan merupakan variabel yang akan diukur. Variabel ini juga disebut dengan variabel terikat.

e. Memilih rancangan percobaan.

Pemilihan jenis rancangan percobaan yang tepat akan mempengaruhi tingkat efisiensi percobaan.

f. Analisis data

Dengan analisis statistik yang tepat maka akan diperoleh kesimpulan yang benar dan objektif.

g. Kesimpulan

Dalam merancang sebuah percobaan ada beberapa prinsip dasar yang harus dipenuhi yaitu:

a. Randomisasi

Randomisasi bertujuan agar setiap perlakuan dalam percobaan mendapat peluang yang sama. Fungsi randomisasi adalah:

• Asumsi saling bebas antar perlakuan terpenuhi.

• Agar estimasi eror dan rata–rata perlakuan tidak terjadi bias.

• Memperkecil kemungkinan adanya korelasi antar pengamatan dan korelasi antar eror.

• Meningkatkan objektifitas dalam memberikan perlakuan materi percobaan.

b. Replikasi

Jika dalam rancangan percobaan setiap perlakuan diulang sebanyak n kali maka rancangan itu dikatakan mempunyai n replikasi (perulangan). Fungsi dari replikasi adalah untuk menentukan besarnya variansi eror, mempertinggi ketepatan percobaan dan memperluas ruang lingkup percobaan.variansi eror merupakan perbedaan hasil dari suatu pengamatan dengan perlakuan yang sama.

Banyaknya replikasi tergantung pada banyak perlakuan, tingkat homogenitas dan banyaknya materi percoban. Jika jumlah perlakuan dan materi cukup banyak dan homogen maka tidak memerlukan replikasi yang banyak, hal ini akan menimbulkan pembengkaan biaya dan percobaan kurang efektif.

c. Pemblokan

Pemblokan berarti mengumpulkan materi percobaan yang relatif homogen menjadi satu kelompok, sehingga diperoleh beberapa kelompok materi percobaan dengan variansi dalam kelompok tetap kecil dan variansi antar kelompok lebih besar.

3. Jenis-jenis rancangan percobaan

Secara umum rancangan percobaan dapat dibagi menjadi dua kelompok yaitu rancangan percobaan kelompok lengkap dan rancangan kelompok tidak lengkap. Rancangan kelompok lengkap adalah rancangan percobaan yang seluruh perlakuannya muncul dalam satu kelompok. Sedangkan rancangan kelompok

tidak lengkap adalah rancangan percobaan yang hanya sebagian dari perlakuan muncul dalam setiap kelompok.

Rancangan percobaan kelompok lengkap dibagi menjadi empat jenis yaitu rancangan kelompok tanpa pembatasan, rancangan kelompok dengan satu batasan, rancangan kelompok dengan dua batasan dan rancangan kelompok dengan batasan tiga atau lebih. Sedangkan contoh kelompok tidak lengkap adalah rancangan petak terpisah.

Rancangan acak lengkap termasuk rancangan kelompok tanpa batasan. Rancangan jenis ini digunakan untuk percobaan yang mempunyai materi dan faktor percobaan yang relatif homogen, bannyaknya percobaan setiap perlakuan tidak sama.. Misalnya percobaan yang dilakukan didalam laboratorium.

Sedangkan rancangan kelompok dengan satu pembatasan adalah rancangan acak kelompok (random blok design) yaitu sebuah rancangan kelompok lengkap yang mempunyai batasan pengacakan. Dalam rancangan ini materi percobaan dibagi menjadi beberapa kelompok berdasarkan homogenitas materi dan setiap amatan dalam kelompok dapat diulang. Rancangan faktorial termasuk dalam kelompok ini.

Contoh rancangan percobaan kelompok dengan dua pembatasan adalah rancangan bujursangkar latin dan crossover design, sedang contoh kelompok dengan tiga atau lebih pembatasan adalah rancangan bujursangkar latin graeco dan rancangan bujursangkar hyper graeco

BAB III

RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k

Dalam percobaan sering melibatkan sejumlah faktor dan setiap faktor tersebut biasanya terdiri dari beberapa perlakuan (taraf). Kombinasi perlakuan dari sebuah percobaan ditentukan oleh kombinasi dari setiap kombinasi taraf di setiap faktornya. Jika dalam sebuah percobaan akan meneliti semua kombinasi perlakuan yang ada, maka percobaan tersebut dinamakan percobaan faktorial. Sehingga percobaan faktorial diperoleh dengan menyilangkan semua taraf dari setiap faktornya. Misal suatu percobaan akan membandingkan lima jenis varietas tanaman dengan tiga cara bercocok tanam yang berbeda. Maka akan diperoleh percobaan faktorial 5 x 3, yang memerlukan 15 kombinasi perlakuan yang berbeda.

Dalam kehidupan sehari-hari banyak percobaan yang melibatkan sejumlah faktor dimana setiap faktornya terdiri atas dua taraf. Misal sebuah percobaan yang hanya melibatkan dua macam temperatur ekstrim yaitu tinggi dan rendah, dua jenis mesin cuci yaitu jenis lama dan jenis baru. Jika suatu percobaan yang melibatkan k buah faktor yang masing-masing faktor mempunyai dua taraf maka percobaan itu disebut percobaan faktorial 2k. Banyaknya taraf 2 ditulis sebagai bilangan pokok dan k yang merupakan banyaknya faktor ditulis sebagai pangkat. Misal sebuah rancangan percobaan akan melibatkan dua faktor yaitu A dan B, masing- masing faktor terdiri atas dua taraf, maka termasuk rancangan percobaan faktorial 22. Sehingga untuk percobaan faktorial 2k akan mempunyai kombinasi

perlakuan sebanyak 2k. Dalam percoban faktorial 2k diasumsikan bahwa semua faktor yang terlibat adalah tetap dan pengamatan yang diambil berdistribusi normal.

A. Rancangan Percobaan Faktorial 22

Bentuk rancangan faktorial 2k yang paling sederhana adalah rancangan percobaan faktorial 22, karena dalam rancangan tersebut hanya melibatkan 2 faktor dan masing-masing faktor mempunyai dua taraf. Misal dalam suatu percobaan yang melibatkan 2 buah faktor yaitu A dan B. Faktor A mendapat perlakuan a1 dan, a2 sedangkan faktor B mendapat perlakuan b1 dan b2, sehingga terdapat 4 buah kombinasi perlakuan yaitu a1b1, a1b2 ,a2b1 dan a2b2. Dan untuk setiap kombinasi perlakuan mendapat replikasi sebanyak n kali.

Taraf dalam rancangan percobaan faktorial akan dibedakan menjadi taraf rendah dan tinggi. Taraf rendah (low level) akan dinotasi dengan (-) dan taraf tinggi ( high level) yang dinotasikan dengan (+). Indeks 1 menyatakan taraf rendah dan indeks 2 menyatakan taraf tinggi.

Huruf kapital dalam rancangan percobaan faktorial menyatakan efek utama faktor sedangkan huruf kecil menyatakan kombinasi perlakuan. Keberadaan suatu huruf menyatakan faktor yang bersangkutan berada pada taraf yang tinggi dalam amatan tersebut. Sedangkan ketidakberadaan huruf menyatakan bahwa faktor yang bersangkutan berada pada taraf rendah. Jika semua faktor pada taraf yang rendah maka dinyatakan dengan notasi (1). Misal kombinasi perlakuan a menyatakan jumlah pengamatan dengan taraf faktor A lebih tinggi dari taraf

faktor B, b menyatakan jumlah pengamatan dengan taraf faktor B lebih tinggi dari taraf faktor A, ab menyatakan jumlah pengamatan kedua faktor pada taraf yang tinggi. Secara umum pengamatan percobaan faktorial 22 dengan n replikasi dapat dinyatakan dalam Tabel 3.1

Tabel 3.1 : Percobaan faktorial 22

A Faktor a1 a2 b1 (1) a B b2 b ab

Selain itu dalam rancangan percobaan sering terdapat istilah efek utama dan efek sederhana. Efek sederhana adalah perbedaan pengamatan pada taraf tinggi dan taraf rendah dari suatu faktor, sedangkan efek utama adalah rata-rata dari efek sederhana.

Efek sederhana dari faktor A terhadap b1 adalah (a-(1))/n sedang efek sederahana

faktor A pada b2 adalah (ab-b)/n. Efek sederhana faktor B pada a1 adalah (b-(1))/n

sedangkan pada a2 adalah (ab-a)/n.

Karena efek utama adalah rata-rata dari efek sederhana maka efek utama faktor A dan efek utama faktor B adalah:

(

(1) 2 1 ) 1 ( 2 1 _{= + − −} ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ab a b n n a n b ab A

)

(3.1)

(

(1) 2 1 ) 1 ( 2 1 − − + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ab b a n n b n a ab B

)

(3.2)

sedangkan untuk interkasi AB merupakan rata-rata selisih dari efek sederhana faktor A pada taraf b1 dengan taraf b2 atau selisih dari efek sederhana faktor B pada taraf a1 dengan taraf a2 sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut: