ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI

(1)

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI

SKRIPSI

IBNU ADZAN TRIANTO

PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA

2016

(2)

i

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI

SKRIPSI

IBNU ADZAN TRIANTO

PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(3)

(4)

(5)

iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.

(6)

(7)

vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang

berjudul “Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit

Demam Berdarah Dengan Vaksinasi” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan

kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling

baik bagi kehidupan umat manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi

Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku Koordinator Program Studi S1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

(8)

vii

5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan

inspirasi dalam perkuliahan dan selaku dosen pembimbing II yang senantiasa

penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa

ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh

kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,

arahan, waktu, serta semangat.

7. Ahmadin S.Si, M.Si dan Dra. Hj. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen

penguji yang telah memberikan koreksi dan masukan demi perbaikan skripsi

ini.

8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen

Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal

lelah.

9. Yang tercinta kedua orang tua saya Suwito dan Rulli Variah serta

kakak-kakak tercinta Ari Fardian Purwono dan Vita Vardian Dwiyanti yang selalu

memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya.

10. Cendy Agustin Yudhistias yang sudah memberikan doa, dukungan dan

semangat selama ini.

11. Aji, Annisa, Artha, Dewi Ika, Faul, Gagan, Putri, Rezki Pradipta, Rizki

Azizia, Rokhana, Selva, Suci, Tuhfa dan Tyas yang merupakan teman

seperjuangan dalam menyelesaikan skripsi.

(9)

viii

12. Adi, Ajeng, Alfian, Baim, Cakra, Dewi, Ellyza, Fandi, Firdha, Ghanda, Rizki

Fajar, Reza, Rima, Robert, Sri, Tiar, Tito, dan Ubaid yang telah mengajarkan

arti sahabat selama ini.

13. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas

dukungan dan kebersamaannya selama ini.

14. Semua pihak ysng tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan

pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas

Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan

masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat

diharapkan untuk penulisan berikutnya.

Surabaya, Januari 2016

Ibnu Adzan Trianto

(10)

ix

Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit Demam Berdarah dengan Vaksinasi. Skripsi ini dibawah

bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan oleh spesies nyamuk betina Aedes aegypti dan Aedes Albopictus. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan cara pemberian vaksin yang dinamakan

Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV).

Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika transmisi penyakit DBD tanpa pengontrol, dan dengan penentuan pengontrol berupa vaksinasi untuk mengeliminasi penyebaran penyakit DBD. Untuk model tanpa pengontrol diperoleh tiga titik setimbang. Titik setimbang pertama yaitu titik setimbang non endemik 𝐸0 yang stabil asimtotis jika memenuhi kreteria tertentu. Titik setimbang non endemik yang kedua adalah 𝐸1, dari titik setimbang tersebut didapatkan besaran Basic Reproduction Ratio (𝑅0) yang merupakan tolak ukur terjadinya endemik penyakit DBD. Titik setimbang tersebut stabil asimtotis jika syarat eksistensi titik tersebut terpenuhi dan 𝑅0 < 1. Titik setimbang yang terakhir adalah titik setimbang endemik 𝐸2 yang stabil asimtotis jika 𝑅0 > 1.Untuk model transmisi DBD dengan variabel pengontrol, ditentukan syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol 𝑢 yang berupa vaksinasi dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik untuk mengkaji efek pemberian pengontrol. Dari hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah populasi yang terinfeksi virus dengue dengan biaya minimal.

Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Vaksinasi, Kestabilan, Kontrol Optimal.

(11)

x

Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathe matic Model of the Trans mission of Dengue disease Using Vaccination. This thesis is

supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematic Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

Dengue is a disease caused by dengue virus it transmitted by the female mosquitos species, namely Aedes aegypti and Aedes Albopictus. This disease causes death if not treated seriously. The disease can be prevented by vaccine, called Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV).

In this thesis, analyzes a mathematic model of dengue transmission without controller and determine the controller such as vaccination to eliminate of dengue disease spreading. For a model without controller there are three equilibria in the model. The first one is disease free equilibrium point 𝐸0, it is asymptotically stable if it fulfills some certain criterias. The second one is disease free equilibrium point 𝐸1, from those equilibrium points, also obtained amount of Basic Reproduction Ratio (𝑅0) which is a meassure endemic of dengue disease happened. It is asymptotically stable if the existence conditions is obtained and

𝑅0 < 1. The last equilibrium point is endemic equilibrium point 𝐸2 that is asymptotically stable if 𝑅0 > 1. For mathematic model of dengue with controller variable, is determined by specific conditions existence of optimal control from controller u vaccination by using Pontryagin Maximum Principle. Then, the thing which has to do is numerical simulation to examinate the effect of giving controller. From the result of numerical simulation shows that giving a controller is effective for minimizing amount of the infected dengue disease of human population with minimal cost.

Keywords: Mathematic model, Dengue, Vaccination, Stability, Optimal Control

(12)

xi

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL... i

LEMBAR PERNYATAAN ... ii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORSINALITAS... ... v

KATA PENGANTAR... vi

(13)

xii

2.1.2. Proses Penularan DBD... 6

2.1.3. Cara Pencegahan DBD... 8

2.2. Sistem Persamaan Differensial... 10

2.3. Sistem Autonomus ... 11

2.4. Basic Reproduction Number (𝑅0) ... 12

2.5. Kestabilan Asimtotis Lokal ... 14

2.5.1. Linierisasi... 14

2.5.2. Akar-akar persamaan karakteristik. ... 15

2.6. Kriteria Routh-Hurwitz ... 16

2.7. Masalah Kontrol Optimal ... 19

2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin... 19

BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 22

BAB IV PEMBAHASAN ... 24

4.1. Model Matematika Transmisi Penyakit DBD tanpa Kontrol Optimal... 24

4.1.1. Titik Setimbang Model ... 28

4.1.2. Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal ... 33

4.2. Model Matematika Transmisi Penyakit DBD dengan Kontrol Optimal... 40

BAB V PENUTUP... 51

5.1 Kesimpulan... 51

5.2 Saran ... 53

DAFTAR PUSTAKA ... 54

(14)

xiii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Tabel Halaman

4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada

model matematika transmisi penyakit DBD 25

4.2 Nilai awal untuk bidang fase 38

4.3 Nilai parameter model matematika transmisi penyakit

DBD 39

4.4 Keterangan parameter-parameter tambahan pada model

matematika transmisi penyakit DBD dengan kontrol

optimal 41

4.5 Perbandingan jumlah populasi manusia terinfeksi pada

waktu akhir pengamatan 48

4.6 Perbandingan jumlah populasi manusia sembuh pada

4.7 Perbandingan jumlah populasi nyamuk terinfeksi pada

(15)

xiv

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman

4.1 Diagram transmisi penyakit DBD tanpa kontrol vaksinasi 26

4.2 Grafik bidang fase populasi manusia rentan 𝑆ℎ(𝑡) terhadap

populasi manusia terinfeksi 𝐼_ℎ(𝑡) pada model matematika

transmisi penyakit DBD untuk titik setimbang 𝐸2 39

4.3 Dinamika populasi manusia terinfeksi penyakit DBD (𝐼_ℎ) 47

4.4 Dinamika populasi manusia sembuh dari DBD (𝑅_ℎ) 48

4.5 Dinamika populasi nyamuk terinfeksi virus dengue (𝐼_𝑚) 49

4.6 Grafik kontrol 𝑢 50

(16)

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran

1. Perhitungan Titik Setimbang Non Endemik 𝐸0 dan 𝐸1

2. Perhitungan Titik Setimbang Endemik 𝐸2

3. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Non

Endemik 𝐸0

4. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Non

Endemik 𝐸1

5. Pencarian Persamaan Karakteristik Pada Titik Setimbang Endemik 𝐸2

6. Kode Program Maple Grafik Bidang Fase pada Titik Setimbang

Endemik 𝐸2

7. Program MATLAB untuk Model Transmisi Penyakit DBD tanpa

Pengontrol

8. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada MATLAB untuk Model

Transmisi Penyakit DBD dengan Pengontrol ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA