PEMBAHASAN SOAL-SOAL MATEMATIKA

(1)

Pembahasan OSN 2011 oleh Rohadi Usman, S.Pd ( rohadiu@yahoo.co.id)

PEMBAHASAN

SOAL-SOAL MATEMATIKA

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2011

OLEH: ROHADI USMAN, S.Pd

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DEREKTORAT

JENDRAL

MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH

(2)

soal matematika

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2011

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DEREKTORAT JENDRAL

MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH

(3)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2011

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DEREKTORAT JENDRAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

Petunjuk

1. Terdapat dua jenis soal yang perlu Anda jawab di dalam seleksi ini, yaitu Soal pilihan Ganda.

2. Anda diberikan waktu selama 2,5 jam (150 menit) tanpa istirahat untuk menjawab semua.

3. Untuk Soal Pilihan Ganda, bobot nilai setiap soal adalah 3, sedangkan untuk soal Isian Singkat, bobot nilai setiap soal adalah 4. Karena itu, total nilai maksimal yang setiap peserta seleksi adalah 20 x 3 + 10 x 4 = 100.

4. Kerjakan setiap soal pada tempat yang telah disediakan di lembar jawaban. 5. Untuk Soal Pilihan Ganda

a. Silanglah jawaban yang benar pada lembar jawaban yang telah disediakan b. Jika meralat jawaban, lingkari jawaban yang salah

6. Untuk Soal Isian Singkat

a. Isilah jawabannya saja tanpa

b. Kalau memerlukan satuan ukuran, berikan pula satuan ukurannya 7. Aturan peringkat :

a. Berdasarkan nilai akhir tertinggi.

b. Jika nilai akhirnya sama, ditentukan dari nilai tertinggi yang bagian B. c. Jika nilai akhir dan nilai bagian B masih sama, ditentukan berdasrkan kelas

termuda dari siswa.

d. Apabila pada butir c masih terdapat peserta yang sama, maka ditentukan dengan melihat nilai dari bagian B dengan memperhatikan tingkat kesukaran.

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU TES : 150 MENIT

(4)

BAGIAN A : PILIHAN GANDA 1. Nilai !− !+ != ⋯ A. ! B. ! C. ! D. ! E. ! Penyelesaian: 1 8!− 2 9!+ 3 10!= 10.9.1 10! − 10.2 10! + 3 10!= 90 10!− 20 10!+ 3 10!= 73 10! Jawab: C

2. Menggunakan angka-angka 1, 2, 5, 6, dan 9 akan dibentuk bilangan genap terdiri dari lima angka. Jika tidak ada angka yang berulang, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ….

A. 70820 B. 79524 C. 80952 D. 81236 E. 83916 Penyelesaian:

Bilangan genap terbesar: 96512 Bilangan genap tekecil : 12596

Selisih bilangan terbesar dan terkecil = 96512 – 12596 = 83916 Jawab: E

3. Pada gambar berikut tabung berisi air, tinggi dan diameter tabung tersebut adalah 18 cm dan 6 cm. Kemudian ke dalam tabung dimasukkan 3 bola pejal yang identik ( sama bentuk ) sehingga bola tersebut menyinggung sisi tabung dan air dalam tabung keluar, maka sisa air di dalam tabung adalah ….

(5)

Pembahasan OSN 2011 oleh Rohadi Usman, S.Pd ( rohadiu@yahoo.co.id) A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 E. 55 Penyelesaian: ( ) = 18 ( ) = 6, = 3 − = 3 = −3 = −3. = 3 18−3. 3 = 162 −108 = 54 Jawab:D

4. Seorang ilmuan melakukan percobaan terhadap 50 ekor kelinci, dan melaporkan hasilnya sebagai berikut:

 25 ekor diantaranya kelinci jantang,

 25 ekor dilatih menghindar jebakan, 10 ekor diantaranya jantang,

 20 ekor (dari 50 ekor) berhasil menghindar jebakan, 4 diantaranya jantang,

 15 ekor yang pernah dilatih berhail menghindar jebakan, 3 ekor diantaranya jantan

Berapa ekor kelinci betina yang tidak pernah dilatih,tidak dapat menghindar jebakan ? A.5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 Penyelesaian:

Banyak kelinci betina = 25 ekor

15 ekor kelinci betina dilatih menghidari jebakan, berarti ada 10 tidak dilatih 16 ekor kelinci betina berhasil menghindari jebakan

12 ekor kelinci betiha yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, berarti ada 4 ekor kelinci betina yang tidak dilatih berhasil menghindari jebakan. Banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih,tidak dapat menghindar jebakan= 10 – 4 = 6 ekor

Jawam: B

5. Banyaknya bilangan bulat sehingga

√ + √ merupakan bialngan bulat

(6)

Pembahasan OSN 2011 oleh Rohadi Usman, S.Pd ( rohadiu@yahoo.co.id) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7 Penyelesaian: √ + √ = .( √ ) √ .( √ )+ .( √ ) √ .( √ )= (4− ) 4 , (4− )≠0

Agar menjadi bilangan bulat, maka x = 0, 2, 3, 5, 6, dan 8

ℎ 6

Jawab: D

6. Urutan tiga bilangan 2 , 3 , 4 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah …. A. 2 , 4 , 3 B. 2 , 3 , 4 C. 3 , 4 , 2 D. 4 , 3 , 2 E. 3 , 2 , 4 Penyelesaian: 2 = 2 ( ) _{= 16} 3 = 3 ( ) _{= 27} 4 = 4 ( ) _{= 16}

Urutan dari kecil ke besar yaitu:

2 , 4 , 3

Jawab: A

7. Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah …. A. 3800 B. 3820 C. 3840 D.3900 E. 3940 Penyelesaian:

(7)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Untuk duduk dikursi 1 ada 10 kemungkinan,yaitu bisa A,B,C,D,E,F,G,H,I,J Jika A duduk di kursi No.1, maka di kursi No.2 harus si B.

Di kursi 2 hanya 1 kemungkinan, karna suami istri harus berdampingan Di kursi 3 ada 8 kemungkinan

Di kursi 4 hanya 1 kemungkinan Di kursi 5 ada 6 kemungkinan Di kursi 6 hanya 1 kemungkinan Di kursi 7 ada 4 kemungkinan Di kursi 8 hanya 1 kemungkinan Di kursi 9 ada 2 kemungkinan Di kursi 10 hanya 1 kemungkinan

Jadi banyak cara mereka duduk berdampingan adalah: 10.1.8.1.6.1.4.1.2.1 =3840 cara

Jawab: C

8. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur, 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur rusak dilakukan pengetesan satu persatu tanpa pengembalian. Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah …. A. B. C. D. E. Penyelesaian:

Misalkan telur baik adalah B, dan telur rusak adalah R 10 baik dan 5 rusak

Ada 6 kemungkinan pengambilan:

I. ( ∩ ∩ ∩ ∩ ) = . . . . =

II. ( ∩ ∩ ∩ ∩ ) = . . . . =

(8)

IV. ( ∩ ∩ ∩ ∩ ) = . . . . =

V. ( ∩ ∩ ∩ ∩ ) = . . . . =

VI. ( ∩ ∩ ∩ ∩ ) = . . . . =

Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah:

= 6. =

Jawab: B

9. Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB 2 cm dan TA 4 cm. Jarak titik B dan rusuk TD adalah ….

A. √5 B. √6 C. √7 D. 2√5 E. 2√6 Penyelesaian: = 2 = = 4 =√2 + 2 = 2√2, =√2 = √ − = 4 −(√2) =√14 =√2.√7 ∆ = . . = . 2√2.√2.√7 = 2√7 ∆ = . . 2√7 = . 4. =√7

adalah jarak titik B terhadap rusuk TD

E C B A T D F T D B E

(9)

Jawab: C

10. Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti terlihat pada gambar. Jika keliling sebuah lingkaran 62,8 cm dengan = 3,14 maka luas daerah yang diarsir adalah ….

A. 344 B. 364 C. 484 D. 688 E. 728 Penyelesaian: = 62,8 = 2 2 . 3,14. = 62,8; = 10 = 4 = 40; = 4 = 40

Luas daera yang diarsi = Luas ABCD – 4xLuas lingaran = . – 4. = 40.40−

6.3,14.10.10 = 1600−1256 = 344

Jawab: A

11. Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah … jam

A. 105 B. 110 C. 114 D. 124 E. 144 Penyelesaian:

1 Jam terlambat 5 menit

12 jam terlambat 60 menit (1 jam)

A _B

C D

(10)

Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, misalkan pukul 12.00, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah

terlambat 12 jam.

12 1

12 = 12. 12 = 144

Jawab: E

12. Di dalam kotak terdapat 18 bola identik (berbentuk sama), 5 berwarna hitam, 6 berwarna putih dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang yang terambil bola berwarna sama adalah ….

A. B. C. D. E. Penyelesaian: ( ℎ ) = . = ( ℎ) = . = ( ℎ ) = . = = + + = Jawab: A

13. Perhatikan gambar di samping, persegi ABCD dengan panjang sisi 14 cm menyinggung lingkaran. Masing-masing sisi persegi dibuat setengah lingkaran dengan diameter sisi persegi tersebut. Jika = 3,14 , maka luas daerah yang diarsir adalah … . A. 49 B. 56 D C B A

(11)

Pembahasan OSN 2011 oleh Rohadi Usman, S.Pd ( rohadiu@yahoo.co.id) C. 112 D. 178 E. 196 Penyelesaian: =√14 + 14 = 14√2, = 7√2 = 7 = 14

Luas daerah yang diarsir = 2.luas lingkaran berjari-jari 7 – ( luas lingkaran berjari-jari 7√2 - luas persegi )

= 2.22 7 . 7.7−( 22 7 . 7√2.7√2−14.14) = 308−(308−196) = 196 Jawab: E 14. Diketahui 2 + 2 = 2, 2 + 2 =⋯ A. 1 B. 2 C. √2 D. 3 E. √3 Penyelesaian: (2 + 2 ) = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 = 4 2 + 2 = √4 = 2 Jawab: B

15. Rataan usia kelompok guru dan professor adalah 40 tahun. Jika rataan

kelompok guru adalah 35 tahun sedangkan rataan kelompok professor adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dengan professor adalah ….

A. 2 : 1 B. 1 : 2 C. 3 : 2 D. 2 : 3 E. 3 : 4 Penyelesaian: = = = 40, 40 + 40 = 35 + 50 , 5 = 10 , : = 2: 1 Jawab: A

(12)

16. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 , maka panjang PQ adalah … cm

A. ½ B. 1 C. √2 D. √3 E.4√3 Penyelesaian: = 13 = 25 = 125 = . . + . . = . . + . . = 125 25. = 125, = 5 = − = √13 −5 = √144 = 12 = = 12 = −2 = 25−2.12 = 25−24 = 1 Jawab: B 17. 54 + 14√5 + 12−2√35 + 32−10√7 =⋯ A. 10 B. 11 C. 12 D. 5√6 E. 6√6 Penyelesaian: 54 + 14√5 = (7 +√5) = 7 +√5 12−2√35 = (√7− √5) =√7− √5 32−10√7 = (5− √7) = 5− √7 7 +√5 +√7− √5 + 5− √7 = 12 Jawab: C P D C B A Q

(13)

18. Hasil penjumlahan 1! + 2! + 3! + … + 2011! adalah suatu bilangan yang angka satuannya adalah …. A. 3 B. 4 C. 5 D. √6 E. √7 Penyelesaian: 1! = 1, 1 2! = 2.1 = 2, 2 3! = 3.2.1 = 6, 6 4! = 4.3.2.1 = 24, 4 5! = 5.4.3.2.1 = 120, 0 6! = 6.5.4.3.2.1 =⋯0, 0 7! = . .0, 0 . . . 2011! =⋯0, 0 1! + 2! + 3! + … + 2011! = 1 + 2 + 6 + 4 + 0 +⋯0 = 3 Jawab: A

19. Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir, maka banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka di dalam mobil adalah …. A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 E. 280 Penyelesaian: 1 2 3 4 5 6

Misalkan kursi 1 adalah sopir, maka ada 2 kemungkinan untuk duduk di kursi 1 Di kursi 2 ada 4 kemungkinan

Di kursi 3 ada 3 kemungkinan Di kursi 4 ada 2 kemungkinan Di kursi 5 ada 1 kemungkinan

Ada 5 kemungkinan kursi tidak diduduki,yaitu bisa di kursi,2,3,4,5 dan 6 Banyaknya cara mengatur tempat duduk= 2. 4. 3. 2. 1.5 = 240

(14)

20. Sebuah bingkai foto yang berbentuk persegi diputar 45° dengan sumbu putar

titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Jika panjang sisi persegi adalah 1 cm, luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah …

A. 1 + 2√2 B. 2 + 2√2 C. 1 D. 2−2√2 E. 2√2−2 Penyelesaian:

Panjang diagonal persegi

=√1 + 1 =√2 = √2 = , = , = = √2− ∆ ~∆ = , = . = = √2− = 2. = 2. √2− =√2−1 = −4. ∆ = 1.1−4. . . = 1−4( . √2−1 . √2− = 1− √2−1 √2−1 = 1− 2−2√2 + 1 = 2√2−2 Jawab: E

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1. Lima permen identik (berbentuk sama), satu rasa apel, dua rasa jeruk dan dua rasa jahe akan dibagikan kepada lima sekawan Anto, Bono, Carli, Dede dan Edo, sehingga masingmasing mendapat satu permen. Peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah ….

Penyelesaian:

( ) = 5.4.3.2.1

Ada 2 permen rasa jahe sehingga banyaknya titik sampel Anto mendapat permen rasa jahe yaitu : 2.4.3.2.1

( ℎ ) = . . .

. . . . =

2. Jumlah angka-angka dari hasil kali bilangan 999999999 dengan 12345679 adalah …. Penyelesaian: D C B A P S R Q T U V W

(15)

999.999.999 12345679 = (1.000.000.000−1).12345679 999.999.999 12345679 = 12345679000000000−12345679 999.999.999 12345679 = 12345678987654321

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 81

Jadi jumlah angka-angka dari hasil kali bilangan 999999999 dengan 12345679 = 81

3. Perhatikan gambar berikut. ABCD persegi dengan panjang sisi-sinya 2 cm. E adalah titik tengan CD dan F adalah titik tengah AD. Luas daerah EDFGH adalah … Penyelesaian: + = 1 ∆ ~∆ 1 2= , = 2 + = 1, + 2 = 1, 3 = 1, = ℎ = + 2. ∆ . = 1.1 + 2.1 2. 1. 1 3= 1 + 1 3= 1 1 3

4. Nilai jumlahan bilangan berikut adalah...

1 −2 + 3 −4 + 5 − ⋯ −2010 + 2011 Penyelesaian: 1 −2 + 3 −4 + 5 −6 +⋯+ 2009 −2010 + 2011 = −(3 + 7 + 11 + 15 + . . . + 4019) +20112 = − ( ½ 1005 ( 6 + 1004 4) +20112 = − ( ½ 1005 4022) + 20112 = −1005 2011 + 20112 = 2011 (2011 – 1005) = F G H E D C B A F G H E t1 C B A t2 1 I D ₁ 2 2

(16)

1 −2 + 3 −4 + 5 − ⋯ −2010 + 2011 =

5. Jika barisan , , , … memenuhi + , +⋯+ = untuk semua n bilangan asli, maka =⋯

Penyelesaian:

+ , +⋯+ + = 100

+ , +⋯+ = 99

99 + = 100

= 100 −99 = 1000000−970299 = 29701

6. Semua pasangan bilangan bulat (a,b) yang memenuhi 2 = −1 adalah … Penyelesaian: 2 = −1 = 2 + 1 = ∓√2 + 1 ℎ = 3, =−3, = 3 (3,−3), (3,3)

7. Tersedia beberapa angka 2, 0, dan 1. Angka dua sebanyak lima buah masing-masing berwarna merah, hijau, kuning, biru dan nila. Angka nol dan satu masing-masing ada sebanyak empat buah dengan warna masing-masing merah, hijau, kuning dan biru. Selanjutnya menggunakan angka-angka tersebut akan dibentuk bilangan 2011 sehingga angka-angka yang bersebelahan tidak boleh sewarna. Contoh pewarnaan yang dimaksud : 2 (merah) 0 (hijau) 1 (merah) 1 (biru). Contoh bukan pewarnaan yang dimaksud : 2 (merah) 0 (hijau) 1 (hijau) 1 (biru). Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah ….

Penyelesaian:

Angka 2 ada 5 warna yaitu merah, hijau, kuning, biru dan nila Angka 0 ada 4 warna yaitu merah, hijau, kuning, biru

Angka 1 ada 4 warna yaitu merah, hijau, kuning, biru

2 0 1 1

Untuk angka 2 ada 2 kemungkinan yaitu warna nila dan bukan warna nila Jika anka 2 warna nila maka, angka 0 ada 4 kemungkinan warna, angka 1 ada tiga kemungkinan, angka 1 ada 3 kemungkinan

Banyak kemungkinan jika warna nila pada angka 2 = 1.4.3.3 = 36

Untuk angka 2 bukan warna nila ada 4 kemungkinan warna yaitu merah, hijau, kuning, biru

(17)

Angka 0 ada 3 kemungkinan, angka 1 ada 3 kemungkinan , angka 1 ada 3 kemungkinan.

Banyak kemungkinan jika angka 2 bukan warna nila yaiut: 4.3.3.3=108 Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut = 36+108=144

8. Sebuah kotak berisi 500 kelereng berukuran sama yang terdiri dari 5 warna dimana masing-masing kelereng sewarna berjumlah 100. Minimum banyaknya kelereng yang harus diambil secara acak sedemikian sehingga kelereng yang terambil dijamin memuat sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama adalah …. Penyelesaian:

Miasalkan:

100 kelereng berwarna biru(b) 100 kelereng berwarna hijau(h) 100 kelereng berwarna kuning(k) 100 kelereng berwarna merah(m) 100 kelereng berwarna putih(p)

Jika kita mengambil 5 kelereng maka kemungkinan terkecil yang terambil adalah (b, h, k, m, p)

Jika kita mengambil 20 kelereng maka kemungkinan terkecil yang terambil adalah (4b, 4h, 4k, 4m, 4p)

jadi Minimum banyaknya kelereng yang harus diambil secara acak sedemikian sehingga kelereng yang terambil dijamin memuat sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama adalah 21

9. Jika (3 + 4)(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 ) = (3 −4 ), maka − =⋯ Penyelesaian: (4 −3 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 ) = (3 −4 ) (4 −3 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 ) = (3 −4 ) (4 −3 )(3 + 4 )(3 + 4 )(3 + 4 ) = (3 −4 ) (4 −3 )(3 + 4 )(3 + 4 ) = (3 −4 ) (4 −3 )(3 + 4 ) = (3 −4 ) (4 −3 ) = (3 −4 ) = 64, = 64 − = 64−64 = 0

10. Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat :

a. Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif b. Rata-rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15.

(18)

Banyaknya semua himpunan berjenis H ini adalah …. Penyelesaian: = { , , } , , ∈ = 15, + + = 45 < < = 0, = 45− = 1,2,3, … ,22 banyaknya pasangan 22 = 1, = 44− = 2,3, … ,21, banyaknya pasangan 20 = 2, = 43− = 3,4 … ,21, banyaknya pasangan 19 = 3, = 42− = 4,5 … ,20, banyaknya pasangan 17 = 4, = 41− = 5,6 … ,20, banyaknya pasangan 16 = 5, = 40− = 6,7 … ,19, banyaknya pasangan 14 = 6, = 39− = 7,8, … ,19 banyaknya pasangan 13 = 7, = 38− = 8,9, … ,18 banyaknya pasangan 11 = 8, = 37− = 9,10 … ,18 banyaknya pasangan 10 = 9, = 36− = 10,11 … ,17 banyaknya pasangan 8 = 10, = 35− = 11,12, … ,17 banyaknya pasangan 7 = 11, = 34− = 12,13, … ,16 banyaknya pasangan 5 = 12, = 33− = 13,14, … ,16 banyaknya pasangan 4 = 13, = 32− = 14,15, banyaknya pasangan 2 = 14, = 31− = 15 banyaknya pasangan 1

Banyaknya semua himpunan berjenis H = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 20 + 22 = 169