PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi Indonesia yang semakin meningkat dan dikuti oleh majunya pemikiran masyarakat dalam usaha perniagaan membuat maraknya usa-ha asuransi akhir-akhir ini. Hal ini dapat dipausa-hami mengingat meningkatnya laju pembangunan di Indonesia pada berbagai sektor kehidupan yang mengakibatkan semakin meningkatnya risiko yang dihadapi.
Hubungan antara risiko dan asuransi merupakan hubungan yang erat satu de-ngan yang lain. Dari sisi manajemen risiko, asuransi bahkan dianggap sebagai salah satu cara yang terbaik untuk menangani suatu risiko. Menurut Undang-Undang No. 2 Tahun 1992 Pasal 1: ”Asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertang-gung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada ter-tanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita ter-tanggung yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau untuk memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan”.
Salah satu risiko yang dimiliki hampir seluruh kalangan masyarakat adalah kehilangan ataupun rusaknya kendaraan bermotor yang dimilikinya. Risiko bagi pemilik kendaraan bermotor ini merupakan risiko yang besar. Berdasarkan data yang dirilis oleh Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2012 telah terjadi 41.816 kasus pencurian kendaraan bermotor, naik 17,2% dibanding tahun sebelumnya. Se-dangkan untuk kasus kecelakaan lalu lintas, pada tahun 2013 telah terjadi 100.106 kasus kecelakaan lalu lintas dengan total kerugian materi yang ditimbulkan adalah
sebesar 255,864 triliun rupiah. Oleh karena besarnya risiko yang dihadapi, asuransi kendaraan bermotor semakin marak dicari oleh para pemilik kendaraan bermotor. Begitu pula dengan perusahaan asuransi yang berlomba-lomba menawarkan produk asuransi kendaraan bermotornya kepada masyarakat.
Satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah pembayaran pertanggung-an terhadap klaim ypertanggung-ang diajukpertanggung-an. Beberapa perusahapertanggung-an biaspertanggung-anya menetapkpertanggung-an harga premi yang murah agar menarik perhatian masyarakat untuk menjadi nasabah, ini mengakibatkan modal perusahaan asuransi menjadi kurang sehingga akan kesulit-an dalam memenuhi semua klaim ykesulit-ang diajukkesulit-an oleh nasabah. Namun berdasarkkesulit-an Surat Edaran (SE) Otoritas Jasa Keuangan (OJK) Nomor 6/D.05/2013 tentang pene-tapan tarif premi serta ketentuan biaya akuisisi pada lini usaha asuransi kendaraan bermotor dan harta benda serta jenis risiko khusus meliputi banjir, gempa bumi, letusan gunung berapi dan tsunami, mulai tahun 2014 telah ditetapkan tarif batas bawah dan batas atas premi. Tarif batas atas ditetapkan dengan tujuan melindu-ngi kepentingan masyarakat dari pengenaan premi yang berlebihan(over-pricing). Sedangkan penetapan tarif batas bawah bertujuan mencegah tarif premi yang tidak memadai yang dapat menyebabkan perusahaan asuransi tidak mampu membayar kewajibannya saat terjadi klaim.
Penggunaan konsep matematika aktuaria dan probabilitas merupakan cara utama dalam menetapkan harga premi asuransi. Para aktuaris secara teknis meng-olah data klaim asuransi yang dimiliki perusahaan untuk memodelkan banyaknya klaim dan total besar klaim yang diajukan agar dapat diperoleh fungsi distribusi probabilitasnya. Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai pem-bentukan berbagai distribusi majemuk yang dapat digunakan untuk memodelkan distribusi dari banyaknya klaim yang diajukan. Selain itu dibentuk juga suatu fung-si rekurfung-sif yang bertipe Panjer untuk menghitung distribufung-si probabilitas dari total besar klaim asuransi. Selanjutnya dengan menggunakan data klaim asuransi kenda-raan bermotor pada tahun 2012, dilakukan estimasi parameter dari model distribusi tersebut sehingga dapat dihitung distribusi probabilitasnya.
1.2. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam, Universitas Gadjah Mada.
2. Mengembangkan konsep probabilitas dan kombinatorik untuk membentuk distribusi majemuk dengan jumlahan Borel yang dapat digunakan untuk me-modelkan distribusi dari banyaknya klaim asuransi yang diajukan.
3. Membentuk fungsi rekursif tipe Panjer dari distribusi majemuk dengan jum-lahan Borel untuk memodelkan distribusi dari total besar klaim asuransi.
4. Mengaplikasikan distribusi majemuk dengan jumlahan Borel dan fungsi re-kursifnya untuk menghitung fungsi massa probabilitas dari total besar klaim asuransi kendaraan bermotor.
1.3. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini pembahasan akan difokuskan pada pengembangan dis-tribusi majemuk dengan jumlahan Borel yang digunakan sebagai model disdis-tribusi frekuensi atau banyaknya klaim asuransi yang diajukan. Pembentukan distribusi majemuk dengan jumlahan Borel ini hanya menggunakan pengembangan konsep probabilitas dan identitas kombinatorik. Distribusi dari total besar klaim asuransi dibentuk sebagai suatu distribusi majemuk diskrit dan dalam perhitungannya meng-gunakan formula rekursif dengan tipe Panjer. Data yang dimeng-gunakan adalah data kla-im asuransi pada tahun 2012 dari suatu perusahaan asuransi kendaraan bermotor di Indonesia. Metode yang digunakan dalam mengestemasi parameter adalah meto-de maksimumlikelihood. Pada proses estimasi parameter dan penggunaan formula rekursif dalam perhitungan fungsi massa probabilitas total besar klaim asuransi di-gunakan perangkat lunak pemrograman R 2.11.1 dan Microsoft Excel.
1.4. Tinjauan Pustaka
Dempster [1959] pada jurnalnya yang berjudul”GeneralizedD+
n Statistcs”
menjelaskan tentang pengujian hipotesis berganda. Dalam jurnal tersebut diketahui bahwa banyaknya kesalahan dalam penolakan hipotesis pada prosedur step down
dan step up linear mempunyai distribusi asimtotik dalam kasus jumlah hipotesis nullnya meningkat sampai tak terhingga tetapi hipotesis alternatifnya tetap. Dis-tribusi asimtotik ini muncul juga pada jurnal yang ditulis oleh Finner dan Roters [2001] dan juga ditunjukkan oleh Scheer [2012]. Distribusi asimtotik ini dikenal sebagaigeneralized Poisson distribution (GPD) [Jain, 1975] dan weighted Lagra-ngian distribution[Janardan, 1987].
Terinspirasi dari kedua ditribusi asimtotik tersebut, Finner dkk. [2014] pada jurnalnya yang berjudul ”On Some Compound Distributions With Borel Summan-ds”mengembangkan berbagai distribusi majemuk dengan jumlahan Borel. Terda-pat tiga distribusi majemuk yang dikembangkan yaitu distribusi majemuk Poisson dengan jumlahan Borel atau yang dikenal sebagai GPD, distribusi majemuk Bartlett dengan jumlahan Borel atau yang dikenal sebagai distribusi Lagrangian terbobot, dan distribusi majemuk Delaporte dengan jumlahan Borel. Selain itu dikembangk-an juga fungsi rekursif tipe Pdikembangk-anjer ydikembangk-ang telah dijelaskdikembangk-an oleh Pdikembangk-anjer [1981] untuk menghitung fungsi massa probablitas dari total besar klaim asuransi.
Pada skripsi ini akan membahas tentang pembentukkan distribusi majemuk dengan jumlahan Borel beserta interpretasi aktuarianya dan pembentukan fungsi re-kursif yang akan digunakan dalam perhitungan probabilitas dari total besar klaim asuransi. Dalam mengembangkan distribusi majemuk ini, hanya digunakan kon-sep probabilitas yang telah dijelaskan di berbagai buku yang ditulis oleh Bain dan Engelhardt [1992], Casella dan Berger [2002], Hogg dkk. [2005], Ross [2007], Su-banar [2013], dan Wibisono [2009] dan identitas kombinatorik yang telah dijelask-an oleh Chong ddijelask-an Meng [1992] ddijelask-an Riorddijelask-an [1968]. Dalam berbagai pembuktidijelask-an teorema maupun lemma, seringkali digunakan metode induksi matematika yang diterangkan oleh Munir [2010]. Beberapa konsep asuransi dan aplikasinya yang
di-jelaskan oleh Klugman dkk. [2004] juga digunakan dalam interpretasi aktuaria dari distribusi majemuk dengan jumlahan Borel.
1.5. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Studi literatur dilakukan dengan memperoleh sumber-sumber resmi dari perpusta-kaan maupun berbagai situs online. Sumber-sumber resmi tersebut seperti buku teori yang berkaitan dengan tema skripsi dan jurnal atau paper yang dijadikan seba-gai acuan penulisan serta referensi lain yang menunjang penulisan skripsi.
1.6. Sistematika Penulisan
Garis besar sistematika penulisan yang digunakan penulis pada skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan mengenai latar belakang pengambilan tema, tujuan penulisan yang ingin dicapai, pembatasan masalah agar tidak menyimpang dari tujuan penu-lisan, tinjauan pustaka untuk memperkuat argumen, metode penulisan yang digu-nakan, serta sistematika penulisan skripsi yang dilakukan untuk memberikan arah dan tujuan terhadap penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini menjelaskan mengenai teori yang menunjang dalam pengembangan berba-gai distribusi majemuk dengan jumlahan Borel dan fungsi rekursifnya. Teori-teori penunjang tersebut seperti konsep probabilitas, permutasi dan kombinasi, generali-sasi Abel dari formula binomial, variabel random, dan metode estimasi parameter maksimumlikelihood.
BAB III DISTRIBUSI MAJEMUK DENGAN JUMLAHAN BOREL DAN FUNGSI REKURSIFNYA
distribu-tion) dengan jumlahan Borel, yaitu distribusi majemuk Poisson, Bartlett, dan De-laporte dengan jumlahan Borel untuk memodelkan distribusi dari banyaknya klaim asuransi yang diajukan atau disebut dengan model distribusi frekuensi. Selain itu dibahas juga suatu fungsi rekursif dengan tipe Panjer yang dapat digunakan untuk menghitung distribusi probabilitas dari total besar klaim asuransi.
BAB IV STUDI KASUS
Bab ini menjelaskan tentang aplikasi model distribusi majemuk dengan jumlahan Borel. Studi kasus yang diambil adalah pembentukan distribusi probabilitas dari to-tal besar klaim asuransi kendaraan bermotor berdasarkan data klaim asuransi tahun 2012 dari suatu perusahaan asuransi kendaraan bermotor di Indonesia. Berdasarkan data dilakukan estimasi parameter dari distribusi frekuensi menggunakan metode maksimumlikelihooddan selanjutnya dihitung fungsi massa probabilitas dari total besar klaim asuransi melalui formula rekursif.
BAB V PENUTUP
Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan yang dapat diambil dari hasil pembahasan bab-bab sebelumnya dan memberikan saran untuk kekurangan penulis yang dapat digunakan untuk kelanjutan pembahasan skripsi ini.
