Pemodelan Matematika dan Kontrol

(1)

Bab 3

Pemodelan Matematika dan

Kontrol

3.1 Identifikasi Sistem

Metode untuk memodelkan sistem masukan-keluaran bervariasi dan disesuai-kan dengan informasi yang dimiliki. Informasi yang diperludisesuai-kan untuk membangun sistem masukan-keluaran pada tugas akhir ini adalah selisih suku bunga deposito dalam US Dollar dan Rupiah serta kurs US Dollar terhadap Rupiah. Informasi-informasi tersebut berupa data deret waktu (time-series) dan selalu berubah-ubah. Oleh karena itu pemodelan dibangun berdasarkan data periode tertentu dan hasil-nya hahasil-nya berlaku pada periode tersebut. Sebagai ilustrasi dalam membangun model, identifikasi sistem dilakukan berdasarkan data nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan selisih bunga deposito dalam US Dollar dan dalam Rupiah selama pe-riode Januari 2006-Januari 2007. Selisih bunga deposito dianggap sebagai masukan karena asumsi bahwa bunga deposito Rupiah dapat dikontrol. Sedangkan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dianggap sebagai keluaran sistem karena diharapkan de-ngan mengontrol masukan, keluaran sistem dapat dikontrol. Data yang digunakan sebagai masukan dalam membangun sistem adalah data selisih suku bunga deposito dan keluarannya data kurs tengah US Dollar terhadap Rupiah.

(2)

Bulan Suku Bunga Suku Bunga Selisih Suku Deposito Rupiah Deposito USD Bunga Deposito Januari 2006 11, 18 3, 65 7.53 Februari 2006 11, 7 3, 71 7, 99 Maret 2006 12, 1 3, 75 8, 35 April 2006 12, 2 3, 77 8, 43 Mei 2006 12, 2 3, 82 8, 38 Juni 2006 12, 09 3, 91 8, 18 Juli 2006 11, 97 3, 92 8, 05 Agustus 2006 11, 79 3, 98 7, 81 September 2006 11, 52 4, 07 7, 45 Oktober 2006 11, 26 3, 68 7, 58 November 2006 10, 98 3, 73 7, 25 Desember 2006 10, 7 4, 22 6, 48 Januari 2007 10, 27 4, 15 6, 12

(3)

Bulan Kurs Tengah Rupiah Kurs Tengah US Dollar terhadap US Dollar terhadap Rupiah Januari 2006 9395 0, 00010644 Februari 2006 9230 0, 000108342 Maret 2006 9075 0, 000110193 April 2006 8775 0, 00011396 Mei 2006 9220 0, 00010846 Juni 2006 9300 0, 000107527 Juli 2006 9070 0, 000110254 Agustus 2006 9100 0, 00010989 September 2006 9235 0, 000108284 Oktober 2006 9110 0, 000109769 November 2006 9165 0, 00010911 Desember 2006 9020 0, 000110865 Januari 2007 9090 0, 000110865

Tabel 3.2: Data Keluaran

Berdasarkan data masukan dan keluaran di atas, dengan menggunakan System Identification Toolbox pada MatLab 7.0 dibangun suatu sistem masukan-keluaran musiman. Beberapa model masukan-masukan-keluaran yang diperoleh adalah:

1. Model ARX

A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (3.1)

dengan

A(q) = 1 − 0.3409q−1+ 0.02047q−2− 0.4723q−3− 0.2405q−4

B(q) = −2.331 · 10−6q−1+ 4.527 · 10−6q−2− 5.855 · 10−6q−3+ 3.139 · 10−6q−4 Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 90.14 %.

(4)

2. Model ARMAX

A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t)

dengan

A(q) = 1 + 0.4305q−1− 1.649q−2

B(q) = 4.828 · 10−6q−1− 7.72 · 10−6_q−2

C(q) = 1 − 40.2459q−1− 0.7706q−2

Model tersebut memiliki tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model sebesar 21.81 %.

3. Model Output-Error y(t) = B(q) F (q) u(t) + e(t) dengan B(q) = 1.082 · 10−6q−1− 1.276 · 10−6_q−2 F (q) = 1 − 0.4133q−1− 6026q−2

4. Model Box-Jenkins y(t) = B(q) F (q) u(t) + C(q) D(q) e(t) dengan B(q) = −1.071 · 10−6q−1+ 2.875 · 10−6q−2 C(q) = 1 − 0.602q−1− 0.4121q−2 D(q) = 1 − 1.267q−1+ 0.2724q−2 F (q) = 1 − 0.4257q−1− 0.05051q−2

(5)

5. Model State-Space

x(t + T s) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t)

dengan A =   1.2247 0.43957 0.0078958 1.49   B = h −0.36505 −0.20438 i C = h 1.1718 · 10−5 −5.0384 · 10−6 i D = 0 K =   3.552 · 105 4.054 · 105   X(0) =   9.8189 1.7113  

Berdasarkan tingkat perbandingan antara keluaran yang terukur dengan keluaran hasil simulasi dari model, model yang sesuai untuk model masukan-keluaran selama periode Januari 2006-Januari 2007 adalah model ARX. Di luar periode terse-but, model 3.1 tidak berlaku dan harus dibangun model yang berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, variabel e(t) akan dihilangkan karena galat tidak bisa di-modelkan. Sehingga model ARX pada persamaan 3.1 dapat dituliskan sebagai per-samaan beda linear:

(6)

yt− 0.3409yt−1+ 0.02047yt−2− 0.4723yt−3− 0.2405yt−4=

−2.331 · 10−6ut−1+ 4.527 · 10−6ut−2− 5.855 · 10−6ut−3+ 3.139 · 10−6ut−4

Persamaan di atas memiliki bentuk yang sesuai dengan persamaan 2.12 pada bab 2.2

y(k)+a1y(k −1)+a2y(k −2)+· · ·+any(k −n) = b0u(k)+b1u(k −1)+· · ·+bnu(k −n)

dengan a1 = −0.3409 a2 = 0.02047 a3 = −0.4723 a4 = −0.2405 b0 = 0 b1 = 2.331 · 10−6 b2 = 4.527 · 10−6 b3 = −5.855 · 10−6 b4 = 3.139 · 10−6

Sehingga dapat diubah ke bentuk kanonik keterkontrolan :

        x1(k + 1) x2(k + 1) x3(k + 1) x4(k + 1)         =         0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409                 x1(k) x2(k) x3(k) x4(k)         +         0 0 0 1         u(k) y(k) = h 3.139 · 10−6 −5.855 · 10−6 _{4.527 · 10}−6 _{2.331 · 10}−6 i         x1(k) x2(k) x3(k) x4(k)         (3.2)

Persamaan 3.2 merupakan model masukan-keluaran yang akan digunakan untuk perhitungan selanjutnya.

(7)

3.2 Keterkontrolan dan Keterobservasian Sistem

Untuk memeriksa keterkontrolan sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa rank matriks keterkontrolannya sebesar 4. Berdasarkan persamaan 2.18 pada bagian 2.3:

rankh H GH G2H G3H i = 4 dengan G =         0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409         dan H =         0 0 0 1        

Diperoleh matriks keterkontrolan:

        0 0 0 1 0 0 1 −03409 0 1 −0.3409 0.0957 1 −0.3409 0.0957 0.4466        

yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem 3.2 terkontrol. Untuk memeriksa keterobservasian sistem 3.2, cukup ditunjukkan bahwa matriks keterobservasian sistem 3.2 mempunyai rank 4 berdasarkan persamaan 2.23, yaitu: rank         C CG CG2 CG3         = 4

(8)

dengan G =         0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.2405 0.4723 −0.02047 0.3409         dan C =h 3.139 · 10−6 −5.855 · 10−6 _{4.527 · 10}−6 _{2.331 · 10}−6 i

Diperoleh matriks keterobservasian:

10−5·         0.3139 −0.5855 0.4527 −0.2331 −0.0561 0.2038 −0.5807 0.5322 0.1280 0.1953 0.1929 −0.7621 −0.1833 −0.2320 02109 0.4527        

yang memiliki rank = 4 sehingga dapat disimpulkan sistem 3.2 terobservasi. Karena sistem 3.2 terkontrol dan terobservasi, secara teoritis pengendalian kurs US Dollar dapat dilakukan.

3.3 Penempatan Kutub

Penempatan kutub pada sistem 3.2 diperlukan agar sistem mempunyai kon-trol yang lebih baik. Dengan kutub, pengonkon-trol dapat memperbaiki konkon-trol dengan melihat keluaran pada periode sebelumnya. Sedangkan tanpa kutub, sistem lang-sung menerima pengontrol namun tidak melihat perilaku sistem yang ditambahkan kutub.

Misalkan pada sistem 3.2 dipilih sinyal kontrol

u(k) = −Kx(k)

dengan K state feedback gain matrix berukuran 1 × 4. Untuk sistem diskret, K dapat dipilih sebarang, real maupun imajiner, namun harus termuat dalam jari-jari

(9)

lingkaran satuan.Apabila diinginkan sinyal kontrol di atas memiliki closed-loop poles pada p = h −0.05 −0.02 0.03 −0.01 i

matriks K dicari berdasarkan informasi closed-loop poles yang diinginkan. Dengan komputasi, diperoleh state feedback gain matrix

K =h 0.2405 0.4723 −0.0212 −0.2909 i

(3.3)

Matriks K digunakan dalam analisa kestabilan sistem dengan metode Lyapunov.

3.4 Analisa Kestabilan Lyapunov

Sistem yang telah ditambahkan kutub memiliki perilaku yang berbeda. Ana-lisis kestabilan Lyapunov metode kedua diterapkan pada sistem untuk melihat kesta-bilan sistem dengan kutub. Sehingga diperoleh gambaran yang lebih jelas tentang sistemnya.

Pada penurunan syarat kestabilan Lyapunov (bagian 2.6), sistem 2.27 tidak mengandung vektor masukan u(k). Akibatnya syarat kestabilan untuk sis-tem 3.2 berbeda dengan sissis-tem 2.27. Berikut adalah penurunan syarat kestabilan Lyapunov untuk sistem dengan vektor masukan berupa sinyal kontrol

u(k) = −Kx(k)

Misalkan suatu sistem diskret didefinisikan sebagai berikut:

x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) (3.4)

dengan

u(k) = −Kx(k)

x adalah vektor keadaan berukuran n dan G adalah n × n matriks konstan dan nonsingular.H(k) matriks masukan yang berukuran n × r. K state feedback gain

(10)

matrix berukuran 1 × n. Sistem 3.4 dapat diubah menjadi:

x(k + 1) = (G-HK)x(k) (3.5)

Kestabilan dari sistem di atas akan diselidiki dengan metode Lyapunov yang kedua. Matriks K dipilih sedemikian hingga nilai eigen G-HK adalah closed-loop poles yang diinginkan µ1, µ2, . . . , µn

Pilih suatu fungsi Lyapunov yaitu

V (x(k)) = x ∗ (k)Px(k)

P adalah matriks Hermitian definit positif atau matriks definit positif yang real dan simetris. Kemudian: ∆V (x(k)) = V (x(k + 1)T ) − V x(kT ) = x*(k + 1)Px(k + 1) − x*(k)Px(k) = [(G-HK)x(k)]∗P [(G-HK)x(k)] − x*(k)Px(k) = x*(k)(G-HK)*P(G-HK)x(k) − x*(k)Px(k) = x*(k)(G-HK)*P(G-HK)-Px(k)

V (x(k)) harus definit positif karena V (x(k)) mengambil ide dari fungsi energi, se-dangkan fungsi energi tanpa gaya dari luar bernilai positif. Karena V (x(k)) positif agar V (x(k)) fungsi yang monoton turun ∆V (x(k)) harus negatif. Sehingga

∆V (x(k)) = x*(k)Qx(k)

dengan

Q = −(G-HK)*P(G-HK)-P (3.6)

definit positif. Sehingga untuk syarat kestabilan sistem 3.5 cukup dengan memenuhi Q definit positif. Q dipilih berupa matriks identitas berukuran 4 × 4

(11)

Dengan mensubstitusi nilai G,H pada persamaan 3.2 dan matriks K dari persamaan 3.3, akan dicari matriks Lyapunov P yang memenuhi 3.6. Diperoleh matriks Lyapunov:         4.0025 −0.0502 0.0039 −0.0001 −0.0502 3.0025 −0.0502 0.0039 0.0039 −0.0502 2.0025 −0.0502 −0.0001 0.0039 −0.0502 1.0025        

yang memenuhi syarat 3.6.

Dengan dipenuhinya syarat kestabilan Lyapunov, berarti state feedback gain matrix K pada persamaan 3.3 dapat membuat sistem stabil. Sehingga sistem masukan-keluaran musiman yang akan digunakan selanjutnya adalah:

        x1(k + 1) x2(k + 1) x3(k + 1) x4(k + 1)         =         0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0.0007 −0.05                 x1(k) x2(k) x3(k) x4(k)         y(k) =h 3.139 · 10−6 −5.855 · 10−6 _{4.527 · 10}−6 _{2.331 · 10}−6 i         x1(k) x2(k) x3(k) x4(k)         (3.7)