BAB 2 PDB Linier Order Satu 2

Konsep Dasar

PDB Linier Order Satu

Aplikasi PDB Order Satu

3.1 Masalah Dalam Mekanik

Misal 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama waktu 4t maka kecepatan rata-rata didenisikan

vr = 4x 4t

= xB;xA

tB;tA

:

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v = lim 4!0 vr= lim 4t!0 4x 4t v = dx_dt (m=dt): v = dv_dt (m=dt2)

Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I)

Hukum ini juga disebut hukum Kelemba-man Newtonyang berbunyi' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang bekerja pada benda itu'.

Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II)

Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Se-cara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F =ma dimana F adalah gaya dan m suatu massa.

Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W =mg:

F dalam hal ini direpresentasikan denganW dan a=g, sehingga bisa kita tulis

mg = W ma = F mdvdt = F mdv_dxdx_dt = F mvdv_dx = F

adalah model dari PDB order satu.

Contoh 3.1.1

Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v, dan kecepatan gravitasi bumi adalah g = 10m=dt2, serta gaya gesek udara adalah ;2v. Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.

Penyelesaian 3.1.1

Hukum newton mengatakan F = ma atau P

F = ma. Dalam hal ini f1 = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F2 =gaya gesek udara =;2v (gaya keatas) sehingga

mdvdt = F1+F2 8 10dvdt = 8;2v 1 8;2vdv = 108 dt

Karena benda berawal dari keadaan diam maka v(0) = 0, sehingga model PDB sekarang adalah

1

8;2vdv = 108

dt v(0) = 0 Integralkan kedua ruasnya didapat

; 1 2 ln(8;2v) +c 0 = 108t+c1 ln(8;2v) = ; 5 2t+c2 (8;2v) = e ; 5 2t +c 2 2v = ;Ce ; 5 2t+ 8 v _{= 12(8};Ce ; 5 2t)

Dengan memasukkan nilai awalv(0) = 0 makac= 4 sehingga ekspresi kecepatan adalah

v(t) = 4;2e ;

5 2t:

Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v(t) kedalam v = dx dt

sehingga model PDB sekarang adalalah dx dt = 4;2e ; 5 2t x(0) = 0

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu adalah x(t) = 4t; 4 5e 5 2t + 45

3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t, maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang disimbulkan dengan dQ

dt berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain

dQ

dt = rQ pertumbuhan dQ

dt = ;rQ peluruhan

3.2.1 Pertumbuhan Populasi

Jikayadalah jumlah populasi dalam waktut,kadalah konstanta proportionalitas atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy

dt = ky y(t0) = y0

Selanjutnya bilak berubah-ubah maka dapat kita ganti denganh(y) yang dapat dipilih h(y) =r;ay maka model pertumbuhan menjadi

dy dt = (r;ay)y dy dt = r(1; y K)y dimana K = ra y(t0) = y0

PDB ini dikenal dengan persamaan

Verhulst

atau persamaan

Logistik

. Solusi kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar 3.1. -3 -2 -1 0 1 2 3 y(x) -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x Asymptotic solution

Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.

Contoh 3.2.1

Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx

dt = 1100x; 1 (10)8x

2

Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka 1. berapa besar populasi tahaun 2000

2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun 1980

Penyelesaian 3.2.1

Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan

x(1980) = 100000 sehingga model PDB sekarang adalah

dx dt = 1100x; 1 (10)8x 2 x(t0) = x0

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah 1

(10);2x

;(10)

;8x2dx=dt Integralkan kedua ruasnya

Z 1 (10);2x(1 ;(10) ;6x)dx = Z dt 100 Z 1 x+ (10) ;6 1;(10) ;6xdx = Z dt 100; lnx;ln(1;(10) ;6x)  +c0 = t+c1 ln₁ x ;(10) ;6x = t 100 +c2 x 1;(10) ;6x = e t 100 +c 2 x 1;(10) ;6x = ce t 100 x = ce t 100 1 + (10);6ce t 100 Terapkan nilai awal x(1980) = 100000 didapatc= (10)

6 9e

19:8 sehingga

x(t) = 106

1 + 9e19:8;t=100 (3.1) Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut

1. jumlah populasi tahun 2000 artinya t = 2000. Substitusikan nilai t ini kedalam persamaan 3.1 didapat x = 119495. Dengan demikian jumlah populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.

2. jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti x = 200000. Substitusikan nilai

x ini kedalam persamaan 3.1 didapat t = 2061. Dengan demikian jumlah populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.

3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (t !1) berarti

x = lim_t !1 106 1 + 9e19:8;t=100 x = lim_t !1 106 1 + 9e19:8et=100 x = 106 = 1000000

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter-batas adalah satu juta orang.

3.2.2 Peluruhan Radioaktif

Contoh 3.2.2

Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang seband-ing dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg dalam satu minggu, maka

1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu

2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari jumlah semula.

Penyelesaian 3.2.2

Gunakan rumus peluruhan. MisalQjumlah isotop Thorium-234 maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah

dQ

dt = ;rQ

Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh

Q(t) = 100e;rt

Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop men-jadi 82.04 mg artinya Q(7) = 82:04 mg akan didapat nilai r, sedemikian hingga ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah

Q(t) = 100e;0:02828t:

Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan-pertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)

3.3 Hukun Pendinginan Newton

Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka

proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan

dx

dt =k(x;xs) k >0 dimanak adalah konstanta tingkat pendinginan.

Contoh 3.3.1

Suatu benda dengan suhu80o_{Cdiletakkan diruangan yang bersuhu}

50o_{C pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70}o_C,

maka

1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu

3. kapan suhu menjadi 60o_C

Penyelesaian 3.3.1

Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses pendinginan dapat ditulis sebagai

dx

dt =k(x;50)

x(0) = 80 dan x(5) = 70 Solusi dari persamaan itu adalah

ln(x;50) +c

0 = kt+c1 (x;50) = ce

kt

x = 50 +cekt

Masukkan nilai awal maka nilai c= 30 sehingga persamaan menjadi

x= 50 + 30ekt

Dan masukkan kondisi kedua didapat

ek ₌;2 3 

1 5 sehingga ekspresi terakhir menjadi

x(t) = 50 + 30;2 3 

t 5

Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.

3.4 Campuran

Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu-ran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada

saat tertentu, maka perubahanQ terhadap tditunjukkan dengan dQ

dt. Kemudian

bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ dt =IN ;OUT K= L liter Q(0) = Q_0 gram v =r liter/min k =s gram/liter v =r liter/min

Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki. Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN = kv =sr gram=liter OUT = _KvQ = Qr_{L gram=liter}

Contoh 3.4.1

Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, ke-mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit.

2. Tentukan jumlah garam Q setiap saat.

Penyelesaian 3.4.1

Formula campuran adalah

dQ

dt =IN ;OUT:

Diketahui s = 1gram=literr = 4liter=menitL = 200liter dan Q(0) = 100 didapat

IN = kv =s gram=literr liter=menit= 4 gram=liter

OUT = _KvQ = _{K gram=liter}Q r liter=menit = 4

Q

200 gram=liter Sehingga

1. Model PDBnya adalah

dQ dt = 4; 4Q 200 = 4; Q 50 Q(0) = 100

2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat

Q(t) = 200;100e ;t=50

Latihan Tutorial 3

1. Suatu benda yang massanya 50 kg dari keadaan diam di suatu puncak ber-gerak diatas bidang miring dengan panjang 20 m dari puncak ketanah, dan sudut kemiringan 45o _{(lihat Gambar 1). Bila koesien gesek kinitis}

k = 0:2. Tentukan:

(i)

ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t,

(ii)

berapa jarak yang ditempuh benda selama 5 detik, dan

(iii)

berapa waktu

t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah.

45o N W 45o f gesek

Gambar 3.3: Gerakan benda pada bidang miring.

f

Petunjuk :

uraikan gaya-gaya yang bekerja pada benda dan ingat

fgesek=kN g.

2. Suatu benda dengan massa konstanmditembakkan tegak lurus keatas men-jauhi permukaan bumi dengan kecepatan awalV0km=dt

2. Bila diasumsikan tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarak-jarak ter-tentu terhadap bumi, maka ter-tentukan

(a) model matematik dari kecepatan V(t) selama benda itu meluncur (b) tentukan V0 untuk mencapai ketinggian maksimum 100 km

(c) tentukan maksimum V0 supaya benda yang ditembakkan tadi tidak kembali kebumi.

(

Petunjuk

: gunakan g = 0:098km=dt2, jari-jari bumi R = 6378:388km dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan sebagaiw(x) = mgR2

(R+x) 2)

3. Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan dy dt =ry

; 1

Ty; 1

untuk r dan T konstanta positip, maka (a) gambar grak f(y) dan y.

(b) tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi kualitatif dari PD tersebut.

4. Jam 10.00 WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya setelah agak dingin. Awal mula suhu kopi adalah 95o_{C. Selanjutnya 10}

menit kemudian besar suhu kopi menjadi 75o_{C. Asumsikan suhu ruang}

tamu itu adalah konstan 27o_C.

(a) Berapa besar suhu kopi pada jam 10.18 WIB

(b) Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara 55o_{C sampai 60}o_C,

maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu.

5. Sebuah tangki besar awal mula berisi 300 liter larutan yang mengandung 5 kg garam. Larutan lain yang mengandung garam de-ngan konsentrasi

1

2kg/liter dituangkan kedalam tangki dengan laju 5 liter/menit dan campu-ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju 3 liter/menit.

(a) Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki setiap saat.

(b) Bila kapasitas maksimum tangki 750 liter tentukan domain waktu t

sehingga model diatas tetap berlaku.

(c) Pada poin (b) berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh. (d) Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum, tentukan

konsen-trasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas.

6. Suatu tangki berkapasitas 500 liter mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam den-gan konsentrasi 1 gram/liter masuk kedalam tangki denden-gan laju 3 liter/menit dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju 2 liter/menit. Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki setiap saat (sebelum dan sesudah tangki penuh).