1 |
SMA SANTA ANGELAMATRIKS
A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui data atau informasi dalam bentuk tabel, seperti tabel pertandingan sepakbola, tabel absensi kelas, tabel harga tiket kereta api dan sebagainya.
Contoh :
1. Tabel Pertandingan Sepakbola
Negara Menang Seri Kalah
Indonesia 4 1 0 Malaysia 4 0 1 Singapura 3 1 1
Laos 2 1 2
2. Tabel Absensi Kelas
Nama Sakit Ijin Alpa
Anita 3 2 1
Beno 0 2 1
Citra 2 1 0
3. Tabel Harga Tiket Kereta Api Bandung-Yogyakarta ( Dalam Ribuan )
Kereta Eksekutif Bisnis Ekonomi
Mutiara selatan 220 120 75
2 |
SMA SANTA ANGELANotasi matriks dari tabel-tabel diatas adalah sbb :
(
)
[
]
(
)
Pengertian atau Definisi Matriks
B. Ordo (Ukuran) Suatu Matriks
Adapun contoh-contoh matriks adalah sebagai berikut :
(
)
[
]
Pengertian Ordo (Ukuran) Matriks
Matriks adalah
𝑅
2×4
3 |
SMA SANTA ANGELAC. Jenis-Jenis Matriks
Adapun jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut : 1. Matriks baris
2. Matriks kolom (lajur) 3. Matriks persegi
4. Matriks persegi panjang 5. Matriks Segitiga
Matriks segitiga Atas Matriks segitiga Bawah 6. Matriks Diagonal
7. Matriks Identitas 8. Matriks Simetris 9. Matriks Nol
Contoh :
Tentukan termasuk jenis matriks yang mana matriks-matriks berikut ini :
( )
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
D. Transpos Suatu Matriks
Lambang transpos suatu matriks adalah ̅
Transpose suatu matriks adalah
4 |
SMA SANTA ANGELA(
)
(
)
*
+
*
+
E. Kesamaan Dua Matriks
Contoh :
1. Tentukan nilai a, b dan c dari matriks-matriks berikut :
[
] [
]
2. Tentukan nilai a, b, c dan d dari matriks berikut :
*
+ *
+
3. Diberikan kesamaan matriks :
[
] [
]
Tentukan nilai dari
( )
Jawab :
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A=B) jika dan hanya jika : 1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
2. Semua elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama
𝑎
𝑖𝑗𝑏
𝑖𝑗5 |
SMA SANTA ANGELAF. Operasi Aljabar Pada Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Syarat :
1. Matriks-matriks dapat dijumlahkan apabila memiliki ordo yang sama 2. Unsur-unsur yang dijumlahkan adalah unsur-unsur yang seletak.
Contoh :
Diketahui matriks-matriks :
*
+, *
+ , *
+ , *
+,
dan*
+
Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut ini : a.
dan
b.
( )
dan( )
c.,
dan( )
d.( )
danJawab :
a.(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Operasi Matriks
PENJUMLAHAN
PENGURANGAN
PERKALIAN
PEMANGKATAN
6 |
SMA SANTA ANGELA b.( ) (
) *(
) (
)+ (
)
(
) (
)
( ) *(
) (
)+ (
) (
) (
)
(
)
c.(
) (
) (
)
(
) (
)
( ) (
) (
) (
)
d.( )
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Kesimpulan :
Jika A, B, C dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Sifat 2. Sifat 3. Sifat 4. Lawan 5.
7 |
SMA SANTA ANGELA2. Pengurangan Matriks
Syarat :
1. Matriks-matriks dapat dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama 2. Unsur-unsur yang dikurangkan adalah unsur-unsur yang seletak.
Contoh :
1. Diketahui matriks-matriks :*
+, *
+ ,
*
+.
Tentukan( )
dan( )
2. Diketahui matriks-matriks :*
+, *
+.
Tentukan
( )
dan3. Diketahui matriks-matriks :
*
+, *
+ ,
*
+.
Apabila
,
tentukanlah nilaiJawab :
8 |
SMA SANTA ANGELA3. Perkalian Matriks
Contoh :
1. Diketahui : matriks-matriks*
+,
*
+,
*
+
dan[
].
Tentukandan
2. Diketahui : matriks-matriks
*
+, *
+ , *
+
Tentukanlah : a.dan
b.
( )
dan( )
c.( )
dan( )
d.( )( )
dan( )
e.( )
f.( )
dan g.( )
danJawab :
2 a. ( ) (
) (
) (
) (
)
( ) (
) (
) (
) (
)
b.( ) *(
) (
)+ (
) (
) (
)
(
)
Dua Matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C, jika dan hanya jika :
1. Matriks-matriks berbentuk matriks persegi. 2.
𝐴
𝑚×𝑝∙ 𝐵
𝑝×𝑛𝐶
𝑚×𝑛9 |
SMA SANTA ANGELA( ) (
) *(
) (
)+ (
) (
)
(
)
c.( ) (
) *(
) (
)+
(
) (
) (
)
( ) *(
) (
)+ *(
) (
)+
(
) (
) (
)
d.( ) (
) (
) ( ) (
) (
)
( ) *(
) (
)+ (
) (
)
e. ( ) (
) (
) (
) (
)
f.( )
*(
) (
)+ (
) (
)
(
) (
) (
)
g.( )
*(
) (
)+ (
) (
)
(
) (
) (
)
10 |
SMA SANTA ANGELAKesimpulan :
4. Pemangkatan Matriks
Syarat : Karena pemangkatan adalah perkalian berulang, maka
matriks bisa dipangkatkan apabila berupa matriks-matriks persegi.
Contoh :
1. Diketahui : matriks-matriks
*
+,
*
+.
Tentukan
( )
2 dan 22
.
2. Tentukan nilai dan dalam persamaan berikut ini : a.
(
)
sehingga 2b.
(
)
sehingga 23. Jika
[
]
, maka tentukanlah 2Jawab :
Jika A, B, C dan I adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Sifat 2. Sifat 3. Sifat 4. 5. 6. 7.
11 |
SMA SANTA ANGELAG. Determinan dan Invers Matriks
Pada pokok bahasan matriks di kelas XII ini pembahasan difokuskan pada mencari determinan dan invers matriks berordo 2 x 2 dan ditambahkan materi pengayaan yaitu mencari determinan dan invers matriks berordo 3 x 3. Determinan matriks berlaku pada matriks persegi saja.
1. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 2 x 2
a. Mencari Determinan
Notasi atau lambang determinan suatu matriks ditulis : “ det
( ), | |
atauContoh :
1. Jika
(
)
dan(
).
Tentukan determinandari matriks .
2. Tentukan nilai
dari persamaan berikut
|
| |
|
3. Diketahui :
(
)
dan(
).
Jika determinan A dan determinan B sama maka tentukanlah nilaiyang memenuhi. Jika matriks
𝐴 (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
maka determinan dari matriks Adapat ditentukan oleh :
det (𝐴) |𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| 𝑎𝑑 𝑏𝑐
Catatan :
1. Matriks Singular adalah matriks yang determinannya sama dengan 0 dan tidak memiliki invers.
2. Matriks Non-Singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan 0 dan memiliki invers.
12 |
SMA SANTA ANGELA4. Diketahui matriks :
(
)
dan(
) .
Tentukanlah nilaiyang memenuhi persamaan
( )
5. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan
|
|
Jawab :
b. Mencari Invers.
Contoh :
1. Jika
*
+
dan*
+.
Tentukanlah : a.( )
dan( )
b. dan c.dan d.
∙
dan∙
e.( )
dan( )
f. Apakah( )
∙
dan( )
∙
?
2. Diberikan :
(
)
dan(
).
Tentukanlah : a.∙ ( )
b. 2Jawab :
1. a. ( ) (
) (
) (
)
𝐴
det (𝐴)
( 𝑑
𝑐
𝑏
𝑎
)
Jika matriks𝐴 (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
dengan a, b, c, d∈
bilangan real13 |
SMA SANTA ANGELA( ) (
) (
) (
)
b.(
) (
)
(
) (
)
c.(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
d.∙
(
) (
) (
)
∙
(
) (
) (
)
e.( )
(
) (
)
( )
(
) (
)
f. Kesimpulan :14 |
SMA SANTA ANGELA2. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 3 x 3
(Pengayaan)
a. Mencari Determinan.
Contoh :
Carilah determinan dari matriks-matriks berikut ini : a.
[
]
(
)
Jawab :
Jika matriks𝐴 (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
)
(𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ∈ 𝑅)
maka determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan
aturan sarrus
:et (𝐴)
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
(𝑎𝑒𝑖 𝑏𝑓𝑔 𝑐𝑑ℎ) (𝑐𝑒𝑔 𝑎𝑓ℎ 𝑏𝑑𝑖)
15 |
SMA SANTA ANGELAb. Mencari Invers.
Contoh :
Carilah invers dari matriks-matriks berikut :
a.
[
]
b.(
)
Jawab :
𝐾
𝑖𝑗( )
𝑖+𝑗|
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠| ( )
𝑖+𝑗(𝑝𝑠 𝑞𝑟)
𝐴
det(𝐴)
𝐴𝑑𝑗 (𝐴)
Jika matriks𝐴 (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
)
(𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ∈ 𝑅)
makainvers dari matriks A dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
1. Mencari determinan dari matriks
det (𝐴)
2. Mencari kofaktor dari matriks A, dengan cara :
3. Mencari Adjoin dari matriks A, dengan cara : Adj
(𝐴) (
𝐾
𝐾
2𝐾
3𝐾
2𝐾
22𝐾
32𝐾
3𝐾
23𝐾
33)
16 |
SMA SANTA ANGELAH. Persamaan Matriks Berbentuk dan
Mencari matriks dari persamaan matriks berbentuk
dan
( ) ( ) Kesimpulan :
Contoh :
1. Tentukan matriks yang memenuhi persamaan :
a.
(
) (
)
b.(
) (
)
2. Jika (
) ( ) (
) maka tentukanlah nilai
(
)
3. Carilah matriks dari persamaan berikut :
(
) (
) (
)
17 |
SMA SANTA ANGELAI. Aplikasi Matriks Pada Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear baik yang dua variabel maupun yang tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks. Metode yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode “ATURAN CRAMER”
1. Sistem Persamaan Linear Dua variabel (SPLDV)
Perhatikan SPLDV berikut ini !
{
Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan
variabel-variabelnya adalah :
|
| ;
|
| ;
|
|
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini : a.
{
b.
{
Jawab :
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode “Aturan Cramer” adalah :
1. Mencari determinan dari matriks koefisien dan determinan dari variabel-variabel
𝑥 𝑦
dan𝑧 𝑫 𝑫
𝒙𝑫
𝒚𝑫
𝒛2. Mencari nilai
𝑥 𝑦
dan𝑧
dengan cara :𝒙
𝑫
𝒙𝑫
;𝒚
𝑫
𝒚𝑫
;𝒛
𝑫
𝒛𝑫
18 |
SMA SANTA ANGELA 2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)Perhatikan SPLTV berikut ini !
{
ℎ
Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan
variabel-variabelnya adalah :
ℎ
ℎ
( ℎ) ( ℎ )
ℎ
ℎ
( ℎ) ( ℎ )
( ) ( )
ℎ
ℎ
( ℎ) ( ℎ )
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini : b.
{
b.
{
Jawab :
19 |
SMA SANTA ANGELALatihan 1
1. Diketahui
5
3
1
0
1
3
5
2
3
0
5
4
2
1
1
P
Tentukan :a. elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen kolom ke-2 c. elemen-elemen kolom ke-4 d. elemen baris ke-1 kolom ke-3 e. elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2. Diketahui
6
2
0
4
0
4
1
3
1
5
3
2
X
Tentrukan : a. ordo Xb. elemen-elemen baris ke-2 c.
x
2.3d.
x
3.120 |
SMA SANTA ANGELA 3. Diketahui
4
2
3
1
5
1
5
2
0
6
4
2
A
Tentukan letak elemen :
a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0 4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?
a.
1
0
2
1
A
b.B
1
0
2
c.
3
3
4
0
3
1
0
0
3
C
d.
4
0
0
0
4
0
0
0
4
D
5. Berikan contoh lain dari matriks :
a. simetris b. segitiga bawah c. segitiga atas d. diagonal
Latihan 2 (Kesamaan dan Transpose Matriks)
1. Tentukan x dan y dari :
a.
2
5
9
3
5
8
3
3
y
x
b.
x
y
x
0
1
4
3
0
1
2
1
c.
3
5
2
4
3
2
1
4
x
x
y
x
y
d.
4
1
2
y
x
y
x
2. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
4
6
2
5
4
3
6
2
5
b
b
a
b.
8
6
2
2
10
c
a
bd
a
c
b
21 |
SMA SANTA ANGELA c.
5
2
3
2
1
3
a
d
b
c
d
b
a
d.
5
8
15
1
2
3
4
3
c
a
d
b
d
b
c
a
3. Tentukan transposenya dari :
a.
0
5
4
3
2
1
A
b.
5
2
1
3
0
5
1
2
4
B
4. Tentukan c jika
c
b
a
A
3
2
4
4
,
14
2
2
4
2
6
b
a
a
b
c
B
danA
B
TLatihan 3 (Operasi Matriks)
1. Sederhanakanlah a.
5
3
2
10
b.
10
5
4
3
5
1
1
2
c.
1
3
2
5
d.
4
7
3
2
5
1
2
0
e.
7
5
3
1
4
3
8
2
4
3
1
5
f.
5
3
2
1
4
0
3
7
1
2
4
5
g.
0
1
2
4
1
5
2
7
3
4
1
2
h.
2
1
3
4
5
4
i.
y
x
x
x
y
x
y
y
x
y
x
4
5
3
5
3
2
2
2. Tentukan x jika
3
2
4
1
5
4
3
2
x
3. Tentukan x jika
3
6
2
7
5
3
1
4
x
4. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
1
1
3
0
5
1
4
8
d
c
b
a
22 |
SMA SANTA ANGELA b.
5
1
0
4
5
3
2
4
d
c
c
a
b
a
5. Jika
1
3
5
2
A
dan
0
2
4
1
B
, maka tentukan : a. 2A + 2B b. 3A – 2B c.(
)
2
1
B
A
d. –4(A – B)6. Tentukan matriks X jika:
a.
8
10
6
4
2X
b.
0
3
6
7
4
5
2
3
2X
c.
4
2
3
1
0
10
1
5
2X
d.
1
2
1
3
0
2
1
1
0
0
1
X
7. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
5
4
7
5
3
1
3
1
2
2
c
b
d
a
b.
6
4
2
3
6
4
2
2
8
4
2
1
3
1
4
b
c
c
d
b
a
b
c
a
8. Diketahui
c
b
a
A
3
2
4
dan
7
1
2
3
2
b
a
a
b
c
B
. JikaA
2
B
T , maka tentukan nilai c! 9. Sederhanakan ! a.
2
5
4
3
b.
4
0
1
3
2
1
c.
3
1
2
1
9
8
6
4
23 |
SMA SANTA ANGELA d.
1
5
1
4
3
0
e.
1
2
5
3
0
1
4
3
f.
2
0
3
4
1
2
3
1
4
2
g.
3
0
2
4
1
3
5
2
4
3
0
1
h.
3
3
2
5
1
4
4
2
1
2
0
7
3
6
4
1
2
5
10. Diketahui
4
2
1
3
X
. JikaX
2
X
.
X
danX
3
X
.
X
.
X
makatentukan : a. 2
X
b.X
3 11. Jika
2
4
3
0
2
1
A
dan
0
0
1
1
2
4
B
maka tentukan : a. TBA)
(
b.(
AB)
T 12. Tentukan a jika
1
1
2
3
4
1
2
3
5
4
3
1
a
c
c
b
b
d
Latihan 4 (Invers Matriks Berordo 2 x 2)
1. Tentukan determinannya ! a.
2
3
3
5
A
b. B =
3
2
6
4
c.
1
3
3
2
C
d.
3
2
5
4
D
2. Tentukan inversnya ! (jika ada)
a.
3
5
1
1
A
b.
0
4
1
5
B
c.
6
3
8
4
C
d.
5
8
6
10
D
24 |
SMA SANTA ANGELA 3. Tentukan x jika
x
x
x
P
2
8
singular 4. Tentukan matriks X jika :a.
15
14
5
8
0
2
5
4
X
b.
1
2
3
4
4
3
2
1
X
c.
14
28
4
1
2
3
X
d.
2
10
5
14
2
8
1
4
1
2
X
Latihan 5 (Invers Matriks Berordo 3 x 3 / Pengayaan)
1. Tentukan determinan dari :
a.
1
3
0
1
2
3
0
2
1
A
b.
2
1
1
0
3
3
1
2
4
B
c.
2
1
4
3
0
1
4
2
5
C
2. Tentukan x jika35
3
1
2
1
0
4
1
3
x
3. Diketahui
1
4
3
1
1
0
2
2
4
X
. Tentukan : a.M
21 b.M
33 c.A
12 d.A
22 e. Adj(X) 4. Tentukan inversnya dari :a.
