1.1 Pendahuluan. 1.2 Sistem Seri

(1)

B

A

B

1111

P

E

EE

E

EE

E

EE

E

N

G

U

N

A

N

D

IIII

S

T

R

IIII

B

U

S

IIII

P

EE

E

EE

E

EE

E

LLLL

U

A

N

G

D

A

LLLL

A

M

EE

E

EE

E

EE

E

V

A

LLLL

U

A

S

IIII

K

EE

E

EE

E

EE

E

A

N

D

A

LLLL

A

N

S

IIII

S

T

EE

E

EE

E

EE

E

M

1.1 Pendahuluan

rosedur standar dalam evaluasi keandalan sistem adalah dengan menguraikan sistem menjadi gabungan beberapa bagian hirarki dibawahnya dalam satu model jaringan, melakukan estimasi keandalan untuk masing-masing bagian hirarrki tersebut dan selanjutnya menggabungkannya kembali ke dalam sistem dengan metode numerik tertentu. Seberapa jauh sistem diuraikan menjadi hirarki dibawahnya sangat tergantung pada kemampuan dan dukungan dari hirarki tersebut untuk bisa dihitung keandalannya. Ada kalanya sistem akan diuraikan hingga ketingkat komponennya ataupun cukup hanya sampai tingkat subsistem. Beberapa pola penguraian sistem menjadi komponen telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Ada beberapa hubungan model jaringan yang mungkin; hubungan seri, paralel, gabungan seri-paralel, standby serta hubungan kompleks lainnya. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa teknik evaluasi keandalan sistem dengan penggabungan probabilitas/peluang dari masing-masing komponen.

1.2 Sistem Seri

Indeks keandalan sistem yang terdiri dari 2 komponen seri adalah

R = R x R ...

(2)

Jika peluang sukses sebagai fungsi waktu untuk masing-masing komponen dipergunakan untuk menghitung peluang sukses sistem, maka persamaan diatas akan menjadi: Rs(t) = R1(t) x R2(t) ...         −         − =

∫

t o t o dt t dt t t Rs() exp λ1() .exp λ2() ...

Jika sistem terdiri dari sejumlah n komponen yang terhubung seri maka:

∏

∫

=         − = n i t o i tdt t Rs 1 ) ( exp ) ( λ ...

Persamaan diatas berlaku untuk semua jenis distribusi yang mewakili komponen-komponen di dalam sistem. Persamaan diatas juga berlaku jika masing-masing komponen tidak memiliki jenis distribusi yang sama.

Pada kasus dimana dua komponen di dalam sistem memiliki distribusi eksponensial maka peluang sistem sukses akan dirumuskan sebagai:

[

t

]

t t

t

Rs()=exp(−λ₁).exp(−λ₂ )=exp−(λ₁+λ₂) ... Untuk sistem yang terdiri dari n komponen yang terdistribusi eksponensial:

(

)

∏

∑

= =         − = − = n i n i i it t t Rs 1 1 exp exp ) ( λ λ ...

Jika satu komponen dengan laju kegagalan λe dipergunakan untuk mewakili

seluruh komponen yang terhubung secara seri, maka:

∑

= = n i e 1 1 λ λ ...

Atau dengan kata lain laju kegagalan sistem yang terdiri dari beberapa komponen seri yang terdistribusi eksponensial adalah penjumlahan dari laju

(3)

Contoh 6.1:

Sistem elektronik sederhana terdiri dari 6 buah transistor dengan laju kegagalan masing-masing transistor adalah 10-6 f/hr, 4 buah diode dengan laju kegagalan masing-masing adalah 0.5 10-6 f/hr, 3 buah kapasitor dengan laju kegagalan masing-masing adalah 0.2 10-6 f/hr, 10 resistor dengan laju kegagalan masing-masing adalah 5 10-6 f/hr, dan 2 switch dengan laju kegagalan masing-masing adalah 2 10-6 f/hr. Jika diasumsikan bahwa kabel konektor 100% handal, berapakah laju kagagalan sistem dan peluang sistem sukses dalam 10000 jam jika semua komponen terhubung seri?

λe = (6 x 10-6)+(4 x 0.5 x 10-6)+(3 x 0.2 x 10-6)+(10 x 5 x 10-6)+(2 x 2 x 10-6) = 6.26 x 10-5 f/hr

Rs (10000) = exp (-6.26 x 10-5 x 10000) = 0.5347

Peluang kegagalan sistem akan menjadi 1 – 0.5347 = 0.4653

1.3 Sistem Paralel

Indeks ketidakandalan sistem yang terdiri dari 2 komponen paralel adalah Qs = Q1 x Q2...

Jika peluang sukses sebagai fungsi waktu untuk masing-masing komponen dipergunakan untuk menghitung peluang sukses sistem, maka persamaan diatas akan menjadi: Qp(t) = Q1(t) x Q2(t) ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) (t Q1 tQ2 t R1 t R2 t R1 t R2 t Rp = − = + − ...

Jika sistem terdiri dari sejumlah n komponen yang terhubung paralel maka:

∏

= = n i i p t Q t Q 1 ) ( ) ( ...

(4)

∏

= − = n i i p t Q t R 1 ) ( 1 ) ( ...

Pada kasus dimana n komponen di dalam sistem hazard rate yang berbeda-beda maka:

∏

∫

=                 − − = n i t i p t t dt Q 1 0 ) ( exp 1 ) ( λ ...

∏

∫

=                 − − − = n i t i p t t dt R 1 0 ) ( exp 1 1 ) ( λ ...

Jika 2 buah komponen terdistribusi eksponensial dan terhubung seri, maka:

[

1 exp ( )

][

1 exp ( )

]

) (t 1t 2t Qp = − − λ − − λ ...

(

)

{

}

[

t t t

]

t

Q_p()=1−exp−(λ₁)+exp−(λ₂)−exp− λ₁+λ₂ ...

(

)

{

}

[

t t t

]

t

Rp()= exp−(λ1 )+exp−(λ2 )−exp− λ1+λ2 ...

Jika n buah komponen terdistribusi eksponensial dan terhubung seri, maka:

( )

(

)

∏

= − = n i i p t t Q 1 exp 1 ) ( λ ...

( )

(

)

∏

= − − = n i i p t t R 1 exp 1 1 ) ( λ ...

Dengan penurunan rumus diatas terlihat bahwa, tidak seperti pada sistem yang terdiri dari sejumlah komponen seri, maka pada sistem yang terdiri dari sejumlah komponen paralel kita tidak dapat memperoleh failure rate tunggal. Demikian juga halnya bahwa keandalan sistem tidak dapat direpresentasikan oleh satu fungsi eksponensial tetapi diwakili oleh satu set fungsi eksponensial. Meskipun distribusi gabungan sistem seri yang terdiri dari komponen yang terdistribusi eksponensial adalah sebuah distribusi eksponensial, namun pada komponen yang terhubung paralel distribusi gabungannya adalah non-eksponensial dan

(5)

Contoh 6.2:

Seperti pada contoh 6.1, berapakah peluang sukses dari sistem yang terdiri dari 3 rangkaian elektronik yang sejenis yang terhubung paralel setelah beroperasi selama 10000 jam jika diasumsikan bahwa sistem sukses ditentukan oleh paling sedikit satu rangkaian elektronik harus sukses.

Rp(10000) = 2 exp (-6.26 x 10-5 x 10000) – exp (-2 x 6.26 x 10-5 x 10000) = 0.7835

Hasil yang sama juga bisa diperoleh dengan cara sebagai berikut: Rp(10000) = 1- Qs (10000) Qs(10000)

= 1- 0.46532 = 0,7835

1.4 Sistem Partial Redundant

Partially redundant system atau sering dikenal dengan m-out of-n system telah

dibahas pada bab-bab sebelumnya dimana evaluasi keandalannya bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial. Konsep yang sama bisa dipergunakan disini, perbedaannya hanya pada cara untuk menentukan peluang sukses dan gagalnya saja.

Jika n komponen identik terhubung paralel, maka peluang setiap kondisi sistem dimana 0, 1, 2,...., n komponen beroperasi dapat dihitung dengan ekspresi binomial (R+Q)n. Pembahasan pada bab-bab sebelumnya mengasumsikan bahwa R da Q adalah konstan. Pada kasus time dependent probabilities maka maka R dan Q adalah merupakan fungsi waktu dan ekspresi binomialnya dituliskan dengan [R(t) + Q(t)]n_{, dimana nilai dari R(t) dan Q(t) dapat diperoleh}

dari fungsi keandalan dan cummulative failure distribution.

Pada kasus khusus komponen dengan distribusi eksponensial maka R(t) = e-λt... Q(t) = 1-e-λt...

(6)

Maka ekspresi binomialnya adalah [e-λt + (1- e-λt)]n. Contoh 6.3:

Sebuah sistem dengan 4 komponen identik memiliki laju kegagalan 0.1 f/yr. Berapakah peluang sistem akan sukses setelah 0.5 tahun dan 5 tahun jika minimal 2 komponen harus sukses untuk menjamin sistem sukses.

Ekspresi binomial untuk sistem dengan 4 komponen adalah: [R(t) + Q(t)]4 = R4(t)+4R3(t)Q(t)+6R2(t)Q2(t)+4R(t)Q3(t)+Q4(t)

Jika R(t) = e-λt_{dan Q(t) = 1-e}-λt_{, maka peluang sistem sukses akan menjadi:}

Table 7.1.

jumlah komponen

untuk menjamin peluang sistem sukses sistem sukses

4 e-4λt

3 e-4λt ₊_4e-3λt _{(1 - e}-λt₎

2 e-4λt ₊_4e-3λt _{(1 - e}-λt_{) + 6e}-2λt_{(1 - e}-λt₎2

1 e-4λt ₊_4e-3λt _{(1 - e}-λt_{) + 6e}-2λt_{(1 - e}-λt₎2_{+ 4e}-λt_{(1 - e}-λt₎3

Dengan demikian maka:

R(0.5) = e-4lt +4e-3lt (1 - e-lt) + 6e-2lt (1 - e-lt)2, dengan λ = 0.1 dan t = 0.5 R(0.5) = 0.9996

Dengan cara yang sama diperoleh: R(5.0) = 0.8282

Jika sistem terdiri dari beberapa komponen yang tidak identik maka, persamaan umumnya akan menjadi:

[R1(t)+Q1(t)] [R2(t)+Q2(t)]...[Rn(t)+Qn(t)]

Dimana nilai R8t) dan Q(t) yang bersesuaian dapat diperoleh dari distribusi peluang dari komponen yang ke-i . Jika distribusi yang mewakili adalah distribusi eksponensial maka:

(7)

Ri(t) = exp (-λit) untuk i = 1, 2, ..., n

Dan

Qi(t) = 1- exp (-λit) untuk i = 1, 2, ..., n

Contoh 6.4:

Sebuah sistem kontrol terdiri dari 3 sub sistem yang terpisah. Semua komponen dalam sistem ini terdistribusi eksponensial. Sub sistem tersebut adalah (a) sebuah komponen dengan laju kegagalan 1 x 10-6 f/hr (b) dua komponen identik dengan laju kegagalan 8 x 10-6 f/hr (c) 3 komponen dengan laju kegagalan masing masing adalah 5 x 10-6 f/hr, 2 x 10-6 f/hr, 10 x 10-6 f/hr dimana 2 komponen harus sukses untuk menjamin sub sistem ini sukses. Jika semua sub sistem harus sukses untuk menjamin sistem sukses, berapakah peluang sukses setelah 5000 jam operasi?

R(a) = exp(-λt) = exp (-1 x 10-6 x 5000) = 0.9950 R(b) = exp(-λ1t) + exp(-λ2t) – exp[-(λ1+λ2)t]

= 2 exp (-8 x 10-6 x 5000) – exp (-2 x 8 x 10-6 x 5000) = 0.9985

R(c) = R1(t) R2(t) R3(t) + R1(t) R2(t) Q3(t) + R1(t) Q2(t) R3(t) + Q1(t) R2(t) R3(t)

= exp(-λ1t) exp(-λ2t) exp(-λ3t)+ exp(-λ1t) exp(-λ2t) [1-exp(-λ2t)]

exp(-λ1t) [1-exp(-λ2t)] exp(-λ2t) + [1-exp(-λ1t)] exp(-λ2t) exp(-λ2t)

= 0.9981

Dengan demikian peluang sistem sukses setelah 5000 jam adalah Rs(5000) = R(a) R(b) R(c) = 0.9916

1.5 Mean Time To Failure

(8)

∫

∞ = 0 ) ( ) (t tf t dt E ...

Jika f(t) distribusi dari TTF maka nilai expected value ini adalah MTTF yang dapat disimbulkan dengan m. Dengan demikian m adalah:

∫

∞ ∞ ∞ ∞₊ ₌ − = = 0 0 0 0 () () )] ( [ ) (t tRt Rt dt Rt dt tdR m ...

Nilai diatas didapatkan karena R(t) = 1 saat t = 0, dengan demikian tR(t) 0 saat t∞.

Dengan demikian maka MTTF dapat dicari dari ekspresi R(t) dengan mengintegralkan antara (0,∞). Pada kenyataannya, ekspresi ini tidaklah mudah terutama saat sistem terdiri dari komponen-komponen yang tidak identik dan memiliki distribusi peluang yang berbeda-beda.

Pada kasus dimana komponen terdistribusi eksponensial maka: Untuk sistem seri:

∫

∑

∞ ∞ = = + + + = = − = = 0 0 1 1 2 1 ... 1 1 ) exp( ) ( n i n n i i i s t dt t dt R m λ λ λ λ λ ...

Untuk sistem paralel:

∫

∞ ∞ + − − − + − = = 0 0 2 1 2 1) exp( ) exp[ ( )} {exp( ) (t dt t t t dt R m _p λ λ λ λ ... ∞       + − + + − − − − = 0 2 1 2 1 2 2 1 1 ] ) ( exp[ 1 ) exp( 1 ) exp( 1 t t t m λ λ λ λ λ λ λ λ ... 2 1 2 1 1 1 1 λ λ λ λ + − + = m ...

Untuk sistem yang terdiri dari n komponen paralel: dengan konsep yang sama seperti persamaan di atas maka:

(9)

      + + + + + + + − + + + = 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 3 1 2 1 2 1 n i i m λ λ λ λ λ λ λ λ λ ...

( )

              − + +       + + + + + + + + + + +

∑

= + n i i n k i i 1 1 4 2 1 3 2 1 1 1 ... ... 1 ... 1 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ..

1.6 Sistem Standby

Sama seperti apa yang telah diuraikan pada Bab III, pada sistem standby ada satu atau lebih komponen yang tidak beroperasi dan baru akan beroperasi jika komponen utama gagal. Antara komponen yang beroperasi dan komponen

standby dihubungkan dengan menggunakan sebuah switch.

Gambar 1.6-1 Standby redundancy

Pada susunan standby ini maka komponen A dan komponen B tergantung satu sama lain. Guna menyederhanakan persamaan matematis maka diasumsikan bahwa kedua komponen terdistribusi eksponensial.

Kasus Perfect Switching

Pada sistem dengan 2 komponen idenitik dimana salah satunya adalah komponen standby maka susunan ini identik dengan satu komponen yang hanya bisa gagal satu kali saja. Dengan demikian jika komponen A gagal, maka komponen B akan mengganti fungsi komponen A dan sistem akan gagal jika komponen B ini juga gagal. Dengan demikian pendekatan dengan distribusi

A

B

(10)

Poisson dapat digunakan untuk menyelesaikan, dimana yang dicari adalah pelunag untuk tidak gagal lebih dari 1 kali.

( )

! ) ( x e t t P t x x λ λ − = ... Dimana P(x)t adalah peluang x komponen gagal pada waktu t .

Dengan demikian peluang tidak ada komponen gagal adalah: P0(t) = e-λt

Peluang tidak lebih dari satu komponen gagal adalah: P1(t) = λte-λt

Dengan demikian peluang sukses sistem adalah:

R(t) = P0(t) + P1(t) = e-λt + λte-λt = e-λt(1 + λt)...

Jika sistem terdiri dari 1 komponen aktif dan 2 komponen standby, maka jumlah kegagalan yang dimungkinkan sebelum sistem gagal adalah 2 kali. Dengan demikian maka:

R(t) = P0(t) + P1(t) + P2(t)= e-λt(1 + λt + (λt)2/2!)...

Jika sistem terdiri dari 1 komponen aktif dan n komponen standby, maka jumlah kegagalan yang dimungkinkan sebelum sistem gagal adalah sejumlah komponen

standby yang ada. Dengan demikian maka:

R(t) = P0(t)+P1(t)+...+Pn(t)= e -λt

(1+λt+(λt)2/2!+...+ (λt)n/n!) ..

Mean Time to Failure (MTTF) untuk 1 komponen berada pada posisi standby didapat dengan :

∫

∞ − ₊ ₌ ₊ ₌ = 0 2 1 1 ) 1 ( λ λ λ λ λ _t _dt e m t ...

Jika terdapat sejumlah n komponen standby maka:

∫∑

∞ = − + = = 0 0 1 ! λ λ λ n x e t m n x t x ... Contoh 6.5:

(11)

Bandingkan keandalan sistem dengan 2 komponen identik dengan laju kegagalan 0,02 f/hr setelah 10 jam operasi jika (a) kedua komponen memiliki susunan paralalel redundant (b) satu komponen berada pada posisi stanby dengan kondisi switch sempurna. Bandingkan juga MTTF kedua susunan tersebut.

Pada susunan paralel redundan maka R(10) = 2 e-0.02x10 – e-2x0.02x10 = 0.967141 m = 1/0.02 + 1/0.02 – 1/(0.02+0.02) = 75 jam Pada susunan standby

R(10) = e-0.02x10 (1+0.02 x 10) = 0.982477 m = 2/0.02 = 100 jam

Kasus Imperfect Switching

Jika Ps adalah peluang switch gagal dalam memindahkan fungsi kerja komponen

aktif ke komponen standby maka:

Dengan demikian peluang tidak ada komponen gagal adalah: P0(t) = e -λt

Peluang tidak lebih dari satu komponen gagal adalah: P1(t) = Ps. λte-λt

Dengan demikian peluang sukses sistem adalah:

R(t) = P0(t) + P1(t) = e-λt + Ps.λte-λt = e-λt(1 + Ps.λt)...

Mean Time to Failure (MTTF) untuk susunan standby didapat dengan :

∫

∞ − ₊ ₌ + = 0 1 ) 1 ( λ λ λ s s t P dt t P e m ...

(12)

Pada kasus yang telah bahas diatas, maka diasumsikan bahwa komponen yang gagal tidak diganti dengan komponen yang baru selama komponen standby mengambil alih fungsi.

Jika terdapat N buah komponen aktif yang beroperasi dimana semua komponen harus sukses untuk menjamin sistem sukses dan terdapat n komponen pengganti yang langsung dapat mengganti komponen yang gagal dimana waktu penggantian komponen adalah singkat, maka laju kegagalan sistem akan menjadi:

∑

= = N i s 1 1 λ λ ... Maka peluang sistem sukses akan menjadi:

        + + + + = − ! ) ( ... ! 2 ) ( 1 ) ( 2 n t N t N t N e t R n t N λ λ λ λ _... Dan MTTF adalah: λ N n m= +1... Contoh 6.6:

Sebuah sistem terdiri dari 50 komponen identik dengan laju kegagalan 0.001 f/hr dimana semua komponen harus sukses untuk menjamin sistem sukses. Berapakah peluang sistem sukses setelah 20 jam operasi dan berapa juga nilai MTTF nya jika tidak ada komponen pengganti serta MTTF jika komponen pengganti berjumlah dari 1 sampai 6. Jika indeks keandalan minimum sistem adalah 0.9950, berapakah jumlah komponen pengganti yang harus ada?.

Laju kegagalan sistem adalah Nλ = 50 x 0.001 = 0.05 f/hr R(0 komponen pengganti) = e-0.05x20 = 0.367879

R(n komponen pengganti) = e -0.05x20

[1 + (0.05 x 20) + (0.05x20)2/2!+...+ (0.05x20)n/n!] Table 7.2.

(13)

0 0.367879 20 1 0.735759 40 2 0.919699 60 3 0.981012 80 4 0.996349 100 5 0.999406 120 6 0.999917 140

Seperti terlihat pada tabel diatas, maka jumlah komponen pengganti agar sistem memiliki keandalan minimum 0.995 adalah 4 komponen.

Dari kenyataan diatas terlihat bahwa penyediaan komponen pengganti dalam jumlah yang tidak terlalu banyak akan secara signifikan meningkatkan indeks keandalan sistem.

Jumlah komponen pengganti yang harus disiapkan sangat tergantug pada karakteristik dari sistem. Pada sistem dengan orientasi keselamatan (safety) maka faktor biaya akan tidak terlalu penting. Pada kasus dimana sistem diharapkan memiliki tingkat ketersediaan yang memadai maka tentunya biaya adalah satu faktor dominan yang akan berpengaruh terhadap jumlah komponen pengganti yang harus disediakan. Penambahan jumlah komponen pengganti akan menaikkan biaya investasi. Karena itu perlu dicari titik optimum dimana penambahan jumlah komponen yang akan memberikan keuntungan ekonomis bagi sistem secara keseluruhan.

Kasus komponen yang tidak identik

Pada penjelasan sebelumnya diasumsikan bahwa komponen yang terlibat didalam sistem adalah identik. Jika komponen tidak identik maka metode yang dapat dipergunakan pada kasus seperti ini adalah dengan joint probability

density function. Sebagai contoh pada sistem suplai energi dengan

menggunakan generator maka baterei bisa digunakan sebagai sumber listrik cadangan dan pada posisi stanby terhadap geerator. Pada kasus ini laju kegagalan antara generator dan baterei akan berbeda.

Jika komponen A dan B tersusun standby dengan laju kegagalan masing-masing komponen adalah λa dan λb dan komponen A sebagai komponen aktif. Jika

(14)

mengambil alih fungsi komponen A dan akhirnya gagal pada waktu t, maka TTF komponen B adalah t2 = t1-t. Dengan demikian:

Failure density function komponen A dan B berturut-turut adalah

fa(t1) = λa exp (-λat1) ...

fb(t2) = λb exp (-λbt2) ...

Gabungan density function kedua komponen tersebut adalah: F(t) = fa(t1).fb(t2) = λa exp (-λat1) . λb exp (-λbt2)

= λa exp (-λat1) . λb exp (-λb(t-t1)) ...

Pada persamaan diatas terdapat dua fungsi waktu yakni t1 dan t. Guna

mendapatkan joint density function dalam bentuk t, maka f(t) harus diintegralkan dan akan memberikan

∫

= − − − = t t b a b a t t t dt t f 0 1 1 1 1 )] ( exp[ ) exp( ) ( λ λ λ λ ... )] exp( ) [exp( ) (t t t f _b _a b a b a _λ _λ λ λ λ λ − − − − = ...

Dengan demikian keandalan sistem akan dapat diperoleh seperti berikut:

∫

∞ ∞ − − − − = = t a b t b a b a _t _t _dt dt t f t R() () [exp( λ ) exp( λ )] λ λ λ λ ... ) exp( ) exp( ) (t t t R _a b a b b b a a _λ λ λ λ λ λ λ λ − − + − − = ...

Persamaan di atas dapat disusun kembali menjadi:

)] exp( ) [exp( ) exp( ) (t t t t R _a _b b a a a λ λ λ λ λ λ − − − − + − = ...

Sementara itu nilai MTTF nya adalah:

b a t R m λ λ 1 1 ) ( 0 + = =

∫

∞ ...

(15)

Jika proses pergantian kerja dari komponen A ke komponen B (change over) tidak selalu sukses, maka:

)] exp( ) [exp( ) exp( ) (t t P t t R a b b a a s a λ λ λ λ λ λ − − − − + − = ...

Ps adalah peluang suksesnya change over.

Kasus kegagalan komponen pada saat berada pada mode standby

Pada pembahasan sebelumnya diasumsikan bahwa komponen standby tidak akan gagal saat berada pada mode standby. Hal ini tidak selalu terjadi pada kasus praktis di lapangan. Ada kalanya komponen standby sudah gagal terlebih dahulu saat berada pada mode standby, sehingga sekalipun switch sukses melakukan change over namun sistem tetap akan gagal karena komponen standby nya sudah gagal terlebih dahulu. Selanjutnya proses change over juga mungkin gagal. Kedua modus kegagalan tersebut bisa kita formulasikan dalam satu analisa.

Dengan metode yang akan dijelaskan disini, semua kejadian sukses dibagi menjadi kejadian-kejadian yang mutually exclusive. Ekspresi keandalan sistem selanjutnya didapatkan dengan menjumlahkan masing-masing kejadian. Metode ini menjadi lebih umum dibandingkan dengan menggunakan pendekatan failure

density function.

Sebagai contoh, dua komponen yang tidak identik A dan B tersusun dalam susunan standby dimana komponen standby B tidak dapat gagal dalam mode

standby nya. Sistem akan sukses jika: (a) Komponen A tidak gagal selama

interval waktu 0, t, atau (b) (ii) Komponen A gagal saat t1<t, dan komponen B

tidak gagal dalam interval waktu t1 sampai t.

Jika R1 dan R2 adalah keandalan masing-masing kejadian diatas, maka

R1 = exp (-λat), dan

R2 =

∫

=

t

t1 0

(16)

=

∫

=

t

t1 0

(peluang kegagalan satu komponen dalam rentang waktu t1) x

(peluang tidak terjadi kegagalan dalam rentang waktu dt1)dt1

=

∫

[

{

[

]

}

{

[

(

)

]

}

]

= − − − t t b a a t t dt 0 1 1 1 1 1 exp exp λ λ λ =

(

−

)

∫

[

−

(

−

)

]

t b a b a t t dt 0 1 1 exp exp λ λ λ λ = exp

(

bt

)

{exp

[

(

a b

)

t

]

} b a a _λ _λ _λ λ λ λ − − − − = [exp

(

_at

)

exp( _bt)] b a a _λ _λ λ λ λ − − − −

Karena R1 dan R2 adalah mutually exclusive, maka R(t) = R1 + R2

(

)

[exp

(

)

exp( )] exp ) (t t t t R a b b a a a λ λ λ λ λ λ − − − − + − = ...

Secara grafis, hubungan mutually exclusive antara kejadian R1 dan R2 dapat di

gambarkan sebagai berikut

Gambar 1.6-2 representasi grafis (a) R1 dan (b) R2

Kontribusi R1 diberikan oleh luasan area dibawah kurva eksponensial komponen

A untuk waktu yang lebih besar dari t.

Kontribusi R2 untuk waktu t1 diberikan oleh luasan kurva eksponensial komponen

B.

Jika λ1, λ2, λ3, masing-masing adalah laju kegagalan komponen aktif 1, laju

dt 0 (a) f(t) R1 λaexp(-λat) 0 f(t) RB(t-t1) λaexp(-λat) (b) λbexp(-λbt) t t1 t

(17)

saat pada mode standby maka kejadian sukses akan ditentukan oleh (a) komponen 1 tidak gagal selama rentang waktu 0 sampai t, (b) komponen 1 gagal waktu t1 dan komponen 2 tidak gagal dalam rentang waktu (t-t1). Dengan

prosedur yang sama maka peluang sukses sistem standby ini akan menjadi: R1 = exp (-λ1t) R2 =

∫

[

{

[

]

}

{

[

]

}

]

[

{

[

]

}

]

= − − − − − t t dt t t t t 0 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 ) ( exp exp exp λ λ λ λ λ =

(

−

)

∫

[

−

(

+ −

)

]

t dt t t 0 1 1 2 3 1 2 1exp λ exp λ λ λ λ =         − + − + − − − + − 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 ] ) ( exp[ 1 ) exp( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ t t =

{

₁exp( ₂t) exp

[

( ₁ ₃)t

]

}

2 3 1 1 _λ _λ _λ _λ λ λ λ λ + − − − − +

Karena R1 dan R2 adalah mutually exclusive, maka R(t) = R1 + R2

(

)

{

exp

(

)

exp[ ( )]

}

exp ) ( 2 1 3 2 3 1 1 1t t t t R λ λ λ λ λ λ λ λ − − − + − + + − = ...

Lihatlah susunan berikut. Komponen 1 dan 2 adalah komponen aktif yang terhubung secara paralel. Komponen 3 digunakan jika kedua komponen aktif tersebut gagal.

2

1 3

(18)

Gambar 1.6-3 Standby redundancy (2)

Pada kasus di atas beberapa asuksi diberikan, yaitu:

(a) semua komponen beroperasi dalam periode useful life dan kondisi aus diabaikan.

(b) Laju kegagalan komponen 1, 2 dan 3 saat berada dalam mode operasi adalah λ1o, λ2o, λ3o

(c) Laju kegagalan komponen 3 dalam mode standby adalah λ3s

(d) Laju kegagalan peralatan sensor adalah λs

(e) Laju kegagalan switch saat berada pada mode standby adalah λcs

(f) Laju kegagalan switch setelah proses switching adalah λce

(g) Peluang suksesnya proses switching adalah Ps

Jika sistem akan sukses jika salah satu komponen aktif sukses, dan komponen standby akan mengambil alih tugas jika kedua komponen aktif gagal. Dengan demikian sistem sukses akan ditentukan oleh:

Table 7.3.

kejadian 1 2 3 3 sensor

standby operasi standby operasi setelah switch

1 sukses/t sukses/t 2 sukses/t gagal/t 3 gagal/t sukses/t

4 gagal/t1 gagal/t2 sukses/t2 sukses/t-t2 sukses/t2 sukses/t2 sukses/1 siklus sukses/t-t2

5 gagal/t2 gagal/t1 sukses/t2 sukses/t-t2 sukses/t2 sukses/t2 sukses/1 siklus sukses/t-t2

mode operasi / dalam domain waktunya

switch

dimana t>t2>t1

Dengan demikian maka

∑

= = 5 1 ) ( ) ( i i t R t R

(

t

)

(

t

)

t

R1()=exp−λ1_o exp−λ2_o R2(t)=exp

(

−λ1ot

)

[

1−exp

(

−λ2ot

)

]

(

t

)

[

(

t

)

]

t

(19)

(

)

_exp

(

)

_exp( ₎_exp

(

₍ ₎

)

K exp ) ( ₂ ₂ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂ 0 1 1 1 0 4 2 1 2 t t t x t t t R _o _o _s _e t t o o t t − − − − =

∫

= = λ λ λ λ λ λ

(

₂

)

[

(

₂

)

]

₁ ₂ 2).exp . .exp exp( t t Ps t t dt dt x λ_s −λ_cs −λ_ce −

(

)

[

]

[

(

)

]

{

[

(

)

]

}

        + − − + − − − + − = Ps t t x t t R q o o q q q ce o o 1 1 3 2 4 1 exp 1 exp 1 1 exp . . ) ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ Dimana λq = λ2o + λ3s + λs + λcs - λ3o - λce

Dengan cara yang sama didapat

(

)

[

]

[

(

)

]

{

[

(

)

]

}

        + − − + − − − + − = Ps t t x t t R q o o q q q ce o o 2 2 3 1 5 ' ' ' ' exp 1 1 exp 1 1 exp . . ) ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ Dimana λq’ = λ1o + λ3s + λs + λcs - λ3o - λce R(t) = R1(t) + R2(t) + R3(t) + R4(t) + R5(t)