Desain Kontrol Fuzzy Berbasis Performansi H
∞
dengan Batasan Input-Output
untuk Sistem Pendulum-Kereta
Tito Febriarianto, Trihastuti Agustinah, Achmad Jazidie
Jurusan Teknik Elektro FTI-ITS, Surabaya 60111, e-mail : [email protected]
Abstrak – Sistem Pendulum-Kereta (SPK) merupakan salah
satu contoh sistem nonlinear tak stabil. Dalam makalah ini kontroler stabilisasi didesain untuk menstabilkan pendulum pada posisi terbaliknya serta menjaga kereta pada titik tengah rel. Pendekatan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) dengan performansi H∞ digunakan dalam desain kontroler. Skema kontrol keseluruhan mengikuti konsep Parallel Distributed
Compensation (PDC). Konsep kestabilan Lyapunov digunakan
dan diubah ke dalam bentuk Linear Matrix Inequality (LMI) untuk mendapatkan gain state-feedback yang dapat menjamin kestabilan sistem. Hasil simulasi dan implementasi menujukkan bahwa kontroler dapat mempertahankan pendulum pada keadaan terbaliknya dengan ∞-norm dari
gangguan terhadap keluaran performansi memiliki tingkat pelemahan kurang dari γ serta sinyal kontrol dan keluaran yang dibatasi juga dapat memenuhi batasan yang ditentukan.
Kata Kunci - Fuzzy T-S, Linear Matrix Inequality, H∞,
Sistem Pendulum-Kereta I. PENDAHULUAN
Sistem Pendulum-Kereta (SPK) seringkali digunakan sebagai pengujian metode-metode kontrol karena sistem ini memiliki karakteristik nonlinear yang tinggi dan tidak stabil. SPK dapat digunakan untuk mengilustrasikan ide-ide pada bidang kontrol nonlinear. Untuk mengontrol sistem nonlinear diperlukan teknik kontrol yang tidak semudah pada sistem linear dan stabil. Aplikasi sistem seperti ini dapat ditemui pada peluncuran roket serta pengembangan robot humanoid.
Persoalan kontrol yang biasa digunakan pada SPK adalah swing-up, stabilisasi dan tracking. Swing-up adalah mengayunkan pendulum dari posisi menggantung menuju posisi terbalik. Selanjutnya, pendulum dipertahankan pada posisi terbaliknya yang biasa disebut stabilisasi. Sedangkan untuk tracking, kereta dikontrol agar mengikuti sinyal referensi yang diberikan dengan tetap mempertahankan pendulum pada posisi terbaliknya. Pada makalah ini digunakan metode kontrol stabilisasi untuk menstabilkan pendulum pada sudut 0 radian terhadap garis vertikal dan posisi kereta berada pada titik tengah rel.
Dalam mendesain kontroler stabilisasi untuk sistem nonlinear dapat digunakan skema kontrol nonlinear langsung [1] atau melalui pendekatan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) [2]-[5]. Pendekatan model fuzzy T-S lebih dipilih karena mampu merepresentasikan perilaku nonlinear sistem dari kombinasi beberapa subsistem linear yang lebih sederhana. Skema kontrol secara keseluruhan mengikuti kaidah Parallel Distributed Compensation (PDC), dimana dari masing-masing subsistem dapat dihitung gain state-feedback yang akan mengompensasi model fuzzy T-S yang bersesuaian.
Pada implementasi nyata, SPK memiliki sinyal kontrol yang terbatas, panjang rel yang terbatas, serta gangguan dari luar juga dapat diberikan pada kereta maupun pendulum. Untuk menjaga kestabilan sistem dengan memperhatikan batasan-batasan tersebut, skema kontrol fuzzy T-S dirancang dengan menggunakan performansi H∞ [5], [6]. Konsep kestabilan Lyapunov digunakan untuk mendapatkan gain state-feedback model fuzzy T-S sebagai syarat kestabilan sistem. Selanjutnya digunakan teknik pemrograman Linear Matrix Inequality (LMI) untuk mendapatkan solusi pertidaksamaan Lyapunov [7].
Makalah ini terbagi sebagai berikut. Pada bagian II dipaparkan mengenai model matematika SPK. Bagian III menjelaskan tentang kontrol fuzzy T-S dengan performansi H∞. Pada bagian IV perhitungan gain state-feedback dihitung serta diimplementasikan pada SPK. Kesimpulan dari makalah ini dipaparkan pada bagian V.
II. MODEL MATEMATIKA SPK
SPK terdiri dari sepasang pendulum yang terpasang pada sebuah kereta sehingga pendulum tersebut dapat berayun bebas pada bidang vertikal. Untuk mengayunkan dan menyeimbangkan pendulum, kereta digerakkan ke kiri atau ke kanan pada rel yang panjangnya terbatas. Gambar 1 menunjukkan diagram fisik SPK dengan dinamika sistem dalam persamaan state-space dapat dituliskan sebagai berikut. 3 1 x xɺ = 4 2 x xɺ = 2 2 4 2 2 2 2 4 3 sin ) sin ( cos ) sin ( x l J x f x g x l x x T u a x c p µ µ µ + − + − − = ɺ 2 2 4 2 2 2 4 2 4 sin sin ) sin ( cos x l J x f x g x x T u x l x c p µ µ µ + − + − − = ɺ (1) dengan µ=(mc +mp)l dan ( ) 2 p c m m J l a= + +
Gambar 1 Diagram Fisik Sistem Pendulum-Kereta x2
x1 titik tengah rel
sumbu rotasi pusat massa sistem l
Vektor state SPK adalah T x x x x ] [ 1 2 3 4 = x dengan
x1 adalah posisi kereta (m) dari titik tengah rel, x2 adalah posisi sudut pendulum (rad) terhadap garis vertikal, x3 adalah kecepatan kereta (m/detik), dan x4 adalah kecepatan sudut pendulum (rad/detik).
Massa kereta dan massa pendulum dinyatakan sebagai mc (kg) dan mp (kg), g merupakan percepatan gravitasi (m/det2), l (m) adalah jarak antara sumbu rotasi pendulum ke pusat massa sistem, dan J adalah momen inersia (kg.m2) sistem terhadap pusat massa sistem. u (N) merupakan gaya kontrol yang diterapkan pada kereta, Tc (N) merupakan gaya gesek antara kereta dan rel, dan fp (kg.m2/s) merupakan konstanta gesek pendulum. Parameter SPK yang digunakan [8] adalah sebagai berikut: mc=1,12 kg, mp=0,12 kg, l=0,0167903 m, J=0,0135735 kg.m2, fp=0,000107 kg.m2/s.
III.KONTROL H∞UNTUK MODEL FUZZY T-S Model fuzzy T-S dapat digunakan sebagai pendekatan sistem nonlinear dari beberapa subsistem linear hasil linearisasi lokal [10]. Sistem nonlinear dengan gangguan
w(t) dapat direpresentasikan ke dalam model fuzzy T-S
yang terdiri dari aturan IF-THEN sebagai berikut. Aturan model plant ke-i :
IF λ1(t) is Mi1 AND … AND λj(t) is Mij THEN xɺ(t)=A1x(t)+Bw,1w(t)+Bu,1u(t) ) ( ) ( 1,1 1 t Cz x t z = ) ( ) ( 2,1 2 t Cz x t z = (2) r i=1,2,..., j=1,2,...,p
dimana r adalah jumlah aturan fuzzy, p adalah jumlah himpunan fuzzy dalam satu aturan, dan Mij adalah himpunan fuzzy. x(t)∈ n merupakan variabel state, w(t)∈ m1 merupakan gangguan dari luar, u(t)∈ m2 merupakan kontrol masukan, z1(t)∈ q1 merupakan keluaran performansi, z2(t)∈ q2 merupakan keluaran yang dibatasi, sedangkan λ(t)∈ j merupakan variabel premis yang dapat berupa fungsi dari variabel state, gangguan eksternal, dan/atau waktu.
Secara matematis, model fuzzy T-S pada Persamaan (2) dapat didefinisikan sebagai berikut.
)] ( ) ( ) ( [ )) ( ( ) ( , , 1 t t t t t i wi ui r i i λ Ax B w B u x =
∑
+ + = α ɺ )] ( [ )) ( ( ) ( 1, 1 1 t t zi t r i i λ C x z∑
= = α )] ( [ )) ( ( ) ( 2, 1 2 t t z i t r i i λ C x z∑
= = α (3) dengan∑
= = r i i i i t t t 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( λ λ λ µ µ α dan∏
= = p j j ij i t t 1 )) ( ( ( M )) ( (λ λ µPembobot αi(λ(t)) dan derajat keanggotaan µi(λ(t)) memiliki sifat sebagai berikut:
0 )) ( ( ; 0 )) ( ( 1 > ≥
∑
= r i i i λ t µ λ t µ 1 )) ( ( ; 0 )) ( ( 1 = ≥∑
= r i i i λ t α λ t αSesuai dengan konsep PDC, maka dapat disusun kontroler state-feedback yang bersesuaian dengan model fuzzy T-S pada Persamaan (2) sebagai berikut.
Aturan kontroler ke-i :
IF λ1(t) is Mi1 AND … AND λj(t) is Mij
THEN u(t)=−kix(t)
r
i=1,2,..., j=1,2,...,p
dimana ki adalah gain state-feedback yang akan ditentukan kemudian. Didefinisikan kontroler fuzzy secara keseluruhan memiliki bentuk: )] ( [ )) ( ( ) ( 1 t t t i r i i λ k x u =
∑
− = α (4)Substitusi (4) ke (3) akan menghasilkan sistem lup tertutup, )] ( ) ( ) [( )) ( ( )) ( ( ) ( , , 1 1 t t t t t i ui j wi r i r j j i λ λ A B k x B w x =
∑∑
− + = = α α ɺ )] ( [ )) ( ( ) ( 1, 1 1 t t zi t r i i λ C x z∑
= = α )] ( [ )) ( ( ) ( 2, 1 2 t t z i t r i i λ C x z∑
= = α (5)Selanjutnya, kontroler fuzzy untuk model fuzzy T-S (3) didesain menggunakan performansi H∞ sehingga sistem lup tertutup (5) stabil asimtotik dan keluaran performansi memenuhi γ γ < = ≠ ( ) * ) ( sup 2 2 1 0 2 t t w w z (6) Selain itu, kontroler hasil desain akan memenuhi batasan input-output sebagai berikut.
max ) (t ≤u u max 2 2(t) ≤z z (7)
Berikut ini akan ditunjukkan skema kontrol fuzzy dengan performansi H∞ yang dirancang dalam makalah ini.
Teorema 1: Jika Pertidaksamaan (6) menunjukkan L2 -Gain sistem (5) [11], dan terdapat fungsi Lyapunov
) ( ) ( )) ( ( t t t V T Px x x = , = T >0 P P , dan γ ≥ 0 sehingga terdapat matriks simetris Q yang memenuhi LMI:
0 < ii Θ 0 2 max < − − − − β u i T i y y Q 0 2 max 2 , 2 , 2 < − − − − β z i z T i z Q C QC Q ; i=1,2 dan 0 ) ( 2 1 < + + ij ji ii Θ Θ Θ ; 1≤i≠ j≤2 (8) dengan − − − − + = I Q C I B QC B B y y B QA Q A Θ 0 0 , 1 2 , , 1 , , , i z T i w T i z i w T i u T j j i u T i i ij γ
1
−
=P
Q
maka gain state-feedback dapat dihitung melalui 1
−
=yQ
ki i [7] dan kontroler fuzzy (4) akan memiliki
performansi sebagai berikut: 1. Sistem stabil asimtotik.
2. Sistem memenuhi performansi H∞ dengan tingkat pelemahan gangguan w(t) terhadap keluaran performansi z1(t) kurang dari γ.
3. Batasan input-output pada (7) akan terpenuhi jika
V(x(0)) ≤ β. (9)
Pada Persamaan (8), parameter β menentukan seberapa baik sistem mampu mengatasi gangguan atau memenuhi batasan pada (7). Pembuktian LMI (8) dapat dilihat pada Lampiran.
IV.IMPLEMENTASI PADA SPK
Pada bagian ini kontroler hasil desain disimulasikan dan diujikan pada plant SPK nyata yang memiliki batasan pada sinyal kontrol serta panjang rel maksimal sebagai berikut:
N 5 , 17 ) (t ≤ u , x1(t) ≤0,4m (10)
Dari Persamaan (1), persamaan state-space SPK dapat dinyatakan menjadi u B w B Ax xɺ= + w + u (11)
dengan matriks A, Bw, dan Bu merupakan matriks hasil linearisasi lokal SPK pada titik kerja tertentu [9].
Posisi sudut pendulum (x2) dipilih sebagai variabel premis untuk model fuzzy T-S dengan fungsi keanggotaan yaitu: ] ) 08 , 0 ) ( ( 5 , 0 exp[ )) ( ( M 2 2 2 1 x t = − x t )) ( ( M 1 )) ( ( M2 x2 t = − 1 x2 t (12)
Sedangkan bentuk fungsi keanggotaan dapat dilihat pada Gambar 2. Selanjutnya model fuzzy T-S dapat disusun dari beberapa subsistem linear pada Persamaan (11) sebagai berikut.
Aturan plant ke-1 :
IF x2(t) is M1 (sekitar 0 radian) THEN xɺ(t)=A1x(t)+Bw,1w(t)+Bu,1u(t) ) ( ) ( 1,1 1 t Cz xt z = ) ( ) ( 2,1 2 t Cz xt z =
Aturan plant ke-2 :
IF x2(t) is M2 (sekitar ±0,2 radian) THEN xɺ(t)=A2x(t)+Bw,2w(t)+Bu,2u(t) ) ( ) ( 1,2 1 t Cz xt z = -0.40 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x2 (rad) D e ra ja t K e a n g g o ta a n M2 M1 M2
Gambar 2 Fungsi Keanggotaan untuk Aturan Model Plant dan
Kontroler ) ( ) ( 2,2 2 t Cz xt z = dengan − − = 00791 , 0 0 04211 , 15 0 00013 , 0 0 25256 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A ; = 23699 , 1 82722 , 0 0 0 1 , u B − − = 00791 , 0 0 69739 , 14 0 00013 , 0 0 23189 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 A ; = 21110 , 1 82638 , 0 0 0 2 , u B C1,1 = C1,2 = [30 0,1 0,1 0,1] C2,1 = C2,2 = [1 0 0 0]
Aturan kontroler yang berseusaian dengan aturan plant dapat disusun melalui konsep PDC sebagai berikut.
Aturan kontroler ke-1 :
IF x2(t) is M1 (sekitar 0 radian)
THEN u(t)=−k1x(t) Aturan kontroler ke-2 :
IF x2(t) is M2 (sekitar ±0,2 radian)
THEN u(t)=−k2x(t)
Sehingga sesuai dengan Persamaan (4) dan (12), kontroler fuzzy secara keseluruhan memiliki bentuk:
) ( )) ( ( M ) ( )) ( ( M ) (t 1 x2 t k1x t 2 x2 t k2x t u =− − (13)
Dari Persamaan (10) dapat ditentukan umax = 17,5 N dan z2max = 0,4 m. Selanjutnya dipilih parameter β = 5 dan didapat solusi terbaik penyelesaian LMI (8) menggunakan LMI Toolbox MATLAB yaitu ketika γ = 0,81. Gain state-feedback yang didapat untuk kontroler fuzzy (13) adalah:
] 7295 , 68 3569 , 78 8664 , 262 3719 , 141 [ 1= − − k ] 6241 , 68 8136 , 77 7421 , 261 5118 , 138 [ 2= − − k
selain itu, didapat matriks stabilitas P yaitu:
− − − − − − − − = 1772 , 0 2269 , 0 6769 , 0 5079 , 0 2269 , 0 2937 , 0 8669 , 0 6667 , 0 6769 , 0 8669 , 0 5866 , 2 9418 , 1 5079 , 0 6667 , 0 9418 , 1 6473 , 1 103x P
Dari gain state-feedback yang didapat, sistem lup tertutup (5) memiliki ∞-norm dari w(t) terhadap z1(t) sebesar γ* = 0,3090. Hal ini menunjukkan bahwa pengaruh terburuk gangguan w(t) terhadap keluaran performansi z1(t) adalah γ* = 0,3090 atau kurang dari γ = 0,81.
Gambar 3 menunjukkan hasil simulasi dengan memberikan kondisi awal pada posisi dan kecepatan sudut pendulum
yaitu T ] 4 , 1 0 4 , 0 0 [ ) 0 ( = −
x . Kondisi awal yang
diberikan mampu memenuhi Pertidaksamaan (9) dengan nilai V(x(0))=2,93≤5 sehingga dapat dilihat pada gambar bahwa sinyal kontrol minimal dan maksimal berturut-turut sebesar -8,6 N dan 4 N. Selain itu posisi kereta dan posisi sudut pendulum dapat distabilkan meskipun terdapat gangguan sebesar ±3,5 N antara detik ke-5 hingga ke-10 dan detik ke-15 hingga ke-20. Simpangan posisi kereta ketika sistem diberi gangguan adalah sebesar ±0,0248 m
0 5 10 15 20 25 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 P o s is i K e re ta ( m ) 0 5 10 15 20 25 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) 0 5 10 15 20 25 -8 -6 -4 -2 0 2 4 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N )
Gambar 3 Respons Simulasi Posisi Kereta, Posisi Sudut
Pendulum dan Sinyal Kontrol (Pemberian Kondisi Awal dan Gangguan)
dan sesuai dengan Persamaan (6), didapat L2-Gain sebesar 0,216 yang mana lebih kecil dari tingkat pelemahan hasil perhitungan yaitu γ* = 0,3090.
Hasil implementasi pada plant nyata digambarkan pada Gambar 4. Pemberian kondisi awal diberikan dengan cara mengangkat batang pendulum secara manual sehingga didapat kondisi awal yaitu x(0)=[0 0,4 0 0]T. Kondisi
awal yang diberikan tidak mampu memenuhi Pertidaksamaan (9) (V(x(0))=413,85>5) sehingga dapat dilihat pada gambar bahwa sinyal kontrol melebihi batasan yang ditentukan. Namun, posisi kereta dan posisi sudut pendulum dapat distabilkan dengan baik pada implementasi nyata.
Untuk memberikan kondisi awal yang memenuhi Pertidaksamaan (9) pada implementasi, maka digunakan algoritwa swing-up berbasis energi yang diusulkan oleh Astrom dan Furuta [13]. Kontroler swing-up yang digunakan memiliki bentuk matematis:
25 , 0 25 , 0 , 40 )], cos( sgn[ 8 1 1 1 2 4 > ≤ − = x x x x x usu (14)
Bagian atas pada Persamaan (14) merupakan algoritma swing-up yang membawa pendulum bergerak menuju sudut 0 rad, sedangkan bagian bawah merupakan rail limiter yang membatasi kereta agar tidak melebihi batas rel.
Hasil penerapan kontroler swing-up pada implementasi nyata dapat dilihat pada Gambar 5. Kontroler swing-up mampu membawa pendulum menuju sudut 0,4 rad dalam waktu 2,382 detik. State sistem pada detik 2,382 memiliki
nilai T ] 0805 , 2 5738 , 0 4 , 0 0583 , 0 [ − − = x yang merupa-
kan kondisi awal bagi kontroler stabilisasi. Nilai kondisi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 -0.1 0 0.1 P o s is i K e re ta ( m ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -150 -100 -50 0 50 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N )
Gambar 4 Respons Implementasi Posisi Kereta, Posisi Sudut
Pendulum dan Sinyal Kontrol
0 5 10 15 20 25 30 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 P o s is i K e re ta ( m ) 0 5 10 15 20 25 30 -1 0 1 2 3 4 5 6 P o s is i S u d u t P e n d u lu m ( ra d ) 0 5 10 15 20 25 30 -15 -10 -5 0 5 10 15 Waktu (s) S in y a l K o n tr o l (N )
Gambar 5 Respons Implementasi Posisi Kereta, Posisi Sudut
Pendulum dan Sinyal Kontrol (Swing-up dan Pemberian Gangguan)
awal ini mampu memenuhi Pertidaksamaan (9) dengan nilaiV(x(0))=0,5908≤5. Sehingga penambahan kontroler swing-up pada skema kontrol keseluruhan dapat membantu memberi kondisi awal yang mampu memenuhi
Pertidaksamaan (9), sehingga sinyal kontrol mampu memenuhi batasan yang ditentukan.
Dapat dilihat pada Gambar 5 bahwa posisi kereta dan posisi sudut pendulum dapat distabilkan setelah proses swing-up. Pada detik ke-10 hingga ke-15 dan detik ke-20 hingga ke-20 gangguan sebesar ±3,5 N diberikan pada sistem dan posisi kereta menyimpang sebesar ±0,024 dengan tingkat pelemahan gangguan terhadap keluaran performansi sebesar 0,2037 yang mana lebih kecil dari tingkat pelemahan hasil perhitungan yaitu γ* = 0,3090. Hasil yang didapat pada implementasi memiliki hasil yang sesuai dengan hasil simulasi sehingga skema kontrol keseluruhan dapat memenuhi performansi desain.
V.KESIMPULAN
Kontrol fuzzy T-S berbasis performansi H∞ dengan batasan input-output diajukan dalam makalah ini. Skema kontrol secara keseluruhan mampu menstabilkan pendulum pada posisi terbalik dan mempertahankan kereta pada titik tengah rel. Selain itu sinyal kontrol dan posisi kereta dapat memenuhi batasan yang ditentukan dengan tingkat pelemahan gangguan terhadap keluaran performansi kurang dari γ.
LAMPIRAN
Lemma 1: Jika Pertidaksamaan (6) menunjukkan L2-Gain
sistem (5) [11], dan terdapat fungsi Lyapunov ) ( ) ( )) ( ( t t t V T Px x x = , = T >0 P P , dan γ ≥ 0 sehingga, 0 ; 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 1 1 − < ∀ ≥ + t t t t t t V T T w w z z x γ ɺ (15)
maka sistem stabil asimtotik dan L2-Gain sistem (6) memiliki nilai kurang dari γ [12].
Bukti: Integralkan (15) dari 0 sampai T dengan kondisi awal x(0) = 0, 0 ; 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 1 1 − < ∀ ≥ + t t t t t t V T T w w z z x γ ɺ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 0 2 0 1 1 − < +
∫
∫
T T T T t dt t t dt t T V x z z γ w wkarena V x( (T))≥0, maka secara implisit didapat 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 1 1 −
∫
<∫
T T T T t dt t t dt t z w w z γ γ <∫
∫
T T T T dt t t dt t t 0 0 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( w w z z γ < 2 2 1 ) ( ) ( t t w zDapat dilihat bahwa bagian terakhir dalam pembuktian Lemma 1 merupakan L2-Gain sistem (6) [11]. Jadi, jika terdapat fungsi Lyapunov yang memenuhi (15), maka
performansi H∞pada (6) akan terpenuhi. □
Selanjutnya Pertidaksamaan (15) akan diubah ke dalam bentuk LMI. Untuk fungsi Lyapunov V( (t)) (t)T (t)
Px x
x = ,
didapat turunan pertama fungsi Lyapunov untuk sistem (5) yaitu, ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( t t t t t V T T x P x Px x x ɺ ɺ ɺ = + = ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )) ( ( , , t t t t t V T i w i w T w x P B PB Γ w x x ɺ (16) dengan j i u T i u T j i T i P PA k B P PB k A Γ= + − , − ,
Dari Persamaan (10), Persamaan (15) dapat dijabarkan sebagai berikut. 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 1 1 − < + t t t t t V T T w w z z x γ ɺ + − − − + I P B PB k PB P B k PA P A w x 2 , , , , ) ( ) ( γ T i w i w j i u T i u T j i T i T t t 0 ) ( ) ( ] 0 [ 0 1, , 1 < t t i z T i z w x C C + − − − + I P B PB k PB P B k PA P A 2 , , , , γ T i w i w j i u T i u T j i T i 0 ] 0 ][ [ 0 1, , 1 < i z T i z C I C (17) Penerapan Schur Complement dan pre-multiplying dan post-multiplying (17) dengan matriks P-1 sehingga akan menghasilkan LMI (18). 0 0 0 , 1 2 , , 1 , , , < − − − − + I Q C I B QC B B y y B QA Q A i z T i w T i z i w T i u T j j i u T i i γ (18) dengan 1 − =P Q dan = −1 P k yj j
LMI (18) akan menjamin sistem stabil asimtotik dan performansi H∞pada (6) terpenuhi.
Penurunan untuk batasan input-output dapat dilakukan dengan meninjau terlebih dahulu Pertidaksamaan (15) sebagai berikut. 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( 2 1 1 − < + t t t t t V T T w w z z x γ ɺ
∫
∫
< + + T T T T dt t t V dt t t T V 0 2 0 1 1() () ( (0)) () () )) ( (x z z x γ w w karena () () 0 0 1 1 ≥∫
T T dt t t zz , maka secara implisit didapat
∫
+ ≤ T T dt t t V T V 0 2 ) ( ) ( )) 0 ( ( )) ( (x x γ w w β ≤ )) ( ( T V x (19) dengan max 2 )) 0 ( ( w V γ β = x + dan ≥∫
T T dt t t w 0 max w() w() Substitusi fungsi Lyapunov V( (t)) (t)T (t)Px x x = ke (19) akan didapat 1 ) ( ) ( 1 ≤ t t T Px x β (20)
Penurunan LMI untuk batasan pada sinyal kontrol dan keluaran yang dibatasi dapat dilakukan dari (7) dan (20) sebagai berikut. max ) ( ) (t = −kixt ≤u u 1 ) ( ) ( 1 2 max ≤ t t u i T i Tk kx x 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 2 max ≤ − t t t t u T i T i Tk kx x Px x β 0 ) ( 1 ) ( 2 max ≥ − t u t i T i T x k k P x β 0 1 2 max ≥ − i T i u k k P β (21) max 2 , 2 2(t) = Cz ix(t) ≤z z 1 ) ( ) ( 1 , 2 , 2 2 max 2 ≤ t t z z i T i z T x C C x 0 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 , 2 , 2 2 max 2 ≤ − t t t t z T i z T i z T Px x x C C x β 0 ) ( 1 ) ( 2 2, 2, max 2 ≥ − t z t z i T i z T x C C P x β 0 1 , 2 , 2 2 max 2 ≥ − z i T i z z C C P β (22)
Penerapan Schur Complement serta pre-multiplying dan post-multiplying LMI (21) dan (22) dengan matriks P-1 akan menghasilkan LMI 0 2 max < − − − − β u i T i y y Q (23) 0 2 max 2 , 2 , 2 < − − − − β z i z T i z Q C QC Q (24) dengan 1 − =P Q dan y =kP−1 i i
Penggabungan ketiga LMI yaitu, (18), (23) dan (24) akan menghasilkan LMI (8) yang mampu menjamin kestabilan sistem dengan performansi H∞ dan sistem memenuhi
batasan input-output yang ditentukan. □
REFERENSI
[1] Qifeng Wei, W. P. Dayawansa, dan W. S. Levine,
"Nonlinear Controller for an Inverted Pendulum Having Restricted Travel", Automatica, Vol. 31, no. 6, pp. 841-850, 1995.
[2] K. R. Lee, E. T. Jeung, dan H. B. Park, "Robust fuzzy H∞
control for uncertain nonlinear systems via state feedback: an LMI approach," Fuzzy Sets and Systems, Vol. 120, pp. 123-134, 2001.
[3] Kazuo Tanaka, Takayuki Ikeda, dan H. O. Wang, "Robust
Stabilization of a Class of Uncertain Nonlinear Systems via
Fuzzy Control: Quadratic Stabilizability, H∞ Control
Theory, and Linear Matrix Inequalities," IEEE Transactions
on Fuzzy Systems, Vol. 4, no. 1, February 1996.
[4] S. G. Cao, N. W. Rees, dan G. Feng, "H∞ control of
uncertain fuzzy continuous-time systems," Fuzzy Sets and
Systems, Vol. 115, pp. 171-190, 2000.
[5] Xingquan Gao dan Hong Chen, "Constrained H∞ control
for T-S fuzzy systems and its application to inverted pendulum," IEEE Conference on Control Applications, pp. 277-282, Toronto, 2005.
[6] Miguel Bernal dan Petr Husek, "Non-Quadratic
Performance Design for Takagi-Sugeno Fuzzy Systems,"
Appl. Math. Comput. Sci., Vol. 15, no. 3, pp. 383-391, 2005.
[7] H. D. Tuan, P. Apkarian, T. Narikiyo, dan Y. Yamamoto,
"Parameterized Linear Matrix Inequality Techniques in Fuzzy Control System Design," IEEE Transactions on
Fuzzy Systems, Vol. 9, no. 2, pp. 324-332, April 2001.
[8] _____, Control in a MATLAB Environment (MATLAB 6.5
Version). England: Feedback Instruments Ltd., 2004.
[9] Ogata, Katsuhiko, “Modern Control Engineering, 3rd ed”,
Prentice-Hall, New Jersey, 1997.
[10] Pasino, K. M. dan Yurkovich, S., “Fuzzy Control”. California: Addison Wesley Longman, 1998.
[11] Zhou, Kemin, “Essentials of Robust Control”. New Jersey: Prentice-Hall, May 1999.
[12] Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E., dan Balakrishnan, V., “Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory”.
Philadelphia: Society for Industrial and Applied
Mathematics, 1994.
[13] K. J. Astrom dan K. Furuta, "Swinging up a pendulum by energy control," Automatica, Vol. 36, pp. 287-295, 2000.
RIWAYAT HIDUP
Tito Febriarianto adalah nama lengkap penulis yang dikenal dengan nama panggilan Tito. Penulis lahir di kota pahlawan Surabaya pada tanggal 14 Februari 1991 yang merupakan anak pertama dari dua bersaudara pasangan Totok Rijadi dan Tutik Rianah. Penulis memulai pendidikannya dari TK Dewi kemudian melanjutkan studinya di SDN Kutisari II 265 Surabaya, SLTP Negeri 6 Surabaya, dan SMA Negeri 5 Surabaya. Setelah lulus dari SMA pada tahun 2008, penulis melanjutkan studi di Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya melalui jalur SPMB pada tahun yang sama. Konsentrasi penulis adalah pada bidang studi Teknik Sistem Pengaturan dan selama kuliah, penulis aktif menjadi asistem praktikum sistem pengaturan analaog dan menjadi koordinator praktikum Otomasi Sistem pada praktikum Sistem Pengaturan Digital dan Otomasi Sistem. Selain itu, penulis juga menjadi tim pengembang virtual plant dengan basis software Wonderware. Pada bulan Januari 2012 penulis mengikuti seminar dan ujian Tugas Akhir sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik Elektro.
