FUNGSI YOUNG DAN KOMPLEMEN YOUNG
Pada bab ini, dibahas tentang definisi fungsi Young dengan domain real
diperluas dan komplemennya.
Sebelumnya, dalam studi deret Fourier, W. H. Young telah menganalisis
fungsi konvek �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang bersifat � − = � , � = , dan
lim →∞� = ∞, dimana setiap fungsi � dapat diasosiasikan dengan fungsi
konvek lain �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ yang memiliki sifat yang sama dengan �, yang mana
� ≔ sup{ | | − � }.
Oleh sebab itu � dinamakan fungsi Young, dan � dinamakan komplemen Young.
Pada bab ini, definisi fungsi Young akan dimodifikasi. Fungsi Young akan
didefinisikan pada ℝ̅ dengan menambahkan syarat � ±∞ = ∞ dan
lim → −� = � dengan = sup � � .
3.1 Fungsi Young dan Komplemen Young
Berikut merupakan fungsi Young yang dimodifikasi
Definisi 3.1.1
Suatu fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ dikatakan fungsi young jika memenuhi kondisi:
1. � konvek pada ℝ
2. � − = �
3. � = ,� ±∞ = ∞, dan
Untuk kasus : ℝ → ℝ̅̅̅̅+ , definisi fungsi Young diatas ekivalen dengan
Definisi 1.1 [3].
Remark 1.
a) Sifat � − = � dan � = mengindikasikan � mencapai
minimum di dan tak turun pada [ , ∞
b) Untuk sembarang fungsi Young, terdapat , > sedemikian sehingga
� ∈ [ , ∞ dan � ∈ , ∞]. c) Berdasarkan b), = sup � � > .
d) Fungsi Young kontinu pada interior ��. Secara khusus, fungsi Young
finite merupakan fungsi kontinu pada ℝ.
e) Berdasarkan d), jika sup � � maka lim → −� = � .
Jika > sup � � , maka lim → −� = ∞ = � .
f) Berdasarkan Definisi 3.1.1, lim →∞� = ∞.
Untuk setiap fungsi Young �, dapat dibentuk fungsi �: ℝ̅ → ℝ̅̅̅̅+ yang
berasosiasi dengan � yang didefinisikan
� ≔ sup{ | | − � }.
� disebut komplemen dari � dan berlaku ketaksamaan Young
� + � .
Berdasarkan definisi fungsi �, � konveks, � − = � , � = , � ±∞ =
∞, dan lim →∞� = ∞.
Misalkan = sup � � ∈ ℝ, berdasarkan ketaksamaan Young untuk
setiap ∈ ℝ
lim→ −� − �
lim→ −� sup { − � } = � .
Tetapi, karena � tak turun pada [ , ], maka lim → −� � . Akibatnya
lim → −� = � . Jadi, � juga merupakan fungsi Young.
Pada topik analisis konvek, untuk fungsi Young �: ℝ+ { } → ℝ, � dapat
direpresentasikan sebagai
� = sup{ | | − � } = �+′ | | | | − �(�+′ | | ).
Contoh 3.1.2
Misalkan �� ∶= | |�, . �� merupakan fungsi Young. Untuk = ,
� = untuk | | dan � = ∞ untuk | | > juga merupakan fungsi Young dan komplemen Young dari �. Hal ini menunjukkan komplemen fungsi
Young tidak selalu kontinu pada ℝ.
Contoh 3.1.3
Misalkan �∞ ≔ { , | |
∞, | | > . �∞ juga merupakan fungsi Young, dimana � = | | untuk setiap ∈ ℝ.
Proposisi 3.1.4
Misalkan , ⊆ ℝ dan fungsi �: , → ℝ. � konveks pada , jika dan
hanya jika untuk setiap subinterval tutup [ , ] ⊂ , ,
dimana �: , → ℝ, tak turun, dan fungsi kontinu kiri. Juga, � mempunyai
turunan kiri dan kanan di setiap titik pada , dan bernilai sama kecuali di
sejumlah terhitung titik-titik.
Bukti. Untuk setiap � > yang cukup kecil, didefinisikan
� − � − − � − �
= � − � − � − − � � − �
= .
Karena � monoton, maka � memiliki turunan hampir dimana-mana pada , .
Terbukti.
Perhatikan bahwa fungsi Young �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi konvek dan
� = , tetapi mungkin terdapat jump ke ∞ di suatu titik. Misalkan � = ∞, jelas � = ∞ untuk | | | |. Untuk kasus ini, nilai � = ∞ untuk | | > | |
dan definisikan � = .
Akibat 3.1.6
Jika �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ merupakan fungsi Young, maka � dapat direpresentasikan
sebagai
� = ∫ �
| |
.
Dimana �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, tak turun, dan kontinu kiri.
Remark 2. Fungsi bernilai real diperluas � dikatakan kontinu kiri di jika dan
hanya jika lim → − � = � .
Bukti Akibat 3.1.6. Retriksikan �: ℝ → ℝ̅̅̅̅+ menjadi �: ℝ+ → ℝ dimana � =
� = ∫ � , < . . .7
3.1.6 dapat dimodifikasi kedalam pernyataan yang lebih kuat, dan disajikan pada
Selanjutnya akan diperkenalkan komplemen Young yang berbeda dari definisi
komplemen Young sebelumnya, dan pada pembahasan-pembahasan berikutnya
akan digunakan komplemen Young yang akan dibahas berikut ini.
Definisikan perluasan fungsi invers �: ℝ+ { } → ℝ̅̅̅̅+, dimana
� ≔ inf� , . .9
maka � = dan tak konstan. Karena { |� } ⊆ { |� } untuk
, berdasarkan sifat infimum � = inf� > inf� > = � .
Sehingga � tak turun.
Ketika → −, berdasarkan ilustrasi gambar 3.1.10, � → � . Sehingga �
kontinu kiri. Karenanya { |� > } adalah interval buka � , ∞].
Berdasarkan . juga diperoleh
Jika � > maka > �
Jika > � maka �
Jika < � maka � < .
�
0 � �
Definisikan
� ≔ ∫ �
| |
. .
Berdasarkan Akibat 3.1.8, � merupakan fungsi Young.
= � + � .
Jika diberikan, maka kesamaan pada langkah kedua terakhir terjadi jika dan
hanya jika � untuk , sehingga = � . Jika diberikan,
maka kesamaan terjadi ketika � , sehingga = � . Terbukti.
Pada pembahasan-pembahasan selanjutnya notasi � akan diganti dengan notasi �∗
