pembahasan soal ujian kalkulus

(1)

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS TIPE SOAL : 2

1. Dengan menggunakan definisi, buktikan

1

lim 1

x x

Jawab:

Ambil sebarang    0,  0, yakni   sedemikian sehingga Jika o  |x 1| , maka |x  1|  

Terbukti bahwa

1

lim 1

x x

2. Diberikan ( )g x  2x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah ' 11 2

g ada atau tidak ada.

Jawab:

Dalam kasus ini, domain dari g x( )akan dibatasi di sekitar 11 2

x , sehingga fungsi ( )g x  2x di sekitar 11

2

x dapat dinyatakan sebagai 1

3, untuk 1 2 2

( ) 2

1 2, untuk 1 1

2 x g x x

x

 _{ }

  _{ }

 _{ }



Dari definisi turunan diperoleh '( ) lim ( ) ( )

x c

g x g c g c

x c 

 

 , sehingga 1 1

2

1 ( ) 1

1 2

' 1 lim

1

2 ₁

2

x

g x g g

x 

    

 _  

 

  _

Akan diselidiki apakah

1 1

2

1 ( ) 1

2 lim

1 1

2

x

g x g x 

    _{ }

 ada.

1

1 1 ₁

1 1 ₂

2 2

1 ( ) 1

3 3 0

2

lim lim lim 0

1 1 1

2 2 2

x

x x

g x g

x x x

 



 

 

   _

    

  

1 1 1

2 2 2

1 ( ) 1

2 3 1

2

lim lim lim

1 1 1

2 2 2

x x x

g x g

x x x

  

  

 

   _ _

     

  

Karena

1 1

2 2

1 1

( ) 1 ( ) 1

2 2

lim lim

1 1

2 2

x x

g x g g x g

x x

 

 

   

 _{ }  _{ }

  _  

  , maka 1

1 2

1 ( ) 1

2 lim

1 1

2

x

g x g x 

    _{ }

 tidak ada.

Sehingga disimpulkan bahwa ' 11 2 g  _{ }

(2)

3. Hitunglah

0

tan 3 lim

sin

t

t t 

Jawab:

2

sin 3 sin cos 2 cos sin 2 sin cos 2 2 cos sin tan 3

cos 3 cos 3 cos 3

t t t t t t t t t

t

t t t

 

   , sehingga

2 2

0 0 0

tan 3 1 sin cos 2 2 cos sin cos 2 2 cos 1 2

lim lim lim 3

sin cos sin cos 1

t t t

t t t t t t t

t t t t

  

  

   

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana. Jawab:

Asumsikan bahwa h x( ) kontinu dimana-mana. Oleh karena h x( )kontinu dimana-mana, maka

0

lim ( ) (0)

x h x  f dan lim ( )x1h x h(1). 0

lim ( )

x h x ada, berarti 0 0

lim ( ) lim ( )

x x

h x h x

 

   , sehingga 0 0

lim ( ) lim ( )

x x

h x _h x

  

1

lim ( )

x h x ada, berartilim ( )x 1 lim ( )x 1

h x h x

 

   , sehingga lim ( )x 1 lim ( )x 1

h x _h x

  

0

lim ( ) (0) lim ( ) (0) 0 .0

0

x

h x h h x h a b b

 





 

    

1

lim ( ) (1) lim ( ) (1)

1

karena 0, maka 1

x

h x h h x h

x a b

x

b a

 





 

   

 

Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a 1 dan b0. 5. Carilah 2 2

( ( ( )) ( ))

x

D f g x g x untuk x1, jika diketahui (1) 2, '(1) 4, ''(1) 1, (1) 1, '(1) 3 dan ''(1) 5 f  f  f   g  g  g  Jawab:

2

( ( ( )) ( )) '( ( )) '( ) 2 ( ) '( )

x

D f g x g x  f g x g x  g x g x

2 2

( ( ( )) ( )) ( '( ( )) '( ) 2 ( ) '( ))

''( ( )) '( ) '( ) '( ( )) ''( ) 2 '( ) '( ) 2 ( ) ''( ) ( ( (1)) (1)) ''( (1)) '(1) '(1) '( (1)) ''(1) 2 '(1) '(1) 2 (1) ''(1)

''(1).3.3 '(1)

x x

x

D f g x g x D f g x g x g x g x

f g x g x g x f g x g x g x g x g x g x

D f g g f g g g f g g g g g g

f f

  

   

    

  .5 2.3.3 2.1.5 ( 1).9 4.5 18 10

9 20 28 17

 

        

 

6. Sebuah tangga sepanjang 8 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 50 centimeter per detik. Seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter dari dinding?

(3)

8 meter dinding

lantai

2 2 2

8

0 2 2

x y dx dy

x y

dt dt dy x dx

dt y dt  

 

 

Karena x = 2, maka y 82 22 60 2 15, sehingga

2 15

.0,5

30 2 15

dy

dt     (tanda negatif berarti bergerak turun)

Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter adalah 15

30 meter per detik.

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari 3 _26,1

Jawab:

Dari rumus diferensial diperoleh f x(   x) f x( ) dy f x( ) f x'( )x Misalkan 3

( )

f x  x, maka

3 2

1 '( )

3 f x

x

 .

3 3

3 2

1 0,9

26,1 (26,1) (27 0,9) (27) '(27)( 0,9) 27 ( 0,9) 3 2,967 27

3 27

f f f f

           

Jadi nilai pendekatan dari 3_26,1_{adalah 2,967}

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut: 1. Domani fungsi f =[-3, 5]

2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3) 3. f( 2)   f( 1) f(2) f(4)2

4.

1 4

lim ( ) lim ( ) 0

x f x x f x 

5.

0

lim ( ) 1

x f x 

(4)

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS TIPE SOAL : 1

1. Dengan menggunakan definisi, buktikan

3

lim 3

x x

Jawab:

Ambil sebarang    0,  0, yakni   sedemikian sehingga Jika o  |x 3 | , maka |x  3 |  

Terbukti bahwa

3

lim 3

x x

2. Diberikan ( )g x  2x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah ' 1 2

g ada atau tidak ada.

Jawab:

Dalam kasus ini, domain dari g x( )akan dibatasi di sekitar 1 2

x , sehingga fungsi ( )g x  2x di sekitar 1

2

x dapat dinyatakan sebagai 1

1, untuk 1 2

( ) 2

1 0, untuk 0

2 x g x x

x

 _{ }

  _{ }

 _{ }



Dari definisi turunan diperoleh '( ) lim ( ) ( )

x c

g x g c g c

x c 

 

 , sehingga 1 2

1 ( )

1 2

' lim

1 2

2

x

g x g g

x 

    

 _  

 

  _

Akan diselidiki apakah

1 2

1 ( )

2 lim

1 2

x

g x g x 

    _{ }

 ada.

1

1 1

2

2 2

1 ( )

1 1 0

2

lim lim lim 0

1 1 1

2 2 2

x

x x

g x g

x x x

 



 

 

   _

    

  

1 1 1

2 2 2

1 ( )

0 1 1

2

lim lim lim

1 1 1

2 2 2

x x x

g x g

x x x

  

  

 

   _ _

     

  

Karena

1 1

2 2

1 1

( ) ( )

2 2

lim lim

1 1

2 2

x x

g x g g x g

x x

 

 

   

 _{ }  _{ }

  _  

  , maka 1

2

1 ( )

2 lim

1 2

x

g x g x 

    _{ }

(5)

3. Hitunglah

0

tan lim

sin 4

t

t t 

Jawab: sin tan

cos t t

t

 , dan sin 4t2sin 2 cos 2t t4sin cos (1 2sin )t t  2t 4sin cost t8sin3tcost

2 2

0 0 0

tan 1 sin 1 1 1

lim lim lim

sin 4 cos sin (4 cos 8sin cos ) cos (4 cos 8sin cos ) 4

t t t

t t

t t t t t t t t t t

       

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana. Jawab:

Asumsikan bahwa h x( ) kontinu dimana-mana. Oleh karena h x( )kontinu dimana-mana, maka

0

lim ( ) (0)

x h x h dan lim ( )x1h x h(1). 0

lim ( )

lim ( ) lim ( )

xh x xh x

, sehingga

0 0

lim ( ) lim ( )

x h x xh x 1

lim ( )

lim ( ) lim ( )

x x

h x h x

 

   , sehingga 1 1

lim ( ) lim ( )

x x

h x _h x

  

0

lim ( ) (0) lim ( ) (0)

.0 1

x

h x h h x h x

a b x

b  





 



  

 

1

lim ( ) (1) lim ( ) (1)

1

karena 1, maka 2

x

h x h h x h a b

b a

 





 

  

  

Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a 2 dan b 1. 5. Carilah D_x2( ( ( ))f g x g2( ))x untuk x1, jika diketahui

(1) 2, '(1) 5, ''(1) 1, (1) 1, '(1) 4 dan ''(1) 2 f   f  f   g  g  g  Jawab:

2

( ( ( )) ( )) '( ( )) '( ) 2 ( ) '( )

x

D f g x g x  f g x g x  g x g x

2 2

( ( ( )) ( )) ( '( ( )) '( ) 2 ( ) '( ))

''( ( )) '( ) '( ) '( ( )) ''( ) 2 '( ) '( ) 2 ( ) ''( ) ( ( (1)) (1)) ''( (1)) '(1) '(1) '( (1)) ''(1) 2 '(1) '(1) 2 (1) ''(1)

''(1).4.4 '(1)

x x

x

D f g x g x D f g x g x g x g x

f g x g x g x f g x g x g x g x g x g x

D f g g f g g g f g g g g g g

f f

  

   

    

  .2 2.4.4 2.1.2 ( 1).16 5.2 32 4

16 10 36 42

 

    

     

6. Sebuah tangga sepanjang 9 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 0,5 meter per detik. Seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 3 meter dari dinding?

(6)

9 meter dinding

lantai

2 2 2

9

0 2 2

x y dx dy

x y

dt dt dy x dx

dt y dt  

 

 

Karena x = 3, maka y 92 32 72 6 2, sehingga

3 1 1

.0,5 2

8

6 2 4 2

dy

dt       (tanda negatif berarti bergerak turun)

Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter adalah 1 2

8 meter per detik.

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari 3_26,8

Jawab:

Dari rumus diferensial diperoleh f x(   x) f x( ) dy f x( ) f x'( )x Misalkan 3

( )

f x  x, maka

3 2

1 '( )

3 f x

x

 .

3 3

3 2

1 0, 2

26,8 (26,8) (27 0, 2) (27) '(27)( 0, 2) 27 ( 0, 2) 3 2,993 27

3 27

f f f f

           

Jadi nilai pendekatan dari 3_26,8_{adalah 2,993}

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut: 1. Domani fungsi f =[-3, 5]

2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3) 3. f( 2)   f( 1) f(2) f(4)4

4.

1 4

lim ( ) lim ( ) 2

x f x x f x 

5.

0

lim ( ) 3

x f x 