bab 5 pd linear tingkat n

(1)

BAB V

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR TINGKAT TINGGI

5.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai

persamaan differensial linear tingkat-n. Secara umum dinyatakan dalam

bentuk:

maka persamaan

Po _n

dapat dinyatakan dengan

 Po Dn y + P1Dn1y + P2Dn2y + P3Dn3y + ... + Pn1Dy + Pn y =

Q(x)

 (Po Dn + P1Dn1 + P2Dn2 + P3Dn3 + ... + Pn1D + Pn ) y =

Q(x)

 F(D) y = Q(x)

Jika bentuk F(D)y = Q(x) dan Q(x) = 0, maka bentuk umumnya menjadi

(2)

Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan differensial

linear homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x)



0 maka F(D)y =

Q(x) disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat tinggi.

Contoh

1. 2₂ dx

y

d _{+ 2}

dx dy

- 15y = 0

 (D2 _{+ 2D – 15)y = 0}

 y’’ + 2y’ -15y = 0

2. (

dx dy

-y)(

dx dy

-2y)2 _{= e}2x

 (D-1)(D-2)2_{y = e}2x

 (y’-y)(y’-2y)2 _{= e}2x

3. (D2 _{+ 9) y = x Cos x}

 y’’ + 9y = x Cos x

 2₂ dx

y

d _{+ 9y = x Cos x}

4. (x+2)2 2 2

dx y d

- (x+2)

dx dy

+ y = (3x+4)

 (x+2)2 _{y’’ - (x+2) y’ + y = (3x+4)}

 (x+2)2 _D2 _{y - (x+2) Dy + y = (3x+4)}

5. (x3_D3_{+ 3x}2_D2 _{- 2xD + 2) y = 0}

 x3_{y’’’ + 3x}2_{y’’ - 2xy’ + 2y = 0}

 x3 3 3

dx y

d _{+ 3x}₂

2 2

dx y

d _{- 2x}

dx dy

(3)

6. (x3_D3_{+ 2xD - 2) y = x}2 _{Ln x + 3x}

contoh 2 disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat

tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3 disebut

persamaan differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan

koefisien konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan

differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien variabel,

persamaan pada contoh 5 adalah persamaan differensial linear

homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel, sedangkan persamaan

pada contoh 6 adalah persamaan differensial linear tidak homogen

tingkat 3 dengan koefisien variabel.

5.2 Selesaian Umum Persamaan Differensial Linear Tingkat Tinggi

Misal y = y1(x) adalah selesaian persamaan

(4)

Maka y = C1y1(x) adalah selesaian juga, dimana C1 adalah sebarang

konstanta.

Selanjutnya jika y = y1(x), y = y2(x) , y = y2(x) , ... merupakan

selesaian umum

Po _n

n

dx y d

+ P1 ₁

1

 

n n

dx y d

+ P2 ₂

2

 

n n

dx y d

+ P3 ₃

3

 

n n

dx y d

+ ... + Pn1

dx dy

+ Pn y =

Q(x), maka

y = C1y1(x) + C3y2 (x) + C3y3(x) + ... juga selesaian persamaan.

Himpunan selesaian y = y1(x), y = y2 (x) , y = y2 (x) , ... y= yn (x)

disebut bebas liner jika persamaan C1y1 + C3y2 + C3y3 + ... Cn yn

= 0 dimana Ci adalah konstanta dan terjadi hanya apabila C1 = C2 =

C3 = ... = Cn = 0.

Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas

linear yaitu jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing

sukunya adalah selesaian dimaksud sampai turunan ke (n-1)



0.

Dengan kata lain y = C1y1(x) + C3y2 (x) + C3y3(x) + ... + Cn yn (x)

adalah primitif. Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian

khususnya persamaan differensial linear tingkat tinggi adalah

y = C1y1(x) + C3y2 (x) + C3y3(x) + ... + Cn yn (x) + R(x).

Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan

differensial linear tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut

dikelompok menjadi 1) persamaan differensial linear homogen tingkat

(5)

konstan, 3) persamaan homogen dengan koefisien variabel, dan 4)

persamaan tidak homogen dengan koefisien variabel.

a. PD Homogen dengan Koefisien Konstan

Sebagaimana telah disebutkan pada awal bab V, bahwa

persamaan differensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien

konstan dinyatakan dalam bentuk umum:

Po _n

n

dx y

d _{+ P}

1 ₁

1

 

n n

dx y

d _{+ P}

2 ₂

2

 

n n

dx y

d _{+ P}

3 ₃

3

 

n n

dx y

d _{+ ... + P}

1

 n

dx dy

+ Pn y = 0

Atau

(Po Dn + P1Dn1 + P2Dn2 + P3Dn3 + ... + Pn1D + Pn) y = 0

atau

F(D) y = 0, dengan Po



0, P1, P2, P3, ... , Pn1, Pn adalah konstan.

F(D) disebut fungsi operator differensial.

Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat

dinyatakan dalam bentuk (D-m1)(D-m2)(D-m3) ... (D-mn ) = 0.

sebaliknya jika tidak dapat difakktorkan maka ditulis sebagai F(D) = 0.

Bentuk (D-m1)(D-m2)(D-3) ... (D-mn ) = 0 dinamakan persamaan

karakteristik dengan m1, m2 , m3, ... mn disebut akar-akar persaman

karakteristik. Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan

karakteristik, karena akar-akarnya dapat dibaca secara langsung dari

fungsi operator differensial.

Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akar-akarnya,

(6)

Po _n

ditentukan dengan y = Cemx_{dimana m akar persamaan karakteristik}

yang telah diketahui. Karena m1, m2 , m3, ... mn adalah akar-akar

persamaan karakteristik, maka jenis bilangan real dan tidak real. Untuk

lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:

1. Andaikan m1



m2



m3



...



mn



bilangan real maka

primitinya

y = C1em1x + C2 em2 x + C3em3 x + ... + Cn em1x

sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta

sebarang.

Jika y = C1em1x + C1em1x + C1em1x + ... + C1em1x adalah

selesaian maka

y = C1em1x, y = C1em1x, y = C1em1x, ... , dan y = C1em1x juga

selesaian.

Contoh

Tentukan selesaian umum persamaan differensial linear berikut.

a. 2₂

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

(D2 _{+ 5D + 6)y = 0}

Sehingga persamaan karakteristik m2 _{+ 5m + 6 = 0}

(7)

akar-akarnya m1 = -2 dan m2 = -3, keduanya berberda.

Primitif persamaan di atas adalah

y = C1e2x + C2 e3x.

Karena Y = C1e2x + C2 e3x adalah selesaian maka Y = C1e2x

dan Y = C2 e3x

Juga selesaian.

b. 4₄ dx

y d

- 4 3₃ dx

y d

+ 2₂ dx

y d

+ 6

dx dy

= 0

Jawab

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

(D4 _{- 4D}3_{+ D}2_{+ 6D) y = 0}

Persamaan karakteristik m4 _{- 4m}3_{+ m}2_{+ 6m = 0}

 m(m3_{- 4m}2 _{+ m + 6) = 0}

 m(m+1)(m-2)(m-3) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik

m1 = 0, m2 = 1, m3= 2, dan m4 = 3

Sehingga selesaian persamaan (D4 _{- 4D}3_{+ D}2_{+ 6D) y = 0}

adalah

y = C1eox + C2ex + C3e2x + C4 e4x

= C1+ C2ex+ C3e2x + C4 e4x

Karena y = C1 + C2 ex + C3e2x + C4 e4x selesaian umum, maka

(8)

2. Andaikan m1 = m2 = m3 = ... = mn = m



Real maka

primitinya

y = (C1 + C2x + C3x2 + ... + Cnxn1) emx

dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang

dan m kali hubungan diantaranya.

Contoh

Selesaikan persamaan differensial linear berikut

a. 2₂ dx

y

d _{- 4}

dx dy

+ 4y = 0

Jawab

Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk

(D2 _{- 4D + 4)y = 0}

 (D-2)(D-2)y = 0

Sehingga akar persamaan karakteristiknya (m-2)(m-2) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1= m2 = 2 (sama)

Selesaian persamaan di atas adalah

y = (C1 + C2 x) e2x

Karena y = (C1 + C2 x) e2x maka y = C1e2x dan y = C2 e2x juga

selesaian

b . 2₂ dx

y

d _{+ 6}

dx dy

+ 9y = 0

Jawab

(9)

(D2_{+ 6D + 9)y = 0}

 (D+3)(D+3)y = 0

Sehingga persamaan karakteristik (m+3)(m+3) = 0

Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m1= m2 = -3 (sama)

Akibatnya primitif persamaan di atas adalah

y = (C1 + C2 x) e3x

Karena y = (C1 + C2 x) e3x selesaian maka y = C1e3x dan y = C

2 xe3x juga selesaian.

c. 5₅ dx

y

d _{- 6}

4 4

dx y

d _{+ 12}

3 3

dx y

d _{- 8}

2 2

dx y

d _{= 0}

Jawab

Bentuk lain persamaan di atas adalah

D2 _{( D}3_{- 6D}2 _{+ 12D – 8)y = 0}

 D2_{( D – 2)}3_{y = 0}

Sehingga persamaan karakteristiknya

m2_{( m – 2)}3_{= 0,}

Akar-akar persamaan karakteristiknya m1= m2= 0, dan m3= m4 =

m5= 2

Akibatnya selesaian umum persamaan differensial di atas adalah

y = (C1+ C2x) e0x + (C3+ C4 x + C5x2) e2x

= (C1+ C2x) + (C3+ C4 x + C5x2 ) e2x

(10)

y = C1, y = C2x , y = C3e2x , y = C4 xe2x , dan y = C5x2 e2x juga

selesaian persamaan.

3. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan

karakteristik dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:

m1



m2 = m3 = m4



...



mn



Real maka primitifnya

y = C1em1x+ (C2 + C3x + C4 X2 )emx + ... + Cn emnx.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan

a. (D4 _{- D}3_{- 9D}2_{- 11D – 4)y = 0}

Jawab

Persamaan di atas mempunyai persamaan karakteristik

m4 _{- m}3_{- 9m}2_{- 11m – 4 = 0}

 (m+1)(m+1)(m+1)(m-4) = 0

Akar persamaan karakteristik m1= m2 = m3= -1 dan m4 = 4

Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah

Y = (C1+ C2x + C3x2 ) e x + C4 e4x

Karena Y = (C1+ C2x + C3x2 ) e x + C4 e4x selesaian maka

Y = C1e x , y = C2xe x, y = C3x2e x, dan y = C4 e4x juga

selesaian.

b. 4₄ dx

y

d _{- 6}

3 3

dx y

d _{+ 12}

2 2

dx y

d _{- 8}

dx dy

(11)

Jawab

4. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real , misal

(12)

y = C1e(abx) C2 Ae(abi)x

= eax(C₁cosbx_C₂sinbx)

Contoh

a. (D2 _{- 2D + 5)y = 0}

Jawab

Persamaan karakteristiknya m2_{- 2m + 5 = 0}

Akarnya m12 = 2

4 2 i

= 1 2i

m1 = 1 + 2i dan m2= 1 – 2i

Selesaian umum persamaan y = ex_(C

1Cos 2x + C2 Sin 2x)

b. (D2 _{+ 1)(D}2_{+ D +1)(D+3)y = 0}

Jawab

Persamaan karakteristik persamaan di atas adalah

(m2_{+ 1)(m}2_{+ m +1)(m+3) = 0}

Akar-akarnya m12 = i, m34 =

2 3 1i

 _{, m}

5= 3

Selesaian umum persamaan

Y = (C1Cos x + C2Sin x) + e 2x 1

 (C

3Cos 3

2 1

x + C4 Sin₂ 3 1

x ) + C

(13)

5. Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real,

maka selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3,

dan 4 di atas.

Contoh

Tentukan selesaian umum perasamaan differensial

a. (D4 _{+ 4D}2 _{)y = 0}

Jawab

Persamaan karakteristik PD di atas adalah (m4 _{+ 4m}2 _{) = 0.}

 m2 _(m2_{+ 4) = 0}

akar-akarnya adalah m1 = m2 = 0, dan m34 =  2i,

Diperoleh selesaian umum (D4 _{+ 4D}2_{)y = 0 adalah}

y = (C1 + C2x) + (C3 Cos 2x + C4 Sin 2x)

b. (D4 _{- 16)y = 0.}

Persamaan karakteristiknya m4 _{- 16 = 0}

 (m-2)(m+2)(m2_{+ 4) = 0}

Sehingga akar-akar persamaan karakteristik m1 = 2, m2 = -2 dan

m34 =  2i,

Primitif persamaannya adalah

y = (C1 + C2x)e2x + (C3 Cos 2x + C4 Sin 2x)

5.3 Soal-soal

(14)

1. (y’’’ + y’’ – 2y) = 0

2. (D4 _{– 6D}3_{+ 12D}2_{– 8D) y = 0}

3. (D4_{+ D}2 _{)y = 0}

4. (D4 _{– 6D}3_{+ 13D}2 _{– 12D + 4)y = 0}

5. (D6_{+ 9D}4 _{+ 24D}2_{+ 16) y = 0}

6. (D8_{+ D}6_{)y = 0}

7. (y’’’ + 64y)2 _{= 0}

8. (y(5)_{- 15y}(4)_{+ 85y’’’ – 225y’’ + 274y’ – 120) = 0}

9. (y’’’ + y’’ + 4y’ + 4y) = 0

10. (D4 _{- 16) y = 0}

11. (D2 _{- 2D + 5)}5_{y = 0}

12. (D4 _{+ 5D}2 _{- 36)Y = 0}

13. y(5)_{- 5y}(4)_{+ 7y’’’ + y’’ – 8y’ + 4y = 0}

14. y’’’ – 3y’’ + 3y’ – y = 0

15. (y’’ – 4y’ + 4y)(y’ + 3y) = 0

b. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan differensial linear tidak homogen

dengan koefisien konstan adalah

Po _n

n

dx y

d _{+ P}

1 ₁

1

 

n n

dx y

d _{+ P}

2 ₂

2

 

n n

dx y

d _{+ P}

3 ₃

3

 

n n

dx y

d _{+ ... + P}

1

 n

dx dy

+ Pn y =

(15)

Dimana Po



0, P1, P2 , P3, ... , Pn1, Pn adalah konstanta, dan Q(x)



3. (D2 _{+ 2D)y = Cos 3x (}_{PDLtH tingkat-2 derajat-1, koefisien konstan}₎

Selesaian persamaan differensial linear tidak homogen dinyatakan

dengan

Y = y(C) + y(p)

y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0,

y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).

Dengan demikian untuk menentukan selesaian

Po _n

Tinggal mencari y(c).

Untuk mencari y(p) dibedakan menjadi beberapa jenis yaitu

(16)

2) Metode _F₍1_D₎ sebagai jumlah n pecahan parsial,

3) Metode variasi paramater,

4) Metode koefisien tak tentu, dan

5) Metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat

spesifik.

a) Metode invers fungsi operator

Misal F(D)y = Q(x) adalah persamaan differensial linear tidak homogen

dengan koefisien konstan, maka selesaiannya Y = y(C) + y(p).

Setelah ditentukan y(c), maka

F(D)y = Q(x)

 y = _F₍1_D₎ Q(x)

misal F(D) = (D-m1)(D-m2 )(D-m3) ... (D-mn), maka

y = ₍ ₎₍ ₎₍1 _)...( ₎

3 2

1 D m D m D mn

m

D    Q(x)

misal u = ( )

) (

1

x Q m

D _n ---(PDL tingkat-1)

v = u m

D _n )

( 1

1



 ---(PD Linear tingkat-1) ...

Z = t m

D )

( 1

1

 ---(PD Linear tingkat-1) yang selesaiannya telah dijelaskan pada bab III

(17)

untuk m1



m2



m3



...



mn real

y(p) = em1x



e(m2m1)x



e(m3m2)x ...



Q(x)emnx (dx)n Jika m1 = m2 = m3 = ... = mn real maka

y(p) = emx

_{ }

_...

_

_Q₍_x₎_emx

(dx)n

b) Metode penjumlahan n pecahan parsial.

y = ₍ ₎₍ ₎₍1 _)...( ₎

dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu

y = (

selesaiannya sudah dibahas pada bab III.

c. PD Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umum persamaan differensial lineat homogen dengan koefisien

konstan adalah

(18)

Contoh

d. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel

Bentuk umunya dinyatakan dengan

Po _n

Tentukan selesaian persamaan di bawah ini:

1. (D2_{– 4D + 3) y = 1}

2. (D2 _{+ D – 2)y = 2(1 + x –x}2₎

3. (D2 _{– 3D +2) y = sin e}x

4. (D2 _{– 1) y = sin}2 _{x = ½ ( 1 – cos 2x)}

(19)

6. x3_{y’’’ + xy’ – y = 3x}4

7. xy’’ – (x+2)y’ + 2y = 0

8. (1+x2_{)y’’ – 2xy’ + 2y = 2}

9. (2x+1)2 _{y’ – 2(2x+1)y’ – 12y = 6x}