JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

(1)

1. Diagram Bode

Fungsi alih sinusoidal dapat disajikan dalam dua diagram yang terpisah, satu merupakan diagram besaran terhadap frekuensi dan diagram sudut fasa dalam derajat terhadap frekuensi. Diagram Bode terdiri dari dua grafik. Grafik pertama merupakan diagram dari logaritma besaran fungsi sinusoidal, dan grafik yang lain merupakan sudut fasa di mana kedua grafik digambarkan terhadap frekuensi dalam skala logaritmik. Penyajian standar besaran logaritmik dari G(jω) adalah 20 log G(jω) dengan basis logaritma tersebut adalah 10. Satuan yang digunakan dalam penyajian besaran adalah desibel (dB). Pada penyajian logaritmik, kurva digambarkan pada kertas semilog, dengan menggunakan skala log untuk frekuensi dan skala linier untuk besaran (dalam dB) atau sudut fasa (dalam derajat). Faktor-faktor dasar yang sering terjadi dalam sebarang fungsi alih G(j)H(j) adalah

a. Penguatan K

b. Faktor integral derivatif (j ) 1

c. Faktor orde pertama (1 + j T) 1

d. Faktor kuadratik 1 2 2 1                           j j n n  a. Penguatan K

Setiap angka yang lebih besar dari satu mempunyai nilai positif dalam dB, sedangkan angka yang lebih kecil dari satu mempunyai nilai negatif. Kurva besaran log untuk penguatan K yang konstan merupakan garis horizontal dengan besaran 20 log K dB. Sudut fasa penguatan K adalah nol. Pengaruh perubahan penguatan K pada fungsi alih dapat menaikkan atau menurunkan kurva besaran log fungsi alih tadi sesuai dengan besar 20 log K, tetapi tidak mempunyai pengaruh pada sudut fasa. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 1. berikut

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS ANDALAS

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

SOLUSI TUGAS 1 - SISTEM KENDALI 2

(2)

20 log K dB



Gambar 1. Kurva Tanggapan Frekuensi

b. Faktor Integral dan Derivatif Besaran logaristmik dari 1

j dalam desibel dinyatakan oleh persamaan (1.1) berikut

20log 1 20log

j    dB (1.1)

Sudut fasa dari 1

j adalah konstan dan besarannya -90

0_{. Dalam diagram Bode,}

perbandingan frekuensi diekspresikan dalam bentuk oktaf atau dekade. Oktaf adalah suatu pita frekuensi dari 1 ke 21, dengan 1 adalah suatu harga frekuensi

sembarang. Dekade adalah suatu pita frekuensi dari 1 ke 101, dengan 1 adalah

suatu harga frekuensi sembarang. Jika besaran log -20 log dB digambarkan terhadap  pada skala logaritmik, akan diperoleh garis lurus dengan persamaan (1.2) berikut

(-20 log 10) dB = (-20 log -20) dB (1.2) dengan kemiringan garis tersebut adalah -20 dB/dekade (atau -6 dB/oktaf). Dengan cara yang sama diperoleh persamaan (1.3) berikut

20logj 20log dB (1.3) dengan sudut fasa yang konstan, yaitu 900. Kurva besaran log adalah suatu garis lurus dengan kemiringan 20 dB/dekade. Gambar 2. berikut memperlihatkan kurva tanggapan frekuensi masing-masing untuk 1

jω

dan j. Perbedaan kedua tanggapan

frekuensi dari faktor 1

j dan j terletak pada tanda kemiringan kurva besaran - log

dan tanda sudut fasa. Kedua besaran log tersebut menjadi sama dengan 0 dB pada = 1.

(3)

-40 -20 0 20 40 0,1 1 10 100 dB  kemiringan = -20dB/dekade -40 -20 0 20 40 0,1 1 10 100 dB  kemiringan = 20dB/dekade 180o 0o 90o  0o 90o 180o 0,1 0,1 1 10 100 1 10 100    

Gambar 2. Kurva Tanggapan Frekuensi Besaran - Log dan Sudut

Jika fungsi alih mengandung faktor 1

j n      

 atau (j)n, maka besaran log masing-masing dinyatakan dengan persamaan (1.4) dan (1.5) berikut

20log 20

) log

1

(j n n  log j   n  dB (1.4) atau

20log(j)n  n  log j 20nlog dB (1.5)

Selanjutnya kemiringan kurva besaran log untuk faktor-faktor 1 n jω

 

 

 

dan (j)n_,

masing-masing -20n dB/dekade dan 20n dB/dekade. Sudut fasa n 1 -90 x n jω        - di

seluruh rentang frekuensi sedangkan sudut fasa (j)n = 90o n di seluruh rentang frekuensi. Kurva besaran melalui titik 0 dB pada  = 1.

c. Faktor Orde Pertama

Besaran log dari faktor orde pertama 1

1  j T dinyatakan oleh persamaan (1.6) berikut 20 1 1 20 1 2 2 log log  j T    T dB (1.6)

(4)

Untuk frekuensi rendah,  << 1

T, besaran log dapat didekati dengan persamaan (1.7)

berikut

2 2

20 log 1 ω T 20log1 = 0 dB

    (1.7) Jadi kurva besaran log pada frekuensi rendah terletak di garis konstan 0 dB. Untuk frekuensi tinggi,  >> 1

T, besaran log dapat didekati dengan persamaan (1.8) berikut 20log 12T 2  20logT dB (1.8)

yang merupakan ekspresi perkiraan rentang frekuensi tinggi. Pada   1

T, besaran

log = 0 dB dan  10

T , besaran log = -20 dB. Jadi harga -20 log T dB mengecil

oleh 20 dB untuk setiap dekade . Untuk   1

T, kurva besaran log tersebut menjadi

suatu garis lurus dengan kemiringan -20 dB/dekade atau -6 dB/oktaf. Kurva tanggapan frekuensi dari faktor 1

1  j T dapat didekati dengan dua buah garis lurus asimtotis, satu garis lurus pada 0 dB untuk daerah frekuensi 0 <  < 1

T, dan yang lain

garis lurus dengan kemiringan -20 dB/dekade (-6 dB/oktaf) untuk rentang frekuensi

1

T<  < . Kurva besaran log dan kurva sudut fasanya terlihat pada Gambar 3.

berikut

(5)

Frekuensi pada perpotongan dua asimtot disebut frekuensi sudut atau frekuensi patah. Untuk faktor 1

1  j T , frekuensi  =

1

T merupakan frekuensi patah karena pada  = 1

T kedua asimtot mempunyai nilai yang sama. (Ekspresi asimtot frekuensi rendah

pada  = 1

T adalah 20 log 1 dB = 0 dB, ekspresi asimtotik frekuensi tinggi pada  = 1

T juga 20 log 1 dB = 0 dB). Frekuensi patah membagi kurva tanggapan frekuensi

menjadi dua daerah, yaitu kurva untuk daerah frekuensi rendah dan kurva untuk daerah frekuensi tinggi. Frekuensi patah sangat penting dalam membuat sketsa kurva tanggapan frekuensi logaritmik. Sudut fasa sebenarnya  dari faktor 1

1  j T yang dinyatakan oleh persamaan (1.9) berikut

    

tan 1 T (1.9) Pada frekuensi nol, sudut fasanya adalah 00. Pada frekuensi patah, sudut fasanya dinyatakan dengan persamaan (1.10) berikut

        tan 1T tan 11 450

T (1.10)

Galat kurva besaran yang diakibatkan oleh asimtot-asimtot dapat dihitung. Kesalahan maksimum terjadi pada frekuensi patah dan hampir sama dengan -3 dB karena

20log 1 1 20log1 10log2 3 03, dB  3 dB (1.11) Galat pada frekuensi satu oktaf di bawah frekuensi patah, yaitu pada

  1

2Tdinyatakan oleh persamaan (1.12) berikut

1 5

20log 1 20log1 20log 0.9700 dB -1 dB

4 2

(6)

Galat pada frekuensi satu oktaf di atas frekuensi patah, yaitu pad  2

Tdinyatakan

oleh persamaan (1.13) berikut

5 2

20log 2 1 20log 2 20log 0.9700 dB -1 dB 2

        (1.13)

Jadi galat pada satu oktaf di bawah atau di atas frekuensi patah hampir sama dengan -1 dB. Dengan demikian galat pada satu dekade di bawah atau di atas frekuensi patah kira-kira -0.04 dB. Dalam prakteknya, kurva tanggapan frekuensi yang teliti digambarkan dengan menempatkan titik -3 dB pada frekuensi patah dan titik -1 dB satu oktaf di bawah atau di atas frekuensi patah dan selanjutnya menghubungkan titik ini dengan suatu kurva yang halus. Suatu kelebihan diagram Bode adalah untuk faktor-faktor kebalikan, misalnya hanya perlu diubah tandanya seperti yang dinyatakan dalam persamaan (1.14) dan (1.15) berikut

1 20 log 1 j T 20 log 1 j T       (1.14) 1 1 1 j T tan T 1 j T           (1.15)

maka frekuensi patah kedua kasus tersebut adalah sama. Kemiringan asimtot frekuensi tinggi dari 1

1  j T adalah 20 dB/dekade dan sudut fasanya berubah dari 0

0

sampai 900 jika frekuensi  diperbesar dai 0 sampai . Kurva besaran log dan sudut fasa untuk faktor 1

(7)

Gambar 4. Kurva Tanggapan Frekuensi Faktor Orde Pertama

d. Faktor Kuadratik

Sistem kendali mempunyai faktor kuadratik yang berbentuk persamaan (1.16) berikut 1 1 2 2                   j j n n (1.16)

Jika  > 1, maka faktor kuadratik ini dapat dinyatakan sebagai perkalian dua buah orde pertama dengan kutub nyata. Kutub s₁dan s₂ adalah akar-akar nyata, dengan bentuk 1 s 1 s  dan ₂ s 1

s  ekivalen dengan j T + 1 . Jika 0 < ς < 1, maka faktor

kuadratik akan mempunyai dua akar kompleks sekawan. Pendekatan asimtot pada kurva tanggapan frekuensi untuk suatu faktor dengan harga  rendah adalah tidak teliti. Hal ini disebabkan besaran dan fasa faktor kuadratik tersebut tergantung pada frekuensi patah dan rasio redaman  seperti yang dinyatakan oleh persamaan (1.17) berikut 20 1 1 2 20 1 2 2 2 2 2 log log                                       j j j n n n n (1.17)

(8)

maka untuk frekuensi rendah sedemikian rupa sehingga   n, besaran log tersebut

dinyatakan dalam bentuk persamaan (1.18) berikut

-20 log 1 = 0 dB (1.18) Jadi asimtot frekuensi rendah merupakan garis horizontal pada 0 dB. Untuk frekuensi tinggi,   n besaran lognya menjadi persamaan (1.19) berikut

20  40 2 log log    n 2 n dB (1.19)

Persamaan untuk asimtot frekuensi tinggi merupakan garis lurus dengan kemiringan -40 dB/dekade seperti pada persamaan (1.20) berikut

40log10   40 40log    n n (1.20)

Asimtot frekuensi tinggi memotong asimtot frekuensi rendah pada  = n karena

pada frekuensi yang dinyatakan pada persamaan (1.21) berikut

40log  40log10 

n n

dB (1.21)

Frekuensi ini merupakan frekuensi patah pada frekuensi yang ditinjau. Sudut fasa faktor kuadratik dinyatakan dalam bentuk persamaan (1.22) berikut

                                   1 1 2 2 2 1 2 j j 1 n n n n tan (1.22)

Sudut fasa merupakan fungsi  dan . Pada  = 0, sudut fasa = 00. Pada frekuensi patah  = n, sudut fasa = - 900, tidak tergantung  seperti pada persamaan (1.23)

berikut

         tan 12 tan1 0

(9)

Pada  = , sudut fasa menjadi -1800_{. Kurva sudut fasa simetris miring terhadap}

infleksi pada  = -900. Kurva tanggapan frekuensi untuk faktor pada persamaan (1.24) berikut 1 2 2              j j n n     (1.24)

dapat diperoleh hanya dengan membalik tanda besaran log dan sudut fasa dari faktor pada persamaan (1.25) berikut

1 1 2 2                   j j n n (1.25)

Untuk mencari kurva tanggapan frekuensi fungsi alih kuadratik, pertama-tama harus ditentukan harga frekuensi patah n dan rasio redaman . Adapun fungsi Matlab

yang digunakan untuk metoda diagram Bode adalah - bode(num,den) - bode(num,den,w) - bode(A,B,C,D) - bode(A,B,C,D,w) - bode(sys) - [mag,phase,w]= bode(num,den) - [mag,phase,w]= bode(num,den,w) - [mag,phase,w]= bode(A,B,C,D) - [mag,phase,w]= bode(A,B,C,D,w) - [mag,phase,w]= bode(sys) dimana - w : frekuensi vektor

- mag : magnitude dari tanggapan frekuensi - phase : phase dari tanggapan frekuensi - num : numerator sistem lingkar terbuka - den : denumerator sistem lingkar tertutup

Contoh 1.1: Dengan menggunakan Matlab, tentukan diagram Bode untuk fungsi alih lingkar terbuka pada persamaan (1.26) dan (1.27) berikut ini



15





G(s) s s + 3 s + 5  (1.26) 3 2 4 3 2 7s +15s + 7s + 80 G(s) s + 8s + 12s + 70s +110  (1.27)

(10)

Jawab :

Kode Matlab untuk penyelesaian contoh 1.1 adalah

clc

clear all close all

close all hidden %

figure num_1 = 15;

den_1 = conv([1 0],conv([1 3],[0 7 5])); bode(num_1,den_1); grid on % figure num_2 = [ 0 7 15 7 80]; den_2 = [ 1 8 12 70 110]; bode(num_2,den_2); grid on Hasil program -150 -100 -50 0 50 M ag ni tu de ( dB ) 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 P ha se ( de g) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

(11)

-30 -20 -10 0 10 M ag ni tu de ( dB ) 10-1 100 101 102 -135 -90 -45 0 P ha se ( de g) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

Gambar 6. Diagram Bode Persamaan (1.27)

Contoh 1.2: Dengan menggunakan Matlab, tentukan diagram Bode untuk persamaan keadaan (1.28) dan (1.29) berikut ini

1 1 1 2 2 2 x 0 1 x 1 1 u x 30 7 x 0 1 u             _ _                _(1.28) 1 1 1 2 2 2 y 1 0 x 0 0 u y 0 1 x 0 0 u                             _(1.29) Jawab :

clc

clear all close all

close all hidden % A = [ 0 1; -30 -7]; B = [ 1 1; 0 1]; C = [ 1 0; 0 1]; D = [ 0 0; 0 0]; % bode(A,B,C,D) grid on

(12)

Hasil program -100 -50 0 From: In(1) T o: O ut (1 ) -135 -90 -45 0 T o: O ut (1 ) -100 0 100 T o: O ut (2 ) 100 102 -180 0 180 T o: O ut (2 ) From: In(2) 100 102 Bode Diagram Frequency (rad/sec) M ag ni tu de ( dB ) ; P ha se ( de g)

Gambar 7. Diagram Bode Persamaan Keadaan (1.28) dan (1.29)

Contoh 1.3: Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram Bode untuk fungsi alih lingkar terbuka pada persamaan (1.30) berikut ini