Penyelesaian Permasalahan Optimasi Global Menggunakan AlgoritmaKoloni
Lebah Buatan
Nursyiva Irsalinda Program Studi MatematikaUniversitas Ahmad Dahlan Kampus III: Jalan Prof. Dr. Soepomo, Janturan, Umbulharjo, Yogyakarta Email : nursyiva.irsalinda@gmail.com ABSTRAKEksperimen numerik ini bertujuan untuk mengetahui algoritma koloni lebah buatan (Artificial Bee Colony Algorithm) secara singkat ditulis algoritma ABC dan pengaruh parameter kontrol (Solution Number) dan (Maximum Cycle Number) terhadap efektivitas kinerja algoritma tersebut.
Algoritma ABC merupakan salah satu metode heuristik berdasar populasi digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi global khususnya dalam proses minimalisasi. Memiliki dua parameter kontrol yaitu jumlah dan . Proses algoritma ABC menggunakan bilangan-bilangan random yang berubah-ubah setiap prosesnya, oleh karena itu tugas akhir ini meneliti pengaruh parameter kontrol terhadap keefektivan kinerja algoritma ABC.
Algoritma ABC diujikan untuk menyelesaikan beberapa fungsi Benchmark. Untuk mengetahui pengaruh , maka dilakukan perhitungan algoritma ABC dalam berbagai yaitu 2, 20, 25, 50,100 dan 200 dengan MCN yang sama yaitu 100 dan 20 iterasi. Sedangkan untuk untuk mengetahui pengaruh , maka dilakukan perhitungan algoritma ABC dalam berbagai yaitu 10, 50, 100 dan 200 dengan yang sama yaitu 20 dan 200. Setiap perhitungan nilai optimal dilakukan sebanyak 10 kali dan diperoleh mean dan standar deviasinya.
Dari eksperimen numerik yang dilakukan, dapat diketahui bahwa semakin banyak dan , kinerja algoritma ABC akan semakin efektiv karena menghasilkan nilai optimum yang semakin mendekati nilai eksak.
Kata kunci: Algoritma ABC, Optimasi Global, Fungsi Benchmark, Minimum Global, Nilai Minimum Global.
1.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada ruang pencarian dibedakan antara optimasi lokal dan optimasi global. Optimasi global merupakan sebuah nilai optimum dari keseluruhan anggota domain. Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi global dapat digunakan metode heuristik, yaitu salah satu algoritma optimasi yang menggunakan informasi yang telah diperoleh sebelumnya untuk membantu menentukan calon solusi yang akan diperiksa selanjutnya atau bagaimana individu berikutnya dihasilkan (Weise.T, 2008). Metode heuristik tidak selalu menghasilkan solusi terbaik tetapi jika dirancang dengan baik akan menghasilkan solusi yang mendekati optimum dalam waktu cepat (Boese,1996).
Beberapa metode heuristik telah dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi global. Metode ini dapat diklasifikasikan menjadi beberapa kelompok tergantung pada kriteria yang menjadi pertimbangan seperti berdasar populasi, lintasan, iterasi, stokastik, deterministik, dan lain-lain. Sebuah metode yang bekerja dengan sekelompok penyelesaian termasuk dalam metode heuristik yang berdasar populasi (D.Karaboga, B. Basturk, 2007). Contoh algoritma tersebut adalah algoritma genetika (Genetic Algorithm) (John Holand,1960), algoritma koloni semut (Ant Colony Algorithm) (Marco Dorigo, 1992), algoritma PSO (Particle Swarm Optimization Algorithm) (Kennedy dan Eberhart ,1995), dan algoritma koloni lebah buatan (Artificial Bee Colony Algorithm) (V. Tereshko dan A. Loengarov, 2005).
Di antara metode heuristik tersebut algoritma koloni lebah buatan merupakan algoritma paling baru dalam menyelesaikan optimasi global. Algoritma koloni lebah buatan atau yang sering disebut dengan Algoritma ABC pertama kali diperkenalkan oleh V. Tereshko dan A. Loengarov pada tahun 2005. Algoritma ini mengadaptasi perilaku koloni lebah madu dalam mencari makan. Algoritma ABC merupakan algoritma paling sederhana di antara metode heuristik lainnya. Hal ini dikarenakan hanya memiliki dua parameter kontrol yaitu (banyaknya solusi) dan (Maximum Cycle Number). Oleh karena itu, algoritma ini sangat sederhana dalam proses perhitungannya. Akan tetapi, sama seperti metode heuristik lainnya, algoritma ABC juga banyak membangkitkan bilangan random dalam proses menyelesaikan permasalahan optimasi global. Hal ini menyebabkan hasil yang diperoleh tiap kali perhitungan berbeda. Oleh karena itu diperlukan adanya penelitian untuk mengetahui keefektivan kinerja Algoritma ABC yang memiliki parameter kontrol lebih sedikit dibanding dengan metode heuristik lainnya.
1.2 Tujuan
Penelitian
Memperkenalkan Algoritma Koloni Lebah Buatan dalam permasalahan optimasi global fungsi non-linear dan mengetahui pengaruh parameter kontrol Algoritma Koloni lebah Buatan terhadap keefektivan algoritma tersebut.
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Masalah Optimasi
Dalam masalah optimasi yang diminta adalah memaksimumkan atau meminimumkan sebuah besaran tertentu, yang disebut fungsi tujuan, yang bergantung pada sejumlah berhingga variabel masukan (input variable). Variabel-variabel ini dapat saling bergantung atau tidak bergantung melalui satu atau lebih kendala (constraint).
Definisi 2.1. (Chong, Zak,2001)
Optimasi tanpa kendala mempunyai fungsi sasaran atau fungsi tujuan (objective function) yang akan dioptimalkan. Optimasi tanpa kendala didefinisikan sebagai berikut :
optimasikan 2.1 dengan (2.2)
Fungsi f: yang akan dioptimasikan merupakan fungsi bernilai riil, yang disebut fungsi obyektif atau cost function. Vektor x merupakan sebuah vektor-n dari variabel-variabel bebas yaitu x x , x , … , x T . Variabel-variabel x , x , … , x sering mengacu kepada variabel putusan. Permasalahan optimasi di atas dapat dilihat sebagai masalah yang bertujuan untuk mencari variabel putusan vektor x terbaik dari keseluruhan vektor pada .
2.2 Perilaku Lebah yang Sebenarnya
Pola seleksi mencari makan yang mengarah pada munculnya kecerdasan kolektif dari sekumpulan lebah madu terdiri dari tiga komponen penting, yaitu :
(i) Sumber makanan : nilai dari sumber makanan bergantung pada beberapa faktor, seperti kedekatannya dengan sarang, kekayaan atau konsentrasi energi dan kemudahan dalam mengekstraksi sumber makanan ini. Untuk sederhananya, “tingkat keuntungan” dari sumber makanan dapat diwakilkan dengan kuantitas tunggal.
(ii) Employed foragers : employed foragers terkait dengan sumber makanan tertentu yang sedang di eksploitasi. Mereka membawa informasi tentang jarak dan arah sumber makanan dari sarang serta tingkat keuntungan dari sumber makanan tersebut dan membagi informasi ini dengan probabilitas pasti.
(iii) Unemployed foragers : unemployed foragers mencari sumber makanan untuk dieksploitasi. Terdapat dua tipe dari unemployed foragers yaitu scouts mencari sumber makanan disekitar lingkungan sarang dan onlooker menunggu di sarang dan menemukan sumber makanan melalui informasi yang dibagikan oleh employed foragers. Rata-rata jumlah scout dari rerata kondisi
Pertukaran informasi dintara lebah merupakan kejadian penting dalam pembentukan pengetahuan kolektif. Ketika memerikasa keseluruhan dari sarang, terdapat beberapa bagian yang biasa adadi dalam sarang. Bagian yang paling penting dari sarang yang berkenaan dengan pertukaran informasi adalah area tari (dancing area). Komunikasi antar lebah yang berkaitan dengan kualitas dari sumber makanan terjadi di area tari. Tarian yang berkaitan disebut dengan waggle dance.
Employed foragers membagi informasi yang mereka miliki dengan sebuah probabilitas, probabilitas tersebut sebanding dengan tingkat keuntungan dari sumber makanan, dan membagi informasi ini melalui lamanya durasi dari waggle dance. Karena informasi tentang keseluruhan sumber makanan banyak tersedia untuk onlooker di lantai dansa (dance floor), onlooker dapat melihat banyak tarian dan memilih untuk mempekerjakan dirinya pada sumber makanan yang paling menguntungkan. Karena lebih banyak informasi yang beredar tentang sumber makanan yang lebih menguntungkan, terdapat probabilitas yang lebih besar untuk unlooker memilih sumber makanan yang lebih menguntungkan tersebut. Oleh karena itu, rekrutmen sebanding dengan tingkat keuntungan dari sumber makanan (D. Karaboga, B. Akay,2009).
3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan studi literatur (kajian pustaka). Bahan dan materi dalam penelitian ini berupa buku-buku, jurnal, artikel-artikel, dan sumber-sumber lainnya yang dapat mendukung penelitian. Penelitian ini dilakukan dengan mempelajari literatur-literatur yang memuat dan membahas tentang Algoritma koloni lebah untuk menyelesaikan masalah optimasi global.
Adapun tahapan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
3.1 Pengumpulan Literatur
Pada tahap ini penulis melakukan studi pustaka dengan melakukan penelaahan sumber pustaka yang relevan untuk mengumpulkan literatur maupun informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka ini diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka berupa buku-buku yang membahas tentang teori optimasi dan algoritma ABC. Selain dari buku-buku sumber pustaka referensi dalam penelitian ini diperoleh dari skripsi-skripsi sebelumnya dan materi dari situs-situs internet yang membahas tentang permasalahan optimasi dan algoritma ABC.
3.2 Pengkajian Literatur
Setelah sumber pustaka terkumpul, langkah pertama yaitu penelaahan isi sumber pustaka dengan cara membaca dan mempelajarinya untuk menambah pengetahuan tentang teori optimasi fungsi non linear dan algoritma ABC. Langkah selanjutnya mengelompokkan dan mencatat literatur-literatur tersebut sesuai dengan masalah yang akan dibahas.
3.3 Pengembangan Literatur
Dari hasil pengelompokan dan mencatat literatur-literatur tersebut kemudian dilanjutkan dengan melakukan pengembangan-pengembangan dengan memberi uraian-uraian, yang diharapkan dapat lebih memahami konsep-konsep, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang sudah ada.
3.4 Pembuatan Program Matlab
Pembuatan program untuk aplikasi algoritma ABC sehingga memudahkan perhitungan yang rumit. Selanjutnya mempelajari hasil praktek program aplikasi algoritma ABC serta memodifikasinya sesuai dengan tujuan dari penulisan skripsi ini. Program aplikasi algoritma ABC ditulis dalam bahasa pemrograman Matlab2010.
3.5 Pengaplikasian Program Matlab
Persamaan-persamaan yang dibahas dalam skripsi ini akan diaplikasikan dan diolah menggunakan program Matlab. Hasil penelitan yang diperoleh kemudian akan dikaji dan dianalisa pada pembahasan.
3.6 Penyusunan Hasil Penelitian
Penyusunan hasil penelitian digunakan sebagai langkah awal untuk memberi gambaran secara menyeluruh tantang topik yang akan dibahas.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Algoritma( 1) pseudocode skematik dari prosedur algoritma ABC
Inisialisasi ABC dan parameter-parameter permasalahan Inisialisasi Populasi Solusi
Ulang
- Employed bee mencari solusi lain dipersekitaran solusi sebelumnya.
- Onlooker menyeleksi solusi sesuai informasi yang diberikan oleh employed bee kemudian memilih solusi yang memiliki probabilitas terbesar. Setelah itu onlooker mencari solusi baru dipersekitaran solusi tersebut terhadap solusi lainnya.
- Jika ada solusi yang tidak dapat diperbaiki hingga limit, maka scouts mengganti solusi tersebut dengan solusi lain secara random.
- Mengingat sumber makanan terbaik
Hingga (kriteria berhenti terpenuhi)
4.1. Prosedur Algoritma Koloni Lebah Buatan
Prosedur dari algoritma koloni lebah buatan dideskripsikan dalam tujuh tahap sebagai berikut:
4.1.1. Inisialisasi Permasalahan Optimasi dan Parameter Kontrol Algoritma ABC
Secara umum, permasalahan optimasi diformulasikan sebagai berikut : min 4.1
dimana merupakan fungsi obyektif yang akan diminimalkan. merupakan sebuah -vektor dari variabel putusan yaitu , , … , . Setiap vektor variabel putusan terdiri dari dimensi. , dimana dan merupakan nilai batas bawah dan batas atas untuk variabel-variabel vektor .
Selain itu, algoritma ABC terdiri dari dua parameter kontrol :
a. Solution Number merupakan jumlah sumber makanan (atau kandidat solusi) dalam populasi. Banyaknya sama dengan jumlah employed dan onlooker.
b. Maximum Cycle Number (MCN) mengacu pada jumlah maksimum generasi.
Limit digunakan untuk menganekaragamkan pencarian dan untuk menentukan jumlah generasi yang diperbolehkan dalam menentukan sumber makanan yang ditinggalkan karena tidak dapat diperbaiki. Jumlah limit merupakan perkalian ukuran populasi dengan parameter individu
.
4.1.2. Inisialisasi Populasi Solusi
Populasi awal dari kandidat solusi didefinisikan sebagai matriks berukuran . …
… …
…
… 4.2 Dimana setiap elemen matriksnya dibangkitkan menggunakan persamaan berikut
x lb r ub lb 4.3 i 1,2, … , SN , j 1,2, … , D
x merupakan komponen vektor ke i pada dimensi j, lb dan ub merupakan batas bawah dan batas atas ruang pencarian. Batasan ini diberikan agar kandidat solusi tetap berada di dalam ruang pencarian. Sedangkan rmembentuk bilangan random uniform antara 0 dan 1.
4.1.3. Tahap Employed Bee
Pada tahap ini, setiap employed bee ditempatkan pada kandidat solusi yang dihasilkan pada tahap inisialisasi. Selanjutnya, masing-masing employed bee mencari kandidat solusi baru di persekitaran kandidat solusi yang mereka tempati menggunakan persamaan berikut :
v x φ x x 4.4 k 1,2, … , SN , k j, φ merupkan faktor skala dan φ ~ 1,1 .
Ketika kandidat solusi baru diperoleh, sebuah mekanisme seleksi bekerja di antara kandidat solusi sebelumnya dengan kandidat solusi baru pada populasi. Nilai fungsi obyektif dari v
4.1.4. Tahap Onlooker Bee
Onlooker memiliki jumlah yang sama dengan kandidat solusi penyelesaian seperti employed bee. Onlooker menghitung nilai probabilitas seleksi dari tiap kandidat solusi yang dibentuk oleh employeed bee pada tahap sebelumnya. Kandidat solusi terbaik diseleksi oleh onlooker. Proses seleksi pada tahap onlooker bekerja sebagai berikut : Onlooker mengevaluasi informasi kualitas kandidat solusi yang diterima dari employed bee dan menyeleksi kandidat solusi yang tergantung pada nilai probabilitas .
∑ 4.5 dimana adalah nilai fitness dari solusi dan merupakan jumlah dari solusi. Untuk menghitung nilai fitness untuk masalah minimisasi, digunakan persamaan:
1
1 0
1 0
4.6 dimana adalah nilai obyektif dari .
Dari persamaan 4.6 jelas bahwa jika nilai tinggi, maka semakin besar probabilitas solusi ke- dipilih.Kandidat solusi dari employed bee dengan probabilitas terbesar diseleksi oleh onlooker. Ketika sebuah kandidat solusi ke- dipilih oleh onlooker, onlooker akan menuju kandidat solusi terpilih dengan mencari kandidat solusi baru dipersekitaran kandidat solusi tersebut menggunakan persamaan 4.4 seperti pada tahap pembaharuan kandidat solusi oleh employed bee. Akan tetapi pada tahap ini merupakan solusi yang dipilih oleh onlooker. Setelah itu, onlooker menyeleksi nilai fungsi obyektif antara kandidat solusi dengan solusi baru .
4.1.5. Tahap Scout Bee
Kandidat solusi x diasumsikan untuk ditinggalkan, jika kandidat solusi tersebut tidak dapat diperbaiki lebih lanjut sampai banyaknya percobaan yang ditentukan pada tahap inisialisasi (limit), dan employed bee berubah menjadi scout. Scout bee menghasilkan kandidat solusinya secara random menggunakan persamaan (4.3).
4.2. Hasil Penelitian (Experimental Result )
Karena algoritma ABC merupakan salah satu metode heuristik berdasar populasi yang dipengaruhi oleh bilangan-bilangan random, maka sangat bergantung pada parameter kontrolnya yaitu dan . Oleh karena itu, dalam eksperimen numerik ini akan diuji pengaruh parameter kontrol tersebut terhadap kinerja algoritma ABC dalam menyelesaikan permasalahan optimasi global persamaan non-linear. Dalam eksperimen numerik ini, algoritma ABC digunakan untuk menyelesaikan beberapa fungsi Benchmark yaitu Booth, Sphere, Rosenbrock, Rastrigin, Drop Wave, dan Schwefel. Penyelesaian optimasi global menggunakan algoritma ABC untuk menyelesaikan fungsi-fungsi Benchmark tersebut diselesaikan menggunakan komputasi dengan pemrograman Matlab.
Tabel 4.1. Tabel Fungsi Benchmark
Nama Fungsi Persamaan Interval
Nilai Optimum
Booth 2 5 2 7 [-10,10] 0
Rosenbrock 100 1 [-2.048,2.048] 0 Rastrigin 10 10 cos 2 [-5.12,5.12] 0 Dropwave 1 cos 12 ∑ 1 2 ∑ [-5.12,5.12] -1 Schwefel sin [-500,500] -418.9829n
4.2.1. Pengaruh (Solution Number) terhadap Kinerja Algoritma ABC
Dalam eksperimen numerik ini akan dihitung nilai optimum dari masing-masing fungsi Benchmark menggunakan algoritma ABC dengan = 2, 20, 25, 50, 100, dan 200 dengan
100 dan 20 . Setiap perhitungan dilakukan 10 kali, dari data pada Lampiran diperoleh nilai rata-rata (mean) dan simpangan baku (standar deviasi) dari masing-masing fungsi sebagai berikut :
Tabel 4.2 Tabel Nilai Mean dan Standar deviasi Nilai Optimal Fungsi Benchmark meng-
gunakan Algoritma ABC dengan Berbagai dengan 100.
2 20 25 50 100 200
Sphere
Mean 5,74145 9,32E-09 9,66E-12 6,52E-29 1,2E-30 8,9E-31 Standar
Deviasi 6,976821 2,46E-08 2,14E-11 1,01E-28 1,82E-30 1,02E-30
Booth
Mean
14954,15 4,64E-05 5,89E-11 1,41E-28 9,78E-30
2,55552E-31 Standar
Deviasi 47056,81 0,000119 1,86E-10 2,76E-28 2,24E-29
3,72615E-31
Rosenbrock
Mean 37,90759 0,041272 0,193733 2,44E-06 1,88E-28 3,51E-30 Standar
Deviasi 53,43439 0,106889 0,406879 7,65E-06 3,01E-28 3,56E-30
Rastrigin Mean 16,51141 0,41851 0,21333 0 0 0 Standar deviasi 9,365839 0,493363 0,451006 0 0 0 Dropwave Mean -0,87394 -0,96147 -0,96812 -0,98087 -0,98725 -1 Standar Deviasi 0,109413 0,032571 0,033602 0,030797 0,026881 0 Schwefel Mean -565,668 -816,216 -814,269 -837,959 -826,122 -837,966 Standar
Tabel 4.3. Tabel Nilai Mean dan Standar deviasi Nilai Optimal Fungsi Benchmark
menggunakan Algoritma ABC dengan Berbagai dengan 20.
2 20 25 50 100 200
Booth
Mean 132,3495 6,77E-08 5,01E-06 1,3E-09 1,5E-12 1,36E-12 Standar
deviasi 175,5799 1,66E-07 1,58E-05 3,78E-09 3,26E-12 4,23E-12
Sphere
Mean 4,987364 5,64E-05 2,33E-08 4,6E-12 6,39E-14 7,21E-16 Standar
deviasi 4,165093 0,000114 5,56E-08 8,54E-12 1,48E-13 7,76E-16
Rosenbrock
Mean 595,7535 0,130219 0,063292 0,002822 1,87E-10 6,76E-12 Standar
deviasi 1047,693 0,179975 0,133577 0,00861 3,49E-10 1,17E-11
Rastrigin
Mean 15,01516 0,657002 0,202804 0,10565 1,59E-05 9,29E-09 Standar
deviasi 12,54487 0,481402 0,436447 0,312824 4,95E-05 2,85E-08
Drop wave Mean -0,35046 -0,96774 -0,97743 -0,98654 -0,99362 -1 Standar deviasi 0,191408 0,033202 0,030096 0,026557 0,02016 0 Schwefel Mean -488,302 -767,02 -774,405 -837,916 -837,91 -837,966 Standar deviasi 221,6006 77,20537 69,66672 0,135136 0,14934 1,2E-13
4.2.2. Pengaruh (Maximum Cycle Number) terhadap Kinerja Algoritma ABC
Dalam eksperimen numerik ini dihitung nilai optimum dari masing-masing fungsi Benchmark menggunakan algoritma ABC dengan = 10, 50, 100, dan 200 dengan 20 dan 200. Setiap perhitungan dilakukan 10 kali, dari data pada Lampiran diperoleh nilai rata-rata (mean) dan simpangan baku (standar deviasi) dari masing-masing fungsi sebagai berikut :
Tabel 4.4. Tabel Nilai Mean dan Standar deviasi Nilai Optimal Fungsi Benchmark menggunakan
Algoritma ABC dengan Berbagai dan 20.
10 50 100 200
Sphere
Mean 7,19E-04 1,45E-07 4,85E-05 1,02E-14 Standar deviasi 0,002103 4,57E-07 0,000153 2,41E-14
Booth
Mean 1,89E-03 4,62E-04 5,98E-05 1,08E-01 Standar deviasi 0,005319 0,000981 0,000117 0,31443
Rosenbrock
Mean 0.10968 0.147332 0.047484 0.210435
Standar deviasi 0.18521 0.336491 0.112778 0.451834
Mean 0,908181 0,298589 0,198996 0,298488 Standar deviasi 0,968904 0,480545 0,419509 0,480611 Drop wave Mean -0,9482 -0,78026 -0,9787 -0,59363 Standar deviasi 0,025287 0,62622 0,029833 0,823646 Schwefel Mean -770,952 -811,129 -790,397 -801,096 Standar Deviasi 80,76678 51,54308 61,41405 57,90406
Tabel 4.5. Tabel Nilai Mean dan Standar deviasi Nilai Optimal Fungsi Benchmark
menggunakan Algoritma ABC dengan Berbagai dan 200.
10 50 100 200
Sphere
Mean 2,89E-09 1,52E-22 1,62E-31 4,94E-49
Standar Deviasi 4,01081E-09 1,56E-22 2,65E-31 1,1E-48
Booth
Mean 2,95E-08 2,32E-22 3,94E-31 0,00E+00
Standar Deviasi 3,24967E-08 2,34E-22 1E-30 0
Rosenbrock
Mean 5.83E-06 4.67E-21 1.47E-29 0
Standar deviasi 1.41851E-05 9.92E-21 1.82E-29 0
Rastrigin Mean 0.004243 0 0 0 Standar deviasi 0.008465 0 0 0 Drop wave Mean -0,79666 -1 -1 -1 Standar deviasi 0,631169 0 0 0 Schwefel Mean -841,063 -837,966 -837,966 -837,966
Standar deviasi 11,62536 1,2E-13 1,2E-13 1,2E-13
5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Karena menggunakan bilangan random dalam prosesnya, algoritma ABC sangat bergantung pada parameter kontrolnya yaitu dan . Semakin besar nilai dan
maka semakin efektif kinerja algoritma ABC dalam menyelesaikan optimasi global karena hasil yang diperoleh semakin optimal.
5.2 Saran
Lebih mengeksplorasi materi-materi khususnya Algoritma ABC untuk menyelesaikan permasalahan optimasi global.
Daftar Pustaka
[1]Chong,E.K.P.,& Zak, S.H. An Introduction to Optimization. New York : A Wiley-Interscience Publication.2001.
[2]Clave,Benson,Sincich. Statistic for Business & Economics Tenth Edition. Pearson Education,Inc.New York. 2008.
[3]Hines,W.W.,& Montgomery,D.C. Probabilitas dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Universitas Indonesia : Jakarta. 1990.
[4]Karaboga,D.,& Akay,B. Applied Mathematic and Computation : A comparative Study of Artificial Bee Colony Algorithm. Turkey : Science Direct. http://www.elsevier.com/locate/amc. 2009. [5]Karaboga,D.,& Basturk,B.On the Performance of Artificial Bee Colony (ABC) Algorithm. Applied
Soft Computing 8(1)(2008)687-698.
[6]Khasan,M.H., Nahavandi,N.,&Khasan,A.K. Applied Soft Computing: DisABC: A new artificial bee colony algorithm for binary optimization.Iran: SciVerse ScienceDirect. http://www.elsevier.com/locate/asoc. 2012.
[7]Molga,M., and Smutnicky ,C. Test Function for Optimization Needs. Pdf. 2005.
[8]Robert, G.B.& Donald,S.R. Introduction to Real Analysis Second Edition. JOHN WILEY & SONS,INC. New York. 1992.
[9]Selvi,V.& Umarani,R. Comparative Analysis of Ant Colony and Particle Swarm Optimization Techniques. International Journal of Computer Applications (0975 – 8887) Volume 5– No.4, August 2010.
[10]Weise,T. Global Optimization Algorithm Theory and Application. (e-book). 2008.
[11]Wu,B. and Qian,CH. Differential for Global Numerical Optimization. Journal Of Computers, VOL. 6, NO. 5. 2011.
