BAB 3 RUMUS – RUMUS TRIGONOMETRI - BAB 3 Rumus rumus Trigonometri

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Teks penuh

(1)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 51

Latihan Kompetensi Siswa 1

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. C.

3cosxsinx

2

1

30

cosx = cosxcos30sinxsin30

=

2 1 . sin 3 2 1 .

cosx  x =

3cosxsinx

2 1

2. A. 2

cosxsinx

2

1

45

cosx = cosxcos45sinxsin45

= 2

cosxsinx

2

1

3. A. 2

3 1

4

1

 

75

cos = cos

3045

= cos30cos45sin30sin45

= 2

2 1 . 2 1 2 2 1 . 3 2 1

= 2

3 1

4

1

4. A.

2 2

1 3

15

cos = cos

6045

= cos60cos45sin60sin45

= 2

2 1 . 3 2 1 2 2 1 . 2

1

=

2 2 3 1 2 4

1

=

2 2

1 3

5. C. cos2xsin2 y

xy

 

cos xy

cos =

cosxcosysinxsiny

cosxcosysinxsiny

= cos2xcos2 ysin2xsin2y

= cos2x

1sin2y

 

 1cos2x

sin2y = cos2xsin2y

6. A. cos

x60

x

x cos

2 1 sin 3 2

1

= sin60sinxcos60cosx

= cos

x60

7. B. -0,5



cos = coscos sinsin

=

14 3 5 . 7

3 4 14 11 . 7

1

= 0,5

98 49 98

60

11

8. D. 1 2

2 1 3 2 1

a

a  

      

3

cos   =    

3 sin sin 3 cos

cos   

= 3

2 1 . 2 1 . 1a2 a

9. A. 1

  

cos35 sin125 sin35 125

cos = cos

12535

= cos90= 1

10. B. 5 3

 

cos = coscossinsin

=

5 3 . 25

7 5 4 . 25 24

= 5 . 25

75 =

5 3

11. E. 125 117

 

cos = coscossinsin

=

25 7 . 5 3 5 4 . 25 24

= 125 117

12. D. 2 1

AB

cos = cosAcosBsinAsinB

= .0

2 3 1 . 2 1

= 2 1

13. E. cos7x

x x x

x.sin3 cos4 cos3 4

sin  = cos

4x3x

= cos7x

BAB 3

(2)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 52 14. B. 2

1 3

2

1

2 2 1

cosP  P45

3 2 1

cosQ  Q30

R=180

PQ

105

 cos105

cosR = cos

6045

= cos60cos45sin60sin45

= 2

2 1 . 3 2 1 2 2 1 . 2

1

= 2

1 3

4

1

15. B. 85 13

C

cos = cos

180

AB

= cos180cos

AB

sin180sin

AB

= 1.cos

AB

0.sin

AB

= 

cosAcosBsin AsinB

=

   

17 15 . 5 3 17

8 . 5 4

= 85 13

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

1. a. cos

2a3b

= cos2acos3bsin2asin3b

b. cos

3xy

= cos3xcosysin3xsiny

c. cos

x45

= cosxcos45sinxsin45

= 2

cosx sinx

2

1

d. cos

x15

= cosxcos15sinxsin15

e. 

     

3 cos

2 x  = 2 

  

3 sin sin 3 cos

cosxx

= 2 

  

x

x 3sin

2 1 cos 2 1

= 2

cosx 3sinx

2

1

f. 

     

6 cos 3

2 x  =2 3 

  

6 sin sin 6 cos

cosxx

=2 3 

  

x

x sin

2 1 cos 3 2 1

= 3

3cosxsinx

g. 

  

B A

2 1 3 1

cos =

= A B A B

2 1 sin 3 1 sin 2 1 cos 3 1

cos 

h. 

  

B A

4 1 3 2

cos =

= A B A B

4 1 sin 3 2 sin 4 1 cos 3 2

cos 

2. a. cos

90x

= cos90cosxsin90sinx

= 0.cosx1.sinx

= sinx

b. cos

270x

= cos270cosxsin270sinx

=0.cosx

 

1.sinx

= sinx

c. cos

270x

= cos270cosxsin270sinx

=0.cosx

 

1.sinx

= sinx

d. cos

x90

= cosxcos90sinxsin90

= 0.cosx1.sinx

= sinx

e. cos

x180

= cosxcos180sinxsin180

=

 

1.cosx0.sinx

= cosx

f. 

  

5 2

cos =

=    sin5

2 sin 5 cos 2

cos 

           

=0.cos5 

 

1.sin5

= sin5

g. 

  

   

2 3

cos =    

2 3 sin sin 2 3 cos

cos 

= 0.cos

 

1.sin

= sin

h. cos

2 

= cos2cossin2sin

=1.cos0.sin

= cos

3. a.

3 sin 3 sin 3 cos 3

cos     = 

     

3 3

cos   = 1 b.

6 sin 3 sin 6 cos 3

cos    = 

     

6 3 cos  

= 

    

2 cos  = 0 c.

4 sin 3 2 sin 4 cos 3 2

cos      = 

  

4 3 2 cos  

= 

    

12 11 cos 

d.

4 3 sin 3 5 sin 4 3 cos 3 5

cos      = 

  

4 3 3 5 cos  

= 

    

12 29 cos  e. cos50cos60sin50sin60= cos110

(3)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 53 4. a. cos180cos

60

sin180sin

60

=

= cos

18060

= 2 1

b. cos

150

cos90sin

150

sin90= =cos

240

= cos

240

= cos

18060

= -2 1 c. cos140cos10sin140sin10=

= cos

14010

= cos

150

= -2 1

3 d. cos200cos20sin200sin20=

= cos

20020

= cos

180

= -1

5. a. cos



= coscos sinsin

=

13 5 . 5 3 13 12 . 5

4

= 65 63

b. cos



= coscos sinsin

= 

     

13 5 . 5 3 13 12 . 5 4

= 65 33

c. cos

 

= coscossinsin

= 

           

13 5 . 5 3 13 12 . 5 4

= 65 33

d. cos



= coscossinsin

= 

     

13 5 . 5 3 13 12 . 5 4

= 65 33

e. 

     

2

cos =   sin

2 sin cos 2

cos 

= 0.cos1.sin

= sin

f. 

     

2

cos =    sin

2 sin cos 2

cos 

= 0.cos1.sin

= sin

g. 

     

4

cos =   sin

4 sin cos 4

cos 

=  2.

sin

2

1 cos . 2 2

1

= 2

cos sin

2

1

h. 

     

6

cos =    sin

6 sin cos 6

cos 

=  .

sin

2

1 cos . 3 2

1

=

3cos sin

2

1

7. a. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB= 3 2 1

=

2 1 cos

cosA B = 3 2 1

= cosAcosB=

3 1

2

1

b. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

2 1 1 3 2

1

=

3 2

2

1

8. a. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99 

= 100

9 1881

b. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99 

= 100

9 1881

c. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99

         

=

100 9 1881 

d. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99

         

=

(4)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 54 e. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99

                 

= 100

9 1881

f. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

10 9 . 10

1 10

19 . 10

99

                 

=

100 9 1881 

9. a. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

13 5 . 25 24 13 12 . 25

7       

= 325

204 

b. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

13 5 . 25 24 13 12 . 25

7       

= 325

36 

c. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

13 5 . 25 24 13 12 . 25

7 

= 325 204

d. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

13 5 . 25 24 13 12 . 25

7 

= 325

36 

10. a. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

5 3 . 13 12 5 4 . 13

5

= 65

16 

b. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

5 3 . 13 12 5 4 . 13

5

= 65 56

11. a.

cosAcosB

 

2 sinAsinB

2 =

B A B

A

B A B

A

sin sin 2 sin sin

cos cos 2 cos cos

2 2

2 2

 

=

A B A B

B A B

A

sin sin cos cos 2

sin sin cos

cos2 2 2 2

 

= 22cos

AB

b. cos

AB

.cos

AB

=

A B A B

B A B A

sin sin cos cos

sin sin cos cos

 

= cos2Acos2Bsin2Asin2B

=

1sin2A

cos2Bsin2A

1cos2B

= cos2Bsin2A

12.

2 2

2

1 Q

P  =

sin sin

 

2 cos cos

2

2

1

y x y

x  

=

 

 

 

y x y x

y x y

x

sin sin cos cos 2

cos cos sin

sin 2

1 2 2 2 2

=

22cos

xy

2

1

= 1 +cos(xy)

13. 2cos

x45

= cos

x45

= 2

cosxcos45sinxsin45

=

45 sin sin 45 cos

cosxx

= cosxcos45= 3sinxsin45

a.

x x x

cos sin

tan  =

45 sin 3

45 cos

= 3 1

b.

x x x

sin cos

cot  =

1 3

= 3

c. cos

30x

= cos30cosxsin30sinx

= x sinx

2 1 cos 3 2 1

=

3cosx sinx

2

1

d. cos

x30

= cosxcos30sinxsin30

= x sinx

2 1 cos 3 2 1

=

3cosx sinx

2

1

14.

 

t t

30 cos

30 cos

=

t t

t t

sin 30 sin cos 30 cos

sin 30 sin cos 30 cos

 

t

t sin

2 1 cos 3 2

1

= 

  

t t

n sin

2 1 cos 3 2 1

n

t1 cos 3 2 1

= sin

1

2

1

n t

t t t

cos sin

tan  =

1

1 3

2 1 2 1

 

n n

=

n

n

 

(5)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 55 cos 3

2 cos

cosA A A sin sin 3 4 cos cos

3 2 sin sin 3 2 cos cos cos

A

sin 3 2 1 cos

2 1

sin 3 2 1 cos 2 1 cos

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. cos



= 2cos



cos sin . cos sin tan . sin sin 3 cos

cos    

=  3sin

2 1 cos 2 sin sin 3 cos

cos    

=  3sin

2 1 cos 2 cos 2 cos 2

sin sin cos cos

sin sin cos cos

cos cos

cos 

cos cos

sin sin cos

cos 

sin sin cos 

sin sin

sin sin cos

cos 

cos cos

cos 

cos cos

sin sin cos

cos 

sin sin cos 

sin sin

sin sin cos

cos 

sin sin cos 

sin sin

sin sin cos cos

cos sin cos 

cos sin

sin sin cos

cos 

cos sin cos 

cos sin

sin sin cos cos

sin sin cos 

sin sin

sin sin cos cos

 cos

4 x  =  sin sin 3 cos cos

4 xx  cos 2 cos

2 x  =  sin sin 4 cos cos

(6)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 56 9. a. 8sin 6cos r.cos

 

= r

coscossinsin

6

cos 

r

cos 6

r

8 sin 

r

sin 8

 

r

cos 6

= 

sin 8

  

cos sin

tan  =

3 4 6

8

b. 4sin3cos r.cos

 

= r

coscossinsin

3

cos 

r

cos 3

 

r

4 sin 

r

sin 4

r

cos 3

 =

sin 4

  

cos sin

tan  =

3 4 

c. 4cos7sinr.cos

 

= r

coscossinsin

4

cos 

r

cos 4

r

7 sin 

r

sin 7

r

cos 4

= 

sin 7

  

cos sin

tan  =

4 7 

d. 12sin5cos r.cos

 

= r

coscossinsin

5

cos 

r

cos 5

 

r

12 sin 

r

sin 12

 

r

 cos

5 

=  sin

12 

  

cos sin

tan  =

5 12

10. a. 

            

3 cos 3 cos

cos2 2  2  =

     

3 cos 2 cos2 2 

=

2 2

2 1 2

cos 

      

= cos2 2

1

b. cos2

60

cos2

60

sin2

=

2

60 sin sin 60 cos

cos   +

2

sin 60 sin cos 60

cos    - sin2 =

2 sin 3 2 1 cos 2 1

   

+

2 sin 3 2 1 cos 2 1

   

-

2

sin

= 2 sin2 sin2 2

3 cos 2

1

= 2 sin2 2 1 cos 2

1

= 2 1

c. cos275sin215=

dari soal no.11b bagian B diperoleh : 

  sin 15 75

cos2 2 = cos

7515

 

cos7515

= cos90cos60

= 0

2 1 . 0 

Latihan Kompetensi Siswa 2

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. 1

   

cos11 cos79 sin11 79

sin = sin

7911

= sin90= 1 2. A. 3

2 1

   

cos10 cos50 sin10 50

sin = sin60

= 3

2 1

3. E. 3 2 1

   

cos16 cos76 sin16 76

sin = sin60

= 3

2 1

4. A. 2

sinx cosx

2

1

45

sin x = sinxcos45cosxsin45

= 2

sinx cosx

2

1

5. A.

2 6 1

6

1

30

sin x = sinxcos30cosxsin30

= x cosx

2 1 sin 3 2

1

=

3 1 . 2 1 3

2 2 . 3 2

1

=

2 6 1

6

1

6. A. sin

x30

x

x cos

2 1 sin 3 2 1

 = cos30sinxsin30cosx

= sin

x30

7. A. 2

1a

140

sin = sin

9050

= sin90cos50cos90sin50

= 1. 1a2 0.sin50

= 2

(7)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 57 8. A.

2 2

1 3

15

sin = sin

6045

= sin60cos45cos60sin45

= 

  

2 1 3 2 1 2 2 1

=

2 2 1 3 2 4

1

=

2 2

1 3

9. C.

2 2

3 1

75

sin = sin

4530

= sin45cos30cos45sin30

= 

  

2 1 3 2 1 2 2 1

=

2 2 1 3 2 4 1

 

=

2 2

1 3

10. A. cos2ycos2x

xy

 

sin xy

sin =

sinxcosycosxsiny

sinxcosycosxsiny

= sin2xcos2ycos2xsin2y

=

1cos2x

cos2ycos2x

1cos2y

= cos2 ycos2x

11. D. 2sin

       

    

     4 sin 4

sin =    sin

4 cos cos 4

sin 

   

    sin

4 cos cos 4 sin

=  sin 4 cos 2

= 2sin 2

1 .

2 = 2sin

12. A. 6 1



sin = sincos cossin = sin30

=

2 1 sin cos 3 1

  

6 1 sin cos  

13. E. 125

44

AB

sin = sinAcosBcosAsinB

=

25 7 . 5 4 25 24 . 5

3

= 125

44

14. A. 221

21 

AB

sin = sin AcosBcosAsinB

=

17 8 . 13 12 17 15 . 13

5

      

= 221

21 

15. D. 25 24

C

sin = sin

180

AB

= sin180cos

AB

cos180sin

AB

= 

  

1 sinAB

= sin

AB

= sinAcosBcosAsinB

=

5 3 . 5 4 5 4 . 5

3

= 25 24

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

1. a. sin

AB

= sin

3060

= 1

AB

sin = sin

3060

=

2 1 30 sin  

b. sin

AB

= sin

6030

= 1

AB

sin = sin

6030

=

2 1 30 sin 

c. sin

AB

=       

4 6 sin  

=

4 sin 6 cos 4 cos 6

sin    

=

2 2

3 1

AB

sin = 

     

4 6 sin  

=

4 sin 6 cos 4 cos 6

sin    

=

2 2

3 1

d. sin

AB

= sin

3040

= sin70

AB

sin = sin

3040

= sin

10

(8)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 58 2425 2079

f.

sin sin

= cos cos 2 sin cos 2 cos

sinx   x  cos cos 2 sin cos 2 3 cos

sinx   x

sin sin

=

sin cos cos sin

sin cos cos sin

cos cos

sin cos cos sin

cos cos

sin cos cos sin

tan tan

tan tan

sin sin sin 

sin sin

sin cos cos

sin 

sin sin sin 

sin sin

sin cos cos

sin 

cos cos

sin 

cos cos

cos sin cos

sin 

sin sin

cos cos

=

sin cos cos sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin sin cos cos

cos sin 2

cos cos 2

(9)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 59 b.  

 

2 1 sin 2 1

cos =

  

 

2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1

cos  

=

 

  

2 1 sin 2 1 cos

2 1 cos 2 1 sin 180

2 1 cos 

  

=

 

   

2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2

1

sin   

=

  

  

2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin

2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin

 

=  

2 1 cos 2 1 sin 2

7. a.

  

5 cos

cos 5 sin

sin

 =

 

   

5 cos 5 sin

5 sin cos 5 cos

sin 

=

 

 5 cos 5 sin

6 sin b. cos



+cos



=

  

cos sin sin

cos  +coscossinsin

= 2coscos

c. cos

 

-cos

 

= 2sincos

d. sin

 

+sin

 

=   

cos cos sin

sin  +sincos cossin

= 2sincos

e. sin

 

-sin



= 2cossin

8. a. 2sin AcosB

dari soal no.7 (d) diperoleh :

B Acos sin

2 = sin

AB

+sin

AB

= 0,7 + 0,5 = 1,2

b. 2cosAsinB

dari soal no.7 (e) diperoleh :

B Asin cos

2 = sin

AB

-sin

AB

= 0,7 - 0,5 = 0,2 c. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

cos

AB

cos

AB

2

1

-

cos AB cos AB

2

1

= cos

AB

= 3 2 1

d. sin

AB

= 0,5

9. cos



= coscossinsin = 3 cos = 0,1 - sinsin =

2 1 

sin

sin = -0,4

a. cos

 

= coscossinsin

= 0,1 + (-0,4) = -0,3 b. cos

 

= coscossinsin

= 0,1 + (-0,4) = -0,3 c. sin



= -0,1

d. sin



= -0,1

10.

cosAcosBsinAsinB

2+

2

cos sin sin

cosA BA B

=

B A B

A B A

B A B

A

B A B A B

A

2 2 2 2 2

2 2 2

cos sin sin sin cos cos 2

sin cos sin

sin

sin sin cos cos 2 cos cos

 

 

= sin2A

sin2Bcos2B

cos2A

sin2Bcos2B

=

sin2Acos2A

 

sin2Bcos2B

= 1

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a. sin

ABC

= sin

A

BC

= sinAcos

BC

cosAsin

BC

=

B C B C

A

C B C B A

sin cos cos sin cos

sin sin cos cos sin

 

=

C B A C B A

C B A C B A

sin sin sin sin cos cos

cos sin cos cos cos sin

 

b. cos

ABC

=

B C

A

B C

Acos  sin sin 

cos

=

C B A C B A

C B A C B A

sin cos sin cos sin sin

sin sin cos cos cos cos

 

3. cossin

A

= cossin

A

 

sin cos cos cos sin

cos AA =

A

A cos cos sin

cos sin

cos    

=

   

 

sin cos cos sin cos

cos cos 2 sin

  A

A

= tanA=

 

 

cos cos 2

sin cos

sin

A A

4. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB= 5 3

B Atan

tan =

B A

B A

cos cos

sin sin

= 2

B Asin

sin = 2cosAcosB

AB

cos = 3cosAcosB= 5 3

b. cosAcosB= 5 1

a. sinAsinB= 5 1 . 2 =

(10)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 60 c. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

= 5 1

-5 2

= 5 1 

5. a. sin275sin215=

sin

9015

2sin215 = cos215sin215

dari soal no.11(b) bagian B :

= cos

1515

 

cos1515

= cos30cos0

= .1 2 1

= 2 1

b. cos215cos275= cos215cos

9015

 = cos215sin215

= 2 1

7. a. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

=

17 15 . 13

5 17 15 . 13 12

     

 =

221 255 

b. sin

AB

= sinAcosBcosAsinB

=

17 15 . 13 12 17 15 . 13

5

     

 =

221 105 

c. sin

AB

= 221 255 

d. cos

AB

= 221 105 

8. a. sin

AB

= sinAcosBcosAsinB

= 

           

13 12 . 17

8 13

5 . 17 15

= 221

21 

b. cos

AB

= cosAcosBsinAsinB

= 

                 

13 12 . 17 15 13

5 . 17

8

= 221 140 

c. kuadran III, karena sin

AB

dan cos

AB

bernilai negatif.

9. yasin2ftcosBacos2ftsinB

ft B

a

 .sin 2

10. y1y2=   

 

 

 

t A t

A cos

2

cos 2

1

= 

  

2 sin sin 2 cos cos 1

  

t t

A +

cos cos sin sin

2 t t

A

= A1

sint

+A2

cost

= A2costA1sint

11. a. rsin



= rsincos rcossin

= 8sin 6cos 8

cos

r

 cos

8  r

6 sin 

r

 sin

6  r

 cos

8 =

 sin

6

  

cos sin

tan  =

4 3 b. rsin



= rsincos rcossin

= 4sin3cos 4

cos

r

 cos

4  r

3 sin 

r

 sin

3  r

 cos

4 =

 sin

3

  

cos sin

tan  =

4 3

c. rcos 2 

 cos

2  r

3 sin 

r

 sin

3   r

 cos

2 =

 sin

3 

  

cos sin

tan  =

2 3  

d. rcos12 

 cos

12  r

5 sin 

r

 sin

5   r

 cos

12 =

 sin

5 

  

cos sin

tan  =

12 5 

12. a. 

     

4 sin

2 x  = 

  

4 sin cos 4 cos sin

2 xx

= sinxcosx

b. 

     

4 sin

2 x  = 

  

4 sin cos 4 cos sin

2 xx

= sinxcosx

c. 

     

6 sin

2 x  = 

  

6 sin cos 6 cos sin

2 xx

= 

  

x

x cos

2 1 sin 3 2 1 2

= 3sinxcosx

d. 

     

3

sin x  - 

     

6 cos x  = =

3 sin cos 3 cos

sinx   x  -   

6 sin sin 6 cos

cosxx

=

x x

 

3cosx sinx

2

1 cos 3 sin 2 1

 

(11)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 61

Latihan Kompetensi Siswa 3

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.tan(-x)

4

4

tan 1

tan 1

tan . tan 1

tan tan

 tan 1

45 2 tan 1 tan . 45 tan 1

45 2 tan 45 tan

 tan . 69 tan 1

66 tan 69 tan

= tan

6966

 sin 9 cos

9 sin 9 cos

= tan 1

9 tan 1 tan . 45 tan 1

9 tan 45 tan

= tan

459

tan . tan 1

tan tan

 sin 11 cos

11 sin 11 cos

= tan 1

11 tan 1 tan . 45 tan 1

11 tan 45 tan

= tan

4511

tan tan

tan . tan 1

tan . tan tan

tan 1 tan

1

tan tan

tan . tan 1

tan tan

tan . tan 1

tan tan

tan . tan 1

tan 1

tan 1

 

= 1

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

1. a.

115 tan . 155 tan 1

115 tan 155 tan

= tan

155115

tan . 25 tan 1

15 tan 25 tan

=

150 tan . 175 tan 1

150 tan 175 tan

= tan

175150

tan . 10 tan 1

15 tan 10 tan

= tan25=a tan . 5 , 14 tan 1

5 , 10 tan 5 , 14 tan

(12)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 62 tan . 45 tan 1

60 tan 45 tan

= tan . 45 tan 1

30 tan 45 tan

=  tan . 180 tan 1

75 tan 180 tan

 tan . 60 tan 1

45 tan 60 tan

 tan . 180 tan 1

15 tan 180 tan

105 tan . 180 tan 1

105 tan 180 tan

 105 tan

1 195 tan

1

tan . tan 1

tan tan

tan . tan 1

tan tan

4 tan 1

tan 1

sin cos

sin cos

tan . tan 1

tan tan

4 tan 1

tan 1

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

tan . tan 1

tan tan

tan . 3 1

tan 3

tan . 3 3

tan 3 tan 3

tan 3

tan 3

tan 3

tan . tan 1

tan tan

 

= 0,75

B B tan 2 1

tan 2 tan

2  

25 , 1 tan 5

tan . tan 1

tan tan

(13)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 63

tan . tan 1

tan tan  tan 1

tan

A tan 3 tan tan tan

tan   

= 1

tan tan

tan tan

1 tan 1

tan tan

=

 

 

tan . tan 1

tan tan

tan tan

tan tan 1

tan tan

 tan

1

tan . tan 1

tan tan

tan tan 1

tan tan

= tan

A

AB

= tanB

tan tan

tan . tan 1

sin cos cos sin

sin sin cos cos

sin sin

1 sin sin

1

cot cot

1 cot . cot

tan tan

tan . tan 1

sin cos cos sin

sin sin cos cos

sin sin

1 sin sin

1

cot cot

1 cot . cot

204 .

tan . tan 1

tan tan 

=

 

 

21

220 .

140 .

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. tan

45A

= 4tan

45A

45 tan . tan 1

tan 45 tan

A tan . 45 tan 1

tan 45 tan . 4

 

2 tan

1 A =

2 tan 1

4  A

A A 2tan tan

1 2  = 44tan2A8tanA

3 tan 10 tan

3 2AA= 0

tan . tan 1

tan tan

tan . tan 1

tan tan

 tan tan

2 x x a b tan 1

tan 2

tan . tan 1

tan tan

tan tan

2

tan

2  tan

b

tan 1

(14)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 64 3. tan



=

 

 

tan . tan 1

tan tan

 

= P Q P Q

PQ Q P

Q P

Q

P

      

1 2 1 .

1 1 1 1 1

= cotcot

4. a. tanAtanBtanC=

A B

B

Atan tan180  tan

= tanAtanB

A B

B A

 

 

tan . 180 tan 1

tan 180 tan

= tanAtanB

B A

B A

tan . tan 1

tan tan

 

=

B A

B A B A

B A B

A

tan . tan 1

tan tan tan

tan

tan tan tan tan

2

2

    

  

 

 

= tanAtanBtanC

b. tanC= tan

180

AB

= tan

AB

=

B A

B A

tan . tan 1

tan tan

  

= 1,5

4 , 2 . 5 , 1 1

4 , 2 5 ,

1

  

tanA=tanC

jadi,A=C

5. 2x25x10

2x1



x1

0

2 1 1

x ; x21

2 1

tan ; tan 1

a. tan

 

= 3 1 . 1

1

2 1 2 3

2 1 2 1

  

b. tan

 

=

3 1 1

. 1

1

2 3 2 1

2 1 2 1

    

6. a. tan

AB

= tan

180

AB

= tanC

= 7 5 

b. tan

AB

=

B A

B A

tan . tan 1

tan tan

 

= 7 5 

=

8 1

tan tan

B

A

= 7 5 

= tanAtanB= 7 7 5

 = 5

7. a. tan

 

=

 

 

tan . tan 1

tan tan

 

=

2 1

2 1

. 1 m m

m m

 

b. tan

 

=

 

  

1 1

2 1 m

m

   90

9. cot

AB

=

B A

B A

tan tan

tan . tan 1

 

=

xy x y x

y

x

  1

Latihan Kompetensi Siswa 4

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. C. 25

7 

x

2

cos = 12sin2x

=

25 32 1 5 4 2 1

2

       

 =

25 7 

2. B. 289 240

x

2

sin = 2sinxcosx

=

17 8 . 17 15 .

2 =

289 240

3. C. 169 119

x

2

cos = 12sin2x

=

169 50 1 13

5 2 1

2

       

 =

169 119

4. E. 7 24

x

2

tan =

 

16

7 2 3 2 4 3 4 3 2

1 . 2 tan

1 tan

2

 

x

x

=

7 24 7 16 2 3

5. C. 27

8

x

3

sin = 2sin2xcosx

= 4sinxcos2x

=

2

3 2 . 3 1 .

4

     

= 27

(15)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 65 6. E. -1

x

3

cos = cos

2xx

= cos2xcosxsin2xsinx

=

2cos2x1

cosx2sin2xcosx =

2 1 . 2

3 . 2 2 1 . 1 2 1 . 2

2 2

             

  

      

=

4 3 4 1 

 = -1

7. A. tanx

x x

2 cos 1

2 sin

 = 1 2cos 1 cos sin 2

2 

x

x x

= tanx

8. E.

2 2

2 2 3

Q P

P Q P

 

x Q x

Pcos2  sin2 =

x x x x Q

x x P

2 2

cos 1 cos 1 2 2

cos sin 2

sin cos

  

=

x

x Q x P

2

cos 1 2

tan 2 tan

1 

=

 

 

2 2 2

1 2 1

Q Q P Q

P Q

P  

= PQ2P32PQ2= 3PQ2P3 = P

3Q2P2

=

2 2

2 2 3

Q P

P Q P

 

9. D. tanx

x x 2 cos 1

2 cos 1

 

=

x x x

x

2 2

2 2

cos 2

sin 2 1 cos 2 1

sin 2 1

1

 

 

= tanx

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

1. cos3A= cos

2AA

= cos2AcosAsin2AsinA

=

12sin2A

cosx2sin2AcosA = cosA4sin2AcosA

= cosA

14sin2 A

A

4

cos = cos

2A2A

= cos2Acos2Asin2Asin2A

=

12sin2A



2cos2x1

4sin2AcosA = 2

sin2Acos2A

18sin2Acos2A =18sin2Acos2A

=12sin22A A

3

tan = tan

2AA

=

A A

A A

tan . 2 tan 1

2 tan 2 tan

  

=

A A

A A A A

tan . 1

2 tan

2 2

tan 1

tan 2 tan 1

tan 2

 

  

=

A A

A A

2 2

3

tan 2 tan 1

tan tan 3

 

 

=

A A A

2 3

tan 3 1

tan tan 3

  

A

4

tan = tan

2A2A

=

A A

2 tan 1

2 tan 2

2  

=

2

tan 1

tan 2 tan 1

tan 4

2 2

1

A A A A

 

 

=

2

2 2 2 2

2

tan 1

tan 4 tan 1

tan 1

tan 4

A A A

A A

  

=

A

A

A A

2 2 2

2

tan 4 tan 1

tan 1 tan 4

 

2. a. sin2A= 2sinAcosA

= 

    

17 15 . 17

8 .

2 =

289 240 

b. cos2A= 12sin2A

=

2

7 8 . 2

1 

    

 =

289 161 

c. tan2A=

A A 2 tan 1

tan 2  =

 

61

240 61 225 15 16 1

. 2

225 61 15 16 2 15

8 15 8

    

3. a. sin2A= 2sinAcosA

= 

          

25 24 . 25

7 .

2 =

(16)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 66

625 527 

c. tan2A=

A A 2 tan 1

tan 2  =

 

527

336 527 576 12

7 1

. 2

576 527 12 tan 1

3 tan 2 sin

70 cos 1

=

35 cos 35 sin 2

35 sin 2 35 cos 35 sin 2

35 sin 2 210 cos

1  tan 1

tan 2 tan 1

tan 2 tan . tan 1

2 tan tan

 tan . 2 tan 1

2 tan 2 tan

tan . tan 1

tan tan

=

cos 1

cos 1

cos

1 = t2t2cos sin

2 cos 1

cos sin 2

sin 2 cos

sin 2

sin 2 cos 1

2 sin

 = 1

2cos 1

cos sin 2 tan 1

tan 2

cos sin cos

tan 2

 =

 2

cos . cos

sin 2

tan 1

tan 1 cos sin

cos sin cos

2

tan . tan 1

tan tan

4 tan 1

tan 1

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

cos sin 2 sin cos

 cos

2 sin 1

tan . tan 1

tan tan

4 tan 1

tan 1

sin cos

sin cos

sin cos

cos sin 2 cos sin

 cos

2 sin 1

c.

2

2 1 sin 2 1 cos cos

2  cos 1 2 cos 1 cos 2 tan

1

tan 1 tan 1 2

tan 2

tan

1

=

 

cot 2

(17)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 67

cos

2 cos cos 2 sin

sin 

=

B B B cos

2 cos 

=

 

B B cos cos 

= B B cos cos

= 1 sin cos

2 cos

 = C C

C C

sin cos

sin

cos2 2

sin cos

sin cos sin cos

 cos

cos 2 cos

 cos

cos 1 cos

2 2 cos

1 cos 1 cos 2 cos

2 sin 1

sin cos

cos sin 2 cos sin

sin cos sin cos

sin

cos 2

cos 1 cos 1

sin cos

sin

cos tan 1

tan 1 sin 2 cos

1  

2 cos

1 

sin

=1sin

c.

2 2

tan 1

tan 1

cos cos sin 2 sin cos

cos sin cos

 sin 1 cos 1

2 cos 1

sin cos sin

2 1 1

1 cos 2

sin 2 sin

2 cos cos 1

sin cos sin 2

1 cos 2 cos

1 2

cos 2 1 sin

cos 2 1 cos

cos sin 1

cos sin 1

sin 2 1 cos sin 2 1

1 cos 2 cos sin 2

cos 2 sin 2 sin

cos 2 sin 2 cos

 

= 

2 1 cot

g. 

tan . tan 1

tan tan

 tan 1

tan 1 sin 1

sin 1

tan cot

cot tan

tan tan

tan 1

tan 1

tan 1

1 tan

 cos

1 sin

cos

cos sin

2 cos 2 sin

1

cos sin 2

1 cos 2

1 2 

= B

B B

cot sin cos

11. a. sin2xsinx0 0 sin cos sin

2 x x x cos 1 cos

2 2x  x sin 3 sin 2

1 2xx 

0 6 sin 3 sin

2 2xx  sin

(18)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 68 12. a. 2 2 22cos8

= 2 2 22

2cos24 1

= 2 2 4cos24

= 2 22cos4 = 2 22

2cos221

= 2 4cos22

= 22cos2 = 22

2cos2 1

= 2cos

b. 2 2 22cos8 = 22cos2

=

2

sin 2 1 2 2  = 2sin

c. 2sin2 2 22cos8

= 2sin22cos2

= 2sin22

12sin2

= 2

12sin2

= 2.cos2 = cos 2

d. 2cos2 2 22cos8

= 2cos22cos2

= 2cos2 2

2cos2 1

= 2

12cos2

= 2sin

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 6.

x2y2



x2 y23

=

 

2 

2

 2 cos cos 2

sin

sinA A A A

 

sinAsin2A 2 cosAcos2A23

=

   

 

 

 

A A A

A

A A

A A

2 cos cos 2 2 sin sin 2

2 cos 2 sin cos

sin2 2 2 2

x

   

 

 

 

 

3 2 cos cos 2 2 sin sin 2

2 cos 2 sin cos

sin2 2 2 2

A A A

A

A A

A A

=

22sinAsin2A2cosAcos2A

x

22sinAsin2A2cosAcos2A1

=

22cos

2AA

2cos

2AA

1

= 4cosA4cos2A22cosA

= 4cos2A2cosA2

= 2

2cos2A1

2cosA = 2cos2A2cosA

= 2

cosAcos2A

= 2y

8. b. tan15tan30tan15tan30

= tan

3015



1tan15tan30

tan15tan30

= 1

9. a. sin2Asin2Bsin2C

= sin2Asin2Bsin2

180

AB

= sin2Asin2Bsin2

AB

= sin2Asin2Bsin2Acos2Bcos2Asin2B

= sin2A

1cos2B

sin2B

1cos2A

= sin2A.2cos2Bsin2B.2cos2 A

= 2sinAcosA.2cos2B2sinBcosB.2cos2A

= 4cosAcosB

sinAcosBcosAsinB

= 4cosAcosBsin

AB

= 4cosAcosBsin

180

AB

= 4cosAcosBsinC

b. cos2Acos2Bcos2C

= cos2Acos2Bcos2

180

AB

= cos2Acos2Bcos2

AB

= cos2Acos2Bcos2Acos2Bsin2Asin2B

=

B A B A

B B

A

cos cos sin sin 4

2 cos 2 cos 1 2

cos   

=



 

B A B A

B B

A

cos cos sin sin 4

1 cos 2 cos 2 1 cos

2 2  2  2  

= 4cosAcosB

cosAcosBsinAsinB

1

= 4cosAcosBcos

AB

1

= 4cosAcosBcos

180

AB

1

= 14cosAcosBcosC

c. cos2Acos2Bcos2C

= cos2Acos2Bcos2

180

AB

= cos2Acos2Bcos2

AB

= cos2Acos2B

cos2Acos2Bsin2Asin2B

= cos2A

1cos2B

cos2Bsin2Asin2B

=

B A B A

B B

A

cos cos sin sin 4

2 cos sin

2 2

cos 2  

=



 

B A B A

B B

A

cos cos sin sin 4

sin 2 1 sin 2 sin 2

1 2 2   2 

= 4sin AsinB

cosAcosBsin AsinB

1

= 4sin AsinBcos

AB

1

= 4sin AsinBcos

180

AB

1

(19)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 69

Latihan Kompetensi Siswa 5

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. D.

2 2

1

2 cos 1 2

sinx  x

=

2 143

=

8 1

 = 2

4 1

 = 

2 2

1

2. C.

3 1

x x x

cos 1

cos 1 2 tan

   

=

5 4 5 4 1 1

  

=

9 1

 = 

3 1

3. D.

2 2 2

2 45 sin 2 1 22

sin  =

2 45 cos 1

=

2 2 121

=

4 2 2

=

2 2 2

4. C. 21

2 45 tan 30 22

tan   =

 

 

45 cos 1

45 cos 1

=

2 1

2 1

2 1 2 1

 

=

2 2

2 2

 

= 21

5. B. cotx

  

 

2 tan tan

1 2 1

2

x

x = 

 

  2

2 2

tan tan 1 2 1

x x

=

  

   

   

x x x x

cos 1

cos 1

cos 1

cos 1

1 2 1

=

  

  

x

x

2 cos 1

cos 2 2 1

= x x sin cos

= cotx

7. B. cos

 

 

2 2

2 2

tan 1

tan 1

 

 

=

   

cos 1

cos 1

cos 1

cos 1

1 1

   

 

= 2 cos

2 

= cos

9. C. -3

  

cos 1

cos 1 2 sin

   

=

8 , 0 1

8 , 0 1

  

=

2 , 0

8 , 1

 =  9= 3

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

1. a.

2 cos 1 2

cosA  A

=

2 11715

=

34 32

= 17

17 4

b.

A A A

cos 1

cos 1 2 tan

  

=

17 15 17 15

1 1

 

=

32 2

= 4 1

c.

2 cos 1 2

sin A  A

=

2 11715

=

34 2

= 17

(20)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 70 2. a.

2 cos 1 2

sin A   A

=

2 1419

=

41 . 2

32

= 41

41 4

b.

2 cos 1 2

cos A  A

=

2 1419

= 41

41 5 

c.

A A A

cos 1

cos 1 2 tan

   

=

41 9 41

9 1 1

  

=

50 32

 =

5 4 

3. a. 2

tan A=

 

 

25 24 25 24

1 1

 

 

= 7

b. 2

sin A=

 

2 1 2524

 = 2

10 7 

c. 2

cosA=

 

2 1 2425

 =

100 2

 = 2

10 1 

4. a.

A A A

cos 1

cos 1 2 tan

   

=

 

 

25 7 25 7 1 1

 

 

 =

9 16

 =

3 4 

b.

2 cos 1 2

cos A  A

=

 

2 1 257

 =

5 3 

c.

2 cos 1 2

sin A  A

=

 

2 1 257

= 5 4

5. a.

2 45 tan

1 2 1 22

cot  =

 

 

45 cos 1

45 cos 1

=

2 1

2 1

2 1 2 1

 

=

2 2

2 2

 

= 2

2 2 2

= 2

2 2

2 

=1 2

g.

2 45 sin 2 1 22

sin  =

2 45 cos

1 

=

2 2 112

=

4 2 2

=

2 2 2

h.

2 45 cos 2 1 22

cos  =

2 2 2

6. a. cossecAcotA=

A A A sin

cos sin

1 

= A

A sin

cos 1

=

2 2

2 2

cos sin 2

sin 2 1 1

A A

A

 

= 2 2

cos sin

A A

= 2 tan A

b.

cos 1

2

tan A A =

2 2

cos cos 1 sin

A

AA

=

2 2 2 2

cos

1 cos 2 1 sin

A A

A  

=

2 2 2 2 cos

cos sin 2

A A A

=

2 cos 2 sin

2 A A=sinA

c.

2

2 sin 2

cos 

  

x x

=

2 cos 2 sin 2 2 cos 2

(21)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 71 d. B cosB

2 cos

2 2  = 1 cos 1

2 cos

2 2   cos

1 2 sec

x

x =

2 cos 1

cos sin

1

=

 

sin cos 1

cos sin 2

1 cos 2

sin cos

sin sin

A cos 1

2 cos 1

cos 1

cos 1

cos 1

sin 1

 

=

1 cos 2 1

cos sin 2

cos sin cos

2 tan cos

cos sin

2 tan 1 2 tan 2 tan 2 1 2 tan 2 tan 2 cos cos 2 sin 2

130 5

+ 2

130 84

= 2

130 89

b.

2 sin cos 2 cos sin 2

650 138

c.     sin

2 sin cos 2 cos 2

130 47

130 23 tan . tan 1

2 tan tan

650 172

10. a. 12sin215= cos30= 0,866

b.  

2 1 22 sin 2 sin 2 tan 1

22 tan 2

Figur

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Referensi

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