OPERATOR BATAS PADA HOMOLOGI KUBIK

Vol.2_No.4_{Hal. 73 – 82} ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

OPERATOR BATAS PADA HOMOLOGI KUBIK

SULASTRI Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

lathifah.sulastri@yahoo.com

Abstrak._{Algebra topology is a concept that classifies topological spaces particularly} cubical sets based on the context of the algebraic objects namely homology groups. A topological problem can also be viewed from the point of view of combinatorics which can be simplified to be graphs. In this paper it is discussed about the classification of the cubical sets based on its homology groups using the concept of boundary operators as homomorphisms of free Abelian groups.

Kata Kunci: Topological spaces, homology groups, the boundary operators, free Abelian groups

1. Pendahuluan

Dua ruang vektor yang berdimensi sama dan berhingga adalah isomorfik. Hal ini berarti bahwa himpunan ruang vektor tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan dimensinya yang merupakan suatu bilangan asli yang tunggal. Aljabar topologi merupakan suatu konsep yang membahas pengklasifikasian yang sama, tetapi dalam konteks ruang topologi yang didasarkan pada objek-objek aljabar yaitu grup ho-mologi.

Salah satu konsep yang diperlukan untuk mengkaji homologi dari suatu ruang topologi adalah operator batas sebagai suatu homomorfisma dari grup Abelian be-bas. Grup Abelian bebas adalah suatu grup Abelian yang mempunyai basis berupa himpunan fungsi dari himpunan kubus-kubus dasar ke bilangan bulatZ.

Suatu masalah topologi juga dapat ditinjau dari sudut pandang kombinatorik, yang dapat disederhanakan menjadi suatu graf. Makalah ini akan membahas ho-mologi kubik yang dapat direpresentasikan sebagai suatu himpunan kubik.

2. Rantai-Rantai Kubik

Setiap kubus dasark, Q∈ Kd

kmempunyai objek aljabarQbyang disebut rantai dasar kdariRd_{. Himpunan dari semua rantai-rantai dasarkdariR}d _{dinotasikan sebagai}

b

Kdk={Qb|Q∈ Kdk,}

dan himpunan dari semua rantai-rantai dasar dariRd _{dnotasikan sebagai}

b

Kd₌

∞

[

k=0

b

Kd k.

Diberikan sebarang koleksi hingga{Q1,b Q2,b · · · ,Qmb } ⊂ Kd

k dari rantai-rantai dasar

dimensik, sedemikian sehingga diperoleh penjumlahannya dalam bentuk

c=α1Q1b +α2Q2b +· · ·+αmQm,b

dimana αi adalah sebarang bilangan bulat. Jika semua αi = 0, i = 1,2,· · · , m, maka diperolehc= 0. Penjumlahan rantai-rantai dasarkdidefinisikan oleh:

X

αiQic+XβiQic=X(αi+βi)cQi.

Cd

k merupakan koleksi dari rantai-rantai kubik c adalah grup Abelian yang

mem-punyai basis Kbd

k. Setiap kubus dasar yang digunakan untuk menghasilkan elemen

basis disebutrantai dasar.

Secara khusus, untuk setiapQ∈ Kd

k, didefinisikanQb:Kkd→Zoleh

b

Q(P) =

1, jikaP =Q,

0, selainnya.

Definisi 2.1. Grup Cd

k dari rantai-rantai dimensi k dari Rd (disingkat

rantai-rantai kubik k) adalah grup Abelian bebas yang dihasilkan oleh rantai-rantai dasar dari Kd

k. Jadi, elemen-elemen dariCkd adalah fungsi-fungsi c:Kdk →Z sedemikian

sehinggac(Q) = 0untuk semuaQkecuali untuk sejumlah berhinggaQ∈ Kd

k. Secara

khusus, Kbd

k adalah basis untukCkd.

Diberikan suatu kubus dasarQ, maka rantai dasarnya adalah Qb. Dengan cara yang sama, diberikan suatu rantai dasarQb, makaQsebagai kubus dasarnya.

Proposisi 2.2. Fungsi φ: Kd

k →Kbdk yang diberikan oleh φ(Q) =Qb adalah suatu

fungsi bijeksi.

Bukti. Akan dibuktikan bahwaφ adalah fungsi pada (surjektif) dan fungsi satu-satu (injektif). Karena untuk setiapQb∈Kbk terdapatQ∈ Kk sehinggaφ(Q) =Qb,

makaφsurjektif. Selanjutnya misalkanP, Q∈ Kk danPb=Qb. Apabila 1 =Pb(P) =

b

Q(P), diperolehP =Q. Sehingga diperoleh bahwaφadalah fungsi injektif.

Definisi 2.3. Misal c∈Cd

k. Support dari rantai kubikc yang dinotasikan oleh |c|

adalah himpunan kubik yang pemetaannya tidak nol, didefinisikan sebagai

|c|=S{Q∈ Kd

k |c(Q)6= 0}. Definisi 2.4. Misalkan c1, c2∈Cd

k, dimana c1=

Pm

i=1αiQib danc2 =

Pm i=1βiQib .

Hasil kali skalar dari rantai kubik c1 danc2 didefinisikan sebagai

hc1, c2i=

m

X

i=1 αiβi.

Definisi 2.5. Diberikan dua kubus dasarP ∈ Kd

k danQ∈ Kd

′

k′. Didefinisikan

b

Definisi ini diperluas untuk sebarang rantai-rantai kubikc1∈Cd

Hasil kali kubik mempunyai sifat-sifat berikut.

Proposisi 2.7. Misalc1, c2, c3 adalah sebarang rantai-rantai kubik, maka

(iii) Misalc1=Pm_i=1αiPib,c2=P_j=1n βjQjb dan c3=Po_k=1γkRkb maka pernyataan di atas maka

0 = Proposisi 2.8. MisalQbsuatu rantai dasar dariRd_{dengand >1, sehingga terdapat}

tunggal rantai-rantai dasarIbdanPbdengan embI= 1 dan embP =d−1sedemikian sehingga Qb=Ib⋄Pb.

Bukti. KarenaQb adalah rantai dasar, makaQadalah kubus dasar, yaitu

Q=I1×I2× · · · ×Id.

TetapkanI=I1 danP =I2×I3× · · · ×Id, makaQb=Ib⋄Pb.

Selanjutnya dibuktikan bahwa Qb = Ib⋄Pb adalah dekomposisi tunggal. Jika b

3. Rantai-Rantai Kubik dalam Himpunan Kubik

Definisi 3.1. Misal X ⊂ Rd _{himpunan kubik dan K}b

k(X) = {Qb|Q ∈ Kk(X)}. Ck(X)yang didefinisikan sebagai {c∈Cd

k| |c| ⊂X} adalah subgrup dari Ckd yang

dibangun oleh elemen-elemen dari Kbk(X) dan merupakan himpunan rantai-rantai

kubik kdari X.

Dari Definisi 3.1 diperoleh bahwa Kbk(X) merupakan basis dariCk(X). Selain

itu, untuk sebarang himpunan kubikX, keluargaKk(X) adalah berhingga,Ck(X)

4. Pembahasan

Definisi 4.1. Diberikank∈Z, operator batas kubik yang dinotasikan oleh

∂k :Cd

k →Ckd−1

adalah homomorfisma dari grup-grup Abelian bebas yang didefinisikan untuk suatu rantai dasar Qb∈Kbd

k dengan bilangan embedding dariQyang bersesuaian.

Untuk kasus d= 1, makaQ adalah interval dasar sehinggaQ= [l] ∈ K1 0 atau Q = [l, l+ 1] ∈ K1

1 untuk suatu l ∈ Z. Definisikan ∂kQb = 0 jika Q = [l], dan ∂kQb= [l[+ 1]−[bl] jika Q= [l, l+ 1].

Untuk kasus d >1, misal I =I1(Q) danP =I2(Q)× · · · ×Id(Q). Maka dari Proposisi 2.8 diperolehQb=Ib⋄Pb. Definisikan

∂kQb=∂k₁Ib⋄Pb+ (−1)dimIb_Ib⋄∂k 2P .b

dimana k1 = dimI dank2 = dimP. Definisi ini diperluas ke semua rantai-rantai kubik dengan sifat linier yaitu jikac=α1Q1b +α2Q2b +· · ·+αmQmb , maka

∂kc=α1∂kQ1b +α2∂kQ2b +· · ·+αm∂kQm.b

Untuk lebih memahami konsep operator batas, maka diberikan contoh-contoh berikut.

Contoh 4.2. MisalQ= [l]×[k], maka

∂0Qb=∂0[bl]⋄[bk] + (−1)dim [l]b[bl]⋄∂0[bk] = 0⋄[bk] + [bl]⋄0 = 0 + 0. Contoh 4.3. MisalQ= [l, l+ 1]×[k, k+ 1], (lihat Gambar 4.1). Maka

∂2Qb =∂1[l, l\+ 1]⋄[k, k\+ 1] + (−1)dim [l,l+1]\[l, l\+ 1]⋄∂1[k, k\+ 1] = ([l[+ 1]−[bl])⋄[k, k\+ 1]−[l, l\+ 1]⋄([k[+ 1]−[bk])

= [l[+ 1]⋄[k, k\+ 1]−[bl]⋄[k, k\+ 1]−[l, l\+ 1]⋄[k[+ 1] + [l, l\+ 1]⋄[bk] =[l+ 1]\×[k, k+ 1]−[l]×\[k, k+ 1] +[l, l+ 1]\×[k]−[l, l+ 1]\×[k+ 1] =B1b −A1b +A2b −B2,b

dimana

A1= [l]×[k, k+1], B1= [l+1]×[k, k+1], A2= [l, l+1]×[k], danB2= [l, l+1]×[k+1].

Untuk arah dari rantai-rantai kubik, tanda positif berlawanan arah jarum jam dan tanda negatif searah jarum jam. Untuk menyederhanakan penulisan maka disederhanakan notasi ∂k ke ∂, karena subscript k hanya menunjukkan dimensi dari rantai kubiknya.

Proposisi 4.4. Misalc danc′

adalah rantai-rantai kubik, maka

∂(c⋄c′

) =∂c⋄c′

+ (−1)dim c_c⋄∂c′

.

Bukti. Karena c dan c′ _{adalah rantai-rantai kubik, maka asumsikan untuk}

se-barangQ, Q′

∈ K. Dari definisi operator batas diperoleh

Gambar 4.1. Batas dari [l, l+ 1]×[k, k+ 1]

Selanjutnya akan dibuktikan persamaan (4.1) berlaku dengan induksi padad= embQ.

Jikad= 1, maka diperoleh∂(Qb⋄cQ′_{) =∂Q}b_⋄c_Q′_{+ (−1)}dimQb_Qb⋄∂cQ′_{, sehingga}

hasilnya langsung sesuai dari Definisi 4.1.

Jika d > 1, maka didekomposisikan Q pada Proposisi 2.8, yakni Q = I×P, dimana embI= 1 dan embP =d−1. Maka dari definisi operator batas,

dimana persamaan terakhir sesuai dengan definisi dari operator batas.

Teorema 4.5. Misal∂ suatu operator batas, maka

Bukti. Misal Q adalah interval dasar. Jika Q = [l], maka dari definisi ∂Qb = 0 sehingga∂(∂Qb) = 0. JikaQ= [l, l+ 1], maka

∂(∂Qb) =∂(∂[l, l\+ 1]) =∂([l[+ 1]−[bl]) =∂[l[+ 1]−∂[bl] = 0−0 = 0.

Selanjutnya asumsikan bahwa Q ∈ Kd _{untuk d > 1. Maka Q = I×P, dimana} I=I1(Q) danP=I2(Q)× · · · ×Id(Q), sehingga dari Proposisi 2.8,

∂(∂Qb) =∂(∂(I\×P)) =∂(∂(bI⋄Pb)) =∂(∂Ib⋄Pb+ (−1)dimIb_Ib⋄∂Pb)

=∂(∂Ib⋄Pb) + (−1)dimIb_{∂(bI⋄∂Pb)}

=∂∂Ib⋄Pb+ (−1)dim∂Ib_{∂Ib⋄∂Pb+ (−1)}dimIb_{∂(bI⋄∂Pb)}

= (−1)dim∂Ib_{∂Ib⋄∂Pb+ (−1)}dimIb_{(∂Ib⋄∂Pb+ (−1)}dimIb_{Ib⋄∂∂Pb)}

= (−1)dim ∂Ib_{∂Ib⋄∂Pb+ (−1)}dimIb_{∂Ib⋄∂P .b}

Perhatikan bahwa jika dimIb= 0, maka∂Ib= 0, sehingga setiap bagian pada pen-jumlahannya adalah 0 dan karenanya∂∂Qb= 0. Di bagian lain, jika dimIb= 1, maka dim∂Ib= 0 dan karenanya dua bagian saling menghilangkan, sehingga diperoleh

∂∂Qb= 0.

Definisi 4.6. Operator batas untuk himpunan kubikX didefinisikan oleh

∂kX:Ck(X)→Ck−1(X),

diberikan dengan pembatasan ∂k:Cd

k →Ckd−1 padaCk(X), dimana ∂X

k (c) =∂k(c).

Hal yang terpenting dari makalah ini adalah homologi kubik, namun sebelumnya diberikan definisi berikut. MisalX⊂Rd _{adalah himpunan kubik. Suatu rantai}

ku-bikkyaituz∈Ck(X) disebutsiklik(cycle) padaX jika∂z= 0. Maka, himpunan dari semua siklik k di X, yang dinotasikan oleh Zk(X) adalah ker ∂X

k dan

meru-pakan subgrup dari Ck(X), sehingga dapat disimpulkan sesuai dengan himpunan relasi-relasi berikut.

Zk(X) =ker ∂X

k =Ck(X)∩ker ∂k ⊂Ck(X).

Suatu rantaik yaitu z ∈Ck(X) disebutbatas (boundary) di X jika terdapat

c ∈ Ck+1(X) sedemikian sehingga ∂c = z. Maka himpunan dari anggota-anggota batas diCk(X) yang dinotasikan olehBk(X), terdiri dari peta∂X

k+1(Ck+1→Ck).

Karena ∂X

k+1 adalah homomorfisma,Bk(X) adalah subgrup dari Ck(X), sehingga

bisa disimpulkan bahwa

Bk(X) =im ∂X

k+1=∂k+1(Ck+1(X))⊂Ck(X).

Dari Teorema 4.5, diperoleh bahwa jika ∂c=z maka ∂z =∂2_{z = 0, sehingga}

setiap batas adalah siklik danBk(X) adalah subgrup dariZk(X).

Misalz1, z2∈Zk(X) dikatakan homologous yang dinotasikan olehz1 ∼z2 jika

Definisi 4.7. Grup homologi kubikk, atau lebih singkatnya grup homologik, dari

X adalah grup kuosien yang didefinisikan oleh :

Hk(X) =Zk(X)/Bk(X).

Homologi dari X adalah koleksi dari semua grup homologi k dari X yang dino-tasikan oleh

H∗(X) ={Hk(X)}k∈_Z.

Definisi 4.8. Diberikanz ∈ Zk(X),[z]X ∈Hk(X)adalah kelas homologi z pada X.

Diberikan contoh berikut untuk menentukan homologi kubiknya.

Contoh 4.9. Misal himpunan kubik Γ1 _{= [0]×[0,1]∪[1]×[0,1]∪[0,1]×[0]∪}

[0,1]×[1]. Himpunan-himpunan dari kubus dasar adalah

K0(Γ1) ={[0]×[0],[0]×[1],[1]×[0],[1]×[1]}

K1(Γ1) ={[0]×[0,1],[1]×[0,1],[0,1]×[0],[0,1]×[1]}.

Jadi, basis untuk himpunan-himpunan rantainya adalah b

K0(Γ1) ={[0]\×[0],[0]\×[1],[1]\×[0],[1]\×[1]}={[0]c⋄c[0],[0]c⋄[1]c,c[1]⋄c[0],c[1]⋄c[1]},

b

K1(Γ1) ={[0]\×[0,1],[1]\×[0,1],[0,\1]×[0],[0,\1]×[1]}={c[0]⋄[0d,1],[1]c⋄[0d,1],[0d,1]⋄[0]c,[0d,1]⋄c[1]}.

Untuk menghitung operator batasnya, akan ditentukan batas dari elemen-elemen basisnya.

∂([0]c⋄[0d,1]) =−[0]c⋄[0] +c [0]c⋄[1]c. ∂([1]c⋄[0d,1]) =−[1]c⋄[0] +c [1]c⋄[1]c. ∂([0d,1]⋄[0]) =c −[0]c⋄[0] +c [1]c⋄[0]c. ∂([0d,1]⋄[1]) =c −[0]c⋄[1] +c [1]c⋄[1]c.

sehingga basisnya bisa ditulis dalam bentuk matrik

∂1=

Untuk menentukan Z1(Γ1_{), akan ditentukan ker∂1 dengan menyelesaikan}

yang memberikan α1 = −α2 = −α3 = α4. Oleh karena itu, diperoleh bahwa

karena determinan dari matrik yang berisi basis dari rantai-rantai kubiknya = 0. Ini berimplikasi bahwa c[0]⋄[0]c6∈B0(Γ1). Dengan cara yang lain, Selanjutnya, misal sebarang rantaiz∈C0(Γ1_{). Maka}

z=α1c[0]⋄c[0] +α2c[0]⋄[1] +c α3c[1]⋄c[0] +α4[1]c⋄[1]c,

sehingga pada tingkat homologi [z]Γ1 =

dimana persamaan terakhir berasal dari fakta bahwa semua rantai-rantai dasar bersifat homolog. Oleh karena itu, setiap anggota dari H0(Γ1) = Z0(Γ1)/B0(Γ1) yang telah dihasilkan oleh c[0]⋄[0] dan karenanya dimc H0(Γ1_{) =1. Jadi, diperoleh}

bahwa

Hk(Γ1)∼=

Z, jikak= 0,1,

0, selainnya.

Jadi, grup homologi dari suatu himpunan kubik diperoleh dengan menggunakan konsep operator batas. Jika homologi dari suatu himpunan kubiknya berbeda, maka himpunan kubiknya juga berbeda.

5. Ucapan Terima kasih

Daftar Pustaka

[1] Bartle, Robert. G dan D. R. Sherbert. 1994.Introduction to Real Analysis, second edition. Eastern Michigan University, Singapore

[2] Herstein, I. N. 1999.Topics in Algebra. second edition. John Wiley and Sons, New York

[3] Jacob, Bill. 1990.Linear Agebra. W. H Freeman and Company, New York [4] Kaczynsky, Tomasz. Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek. 2004.

Compu-tational Homology, Applied Mathematical Sciences, vol.57. Springer-Verlag Inc, New York