10 MATEMATIKA BUKU SISWA

(1)

(2)

MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN

Disklaimer:_{Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka} implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Matematika : buku guru / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.— Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013.

xxii, 426 hlm. : ilus. ; 25 cm. Untuk Kelas X

ISBN 978-602-282-026-0(jilid lengkap)

ISBN 978-602-282-027-7 (jilid 1)

1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

510

Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan J.N.M.S. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi Bayuzetra.

Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo.

Penyelia Penerbitan : Politeknik Negeri Media Kreatif, Jakarta.

Cetakan Ke-1, 2013

(3)

Kata Pengantar

Matemaika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga idak memungkinkan terjadinya muli tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendeinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matemaika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matemais akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matemaika yang langkahnya sangat presisi dan idak terbantahkan. Karenanya matemaika berperan sebagai alat komunikasi formal paling eisien. Perlu kemampuan berpikir kriis-kreaif untuk menggunakan matemaika seperi uraian di atas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membukikan rumusan matemaika suatu gagasan, membukikan kesetaraan antar beberapa rumusan matemaika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

Buku Matemaika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperi uraian diatas. Pembelajaran matemaika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlaih berikir rasional, kriis dan kreaif.

Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan peningnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matemaika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matemaika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matemais dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kriis, kreaif, telii, dan taat aturan. Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat pening untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.

Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kriik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).

Jakarta, Mei 2013

Menteri Pendidikan dan Kebudayaan

(4)

Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.

Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?.

Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas.

Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran.

Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4) matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) limit dan (9) peluang yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.

Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.

(5)

Surat untuk Guru ... iv

Daftar Isi ... v

Deskripsi Singkat Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik ... x

Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ... xv

Fase Konstruksi Matematika ... xviii

Contoh Analisis Topik ... xix

Peta Konsep Matematika SMP Kelas X ... xxi

Bab 1 Eksponen dan Logaritma ... 1

A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ... 1

B. Peta Konsep ... 2

C. Materi Pembelajaran ... 3

1. Menemukan konsep Eksponen ... 3

2. Pangkat Bulat Negatif ... 9

3. Pangkat 0 ... 10

4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ... 10

5. Pangkat Pecahan ... 16

Uji Kompetensi 1.1 ... 18

6. Bentuk Akar ... 20

7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat ... 21

8. Operasi Pada Bentuk Akar ... 22

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar ... 22

b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar ... 23

c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar ... 23

9. Menemukan Konsep Logaritma ... 32

10. Sifat-sifat Logaritma ... 37

Penutup... ... 44

Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ... 46

1. Menemukan konsep Nilai Mutlak ... 48

2. Persamaan Linear ... 53

3. Aplikasi Nilai Mutlak Pada Persamaan Linier ... 62

4. Pertidaksamaan Linear ... 63

5. Aplikasi Nilai Mutlak pada Pertidaksamaan Linear ... 67

(6)

Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ... 73

B. Peta konsep ... 74

1. Menemukan konsep Sistem Persamaan linear dua variabel ... 75

2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear tiga variabel ... 88

3. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear ... 99

a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua variabel ... 99

b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan linear Tiga Variabel ... 106

4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ... 114

Uji kompetensi 3.4 ... 118

Penutup ... 120

Bab 4 Matriks ... 122

1. Menemukan Konsep Matriks ... 124

2. Jenis-Jenis Matriks ... 131

3. Transpos Matriks ... 134

4. Kemandirian Dua Matriks ... 137

5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya Dalam Pemecahan Masalah ... 141

a. Operasi Hitung pada Matriks ... 141

6. Determinan dan Invers Matriks ... 154

Penutup ... 167

Bab 5 Relasi dan Fungsi ... 168

1. Menemukan Konsep Relasi ... 170

2. Beberapa sifat Relasi ... 176

3. Menemukan Konsep Fungsi ... 179

(7)

Bab 6 Barisan dan Deret ... 192

1. Menemukan Pola Barisan dan Deret ... 194

2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika ... 201

a. Barisan Aritmatika ... 201

b. Induksi Matematika ... 207

c. Deret Aritmetika ... 208

3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri ... 214

a. Barisan Geometri ... 214

b. Deret Geometri ... 216

Penutup ... 221

Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat ... 222

1. Persamaan Kuadrat ... 224

a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah ... 224

b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat ... 237

c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ... 241

d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 ... 242

2. Fungsi Kuadrat ... 244

a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ... 244

b. Graik Fungsi Kuadrat ... 256

c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat ... 263

Penutup ... 265

Bab 8 Trigonometri ... 267

1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian) ... 269

2. Konsep Dasar Sudut ... 274

(8)

4. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa ... 282

5. Perbandingan Trigonometri untuk sudut 300_{, 45}0_{, 60}0_{... 286}

6. Graik Fungsi Trigonometri ... 295

Penutup ... 302

Bab 9 Geometri ... 304

1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan bidang ... 306

a. Kedudukan Titik ... 306

b. Jarak Antara Titik dan Titik ... 308

c. Jarak Titik ke Garis ... 311

d. Jarak Titik ke Bidang ... 314

e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar ... 318

2. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ... 320

a. Sudut antara Dua Garis dalam ruang ... 323

b. Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang ... 325

c. Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ... 329

Penutup ... 335

Bab 10 Limit Fungsi ... 337

1. Menemukan Konsep Limit Fungsi ... 339

2. Sifat-Sifat Limit Fungsi ... 349

3. Menentukan Limit Fungsi ... 355

Penutup ... 363

Bab 11 Statistika ... 365

1. Data Tunggal ... 367

2. Penyajian Data Kelompok ... 380

(9)

Bab 12 Peluang ... 389

1. Menemukan Konsep Peluang dengan Frekuensi Relatif ... 391

2. Pengertian Percobaan, Kejadian, Titik Sampel, dan ruang Sampel ... 396

3. Cara Penyajian dan Penentuan Ruang Sampel ... 399

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian ... 410

Penutup ... 416

Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ... 417

A. Pengertian dan Prosedur Pelaksanaan Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ... 417

B. Tujuan Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ... 420

C. Soal untuk Penilaian Kompetensi Siswa ... 420

D. Bentuk Pelaksanaan Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ... 423

E. Materi Pembahasan Dalam Pembelajaran Remedial ... 424

F. Materi Pembahasan Dalam Pembelajaran Pengayaan ... 424

(10)

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat mempengaruhi aktiitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.

Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan graik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.

Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.

1. Sintaks

Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:

a. Apersepsi

Tahap apersepsi diawali dengan menginformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan, informasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa

(11)

yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.

b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah

Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.

Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.

c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja

(12)

dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.

d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru

Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.

Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki.

e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah

(13)

2. Sistem Sosial

Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/ berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.

3. Prinsip Reaksi

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa.

Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.

4. Sistem Pendukung

(14)

Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan

Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata dilingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipahami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol.

Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya.

(15)

memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna

(Landaan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.

PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN

Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut

1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.

2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah).

3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.

4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.

5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.

(16)

Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.

Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, dan berpikir kreatif).

Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.

Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat dan senang belajar matematika. Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:

1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:

a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.

b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika sebagai hasil konstruksi sosial.

c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan masalah.

d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis, soft skill dan kebergunaan matematika.

e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya.

2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain:

a. Membentukan kelompok

(17)

c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas

e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).

f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan dan mengerjakan LKS

g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan

h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif

i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka

j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan masalah dalam pemberian solusi

3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain: a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian

masalah di depan kelas

b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja

c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran. Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah

d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi

f. Menguji pemahaman siswa

4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain:

a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah

b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh konsep

c. Membantu siswa mendeinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang berkaitan dengan masalah

d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan

e. Memberikan scaffolding

5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain:

a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah

b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma siswa mampu:

1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. memilih dan menerapkan aturan eksponen

dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya; 3. menyajikan masalah nyata menggunakan

operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar:

• mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma;

• merancang model Matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma;

• menyelesaikan model Matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;

• menafsirkan hasil pemecahan masalah;

• membuktikan berbagai sifat terkait eksponen dan logaritma;

• menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya;

• membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma berdasarkan konsep yang sudah dimiliki;

• menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Eksponen dan Logaritma

Bab

• Bilangan Pokok (Basis) • Perpangkatan

(24)

B.

PETA KONSEP

Himpunan

Fungsi

Bilangan Eksponen

Bilangan Logaritma

Basis

Numerus

Hasil Logaritma Unsur

Materi prasyarat

Fungsi Eksponen

Fungsi Logaritma Basis

Pangkat

Hasil Operasi

Unsur

Masalah Otentik

Sifat-sifat Eksponen

(25)

C.

MATERI PEMBELAJARAN

Banyak permasalahan kehidupan yang penyelesaiannya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga kamu tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika yang telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD/MI, SMP/MTs, bahkan pada materi yang baru saja kamu pelajari.

Pegang teguh sifat matematika; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, saling terkait materinya, menggunakan variabel-variabel, dan bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia. Matematika menganut kebenaran konsistensi; artinya, tidak boleh ada di dalamnya unsur-unsur, simbol-simbol, konsep-konsep, rumus-rumus yang saling bertentangan. Jika sebuah konsep ditemukan, ukuran kebenarannya adalah apabila konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya. Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada sebelumnya.

1. Menemukan Konsep Eksponen

Untuk menemukan konsep eksponen, kamu selesaikan masalah yang disajikan di bawah ini secara berkelanjutan. Kamu lebih dahulu berusaha memikirkan, berupaya mencari ide-ide kreatif, berdiskusi, mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar. Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri.

Masalah-1.1

(26)

Alternatif Penyelesaian Diketahui:

Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.

Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.

Ditanya:

a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan. b. Berapa jumlah bakteri dalam waktu 8 jam.

♦ Meminta siswa membuat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam. Arahkan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak bakteri hasil pembelahan pada saat waktu tertentu. Diharapkan siswa menuliskan hal berikut.

Penyelesaian:

Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x₀. Isilah tabel berikut!

Jam ke-t 0 1 .... .... .... ....

Jumlah bakteri (x_t) x₀ rx₀ .... .... .... ....

♦ Organisasikan siswa belajar dalam kelompok dengan banyak anggota kelompok 4-5 orang untuk mendiskusikan model matematika yang ditemukan secara individu. Guru menjembatani perbedaan hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelompok dan menuliskan hasil pemikiran bersama pada LAS.

Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri (x_t) tersebut terhadap perubahan waktu (t).

xt r r r r x t

= × × ×...× ×

faktor

0 atau secara ringkas ditulis

xt r x t

= ₀... (1)

dengan t dalam jam, x₀ adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.

Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusi ke formula di atas, maka

(27)

diperoleh x₃ = r3_x

0 = 10.000 dan x5 = r 5_x

0 = 40.000 x

x r x r x 5

3 5

0 3

0

40 000 10 000

4 =

= . .

r2_{= 4} r = 2

Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri untuk setiap 15 menit.

Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3_x

0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.

Subtitusikan x₀ = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan

xt

t =1250 2_. 15 x₈=(28)(1250)

= 320.000

Jadi, setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.

♦ Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan kelompok siswa yang lain untuk memberi tanggapan terhadap hasil kerja kelompok penyaji. Jembatani jika ada cara yang berbeda hasil kerja di antara kelompok atau di antara siswa.

♦ Ajukan Masalah 1.2 dan memfasilitasi siswa terhadap alat yang dibutuhkan.

Masalah-1.2

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

(28)

♦ Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Diharapkan siswa menuliskan hal berikut

Alternatif Penyelesaian

Tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian

1 2 2 = 2

2 4 4 = 2 × 2

3 8 8 = 2 × 2 × 2

4 ... ...

5 ... ...

N ... ...

♦ Meminta beberapa siswa mempersentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memita siswa lain menanggapi hasil pemikiran temannya. Selanjutnya guru meminta siswa mengamati dan mencermati data pada tabel. Diharapkan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyaknya bidang kertas dengan banyaknya lipatan.

Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang permukaan kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan.

k dapat dinyatakan dalam n, yaitu

k_n = 2n_{... (2)}

♦ Meminta siswa menguji kebenaran persamaan kn = an dengan mensubtitusikan nilai n dan a ke persamaan tersebut.

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan (1) x_t = rt_x

(29)

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. an_{adalah hasil kali bilangan} a sebanyak n faktor, dapat ditulis an a a a a

n faktor

= × × × ×..._dengan_a_sebagaibasis bilangan pokok dan n sebagai pangkat.

Deinisi 1.1

Catatan:

1. Pada Deinisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1_{cukup ditulis}_a_.

2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0_dengan_a_{bilangan real} hasilnya adalah 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian?

3. Jika n adalah sebuah variabel (variabel sebagai eksponen dari a), maka perlu dicermati semestanya dimana variabel itu dibicarakan. Sebab an₌_a×_a×_...×_a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n∈N.

Perhatikan Masalah-1.3 berikut!

Masalah-1.3

Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu yang tersisa dalam darah setelah:

1) t = 1 jam? 2) t = 2 jam? 3) t = 3 jam?

4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal!

5) Gambarlah graik model persamaan yang ditemukan!

Langkah awal isilah tabel berikut:

t 1 2 3 4 5 6 7 8

Jumlah zat z(t) 50 25 12,5 ... ... ... ... ...

(30)

Selanjutnya perhatikan graik fungsi (Gambar 1.1) di bawah ini. Isilah nilai-nilai yang dilalui fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.

     

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

 

f(x) = 3-x _{f(x) = 2}-x

f(x) = 3x f(x) = 2x

Gambar 1.1 Graik fungsi eksponen

x f(x)

x

f(x) = 2x f(x) = 2–x f(x) = 3x f(x) = 3–x

–2

–3 –1 0 1 2 3 4

♦ Organisasikan siswa belajar dalam kelompok. Minta siswa menuliskan paling sedikit 5 (lima) sifat graik fungsi eksponen dan hasil kerja kelompok disajikan di depan kelas.

Latihan 1.1

(31)

Fungsi Eksponen adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk y = f(x) = a(bcx₎_dengan_a_,_b_{, dan}_c_{bilangan real.}

x adalah variabel

b adalah bilangan pokok atau basis c adalah koeisien x

cxadalah eksponen darib.

Deinisi 1.2

2. Pangkat Bulat Negatif

Untuk a adalah bilangan real dan a≠ 0, m bilangan bulat positif, dideinisikan

a a

m m

− ₌

  

 

1

Deinisi 1.3

Deinisi di atas dijelaskan sebagai berikut:

a

a a a a a

m

sebanyak m − ₌

  

  =

  

 

  

 

  

  

  

 

1 1 1 1 1

...

ffaktor

=

× × × ×

=

1

a a a a

a m

m

...

faktor

Contoh 1.1

Jika nilai x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x−3

( )

y4 =.... Penyelesaian:

x y y

x

−

( )

= =

−

( )

=− = −

3 4 4 3

4 3 2

2 16

(32)

3. Pangkat Nol

Untuk a bilangan real dan a≠ 0, maka a0_{= 1.}

Deinisi 1.4

Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0.

23_{= 8} ₃3_{= 27} 22_{= 4} ₃2_{= 9} 21_{= 2} ₃1_{= 3} 20_{= 1} ₃0_{= 1}

Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil pemangkatannya adalah 1.

4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Coba buktikan sifat-sifat pangkat bulat positif menggunakan deinisi bilangan berpangkat yang telah dipelajari sebelumnya.

Sifat-1

Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka am×_an₌_am+n

Bukti:

a

m

a

n

a a a

a a a a

a

m n

×

= × × × × × × × × ×

=

...

faktor faktor

a

a a a a a a

a

m n m n

× × × × ×

=

+ +

Sifat-2

Jika a bilangan real dan a≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a

a a m

n m n

= − _.

• Perhatikan am a a a a m faktor

= × × × ×...

.

Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang? • Bagaimana jika a bukan

bi-langan?

(33)

Bukti:

a a

a a a a

m n m faktor n faktor = × × × × × × × × ... ... (sesuai deinisi)

Pada Sifat-1 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n, (b) m = n, dan (c) m < n.

a) Kasus m > n

Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n maka m – n > 0. Dengan demikian a

a

a a a a

m n m faktor n faktor = × × × × × × × × = ... ... a a a a

a a a a

a a a a× × ... ... × × ×       − ... ( ) a

m n faktor

=

a

a a a a

n faktor × × × × × × × × ... ...

a a a a

m faktor n faktor = × × × ×... = × × × × = − −

a a a a

a

m n faktor m n

...

( )

Jadi a a

m

n = a

(m-n)_{, dengan}_m_,_n_{bilangan bulat positif dan}_m_>_n

b) Kasus m = n Jika m = n, maka a

a m

n = 1. Bukti: a a a a m n m m

= , sebab m = n

=

a

a a

a

a a

a

m faktor m faktor

× × × ×

...

= 1

= a0 (hal ini sesuai dengan Deinisi 1.4). = am –n

• Pada persyaratan Sifat-2, Apa arti a≠ 0?

• Bagaimana jika a = 0? Apa dam-paknya pada hasil pembagian?

a a m

n ? Jika kamu tidak tahu, tanya

(34)

Latihan 1.2

Buktikan sendiri untuk m < n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus (a).

Sifat-3

Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka (am₎n₌_amn

Bukti:

am n am am am am n faktor

( )

= × × × ×...

= a a a a a a a a

m faktor m faktor

× × × ×





 



 × × × ×

... ...





 



 × × × × 

 



 × × × ×

a a a a a a a a

m faktor m f

... ... ...

a aktor

n faktor





 

 

= a a a a m n faktor × × × × 



 

  ×

...

am n am n

( )

= ×

(terbukti)

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif. am 1

= p adalah bilangan real positif, sehingga pm_{= a}_.

Deinisi 1.4

Diskusi

(35)

Contoh 1.2

(a) Buktikan jika a∈R, a>1 dan n>>m,mamaka ,maka an>>a!m!! Bukti:

Karena a>1 dan n>m maka ,ma n – >m > 0 dan ! an_{> 0,}_am_{> 0. Akibatnya, berlaku}

⇔

a

n

m

n m

=

−

(

Lihat Sifat-1 di atas)

⇔ a

a

n m

= >1 (Mengapa 1a

a

n

m n

>1? Beri alasanmu!)

⇔ a

a

a a

n m

m m

× > ×

1 _, 1 (Karena n _>₀_,am _>₀_. ) ⇔ an am

> ,maka > (terbukti)! (b) Perlukah syarat a > 1?

Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a<1 dan n>m,. Apakah ma > ! yang terjadi?

Pilih a = –2, dengan n>m,, pilih ma n = 3 dan > ! m = 2, apakah yang terjadi? (–2)3_{= (–2) × (–2) × (–2) = –8}

(–2)2_{= (–2) × (–2) = 4}

Dengan demikian, an_{= –8 < 4 =}_am_atau_an<_am

. Jadi, tidak benar bahwa _> _,_makaan _>am_!

bila a<1 dan n>m. Jadi, syarat ,ma > a! adalah bilangan real, dan a>1 dan n>m, tidak ma > ! boleh dikurangi (syarat cukup) untuk membuktikan > _,_makaan >am_._!

Diskusi

Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2!

• Apa akibatnya bila syarat a>1 tidak dipenuhi?

• Perlukah diperkuat dengan syarat n>m, > 0? Jelaskan! ma > ! • Bolehkah syarat a>1 di atas diganti a≥1?_Jelaskan!

• Bila tidak boleh, modiikasi ketentuan di atas supaya berlaku untuk a≥1?_.

Bagaimanakah bila 0< <a 1 dan a < 0?

• Buat aturan hubungan antara an_dan_am_{untuk bermacam-macam nilai}_a_di atas!

(36)

Contoh 1.3

Terapkan berbagai sifat eksponen untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!

1. 22 25 2 2 2 2 2 2 2

2 5 × = × × × × × × faktor faktor = × × × × × × = = +

2 2 2 2 2 2 2

2 2 7 7 2 5 faktor

2.

2

2 2 2 2 2

5 5

=

× × × ×

= = 1 20

3.

( )

2

3 2

=

( )

2

3

×

( )

2

3

=

(

× ×

)

×

(

× ×

)

= × × × × × 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 6 faktor faktor fakto rr

=26

4.

(

2×3

)

3=

(

2×3

)

×

(

2×3

)

×

(

2×3

)

= × × × × ×

= ×

2 2 2 3 3 3

2 3

3 3

faktor faktor

5. 2 3 2 3 2 3 2 3 3       =      ×      ×      = × × × × =

2 2 2 3 3 3

2 3 3 3 3 3 faktor faktor

dengan menggunakan Sifat-3

dengan menggunakan Sifat-1

dengan menggunakan Sifat-2 kasus b

dengan menggunakan Deinisi 1.1

(37)

Diskusi

• Arahkan siswa berdiskusi dengan temannya untuk memperoleh rumus perpangkatan sebagai hasil pemahaman terhadap Contoh 1.4 dan Contoh 1.5 di atas. Masih ingatkah kamu, disebut sifat apakah dalam konsep perkalian? • Minta siswa membuat laporan hasil diskusi kelompoknya.

Contoh 1.4

Buktikan jika a > 1 dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif maka an_>_am_. Bukti:

Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m > –n.

Karena a > 1 maka a a

a a m

n n m −

− = > 1 (Gunakan sifat

1 1

a a m

m − ₌ atau ). a

a

n

m > 1 ⇔a

n_>_am_(terbukti)

Contoh 1.5

Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan bilangan satuan dari 71234_{tanpa menghitung} tuntas. Perhatikan bilangan satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?

Perpangkatan 7 Nilai Bilangan Satuan

71 ₇ ₇

72 ₄₉ ₉

73 ₃₄₃ ₃

74 ₂₄₀₁ ₁

75 ₁₆₈₀₇ ₇

76 ₁₁₇₆₄₉ ₉

77 ₈₂₃₅₄₃ ₃

78 _5764801 ₁

(38)

Bilangan tersebut mempunyai bilangan satuan yang berulang untuk periode 4 sehingga, kita dapat operasikan:

71234_{= 7}(4 × 308 + 2)_.

Dengan menggunakan sifat eksponen, maka kita peroleh: 71234_{= 7}(4 x 308)×₇2_Ingat:_am+n₌_am_x_an 71234_{= (7}4₎308×₇2_Ingat:_am×n_{= (}_am₎n_{= (}_an₎m 71234_{= (7}4₎308×₇2

sehingga satuan dari [71234_{] = satuan dari [(7}4₎308×₇2_] Satuan dari [71234_{] = satuan dari [(1)}308_]×_{satuan dari [7}2_] Satuan dari [71234_{] = 1}×₉

Satuan dari [71234_{] = 9}

Jadi, angka terakhir dari 71234 adalah 9.

Demikian juga bila 7 diganti dengan angka yang lain [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9]

5. Pangkat Pecahan

Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan.

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat positif dideinisikan

a a

m

n n

m =

  

  1

.

Deinisi 1.5

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0 dengan a > 0, p

q adalah bilangan pecahan q≠ 0. q≥ 2. a a

p

q ₌_c_{, sehingga}_c

a a

p

q q p

= . atau a a

p

q q p

= .

Deinisi 1.6

Sifat-4

Misalkan a adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a > 0, p n

m n

dan adalah bilangan pecahan n≠ 0. Jika n, q≥ 2 maka a a a

m n

p n

m p n 

  

 

  



(39)

Bukti:

Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a≠ 0, m, n adalah bilangan bulat positif, maka a a

m n n m =      1

. Dengan demikian a a a a

m n p n n m n p            =            1 1

a a a a

m n p n n m n p            =            ⇔

1 1 _

  == × × × ×         × × ×

an an an an a a a

m faktor

n n n

1 1 1 1 1 1 1

... . ...×         an

p faktor 1 = × × × ×  

_an _an _an _an m faktor

1 1 1 1

...      × × × ×         an an an an

p faktor

1 1 1 1

... ⇔ ⇔= × × × ×  +

an an an an

m pfaktor

1 1 1 1

...        ⇔=      =

( )

+ + a a n n m p m p n 1

(Ingat Deinisi 1.5) (terbukti)

Jadi, jika a adalah bilangan real dengan a > 0, p n

m n

dan adalah bilangan pecahan dengan n≠ 0, serta n, q≥ 2 maka a a a

m n p n m p n            =( ) + . Sifat-5

Jika a adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a > 0, m n

p q

dan bilangan pecahan q, n≠ 0, maka a a a

(40)

Uji Kompetensi 1.1

1. Sederhanakanlah operasi bilangan berpangkat berikut.

a. 25 _{× 2}9_{× 2}12 b. 25_{× 3}6_{× 4}6

c. 2 3 4

12

5 5 2

2

× ×

d. (−5) ×25

125

6 2

d. 3 7 2

42 7 3

3 × × ( )

2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut.

a. 2x3×₇_x4× ₍₃_x₎2 b. −

     × − × 2 2 5 3 4 2 p

q ( q) p

c. y x z

x y 5 3 2 1 × × ×       ( )

d. (a ×b ×c)4× 3 3

(b c× ) ×27

3 5 ) . b a

e. − _ ×

     4 2 8 3 5 a b a b

f. 1 2

2 2 x y 1 2 3 2 2 x y x y x ÷ ⋅ 1 2 3 5 3 2 2 x y x

÷ ⋅ 5 ( ) 3

4 2

y x⋅( y)

× × ×

g. (–₍a×b)₎3 ×⋅−      b a 3 4 5

2 ÷×       a b 4 5 3

h. 24

6 4 2 3 8 5 3 3 2 a b a b b a a × ×       × ×     

i. 36 2

3 12 3 9 2 2 3 ₂ 2 2

(x y) ( )

x y x y x y × ×       ÷     

j. ( ) ( )

( ) ( ) − × − × −       ÷ −      

p q r

p q

pqr qr

3 2 3

2 3 3 2 3 2 12

3. Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.

a. −      2 3 4 2 ⋅ −      2 3 1 2 1 6 4 2 ×

b. (− ) ×

     ×      ×      5 1 15 10 3 9 5 3

2 4 5

c. 3

24 2 2 3 2 x y x y ×

×( ) ; untuk x = 2 dan y = 3

d. 2 3 3 4 2 3 2 x y xy       ×     (− ) ; 1 2 1 3

x= y=

( )

; untuk dan

e. 3 3

2 3 4

2 4 2 3 2 p q p q q p × − − × − ×       ( ) ( ) ( ) ;

(41)

4. Tentukan hasil dari

(2 ) 2 2

2 2

2 2 2 2 2 n n n n + + − × ×

5. Misalkan kamu diminta menghitung 764_{. Berapa banyak perkalian yang} kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung 764_{. Apakah prosedur tersebut dapat} dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?

6. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan bilangan satuan dari 71234_{+ 7}2341₊ 73412_{+ 7}4123_{tanpa menghitung tuntas!}

7. Tentukan bilangan satuan dari

6 26

62

( )

berdasarkan sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8, 9, tentukan juga angka satuan yang diperoleh bilangan-bilangan tersebut yang dipangkatkan.

8. Tunjukkan bahwa 12001_{+ 2}2001_{+ 3}2001 + … + 20012001_{adalah kelipatan 13.} 9. Bagaimana cara termudah untuk

mencari 3 10 5 2

5 6 3 2

2008 2013 2012 2011

2012 2010 2009 2008

( ) ( ) + + . . . 10. Hitunglah

1 2 3 4

1 3 5 7

4 4 4 4

− − − − − − − − + + + + + + + + = ... ... ...

11. Sederhanakanlah a b a b a b a b

5 3 1 2 2 3 3 2 7 6 1 2 2 3 − − .

12. Tentukan nilai x yang memenuhi a. 2x_{= 8}

b. 4x_{= 0,125}

c. 2

5 1       = x

Projek

(42)

6. Bentuk Akar

Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi ” ”.

♦ Arahkan siswa masalah berikut untuk menunjukkan kepada siswa, kebergunaan mempelajari bentuk akar di bidang ekonomi. Diharapkan siswa memiliki motivasi belajar matematika.

Perhatikan permasalahan berikut.

Masalah-1.4

Seorang ahli ekonomi menemukan bahwa harga (h) dan banyak barang (b) da-pat dinyatakan dalam persamaan h=33b2. Jika nilai b = 8, maka berapa nilai h?

h=33b2 ⇔ h = 3 83 2 ⇔ h = 3 643

⇔ h = 334 4 4× × ⇔ h = 12

Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai na_, dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar.

Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu.

Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a

(43)

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. na

disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil na

adalah bilangan irrasional.

Deinisi 1.7

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irrasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irrasional.

Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut. 1. 20 adalah bentuk akar⇔

2. 3₂₇_{adalah bukan bentuk akar, karena}⇔ 3₂₇_{= 3}⇔

7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat

Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-5, jika a adalah bilangan real dan a≠ 0 dengan a > 0, p

n dan m

n

adalah bilangan pecahan n≠ 0. Jika n, q≥ 2 maka _a _a _a m

n p n

m p n 

  

 

  

  =

( )

+

.

Perhatikan bahwap p p

1

2 1

2

× =p + p p

1

3 1

= = = dan perhatikan bahwa p× p =p, sehingga berdasarkan Deinisi 7.6 disimpulkan p p

1

2 = _.

Perhatikan untuk kasus di bawah ini

p p p p p p

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3 1

= × × = + + = = dan perhatikan juga bahwa

p p p p

3 ×3 ×3 = , sehingga berdasarkan Deinisi 7.6 disimpulkan _p _p

1

3 =3 .

Latihan 1.3

Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum bahwa pn n p

1

(44)

Perhatikan bahwa p p p p 2

3 2 3

2 3 2

× × = , sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:

p p

2 3

3 2 

  



 = ingat!Ingat,

( )

pm n =pm n×

Jadi, p p 2 3 =3 2

.

Secara umum dapat disimpulkan bahwa p p p

m

n ₌n m ₌

( )

n m_{sebagaimana diberikan} pada Deinisi-6.

8. Operasi pada Bentuk Akar

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut.

p r q r p q

n n n

+ =

(

+

)

− =

(

−

)

r

n

r

n

Perhatikan contoh berik