Materi Ekonometrika untuk S1

Ekonometrika

Program Studi Statistika Semester Ganjil 2012

Pendugaan Parameter Pada Regresi

dengan Dua Peubah

 Menduga PRF dengan SRF

 Menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS)

i

i X

Yˆ ˆ₁  ˆ₂

PRF Y_i ₁  ₂X_i  u_i

SRF

 Dari dua definisi tersebut:

i i

i Y Y

uˆ   ˆ

i

i X

Y 



ˆ₁ 



ˆ₂



i i

i i

i X u Y u

Pendugaan Parameter Pada Regresi

dengan Dua Peubah

 Prinsip metode Ordinary Least Square (OLS):

 Memilih SRF sedemikian sehingga jumlah kuadrat

dari residual sekecil mungkin

 Penduga parameter model dipilih berdasarkan

metode optimasi:

 Solusi dari turunan pertama dari

masing-masing parameter yang disamadengankan nol









     n i i i n i

i Y X

u 1 2 2 1 1

2 ˆ ˆ

Pendugaan Parameter Pada Regresi

dengan Dua Peubah

Asumsi-asumsi yang mendasari Metode

OLS

 Diperlukan karena tujuan kita adalah

pengambilan kesimpulan mengenai nilai parameter yang sebenarnya.

1. Regresi linier pada parameter

2. Nilai peubah bebas (eksogen) dianggap non

stokastik (fixed)

3. Galat mempunyai nilai harapan nol

4. Homokedastisitas: ragam yang sama pada

galat

Asumsi-asumsi yang mendasari Metode

OLS

6. Peubah bebas (eksogen) dan galat saling bebas 7. Jumlah pengamatan harus lebih besar daripada

jumlah parameter yang akan diduga

8. Nilai peubah bebas harus bervariasi

9. Model regresi harus dispesifikasikan dengan

tepat: no specification bias

Regresi Linier Pada Parameter

 Hanya parameter yang bersifat linier

 Peubah eksogen atau endogen boleh tidak linier

i i

i X u

Y ₁  ₂ 

i i

i X u

Y ₁  ₂ 2 

i i

i X u

Y   ln 

Nilai peubah bebas (eksogen) dianggap

non stokastik (fixed)

 Untuk membentuk sebaran nilai-nilai peubah endogen (Y) pada setiap nilai peubah eksogen (X)

 Pada X tertentu terdapat beberapa nilai Y

 Analisis regresi di sini adalah analisis regresi bersyarat pada nilai X



_i



_{i i i}

i E Y X u X u

Galat mempunyai nilai harapan nol

 Dengan syarat nilai X tertentu, galat

mempunyai rata-rata atau nilai harapan

Homokedastisitas: ragam yang sama pada

galat

Ilustrasi grafis asumsi Heterokesdastisitas







2



2

var u_i X_i E u_i X_i _i

3 2

1 X X

X  

2 3 2

2 2

1  

Pada kasus heterokesdastisitas

 Ragam galat meningkat seiring dengan meningkatnya nilai X

 Nilai-nilai Y pada X₁ lebih terpusat di garis

regresi populasi (PRF) daripada nilai-nilai Y di

X yang lainnya

 Pengamatan Y berasal dari X= X₁ akan lebih mungkin terletak di dekat PRF daripada Y

yang berasal dari X yang lainnya.

Implikasi dari asumsi Homokesdastisitas

 Dari asumsi homokesdastisitas, berlaku bahwa:

 Ragam dari Y dengan syarat nilai X juga sama

untuk setiap kemungkinan nilai X





_var





2 var Y_i X_i  u_i X_i 



Y_i X_i



Var



₁  ₂X_i  u_i X_i



var  

Ragam dari konstanta adalah nol, dan kedua suku saling bebas

Galat Tidak Berkorelasi

 Pada dua nilai X yang berbeda, korelasi / kovarians antar galat = 0.

Galat Tidak Berkorelasi

 Asumsi ini disebut dengan ‘tidak ada

autokorelasi’ antar galat

 Pada nilai X tertentu, penyimpangan nilai Y dari

rata-rata tidak mempunyai pola tertentu (acak).

 Jika terdapat autokorelasi, maka Y tidak hanya

dipengaruhi oleh X, tapi juga dipengaruhi oleh

galat dari X yang lainnya



_i



_{i i i}

i E Y X u X u

Y   ₁  ₂ 



_1



 _i

i f u

Peubah bebas (eksogen) dan galat saling

bebas

 Kovarians di antara galat dan peubah eksogen =

0

 PRF dibentuk berdasarkan asumsi bahwa X dan u

mempunyai efek aditif (yang terpisah) bagi Y

 Jika kedua efek tersebut berkorelasi

 Kesulitan dalam menganalisis efek individu dari

X dan u

 Jika keduanya tidak saling bebas

 u semakin besar seiring peningkatan nilai X

(korelasi positif)

 u semakin kecil seiring peningkatan nilai X

Jumlah pengamatan harus lebih besar

daripada jumlah parameter yang akan diduga

 Syarat diperolehnya solusi unik dari suatu sistem persamaan (n: jumlah peubah, m: jumlah persamaan, m≥n)

Nilai peubah bebas harus bervariasi

 Karena tujuan dari analisis adalah

mempelajari perubahan Y seiring dengan perubahan X

 Dari rumus penduga slope model regresi, penyebut akan bernilai nol jika tidak ada variasi dari nilai X

 Tidak ada solusi bagi penduga slope

Model regresi harus dispesifikasikan

dengan tepat:

no specification bias

Model 1

Model 2

Jika digunakan model 2, maka pada X

tertentu, model akan

Tidak ada multikolinieritas sempurna

 Tidak ada hubungan linier di antara

Classical Linier Regression Model

 Asumsi-asumsi tersebut disebut dengan

asumsi pada Classical Linier Regression Model

(CLRM)

 Asumsi tersebut mendasari sifat-sifat penduga OLS secara statistika.

Keakuratan dan galat baku dari penduga

OLS

 Mempelajari sebaran penarikan contoh dari penduga regresi

 SRF tidak pernah sama dari sampel satu ke sampel yang lain

 Nilai penduga juga tidak pernah sama dari satu sampel ke sampel yang lain

 Penduga dinyatakan akurat jika mempunyai ragam/simpangan baku yang kecil pada

Sebaran penarikan sampel penduga 1 -_{tepat, tidak bias}

-_{Cukup akurat, ragam} kecil

Sebaran penarikan sampel penduga 2 -_{tepat, tidak bias}

Keakuratan dan galat baku dari penduga

OLS

 Penduga ragam dari Penduga OLS

Sifat-sifat penduga OLS: Teorema Gauss

Markov

 Jika semua asumsi-asumsi CLRM terpenuhi maka penduga OLS akan mempunyai sifat berikut ini:

 Linier: fungsi linier dari peubah acak di dalam

model (Y)

 Tidak bias: nilai harapan penduga adalah nilai dari

parameter

 Mempunyai ragam terkecil dari semua penduga

linier yang tak bias

BLUE: (Best Linear

Unbiased Estimators)

Goodness of Fit dari garis regresi

 Sebagai alat untuk:

 Menentukan apakah tidak ada alternatif garis lain yang

dapat menjelaskan hubungan X dan Y

 Mengukur seberapa baik model yang diperoleh

menjelaskan Y

 Diperlukan penguraian nilai JK Y di sekitar nilai

tengahnya.





₂



_ˆ



2





Y_i  Y  Y_i u_i  Y





₂



_ˆ



2



_ˆ



2







Y_i  Y  Y_i  Y  Y_i  Y_i

JK total JK

Regresi

JK

Residual/Gala t

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

JK

Regresi JK Galat

JK total

 Penguraian jumlah kuadrat Y di sekitar nilai

 Dari penguraian JK tersebut dapat diturunkan koefisien determinasi berikut:

Total JK Regresi JK 2 _ R

 Sebagai ukuran seberapa besar (dalam proporsi/persen)

keragaman total Y dapat dijelaskan oleh model regresi.

Total JK Galat JK Regresi JK 1 Galat JK Regresi JK Total JK     Total JK Galat JK

1 R2 

Rentang Nilai Koefisien Determinasi

 Dari hubungan:

Total JK

Galat JK

1R2 

 Jika model regresi gagal menjelaskan keragaman nilai Y maka:

Total JK

Galat

JK  R2 0

 Jika model regresi menjelaskan keragaman nilai Y dengan

sempurna maka:

0 Galat

JK  2 ₁



R

1 0 R2 

Uji Hipotesis dan Selang Kepercayaan

 Dengan asumsi Classical Linier Regression

Model (CLRM) penduga OLS menyebar secara normal:

 



1 1



1 ~ ,var ˆ

ˆ _{ }

 N

 



2 2



2 ~ ,var ˆ

ˆ _{ }  N

 







  ₂ 2 2 ˆ ˆ var X X_i  

 









  ₂ 2 2 1 ˆ ˆ var X X n X i  

Uji Keberartian Penduga OLS

 Statistik uji:

0 : 0 : 1 0   i i H H 

 Uji satu arah jika

dipunyai wawasan

‘a priori’ : 0

0 : 1 0   i i H H  

 

 

i i i i i se se t      ˆ ˆ ˆ ˆ   

 Tolak atau terima H₀ berdasarkan nilai p untuk tingkat

nyata tertentu dan sifat uji, satu arah atau dua arah

Selang Kepercayaan

 Selang di mana nilai β yang sebenarnya

terletak, pada tingkat kepercayaan tertentu

 

i n

i t se





ˆ _{, 2} ˆ

2 

