3.1 Maksimum dan Minimum

3.1 Maksimum dan Minimum

MA1101 – Matematika 1A

Penggunaan Turunan

FMIPA

Ade Candra Bayu, M.Si.

FMIPA

3.1: Maksimum dan Minimum

Sasaran perkuliahan:

Menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Penggunaan Turunan

Pada bab ini akan dikaji konsep penggunaan turunan.

Dengan konsep turunan, banyak sekali masalah fisis yang dapat kita selesaikan.

Solusi dari masalah fisis ini hampir semuanya bermuara pada masalah pencarian nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi.

Misalkan suatu fungsi 𝑓𝑓 dan daerah asal 𝐼𝐼. Ada tiga pertanyaan yang kerap muncul.

1. Apakah fungsi 𝑓𝑓 mempunyai nilai maksimum dan minimum?

2. Jika fungsi 𝑓𝑓 mempunyai nilai maksimum dan minimum, di mana nilai tersebut tercapai?

3. Jika fungsi 𝑓𝑓 mempunyai nilai maksimum dan minimum, berapa nilainya?

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Definisi:

Misalkan 𝑰𝑰 adalah daerah definisi fungsi 𝒇𝒇 dan 𝒄𝒄 ∈ 𝑰𝑰.

• Nilai 𝒇𝒇 𝒄𝒄 adalah nilai maksimum 𝒇𝒇 pada 𝑰𝑰 apabila 𝒇𝒇 𝒄𝒄 ≥ 𝒇𝒇 𝒙𝒙 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰.

• Nilai 𝒇𝒇 𝒄𝒄 adalah nilai minimum 𝒇𝒇 pada 𝑰𝑰 apabila 𝒇𝒇 𝒄𝒄 ≤ 𝒇𝒇 𝒙𝒙 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰.

• Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim dan titik dimana 𝒇𝒇 mencapai maksimum atau minimum disebut titik ekstrim.

• Fungsi yang akan dicari nilai maksimum atau minimumnya disebut fungsi objektif.

Contoh:

Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

²

pada selang −1,2 .

Maka nilai maksimumnya adalah 4, yaitu 𝑓𝑓 2 ,

dan nilai minimumnya adalah 0, yaitu 𝑓𝑓 0 .

Eksistensi Nilai Ekstrim

Keberadaan nilai ekstrim bergantung pada rumus fungsi dan daerah definisinya.

Teorema: Eksistensi Nilai Ekstrim

Jika 𝒇𝒇 kontinu pada 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 , maka 𝒇𝒇 akan mencapai nilai maksimum dan minimum pada 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 .

• Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup untuk eksistensi nilai ekstrim pada selang tutup.

• Namun tidak menyebutkan bahwa kekontinuan merupakan syarat perlu untuk eksistensi nilai ekstrim.

• Hal ini berarti fungsi yang tidak kontinu pada selang tutup bisa jadi punya nilai ekstrim,

namun bisa juga tidak punya.

Contoh

1. Fungsi 𝑓𝑓 terdefinisi pada selang 0, 1 , dimana 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � −1 jika 𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥 jika 0 < 𝑥𝑥 < 1 2 jika 𝑥𝑥 = 1

Fungsi 𝑓𝑓 tidak kontinu, namun mempunyai nilai minimum 𝑓𝑓 0 = −1 dan mempunyai nilai maksimum 𝑓𝑓 1 = 2.

2. Fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi pada selang 0, 1 dimana

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =

1

2 jika 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 jika 0 < 𝑥𝑥 < 1

1

2 jika 𝑥𝑥 = 1

Fungsi 𝑔𝑔 tidak kontinu dan juga tidak mempunyai nilai ekstrim.

Menentukan Nilai Ekstrim

Nilai ekstrim hanya mungkin tercapai di titik ekstrim.

Teorema: Titik Kritis

Misalkan 𝒇𝒇 terdefinisi pada selang 𝑰𝑰 yang memuat 𝒄𝒄.

Jika 𝒇𝒇 𝒄𝒄 adalah nilai ekstrim, maka 𝒄𝒄 haruslah merupakan titik kritis, yaitu 𝒄𝒄 merupakan

• Titik-titik ujung daerah definisi (daerah asal); atau

• Titik stasioner 𝒇𝒇, yaitu solusi dari 𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎; atau

• Titik singular 𝒇𝒇, yaitu titik 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄 sehingga 𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄 tidak ada.

Bagaimana menentukan lokasi titik ekstrim?

Titik-titik ujung

daerah definisi Titik stasioner Titik singular

Titik kritis adalah calon titik ekstrim, tapi belum tentu jadi titik ekstrim.

Menentukan Nilai Ekstrim

Langkah menentukan nilai maksimum dan nilai minimum:

1. Cari semua titik kritis fungsi 𝑓𝑓 pada daerah definisinya.

2. Hitung nilai fungsi 𝑓𝑓 pada setiap titik kritis yang diperoleh pada langkah 1.

Nilai 𝑓𝑓 terbesar pada titik kritis merupakan nilai maksimum

Nilai 𝑓𝑓 terkecil pada titik kritis merupakan nilai minimum.

Contoh

Tentukan nilai ekstrim fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −2𝑥𝑥

³

+ 3𝑥𝑥

²

+ 1 pada −1, 2 . Jawab:

Titik ujung daerah definisi: 𝑥𝑥 = −1 dan 𝑥𝑥 = 2

Turunan pertama: 𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 = −6𝑥𝑥

²

+ 6𝑥𝑥 𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 = 0

−6𝑥𝑥

²

+ 6𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 + 6 = 0 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 1

𝑓𝑓

^′

selalu ada untuk semua 𝑥𝑥 (titik singular tidak ada) Jadi titik-titik kritis adalah −1, 2, 0, dan 1

𝑓𝑓 −1 = −2 −1

³

+ 3 −1

²

+ 1 = 6 𝑓𝑓 2 = −2 2

³

+ 3 2

²

+ 1 = −3

𝑓𝑓 0 = −2 0

³

+ 3 0

²

+ 1 = 1 𝑓𝑓 1 = −2 1

³

+ 3 1

²

+ 1 = 2

∴ Nilai maksimum = 6

Titik maksimum 𝑥𝑥 = −1

Nilai minimum = -3

Titik minimum 𝑥𝑥 = 2

Contoh

Tentukan titik kritis fungsi 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 1

1 + 𝑥𝑥

²

, −3, 1 kemudian tentukan nilai ekstrimnya.

Jawab:

Titik ujung daerah definisi: 𝑥𝑥 = −3 dan 𝑥𝑥 = 1 Turunan pertama: 𝑔𝑔

^′

𝑥𝑥 = −

_1+𝑥𝑥^2𝑥𝑥_{2 2}

𝑔𝑔

^′

𝑥𝑥 = 0

− 2𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥

^{2 2}

= 0

−2𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 0

𝑔𝑔 −3 = 1

1 + −3

²

= 1 10 𝑔𝑔 1 = 1

1 + 1

²

= 1 2 𝑔𝑔 0 = 1

1 + 0

²

= 1

∴ Nilai maksimum = 1 Titik maksimum 𝑥𝑥 = 0 Nilai minimum = 1/10 Titik minimum 𝑥𝑥 = −3 𝑓𝑓

^′

selalu ada untuk semua 𝑥𝑥 (titik singular tidak ada)

Jadi titik-titik kritis adalah −3, 1, dan 0

Contoh

Tentukan dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum.

Jawab:

Misalkan kedua bilangan dalah x dan y

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10, 𝑦𝑦 = 10 − 𝑥𝑥 Fungsi objektif: 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 10 − 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

²

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

²

, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 10 Titik kritis ujung daerah definisi: 0 dan 10

Titik stasioner: 𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 = 10 − 2𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 5

Titik kritis: 0, 5, dan 10

𝑓𝑓 0 = 10 0 − 0

²

= 0 𝑓𝑓 5 = 10 5 − 5

²

= 25 𝑓𝑓 10 = 10 10 − 10

²

= 0

Titik maksimum 𝑥𝑥 = 5 sehingga 𝑦𝑦 = 10 − 5 = 5.

3.2 Kemonotonan dan Kecekungan

MA1101 – Matematika 1A

Penggunaan Turunan

FMIPA

Ade Candra Bayu, M.Si.

FMIPA

3.2: Kemonotonan dan Kecekungan

Sasaran perkuliahan:

Menentukan selang kemonotonan, selang kecekungan, dan titik belok

dari suatu fungsi.

Kemonotonan

Definisi:

Misalkan 𝒇𝒇 terdefinisi pada selang 𝑰𝑰.

• Fungsi 𝒇𝒇 disebut naik pada selang 𝑰𝑰, apabila

untuk setiap 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

, 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

∈ 𝑰𝑰 dengan 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

< 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

berlaku 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

< 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

.

• Fungsi 𝒇𝒇 disebut turun pada selang 𝑰𝑰, apabila

untuk setiap 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

, 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

∈ 𝑰𝑰 dengan 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

< 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

berlaku 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

> 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

.

Fungsi naik atau turun pada selang 𝑰𝑰 disebut monoton pada selang 𝑰𝑰.

Kemonotonan

Definisi:

Misalkan 𝒇𝒇 terdefinisi pada selang 𝑰𝑰.

• Fungsi 𝒇𝒇 disebut monoton tak naik pada selang 𝑰𝑰, apabila

untuk setiap 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

, 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

∈ 𝑰𝑰 dengan 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

< 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

berlaku 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

≥ 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

.

• Fungsi 𝒇𝒇 disebut monoton tak turun pada selang 𝑰𝑰, apabila

untuk setiap 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

, 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

∈ 𝑰𝑰 dengan 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

< 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

berlaku 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟏𝟏

≤ 𝒇𝒇 𝒙𝒙

_𝟐𝟐

.

Kemonotonan

Teorema: Kemonotonan Fungsi

Misalkan 𝒇𝒇 kontinu dan mempunyai turunan pada selang 𝑰𝑰.

• Jika 𝒇𝒇

^′

𝒙𝒙 > 𝟎𝟎 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰, maka 𝒇𝒇 naik pada selang 𝑰𝑰.

• Jika 𝒇𝒇

^′

𝒙𝒙 < 𝟎𝟎 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰, maka 𝒇𝒇 turun pada selang 𝑰𝑰.

𝒇𝒇 naik 𝒇𝒇 turun

Tentukan selang dimana fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

³

+

³₂

𝑥𝑥

²

− 6𝑥𝑥 naik dan turun.

Contoh

Fungsi naik

𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 > 0

3𝑥𝑥

²

+ 3𝑥𝑥 − 6 > 0 Titik kritis: 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = −2

Selang fungsi f naik: −∞, −2 ∪ 1, ∞

Selang fungsi f turun: −2, 1

Tentukan selang dimana fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =

^{𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+4}_𝑥𝑥−2

naik dan turun.

Contoh

Fungsi naik

𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 > 0

2𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 − 𝑥𝑥

²

− 2𝑥𝑥 + 4

𝑥𝑥 − 2

²

> 0

𝑥𝑥

²

− 4𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 2

²

> 0 Titik kritis: 0, 4, 2

Selang f naik: −∞, 0 ∪ 4, ∞

Selang f turun: 0, 2 ∪ 2, 4

Kecekungan

Definisi:

Misalkan 𝒇𝒇 mempunyai turunan pada selang buka 𝑰𝑰.

• Grafik fungsi 𝒇𝒇 cekung ke atas jika 𝒇𝒇

^′

naik pada selang 𝑰𝑰.

• Grafik fungsi 𝒇𝒇 cekung ke bawah jika 𝒇𝒇

^′

turun pada selang 𝑰𝑰.

Titik 𝒄𝒄 ∈ 𝑰𝑰 dimana terjadi perubahan kecekungan disebut titik balik atau titik belok.

𝒄𝒄

Kecekungan

Penjelasan:

• Jika 𝒇𝒇

^′′

𝒙𝒙 > 𝟎𝟎, maka 𝒇𝒇

^′

naik, sehingga 𝒇𝒇 cekung ke atas.

• Jika 𝒇𝒇

^′′

𝒙𝒙 < 𝟎𝟎, maka 𝒇𝒇

^′

turun, sehingga 𝒇𝒇 cekung ke bawah.

Teorema: Kecekungan Fungsi

Misalkan 𝒇𝒇 mempunyai turunan kedua pada selang buka 𝑰𝑰.

• Jika 𝒇𝒇

^′′

𝒙𝒙 > 𝟎𝟎 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰, maka grafik fungsi 𝒇𝒇 cekung ke atas pada selang 𝑰𝑰.

• Jika 𝒇𝒇

^′′

𝒙𝒙 < 𝟎𝟎 untuk setiap 𝒙𝒙 ∈ 𝑰𝑰, maka grafik fungsi 𝒇𝒇 cekung ke bawah

pada selang 𝑰𝑰.

Titik Belok (Infleksi)

• Titik belok merupakan titik dimana terjadi perubahan kecekungan.

• Calon titik belok adalah titik 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄 dimana 𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 atau 𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄 tidak ada.

Untuk menentukan apakah 𝒄𝒄 merupakan titik belok, kita harus memeriksa tanda

𝒇𝒇𝒇 𝒙𝒙 di kiri dan kanan 𝒄𝒄. Apabila tandanya berbeda, maka 𝒄𝒄 merupakan titik belok.

Contoh

Tentukan selang kecekungan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

³

+

³₂

𝑥𝑥

²

− 6𝑥𝑥 beserta titik beloknya jika ada.

𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥

²

+ 3𝑥𝑥 − 6 𝑓𝑓

^′′

𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥 + 3 Titik dimana 𝑓𝑓

^′′

𝑥𝑥 = 0 adalah 𝑥𝑥 = −

¹₂

Selang fungsi f cekung ke atas: −

¹₂

, ∞

Selang fungsi f cekung ke bawah: −∞, −

¹₂

Titik belok: 𝑥𝑥 = −

¹₂

Contoh

Tentukan selang kecekungan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =

^{𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+4}_𝑥𝑥−2

beserta titik beloknya jika ada.

𝑓𝑓

^′

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

²

− 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2

²

𝑓𝑓

^′′

𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 2

²

− 𝑥𝑥

²

− 4𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥 − 2

⁴

= 8

𝑥𝑥 − 2

³

Selang kecekungan atas: 𝑓𝑓

^′′

𝑥𝑥 > 0

8

𝑥𝑥 − 2

³

> 0 Titik kritis: 𝑥𝑥 = 2

Selang cekung ke atas: 2, ∞

Selang cekung ke bawah: −∞, 2 , tidak ada titik belok.

Referensi

•

Calculus, Dale Varberg, Edwin Purcell and Steve Rigdon, Pearson, 2007, 9th ed.

•

Calculus , James Stewart, Brooks/Cole Publishing Company, 2016, 8th ed.