PEMROGRAMAN LINIER. Metode Simpleks

PEMROGRAMAN LINIER PEMROGRAMAN LINIER

Metode Simpleks

Metode Simpleks

Metode Simpleks Metode Simpleks

Metode simpleks digunakan untuk

memecahkan permasalahan PL dengan

dua atau lebih variabel keputusan.

Prosedur Metode Simpleks:

Prosedur Metode Simpleks:

Kasus Maksimisasi Kasus Maksimisasi

a. a. Formulasi Fungsi Tujuan dan Fungsi Formulasi Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Dari Permasalahan PL

Kendala Dari Permasalahan PL Maksimumkan

Maksimumkan : : 7 7 X X _{1 1} + 5 + 5 X X _{2 2} Dengan kendala :

Dengan kendala : 4 4 X X _{1 1} + 3 + 3 X X _{2 2} ≤ ≤ 240 240

2 2 X X _{1 1} + + X X _{2 2} ≤ ≤ 100 100

X X _{i i} ≥ ≥ 0, i = 1,2 0, i = 1,2

b. Mengkonversi Bentuk Pertidaksamaan Dalam b. Mengkonversi Bentuk Pertidaksamaan Dalam

Fungsi Kendala Menjadi Bentuk Standar Fungsi Kendala Menjadi Bentuk Standar Ada tiga bentuk fungsi kendala:

Ada tiga bentuk fungsi kendala: ≤ ≤ , , ≥ ≥ , dan , dan = = . . Konversi fungsi kendala bertanda

Konversi fungsi kendala bertanda ≤ ≤ menjadi menjadi bentuk standar dilakukan dengan

bentuk standar dilakukan dengan menambahkan

menambahkan slack variable slack variable pada fungsi pada fungsi kendala tersebut.

kendala tersebut.

S S lack variable lack variable merepresentasikan sumber daya merepresentasikan sumber daya yang mengganggur pada suatu fungsi kendala.

yang mengganggur pada suatu fungsi kendala.

Penambahan

Penambahan slack variable slack variable dimaksudkan agar dimaksudkan agar pada fungsi kendala tersebut diperoleh solusi pada fungsi kendala tersebut diperoleh solusi

fisibel awal (

fisibel awal ( initial feasible solution, initial feasible solution, sama sama dengan titik origin pada grafik).

dengan titik origin pada grafik).

4 4 X X _{1 1} + 3 + 3 X X _{2 2} + + S S _{1 1} = 240 = 240 Jika

Jika X X _{1 1} = = X X _{2 2} = 0 = 0 (titik origin pada grafik) (titik origin pada grafik) maka maka S S _{1 1} = 240 = 240

Dengan demikian, formulasi dalam bentuk Dengan demikian, formulasi dalam bentuk

standar dari permasalahan yang dibahas:

standar dari permasalahan yang dibahas:

Maksimumkan:

Maksimumkan: 7 7 X X _{1 1} + 5 + 5 X X _{2 2} + 0 + 0 S S _{1 1} + + 0 0 S S _{2 2} Dengan kendala :

Dengan kendala : 4 4 X X _{1 1} + 3 + 3 X X _{2 2} + + S S _{1 1} + 0 + 0 S S _{2 2} = 240 = 240 2 2 X X _{1 1} + + X X _{2 2} + 0 + 0 S S _{1 1} + + S S _{2 2} =100 =100

X X _{i i} , S , S _{1 1} ≥ ≥ 0, i = 1, 0, i = 1, 2 2

c. Membuat Table Simpleks Awal c. Membuat Table Simpleks Awal

-

CJ

XX₁1₂

S₂ S₁ S₂ S_J Z^J

CZJ

7 5 0 0

X X

₁₁

X X

₂₂

S S

₁₁

S S

₂₂

0 S S

₁₁

4 3 1 0 240

0 S S

₂₂

2 1 0 1 100

Z Z

_JJ

0 0 0 0 0

C C

_JJ

- - Z Z

_JJ

7 5 0 0

Right Hand C Side

C

_JJ

Basic

Variable

Pada dasarnya, semua angka pada formulasi diplotting Pada dasarnya, semua angka pada formulasi diplotting

dalam tabel simpleks awal.

dalam tabel simpleks awal.

Ada dua macam variabel Ada dua macam variabel : :

Variabel Basis (Basic Variable) dan Variabel Non Basis Variabel Basis (Basic Variable) dan Variabel Non Basis

(Non Basic Variable).

(Non Basic Variable).

C C

_{J J}

menotasikan profit per unit (untuk permasalahan mak menotasikan profit per unit (untuk permasalahan mak - - simisasi) dari masing

simisasi) dari masing -masing variabel dalam formulasi. - masing variabel dalam formulasi.

Baris

Baris Z Z

_JJ

berisikan angka gross profit (laba kotor). Untuk berisikan angka gross profit (laba kotor). Untuk kolom

kolom j j , Z , Z

_JJ

ditentukan dari jumlah perkalian antara profit ditentukan dari jumlah perkalian antara profit per unit variabel basis dan angka pada kolom

per unit variabel basis dan angka pada kolom j. j . Baris

Baris C C

_JJ

- - Z Z

_JJ

disebut baris disebut baris net profit yang net profit yang

mengindikasikan besarnya net profit tambahan yang mengindikasikan besarnya net profit tambahan yang

akan diperoleh jika variabel pada kolom menjadi variabel akan diperoleh jika variabel pada kolom menjadi variabel

basis pada iterasi berikutnya.

basis pada iterasi berikutnya.

d. d. Algoritma metode simpleks dengan Algoritma metode simpleks dengan

mengaplikasikan lima langkah berikut ini:

mengaplikasikan lima langkah berikut ini:

Langkah 1: menentukan variabel kolom Langkah 1: menentukan variabel kolom

yang akan masuk basis yang akan masuk basis

Variabel kolom mana yang akan dipilih Variabel kolom mana yang akan dipilih

untuk menggantikan variabel basis pada untuk menggantikan variabel basis pada

iterasi berikutnya ditentukan berdasarkan iterasi berikutnya ditentukan berdasarkan

nilai

nilai C C _{J J} - - Z Z _{J J} terbesar (untuk problem terbesar (untuk problem

maksimisasi). Selanjutnya, kolom terpilih maksimisasi). Selanjutnya, kolom terpilih

disebut dengan kolom pivot.

disebut dengan kolom pivot.

CJ

XX₁1₂

S₂ S₁ S₂ S_J Z^J

C -

ZJ

7 5 0 0

X X

₁₁

X X

₂₂

S S

₁₁

S S

₂₂

0 S S

₁₁

4 3 1 0 240

0 S S

₂₂

2 1 0 1 100

Z Z

_JJ

0 0 0 0 0

C C

_JJ

- - Z Z

_JJ

7 5 0 0

Right Hand C Side

C

_JJ

Basic

Variable

Langkah 2: menentukan variabel yang akan Langkah 2: menentukan variabel yang akan

keluar basis keluar basis

variabel basis yang akan keluar basis pada variabel basis yang akan keluar basis pada

iterasi berikutnya berdasarkan atas nilai rasio iterasi berikutnya berdasarkan atas nilai rasio

antara

antara Right Hand Side Right Hand Side dan angka pada kolom dan angka pada kolom pivot pada Langkah 1.

pivot pada Langkah 1.

Baris variabel basis yang memiliki nilai rasio Baris variabel basis yang memiliki nilai rasio

dengan angka

dengan angka nonnegatif nonnegatif ( ( positif positif ) terkecil dipilih ) terkecil dipilih sebagai baris yang akan digantikan. Baris

sebagai baris yang akan digantikan. Baris variabel basis ini disebut

variabel basis ini disebut baris pivot. baris pivot .

Variabel Basis X X

₁₁

RHS Rasio S S

₁₁

4 240 60 S S

₂₂

2 100 50

X₁1

S₂ S

CJ

XX₁1₂

S₂ S₁ S₂ S_J Z^J

C - ZJ

7 5 0 0

X X

₁₁

X X

₂₂

S S

₁₁

S S

₂₂

0 S S

₁₁

4 3 1 0 240

0 S S

₂₂

2 1 0 1 100

Z Z

_JJ

0 0 0 0 0

C C

_JJ

- - Z Z

_JJ

7 5 0 0

Right Hand C Side

C

_JJ

Basic Variable

Angka pada perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot disebut

dengan angka pivot.

Langkah 3: menentukan angka baru untuk Langkah 3: menentukan angka baru untuk

baris pivot baris pivot

Perhitungan angka baru untuk baris pivot Perhitungan angka baru untuk baris pivot

pada iterasi berikutnya: membagi setiap pada iterasi berikutnya: membagi setiap

angka pada baris pivot dengan angka angka pada baris pivot dengan angka

pivot, atau

pivot, atau

Langkah 4: menentukan angka baru untuk Langkah 4: menentukan angka baru untuk

baris lainnya baris lainnya

Perhitungan angka baru pada baris selain Perhitungan angka baru pada baris selain

baris pivot pada iterasi berikutnya:

baris pivot pada iterasi berikutnya:

Angka baru

Angka baru = = angka pada baris lama angka pada baris lama – –

[(angka diatas atau dibawah angka pivot) [(angka diatas atau dibawah angka pivot) * * (angka baru baris pivot)],

(angka baru baris pivot)],

atau atau

X1₂

X₁ S₂

S

Keterangan X X

₁₁

X X

₂₂

S S

₁₁

S S

₂₂

RHS

Angka Lama (1) 2 1 0 1 100

Angka Pivot (2) 2 2 2 2 2

Angka Baru Untuk

Baris Pivot (1:2) 1 ½ 0 ½ 50

Langkah 5: menghitung dan

Langkah 5: menghitung dan - - dan dan mengevaluasi apakah tabel simpleks mengevaluasi apakah tabel simpleks

memberikan solusi optimal memberikan solusi optimal

Perhitungan dan

Perhitungan dan - - dilakukan dengan cara yang dilakukan dengan cara yang telah digunakan sebelumnya. Pada problem

telah digunakan sebelumnya. Pada problem maksimisasi, jika semua

maksimisasi, jika semua - - bernilai nol atau bernilai nol atau negatif (atau

negatif (atau - - ≤ 0) maka solusi optimal telah ≤ 0) maka solusi optimal telah tercapai. Sebaliknya, jika masih ada kolom tercapai. Sebaliknya, jika masih ada kolom

dengan

dengan - - ≥ 0 perhitungan masih harus dilanjutkan ≥ 0 perhitungan masih harus dilanjutkan dan dimulai dari Langkah 1.

dan dimulai dari Langkah 1.

Interpretasi Tabel Optimal

Interpretasi Tabel Optimal

Solusi Optimal Solusi Optimal

Interpretasi dari solusi optimal: fungsi tujuan Interpretasi dari solusi optimal: fungsi tujuan

akan optimal jika perusahaan memproduksi 30 akan optimal jika perusahaan memproduksi 30

unit meja dan 40 unit kursi dan besarnya total unit meja dan 40 unit kursi dan besarnya total

profit yang diperoleh dari aktivitas yang profit yang diperoleh dari aktivitas yang

menghasilkan kombinasi meja

menghasilkan kombinasi meja - - kursi tersebut kursi tersebut adalah 410.

adalah 410.

Informasi Tentang Resources Informasi Tentang Resources

Informasi tentang

Informasi tentang resources resources dapat diketahui dari dapat diketahui dari nilai

nilai slack variable ( slack variable ( dan juga dan juga surplus variable) surplus variable) pada tabel optimal.

pada tabel optimal.

Tingkat Substitusi Tingkat Substitusi

Koefisien

Koefisien negatif negatif mengindikasikan tambahan mengindikasikan tambahan variabel kolom akan menyebabkan variabel variabel kolom akan menyebabkan variabel

baris

baris meningkat meningkat sebesar nilai ab sebesar nilai ab - - solut koefisien solut koefisien tersebut; dan

tersebut; dan Koefisien

Koefisien positif positif mengindikasikan tambahan mengindikasikan tambahan variabel kolom akan menyebabkan variabel variabel kolom akan menyebabkan variabel

baris

baris berkurang berkurang sebesar nilai ab- sebesar nilai ab -solut koefisien solut koefisien tersebut.

tersebut.

Baris Net Profit Baris Net Profit

pada tabel optimal baris ini memberikan pada tabel optimal baris ini memberikan

informasi tentang

informasi tentang shadow price shadow price atau atau opportunity opportunity cost

cost dari dari resources resources yang dimiliki. yang dimiliki.

Implikasi dari

Implikasi dari opportunity cost/shadow price opportunity cost/shadow price ini ini secara praktikal adalah biaya pengadaan

secara praktikal adalah biaya pengadaan tambahan

tambahan resources resources harus tidak melebihi harus tidak melebihi opportunity cost/shadow price

opportunity cost/shadow price . .