PROGRAM LINIER – METODE SIMPLEKS

(1)

(2)

 _{Merupakan metode yang biasanya digunakan} untuk memecahkan setiap permasalahan pada pemrogramman linear yang kombinasi

variabelnya terdiri dari tiga variabel atau lebih.  _{Metode yang secara matematis dimulai dari}

pemecahan dasar yang feasibel (basic feasible solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya, yang dilakukan berulang-ulang (iteratif)

(3)

 Diperkenalkan pada tahun 1947 oleh

George B. Dantzig dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain.

 _{Metode penyelesaian dari Metode Simpleks}

(4)

Syarat:

Model program linier (Canonical form) harus dirubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan

”bentuk baku” (standard form).

Sifat bentuk baku:

 _{Semua batasan adalah persamaan (dengan tidak}

ada nilai negatif pada sisi kanan)

 Semua variabel tidak ada yang bernilai negatif, dan

 _{Fungsi tujuan dapat berupa minimisasi atau}

maksimisasi.

(5)

(6)

Mohamad Sidiq

z = Fungsi tujuan

x_j = Jenis kegiatan (variabel keputusan)

a_ij = Kebutuhan sumberdaya i untuk menghasilkan setiap unit kegiatan j

b_i = Jumlah sumberdaya i yang tersedia

c_j = Kenaikan nilai Z jika ada pertambahan satu unit kegiatan j

a, b, dan c, disebut juga sebagai parameter model

m = Jumlah sumberdaya yang tersedia

(7)

 _{Fungsi Pembatas}

 Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda <

diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu

variabel baru yang dinamakan slack variable .

 Banyaknya slack variable bergantung pada fungsi

(8)

 Fungsi Tujuan

 Dengan adanya slack variable pada fungsi

pembatas, maka fungsi tujuan juga harus

disesuaikan dengan memasukkan unsur slack

variable ini.

 _Karena_{slack variable} _{tidak mempunyai kontribusi}

(9)

(10)

 Setelah fungsi batasan diubah ke dalam

bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks menggunakan

suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks.

 Tabel ini mengatur model ke dalam suatu

bentuk yang memungkinkan untuk

(11)

Var.

Dasar Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 . . . . Sn NK

Z 1 -C1 -C2 . . . . -Cn 0 0 0 0 0

S₁ 0 a₁₁ a₁₂ . . . a_1n 1 0 0 0 b₁

S₂ 0 a₂₁ a₂₂ . . . a_2n 0 1 0 0 b₂

. . . . . . .

(12)

1. Rumuskan persoalan PL ke dalam model umum PL (fungsi tujuan dan fungsi

pembatas).

2. Ubah model umum PL menjadi model simpleks:

(13)

b. Fungsi tujuan :

- Ubahlah bentuk fungsi tujuan eksplisit menjadi persamaan bentuk implisit - Tambahkan/kurangi dengan slack

variable (surplus var atau variable buatan) yang bernilai nol.

(14)

 _{Model Program Linear}

1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan : Z=8X₁ + 6X₂ (dalam Rp 1000)

2. Fungsi Pembatas :

Bahan A : 4X₁ + 2X₂ ≤ 60 Bahan B : 2X₁ + 4X₂ ≤ 48

(15)

 _{Model Simpleks :}

1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 8X₁–6 X₂–0S₁- 0S₂ = 0

4X₁+2X₂+ S₁+ 0S₂ = 60 2X₁+4X₂+0S₁+ S₂ = 48

(16)

Variabel

Dasar X1 X2 S1 S2 NK

Z

S₁

(17)

Variabel

Z -8 -6 0 0 0

S₁

(18)

Variabel

Z -8 -6 0 0 0

S₁ 4 2 1 0 60

(19)

Variabel

Z -8 -6 0 0 0

S₁ 4 2 1 0 60

(20)

Variabel

Z -8 -6 0 0 0

S₁ 4 2 1 0 60

S₂ 2 4 0 1 48

(21)

Variabel

(22)

Variabel

Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks

Z -8 -6 0 0 0

-S₁ 4 2 1 0 60 15

S₂ 2 4 0 1 48 24

b. Menentukan baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).

𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 = _{𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐾𝑜𝑙𝑜𝑚 𝐹. 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠}𝑁𝐾 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠

(23)

Variabel

Z

X₁ 1 ½ ¼ 0 15

S

c. Perubahan-perubahan nilai baris :

- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci - Nilai baris yang lain = Baris lama – {(Nilai baris kunci baru) x

(24)

Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Rumus :

Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci

[-8 -6 0 0 0 ]

(-8) [ 1 1/2 1/4 0 15 ] ( - )

Nilai baru = [0 -2 2 0 120 ]

Baris pertama (Z)

Baris ke-3 (batasan 2)

[2 4 0 1 48 ]

(2) [ 1 1/2 1/4 0 15 ] ( - )

Nilai baru = [0 3 -1/2 1 18 ]

(25)

Variabel

Z 0 - 2 2 0 120

X₁ 1 ½ ¼ 0 15

(26)

Variabel

Z 0 - 2 2 0 120

-X₁ 1 ½ ¼ 0 15 30

(27)

Variabel

Z

X₁

(28)

-Variabel

Z 0 0 5/3 2/3 132

-X₁ 1 0 1/3 - 1/6 12

(29)

-Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb :

X₁= 12 dan X₂ = 6

(30)

132.000.- _{Model Program Linear}

1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan : Z=15X₁ + 10X₂ (Dlm Rp10.000)

Bahan A : X₁ + X₂ ≤ 600 Bahan B : 2X₁ + X₂ ≤ 1000

(31)

1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 15X₁–10 X₂–0S₁- 0S₂ = 0

X₁+X₂+ S₁+ 0S₂ = 600 2X₁+X₂+0S₁+ 1S₂ = 1000

(32)

Variabel

Z

S₁

(33)

Variabel

Z -15 -10 0 0 0

S₁

(34)

Variabel

Z -15 -10 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 600

(35)

Variabel

Z -15 -10 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 600

(36)

Variabel

Z -15 -10 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 600

S₂ 2 1 0 1 1000

(37)

Variabel

(38)

Variabel

Z -15 -10 0 0 0

-S₁ 1 1 1 0 600 600

S₂ 2 1 0 1 1000 500

b. Menentukan baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).

(39)

Variabel

Z

S₁

X 1 ½ 0 ½ 500

- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci

(40)

Variabel

Z

S₁ 0 ½ 1 - ½ 100

X₁ 1 ½ 0 ½ 500

- Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) / n-angka kunci

(41)

Variabel

Z 0 -2½ 0 7½ 7500

S₁ 0 ½ 1 - ½ 100

(42)

3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif.

Angka Kunci

Variabel

Z 0 -2½ 0 7½ 7500

-S₁ 0 ½ 1 - ½ 100 200

(43)

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya.

Variabel

Z

X₂ 0 1 2 -1 200

(44)

- Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya.

Variabel

Z

X₂ 0 1 2 -1 200

(45)

-- Merubah baris pada angka kunci dan baris--baris lainnya.

Variabel

Z 1 0 5 5 8000

-X₂ 0 1 2 -1 200

(46)

-Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses peru-bahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb :

X₁= 400 dan X₂ = 200 dengan

(47)

8000.- _{Model Program Linear}

Fungsi Tujuan :

Maksimumkan : Z = 3X₁+2X₂ Fungsi Pembatas :

X₁ + X₂ ≤ 15 2X₁ + X₂ ≤ 28

(48)

 _{Model Simpleks}

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– X₁–2X₁–0S₁–0S₂–0S₃ = 0 Fungsi Pembatas :

X₁ + X₂ + S₁ = 15 2X₁ + X₂ + S₂ = 28

(49)

Variabel

Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK

Z

S₁

S₂

S

(50)

Variabel

Z -3 -2 0 0 0 0

S₁

S₂

(51)

Variabel

Z -3 -2 0 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 0 15

S₂

(52)

Variabel

Z -3 -2 0 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 0 15

S₂ 2 1 0 1 0 28

(53)

Variabel

Z -3 -2 0 0 0 0

S₁ 1 1 1 0 0 15

S₂ 2 1 0 1 0 28

(54)

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) :

Variabel

Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z -3 -2 0 0 0 0

-S₁ 1 1 1 0 0 15 15

S₂ 2 1 0 1 0 28 14

(55)

(a). Iterasi Awal (Iterasi-0) :

Angka Kunci

Variabel

Z -3 -2 0 0 0 0

-S₁ 1 1 1 0 0 15 15

S₂ 2 1 0 1 0 28 14

(56)

(b). Iterasi-1

Variabel

Z

S₁

X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(57)

(b). Iterasi-1

Variabel

Z

S₁

X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(58)

-(b). Iterasi-1

Variabel

Z

S₁ 0 ½ 1 -½ 0 1

-X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(59)

-(b). Iterasi-1

Variabel

Z 0 -½ 0 3/2 0 42

-S₁ 0 ½ 1 -½ 0 1

-X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(60)

-Variabel

Z 0 -½ 0 3/2 0 42

-S₁ 0 ½ 1 -½ 0 1 2

X₁ 1

½ 0 ½ 0 14 28

(61)

Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya.

Variabel

Z

X₂ 0 1 2 -1 0 2

-X₁

(62)

Variabel

Z

X₂ 0 1 2 -1 0 2

-X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(63)

Variabel

Z

X₂ 0 1 2 -1 0 2

-X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(64)

-Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya.

Variabel

Z 0 0 1 1 0 43

-X₂ 0 1 2 -1 0 2

-X₁ 1 ½ 0 ½ 0 14

(65)

-Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses peru-bahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb :

X₁ =13; X₂=2,

(66)

Maksimumkan

Z = 60X1+30X2+20X3 Dengan Pembatas :

8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8 X2 ≤ 5

(67)

Maksimum

z = 8 x₁ + 9 x₂ + 4x₃ Dengan Pembatas :

x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 2 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 3 7x₁ + 6x₂ + 2x₃ ≤ 8

(68)

Memaksimumkan

z = 8 x₁ + 7 x₂ + 3x₃

Dengan Pembatas :

x₁ + x₂ + 2x₃ ≤ 4

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 7

3x₁ + 6x₂ + 2x₃ ≤ 8

(69)

Penyimpangan bentuk standar dapat terjadi karena :

1. Fungsi tujuan (Z) bukan Maximalisasi, tetapi Minimalisasi

2. Fungsi batasan bertanda (=) atau (≥) 3. Dan syarat X1 atau X2 tidak terpenuhi,

(70)

Fungsi Tujuan :

Minimalkan Z = 3X1 + 5X2

Dengan batasan :

Mesin A 2X1 = 8

Mesin B 3X2 ≤ 15

Mesin C 6X1 + 5X2 ≥ 30 ,

(71)

 Fungsi tujuan agar menjadi maksimal dikalikan dengan (-1)  Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel

tambahan berupa variabel artifisial .

 Jika kendala bertanda “>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel artifisial.  Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan

artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = M

(72)

 _Minimalkan _{Z = 3X1 + 5X2} menjadi Sehingga fungsi tujuan menjadi :

Maksimal : –Z + 3X1 + 5 X2 + MX3 + MX6 = 0

(73)

Masalah berikutnya yang muncul adalah setiap variabel dasar (slack atau artificial variabel), harus bernilai nol, sehingga MX3 dan MX6 di atas harus di-nol-kan terlebih dahulu, sebelum dipindah ke tabel simplex. Cara yang

digunakan adalah dengan mengurangi

(74)

Nilai fungsi tujuan terakhir adalah :

3 5 M 0 0 M 0

 Kita coba hilangkan M yang pertama terlebih dahulu.

 _X1 _X2 _X3 _X4 _X5 _X6 _NK

 ₃ ₅ M 0 0 M 0

( 2 0 1 0 0 0 8 ) M

_____________________________________

(75)

 _{Selanjutnya kita hilangkan M yang kedua.}

Yang merupakan nilai dari fungsi tujuan yang baru

(76)

X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK

Z -8M+3 -5M+5 0 0 M 0 -38M

X3 2 0 1 0 0 0 8

X4 0 3 0 1 0 0 15

X6 6 5 0 0 -1 1 30