MATRIKS HERMITIAN DAN FUNGSI MONOTON OPERATOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar
Oleh
IRMATUL HASANAH 0905927
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Matriks Hermitian dan Fungsi
Monoton Operator
Oleh Irmatul Hasanah
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Irmatul Hasanah 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
IRMATUL HASANAH
MATRIKS HERMITIAN DAN FUNGSI MONOTON OPERATOR
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING:
Pembimbing I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si NIP. 196901191993031001
Pembimbing II
Dr. Sumanang Muhtar Gozali, M.Si NIP. 197411242005011001
Mengetahui
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
ABSTRAK
Suatu matriks Hermitian adalah matriks kompleks berukuran yang memenuhi dimana adalah adjoin dari dan didefinisikan sebagai ̅ Matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik, diantaranya matriks Hermitian dapat didiagonalkan secara uniter, artinya terdapat matriks uniter sehingga membentuk matriks diagonal . Kemudian matriks Hermitian memiliki nilai eigen berupa bilangan real.
Dengan karakteristik-karakteristik tersebut, dapat didefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian. Suatu fungsi real yang kontinu pada interval disebut monoton operator pada jika untuk setiap matriks Hermitian yang nilai eigennya terletak di dan maka . Selanjutnya, pada skripsi ini akan dibahas beberapa contoh fungsi monoton yang juga merupakan fungsi monoton operator seperti fungsi pada setiap interval dan contoh fungsi monoton tetapi bukan merupakan fungsi monoton operator seperti fungsi pada .
Kata kunci: matriks Hermitian, matriks uniter, nilai eigen, fungsi monoton
vi
ABSTRACT
A Hermitian matrix is a complex matrix of size that satisfies where is the adjoint of and is defined as ̅ . Hermitian matrix has several characteristics, including didiagonalkan Hermitian can be unitary, meaning that there is a unitary matrix to form a diagonal matrix . Then the Hermitian matrix has eigenvalues a real number.
With these characteristics, can be defined a function of Hermitian matrix. real function is continuous on the interval is called operator monotone on if for any Hermitian matrix whose eigenvalues lie in and then . Furthermore, in this paper we will present several examples which monotone functions is also monotone operator functions such as the function for all at every interval and sample monotone function but it is not a monotone operator functions as functions on .
Keywords: Hermitian matrix, unitary matrix, eigenvalues, operator
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN ... ...i
KATA PENGANTAR ... ..ii
UCAPAN TERIMA KASIH ... .iii
ABSTRAK ... .vi
DAFTAR ISI ... vii
DAFTAR SIMBOL ... .ix
BAB I. PENDAHULUAN ... .1
1.1 Latar Belakang ... .1
1.2 Perumusan Masalah ... .2
1.3 Tujuan Penulisan ... .2
1.4 Manfaat Penulisan ... .3
1.5 Sistematika Penulisan ... .3
BAB II. OPERATOR DI RUANG HILBERT ... .5
2.1 Bilangan Kompleks ... .5
2.2 Ruang Vektor Kompleks ... .6
2.3 Matriks ... .7
2.4 Transformasi Linear ... .9
2.6 Operator di Ruang Hilbert ... 19
BAB III. MATRIKS HERMITIAN ... 24
3.1 Matriks Uniter ... 24
3.2 Matriks Hermitian ... 26
3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian ... 30
3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian ... 31
BAB IV. FUNGSI MONOTON OPERATOR ... 33
4.1 Fungsi Real Kontinu ... 33
4.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf ... 34
4.3 Fungsi dari Matriks Hermitian ... 34
4.4 Fungsi Monoton Operator ... 35
4.5 Operator Konveks dan Operator Konkaf ... 46
4.6 Fungsi Monoton Operator dan Fungsi Operator Konkaf ... 46
BAB V. PENUTUP ... 50
5.1 Kesimpulan ... 50
5.2 Rekomendasi ... 50
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penulisan
Sebuah operator linear pada ruang Hilbert kompleks berdimensi hingga
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yang terkait dengan basis tertentu. Salah
satu bentuk matriks kompleks yang khusus adalah matriks Hermitian karena
memiliki karakteristik dapat didiagonalkan secara uniter dan nilai eigennya adalah
bilangan real. Dengan karakteristik-karakteristik ini, dapat didefinisikan suatu
fungsi dari matriks Hermitian.
Suatu fungsi real yang kontinu pada interval disebut monoton operator
pada , dinotasikan , jika untuk setiap matriks Hermitian yang
semua nilai eigennya terletak di dan maka . Fungsi
untuk setiap pada setiap interval adalah fungsi
monoton yang juga adalah monoton operator. Sementara fungsi pada
adalah fungsi monoton tetapi bukan fungsi monoton operator sebab
terdapat matriks positif
sedemikian sehingga
positif tetapi tidak positif.
Berdasarkan dua contoh di atas, penulis tertarik untuk mengkaji lebih lanjut
2
Beberapa materi yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah ruang Hilbert,
operator linear dari ruang Hilbert, operator linear yang dinyatakan dalam bentuk
matriks, matriks uniter, matriks Hermitian, diagonalisasi matriks Hermitian,
konsep urutan pada matriks Hermitian, fungsi dari matriks Hermitian, fungsi
monoton operator, fungsi operator konveks, dan fungsi operator konkaf.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah dalam penulisan skripsi ini, masalahnya
dirumuskan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah bentuk fungsi dari matriks Hermitian?
2. Bagaimanakah kaitan fungsi monoton dengan fungsi monoton operator?
3. Bagaimanakah syarat perlu dan cukup sebuah fungsi monoton agar menjadi
fungsi monoton operator?
1.3 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini, yaitu:
1. Untuk mengetahui bentuk fungsi dari matriks Hermitian.
2. Untuk mengetahui kaitan antara fungsi monoton dengan fungsi monoton
operator.
3. Untuk mengetahui syarat perlu dan cukup sebuah fungsi monoton agar
3
1.4 Manfaat Penulisan
Adapun manfaat penulisan ini adalah untuk mengetahui karakteristik dari
matriks Hermitian, bentuk fungsi dari matriks Hermitian, dan untuk mengetahui
bentuk serta karakteristik dari fungsi monoton operator beserta contohnya.
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini dibagi menjadi lima bab, yang pertama yaitu BAB I berisi
pendahuluan yang memuat latar belakang penulisan, perumusan masalah, tujuan
penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II memuat konsep operator di ruang Hilbert, berisi konsep-konsep
penting yang mendasari matriks Hermitian dan fungsi monoton operator. Bab ini
memuat enam bagian, yaitu bilangan kompleks, ruang vektor kompleks, matriks,
transformasi linear, ruang Hilbert, dan operator di ruang Hilbert.
BAB III memuat konsep matriks Hermitian yang menjelaskan matriks
Hermitian dan karakteristiknya. Bab ini terdiri dari empat bagian, yaitu matriks
uniter, matriks Hermitian, nilai eigen pada matriks Hermitian, dan konsep urutan
pada matriks Hermitian.
Selanjutnya BAB IV memuat konsep fungsi monoton operator. Pada bab ini
dibahas fungsi monoton yang sekaligus merupakan fungsi monoton operator dan
fungsi monoton tetapi bukan merupakan fungsi monoton operator, juga kaitan
antara fungsi monoton operator dengan fungsi operator konkaf. Bab ini terdiri dari
4
fungsi monoton operator, operator konveks dan operator konkaf, fungsi monoton
operator dan fungsi operator konkaf.
Terakhir BAB V adalah penutup dari skripsi ini, berisi kesimpulan dari
kajian yang telah dibahas mulai dari BAB II sampai BAB IV dan rekomendasi
kepada pembaca untuk penelitian lebih lanjut.
BAB III
MATRIKS HERMITIAN
Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian
dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas
matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos.
Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks (
berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang
didefinisikan dengan ̅ adalah matriks berukuran dimana entri ke
nya adalah ̅̅̅̅.
Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks
Konjuget transpos adalah
̅ ( )
3.1 Matriks Uniter
Definisi 3.1.1 (Anton & Rorres, 2005: 818). Suatu matriks persegi dengan
25
Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks
uniter jika . Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter:
Contoh 3.1.2: Diberikan matriks
Maka
Akibatnya kita peroleh bahwa
Sehingga matriks adalah matriks uniter.
Teorema 3.1.3 (Anton & Rorres, 2005: 819). Jika adalah matriks berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) adalah uniter
(b) vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di dengan
26
(c) vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di dengan
hasilkali dalam Euclidean.
Definisi 3.1.4 (Anton & Rorres, 2005: 820). adalah matriks kompleks
berukuran . dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat
matriks uniter sedemikian sehingga adalah matriks diagonal;
matriks dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .
3.2 Matriks Hermitian
Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks
Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling
utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real
sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian.
Definisi 3.2.1 (Anton & Rorres, 2005: 821). Suatu matriks persegi dengan
entri-entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin
jika .
Contoh: Matriks
adalah matriks Hermitian, sebab
27
Definisi 3.2.2 (Anton & Rorres, 2005: 821). Matriks persegi dengan entri-entri
bilangan kompleks disebut normal jika
Setiap matriks Hermitian adalah normal karena dan
setiap matriks uniter adalah normal karena .
Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2005: 822). Jika matriks persegi dengan
entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) secara uniter dapat didiagonalisasi.
(b) memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen.
(c) adalah matriks normal.
Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat
didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor
eigen dari dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah
orthogonal.
Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah
sebagai berikut:
Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks .
Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1
28
Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis
yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi .
Contoh 3.2.4:
)
Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan
bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah
kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah
29
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah
jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
(
√
√ )
30
Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi
matriks .
3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian
Definisi 3.3.1 (Horn & Johnson, 1990: 35). Misalkan . Maka sebuah
vektor taknol pada disebut vektor eigen dari jika memenuhi persamaan
berikut
,
dimana adalah skalar real atau kompleks . Skalar disebut nilai eigen dari
dan disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen .
31
Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan adalah matriks
Hermitian, maka
(a) adalah bilangan real untuk setiap ,
(b) nilai eigen dari adalah bilangan real
Bukti:
(a) Perhatikan bahwa .
kemudian ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Karena ̅̅̅̅̅̅̅, maka
adalah bilangan real.
(b) Misalkan nilai eigen dari adalah dan adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen . Maka . Kemudian perhatikan bahwa
̅
Karena ̅, maka nilai eigen adalah bilangan real.
3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian
Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling
penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang
digunakan adalah semidefinit positif atau positif.
Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas
terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada . Misalkan .
Hasilkali dalam standar dari didefinisikan sebagai
32
dimana adalah adjoin dari yang didefinisikan sebagai ̅ .
Definisi 3.4.1. Misalkan adalah suatu matriks Hermitian. Matriks dikatakan
semidefinit positif atau positif (ditulis ) jika untuk setiap .
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika adalah matriks Hermitian,
maka untuk setiap berlaku . Perhatikan bahwa
Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian.
Misalkan dan adalah Matriks Hermitian. Jika artinya adalah
positif atau ditulis dengan , maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Misalkan adalah fungsi real yang monoton yang terdefinisi pada interval .
Jika adalah matriks Hermitian yang semua nilai eigen berada di , maka
fungsi dari matriks Hermitian didefinisikan dengan dan
(
)
Sebuah fungsi real yang monoton pada interval akan menjadi fungsi
monoton operator apabila untuk setiap dua matriks Hermitian dan yang
semua nilai eigennya berada pada dan memenuhi , maka .
Sebuah fungsi real monoton pada interval akan menjadi fungsi monoton
operator jika dan hanya jika fungsi adalah fungsi operator konkaf.
5.2 Rekomendasi
Dalam makalah ini, penulis mengkaji fungsi monoton operator, sedangkan
pada fungsi operator konkaf, penulis mengenalkan bentuk dan contohnya. Untuk
itu, disarankan kepada para pembaca untuk mengkaji lebih lanjut fungsi operator
51
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Beberapa contoh konkrit yang penulis bahas adalah matriks Hermitian
dengan . Oleh karena itu, penulis harapkan kepada para pembaca
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R.G. & Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Bhatia, Rajendra. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.
Churchill, R.V & Brown, W.J. (1990). Complex Variables and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill.
Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1990). Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.
Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Howard, A. & Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1 Edisi Kedelapan (Refina Indriasari & Irzam harmein, Trans.). Jakarta: Erlangga.
MacCluer, Barbara. D. (2009). Elementary Functional Analysis. New York: Springer.
Raeburn, I. (1993). Algebras: Lecture Notes From Courses at The University of Newcastle. Australia: University of Newcastle.
Retherford, J.R. (1993). Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem. Cambridge: University Press.
53
Uchiyama, Mitsuru. (2010). Linear Algebra and its Applications, Majorization and Some Operator monotone Function. Dalam Linear Algebra and Its Applications [Online], Vol 432 (2010), 6 halaman. Tersedia: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379508005557.
