BAB II Elektron Dalam Struktur Kuantum

BAB II

Elektron Dalam Struktur Kuantum

Perilaku pembawa muatan (elektron/hole) pada devais berstruktur kuantum seperti quantum well, quantum wires, serta quantum dot sangat menarik untuk dikaji karena efek mekanika kuantum sangat berperan dalam menentukan sifat-sifat devais tersebut. Devais berstruktur kuantum dibentuk dari dua material yang memiliki pita energi berbeda sehingga terbentuk band gap discontinuity ΔEc/ΔEv. Agar mampu mengurung pergerakan pembawa muatan, devais tersebut harus berukuran 10Ǻ – 1000Ǻ atau ekivalen dengan 10 – 1000 lapis atom (jika diasumsikan satu lapis atom memiliki tebal 1 Ǻ) sehingga ukuran devais lebih kecil dibandingkan panjang gelombang elektron.

Gambar 2.1: Semikonduktor paduan AlGaAs dan GaAs yang membentuk sumur potensial akibat perbedaan pita energi.

Regime devais dengan ukuran hanya beberapa lapis atom dikenal dengan istilah mesoscopic regime. Pada regime tersebut, sifat kimia, fisika, optik, maupun sifat elektronik bergantung pada ukuran dan bentuk material. Khusus untuk material semikonduktor, regime tersebut terkait dengan panjang gelombang de Broglie. Dimana ukuran semikonduktor pengurungannya harus lebih kecil dibandingkan panjang gelombang de Broglie.

p h =

λ , (2.1)

dengan p=m∗v adalah momentum elektron, m adalah massa efektif elektron, ∗ dan v adalah kecepatan elektron. Jika diasumsikan v ~v_th

∗

=

m KT

v_th 3 , (2.2)

dengan v adalah kecepatan thermal, K adalah konstanta Boltzmann, dan T _th adalah temperatur, diperoleh

nm 300 22 , 6 0 T m m∗ = λ , (2.3)

sehingga ukuran devais berstruktur kuantum harus lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelombang de Broglie yang diberikan oleh persamaan (2.3).

Pada bab ini akan dibahas secara detail mengenai elektron dalam struktur quantum well, quantum wires, dan quantum dot (ukuran devais lebih kecil dari panjang gelombang de Broglie elektron) yang melibatkan aspek pengurungan kuantum berturut-turut satu-dimensi, dua-dimensi, dan tiga-dimensi.

2.1 Quantum Well

Quantum well difabrikasi dengan menumbuhkan satu lapis material A diantara dua buah lapisan material B dengan syarat pita energi material A lebih kecil dibandingkan dengan pita energi material B [12] seperti terlihat pada gambar 2.2a. Band discontinuity antara material A dan material B menyediakan semacam sumur potensial pengurungan untuk elektron/hole.

Gambar 2.2: (a) struktur dan (b) energi potensial quantum well.

2.1.1 Fungsi Gelombang dan Sub Energi

Untuk memudahkan analisa, sumur potensial dianggap ideal berupa fungsi tangga berikut (gambar 2.2b):

( )

⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≤ = 2 z untuk 2 untuk 0 L V L z z V b , (2.4)

dengan Vb, dan L berturut-turut adalah kedalaman, dan ketebalan sumur potensial. Karena fungsi potensial hanya fungsi dari sumbu-z saja, maka pergerakan elektron pada sumbu x dan y bersifat bebas dan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi gelombang bidang (plane wave). Dengan teknik separasi variabel, fungsi gelombang elektron dapat ditulis menjadi

(

x y z

)

eikxx ikyyχ

( )

z

ψ +

= ,

, , (2.5)

Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang χ

( )

z adalah

( )

χ _⎟⎟χ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − _{∗ ∗} m k E z V z m 2 2 2 || 2 2 2 2 _h r h _{, (2.6)} dengan k2

(

k_x,k_y

)

|| = r dan kuantitas

( )

k2 2m∗ || 2r

h adalah energi kinetik elektron pada sumbu x dan y. Jika didefinisikan kuantitasε yang menyatakan energi pada arah sumbu-z ∗ − = m k E 2 2 || 2r h ε , (2.7)

Maka persamaan (2.6) dapat direduksi menjadi persamaan satu dimensi berikut

( )

_⎥χ =εχ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − _∗ V z z m 2 2 2 2 h _{, (2.8)}

Untuk kasus bound state denganε <V_b, solusi persamaan Schrödinger di luar sumur adalah

( )

₍ ( ₎ ) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = −₊ − 2 untuk 2 untuk 2 / 2 / L z Be L z Ae z _{k z L} L z k b b χ , (2.9) dengan ₂

(

)

2 h b b m V k = − ∗ _ε−

Sedangkan solusi persamaan Schrödinger di dalam sumur adalah kombinasi linier dari fungsi gelombang bidang berikut

( )

z =Csink_wz+Dcosk_wz χ , (2.10) dengan ₂ 2 h ε ∗ − = m

k_w , dan A, B, C, serta D adalah konstanta sembarang. Pada kasus ini, solusi umum didapat dengan mengkombinasikan solusi genap dan ganjil dengan syarat A= untuk solusi genap dan B A=−Buntuk solusi ganjil. Untuk solusi genap

( )

( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ = − 2 z untuk cos 2 z untuk 2 / L z k D L Ae z w L z kb m χ , (2.11)

Untuk solusi ganjil

( )

( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ± = − 2 z untuk sin 2 z untuk 2 / L z k C L Ae z w L z kb m χ , (2.12)

Tahapan berikutnya adalah matching function serta turunannya pada titik 2

L

z=± , untuk solusi genap diperoleh A L k Dcos _w 2= b w w k L Ak Dk sin 2= , (2.13)

untuk solusi ganjil diperoleh

A L k Ccos _w 2= b w w k L Ak Ck sin 2=− , (2.14)

Dari Persamaan (2.13) dan (2.14) dapat diperoleh ungkapan akhir tingkat energi pada quantum well berikut

(

2 2

)

2 ,k|| n ₂ x y n _m k k E r =ε + h _∗ + , (2.15) dengan 2 2 ₂2 2m L n n = ∗ π

ε h . Pengurungan elektron pada arah-z yang dinyatakan oleh

n

ε , memunculkan sub-sub energi (subbands energy) yang mempengaruhi spektrum energi sistem seperti terlihat pada gambar 2.3. Keberadaan sub-sub energi tersebut merubah beberapa karakteristik perilaku elektron dibandingkan pada bulk material. Sebagai contoh, pada bulk material, adanya impuritas

(impurity) menciptakan sederetan level energi pada pita elektron, sementara pada quantum well, setiap sub energi membangkitkan sederet level-level impuritas.

Gambar 2.3: Spektrum energi elektron dua-dimensi.

2.1.2 Rapat keadaan energi quantum well

Pada penjelasan sebelumnya diketahui bahwa spektrum energi quantum well agak kompleks dan terdiri dari sub-sub energi. Spektrum energi masing-masing subband tumpang tindih satu sama lain pada k tertentu. Karena faktor tersebut, _|| terkadang lebih nyaman melihat faktor pengurungan elektron dinyatakan dalam rapat keadaan energinya. Rapat keadaan energi g

( )

E secara umum didefinisikan

( )

=

_∑

(

−

)

v v E E E g δ , _(2.16)

dengan v dan Ev berturut-turut adalah bilangan kuantum dan energi pada bilangan kuantum v tertentu. Bilangan kuantum v melibatkan bilangan kuantum n, bilangan kuantum spin s, dan vektor dua-dimensi kr_||. Sehingga v=

{

s, kn,r_||

}

dan rapat keadaan energi quantum well menjadi

( )

_∑

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = _∗ y x k k n y x n m k k E E g , , 2 2 2 2 2 δ ε h , (2.17)

Faktor 2 menyatakan elektron dapat berada pada keadaan spin up maupun spin down. Untuk menghitung ungkapan akhir rapat keadaan energi quantum well, terlebih dahulu didefinisikan luas area quantum well:S =L_x×L_y, dengan L dan _x

y

L berturut-turut adalah ukuran quantum well pada sumbu-x dan sumbu-y dan dari nilai k dan _x k yang mungkin jika diasumsikan syarat batas sikliknya pada _y sumbu-x dan sumbu-y

x x

x l L

k =2π , k_y =2πl_y L_y , l_x,l_y =0 ,1 ,2 ,..., (2.18) Sehingga bentuk somasi persamaan (2.17) dirubah menjadi bentuk integral berikut

( )

( )

( )

⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅ ⋅

∑

_∫∫

y x k k y x y x dk dk L L , 2π 2 , _(2.19)

Evaluasi persamaan (2.17) menggunakan bentuk integral persamaan (2.19) dapat diperoleh rapat keadaan quantum well berikut

( )

=

_∑

Θ

(

−

)

n n y x E L L E g ε π _h2 , (2.20)

dengan Θ

( )

x adalah fungsi Heaviside step: Θ x

( )

=1 untuk x>0, dan Θ x

( )

=0 untuk x<0.

Gambar 2.4: Rapat keadaan energi quantum well dan bulk material (garis putus-putus).

Perbedaan antara bulk material dan quantum well terletak pada beberapa sub energi terendah karena untuk n yang besar rapat keadaan energi quantum well hampir berhimpitan dengan bulk material.

2.2 Quantum Wires

Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa pengurungan elektron pada satu dimensi saja telah merubah karakteristik spektrum energi serta rapat keadaan energi sistem elektron jika dibandingkan dengan karakteristik spektrum energi serta rapat keadaan energi sistem elektron pada bulk material. Pada bagian ini akan dibahas karakteristik elektron dalam pengurungan dua-dimensi yang dikenal dengan istilah quantum wires. Salah satu cara fabrikasi quantum wires adalah dengan teknik etching yakni dengan mereduksi lapisan material B dan A seperti terlihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5: Struktur quantum wires.

2.2.1 Fungsi Gelombang dan Sub Energi

Fungsi gelombang elektron dalam struktur quantum wires yang melibatkan pengurungan potensial dua dimensi V ,

( )

y z dapat ditulis

(

x,y,z

)

eikxxχ

( )

y,z

ψ = , (2.21)

Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang χ

( )

y,z

( ) ( )

y z y z

( )

y z V z y m , , , 2 2 2 2 2 2 εχ χ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − h _∗ , (2.22) dengan =E− 2k_x2 2m∗ h

ε adalah energi elektron pada sumbu-y dan sumbu-z. jika solusi χ_i

( )

y,z dapat ditemukan yang berkaitan dengan energi ε_i yang bersifat diskret, maka akan didapat energi total elektron berikut

∗ + = m k E x i 2 2 2 h ε , (2.23)

dengan k adalah vektor satu dimensi. Fungsi gelombang _x χ_i

( )

y,z berkaitan dengan tingkat energi diskret ε_i yang terlokalisasi pada bidang (y, z). Hal tersebut mengandung arti bahwa elektron pada keadaan kuantum ke-i terkurung pada bidang (y, z) di bawah pengaruh potensial pengurung V ,

( )

y z . Pada kondisi tersebut, elektron hanya dapat bergerak dengan bebas pada arah sumbu-x saja. Ungkapan potensial V ,

( )

y z yang sesuai dan dapat diselesaikan dengan mudah adalah dengan mengambil bentuk potensial berikut

( )

⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≥ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤ ≤ ≤ = z y z y L z L y z y L z L y z y V , , 0 , 0 untuk 0 , 0 untuk 0 , , (2.24)

dengan Ly dan Lz berturut-turut adalah dimensi quantum wires pada sumbu-y dan sumbu-z. Fungsi gelombang elektron χ

( )

y,z dapat dinyatakan sebagai perkalian antara fungsi gelombang pada arah sumbu-y dan sumbu-z berikut

( )

y,z χ

( ) ( )

y _n1χ z _n2

χ = , (2.25)

Sehingga solusi persamaan Schrödinger untuk masing-masing sumbu menjadi

( )

y y n L n y L y 2 _sin 1 1 π χ = ,

( )

z z n L n z L z 2 _sin 2 2 π χ = , n₁,n₂ =1 ,2 ,3 ,... (2.26) Dan energi terkuantisasiε_i

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = _{∗ 2}22 2 2 1 2 2 , 2 2 1 z y n n L n L n m π ε h , (2.27)

Energi total elektron

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = _{∗ ∗} 2₂2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 _{y z} x L n L n m m k E h h π , (2.28)

2.2.2 Rapat Keadaan Energi Quantum Wires

Dengan merujuk kembali persamaan (2.16), rapat keadaan energi quantum wires ditulis

( )

=

_∑

( )

2 1 2 1 , , n n n n E g E g , _(2.29)

Kontribusi satu subband terhadap rapat keadaan energi quantum wires

( )

_∑

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = _∗ x k x n n n n m k E E g 2 2 2 2 , , 2 1 2 1 h ε δ , (2.30)

Faktor 2 pada persamaan (2.30) berkaitan dengan spin elektron. Bentuk somasi persamaan (2.30) tersebut kemudian diubah menjadi bentuk integral terhadap seluruh nilai kx yang mungkin sehingga diperoleh ungkapan akhir rapat keadaan energi quantum wires berikut

( )

(

1 2

)

2 1 2 1 , , 2 0 2 2 , 1 2 2 d 2 n n n n x x n n x x E E m L m k E k L E g ε ε π ε δ π − Θ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ∗ ∞ ∗

∫

h h , (2.31)

Gambar 2.6: Rapat keadaan quantum wires.

Secara skematik rapat keadaan energi quantum wires ditunjukkan pada gambar 2.6. Jika dibandingkan dengan rapat keadaan energi quantum well, karakteristik kedua rapat keadaan tersebut sangat berbeda. Untuk kasus quantum well, rapat

keadaan energinya berupa fungsi tangga, sedangkan quantum wires memiliki rapat keadaan energi yang infinite pada titik terendah subband-nya dan perlahan menurun seiring dengan meningkatnya energi kinetik elektron.

2.3 Quantum dot

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas perilaku elektron yang terkurung dalam semikonduktor heterostructure pada satu dan dua dimensi pengurungan yang menyebabkan terjadi kuantisasi spektrum energi elektron sehingga menghasilkan sub-sub energi pada satu dan dua dimensi. Pada struktur demikian masih menyisakan derajat kebebasan elektron untuk bergerak pada dua dan satu dimensi. Pada bagian ini, akan dibahas perilaku elektron yang terkurung dalam tiga dimensi atau dengan kata lain seluruh derajat kebebasan elektron menjadi terkuantisasi. Struktur semacam ini menunjukkan sifat seperti atom yang akan dibahas secara mendetail di bagian ini.

2.3.1 Fungsi Gelombang dan Tingkat-Tingkat Energi Quantum dot

Ketika meninjau spektrum energi dari sebuah sistem berdimensi nol, perlu dikaji persamaan Schrödinger bebas waktu:

Ψ = Ψ + Ψ ∇ − _∗ V E m 2 2 2 h _{, (2.32)}

dengan potensial yang merupakan fungsi dari tiga koordinat dan mengurung elektron pada tiga arah. Bentuk potensial yang paling sederhana untuk memodelkan quantum dot adalah potensial kotak:

(

, ,

)

0 di dalam kotak,

di luar kotak. V x y z _{= ⎨}⎧

+∞

⎩ , (2.32)

Kotak yang dimaksud oleh potensial tersebut dibatasi kondisi 0≤ ≤x L_x, 0≤ ≤y L_y, 0≤ ≤z L_z.

Gambar 2.7: Model quantum box. Solusi persamaan Schrödinger dengan demikian akan berbentuk

1 2 3

3

1 2

, ,

8

( , , ) sin sin sin ,

n n n x y z x y z n z n x n y x y z L L L L L L π π π ψ = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜_⎜ ⎞⎟_⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} (2.32) 1 2 3 2 2 2 2 2 3 1 2 , , _{2 *} 2 2 2 , n n n x y z n n n E m L L L π ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ + + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ h _(2.32)

dengan n n n₁, ,_{2 3}=1, 2,3,...,bilangan bulat positif.

Uniknya solusi persamaan Schrödinger untuk kotak kuantum sebagai model quantum dot ini terletak pada kemunculan tiga bilangan kuantum diskret yang berasal dari tiga arah kuantisasi. Keadaan ini berarti telah diperoleh tingkat-tingkat energi yang bercabang tiga dan fungsi gelombang elektron terlokalisasi pada seluruh tiga dimensi dalam kotak. Secara umum, seluruh energi memiliki nilai yang berbeda, atau tidak ada degenerasi. Akan tetapi, jika dua atau seluruh ukuran dimensi kotak ( , ,L L L ) memiliki nilai yang sama atau perbandingannya _{x y z} bilangan bulat, maka akan ada tingkat-tingkat energi yang sama untuk nilai bilangan kuantum yang berbeda. Dengan kata lain, fungsi gelombang elektron yang berbeda dapat memiliki nilai energi yang sama. Situasi ini menghasilkan keadaan degenerasi: satu tingkat energi bercabang dua jika dua dimensi kotak bernilai sama dan bercabang enam jika kotak benar-benar berbentuk kubus. Spektrum energi diskret inilah yang membedakan kotak kuantum (sebagai model quantum dot) terhadap bentuk-bentuk lainnya (quantum well dan quantum wires). Dengan pemecahan persamaan Schrödinger yang telah diuraikan sebelumnya,

tampak jelas kemunculan sifat tingkat energi pada quantum dot yang pada awalnya hanya teramati untuk atom biasa. Jadi sangatlah wajar para ilmuwan menyebut quantum dot sebagai artificial atom.

Kemiripan sifat antara quantum dot dengan atom juga dapat dengan mudah dilihat pada kasus spherical dot, dengan bentuk potensial V(r) berikut

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ _≤ ≥ = r_r R_R b V r V 0 , (2.33)

dengan r adalah besar dari suatu vektor berarah radial, dan R adalah jari-jari quantum dot.

Solusi persamaan Schrödinger untuk kasus potensial di atas yang melibatkan simetri bola dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, dimana solusi umum dari kasus di atas merupakan perkalian dari fungsi gelombang arah radial dan fungsi gelombang arah azimutal berikut

(

θ ϕ

)

( ) ( )

θ φ

ψ r, , =R r Y_l,m , , _(2.34)

Besaran l, m berkaitan dengan bilangan kuantum magnetik dan proyeksinya terhadap sumbu-z. Untuk fungsi berarah radial, persamaan Schrödingernya menjadi:

( )

_{( ) ( )}

_{( )}

r E r r V r r m e χ χ χ _{+ =} ∂ ∂ − 2_∗ 2 _{2 ff} 2 h _{, (2.35)} dengan

( )

r =rR

( )

r χ ,

( )

( )

( )

₂ 2 ff 1 r l l r V r V_e = +h − , (2.36)

Terlihat bahwa persoalan untuk kasus di atas dapat direduksi menjadi persoalan satu-dimensi, yakni pada arah radial saja. Potensial efektif di atas hanya bergantung pada variabel l saja, tetapi tidak bergantung pada bilangan kuantum m. Dengan demikian, tingkat-tingkat energi pada quantum dot terdegenerasi oleh bilangan kuatum m (dengan m = 2 +l 1). Tingkat-tingkat energi merupakan fungsi dari bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum l.

Dalam quantum dot, elektron terkurung pada suatu sumur potensial yang memiliki kedalaman sangat besar, sehingga dapat diasumsikan bahwa V_b →∞. Sehingga, fungsi gelombang pada arah radial menjadi

( )

J

( )

k r

r k r

R = 2π _{l+1/2 w} , (2.37)

dengan J_l

( )

r adalah fungsi Bessel speris, dan 2 ₂ h

E m k_w

∗

= . Fungsi Bessel sferis, yang didefinisikan sebagai

1/ 2 ( ) ( ) 2 l l j x J x x π + = , (2.38)

dengan menggunakan fungsi duplikasi Legendre

(

)

2 1 1/ 2

(

)

! 1/ 2 ! 2 z 2 1 ! z z+ = − −π z+ , (2.39) diperoleh

(

)

(

)

2 2 1/ 2 2 2 2 1 1/ 2 0 2 2 0 ( 1) 2 ( )! ( ) 2 2 2 1 ! ! 2 ( 1) ( )! 2 ! 2 2 1 ! s l s l l s l l s s s n x j x x s l s s l x x s s l π π + + + + ∞ = ∞ = − + ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + + ⎝ ⎠ − + = + +

∑

∑

, _(2.40)

Untuk kasus khusus n=0, diperoleh

( )

(

)

2 0 0 1 sin 2 1 ! s s s x j x s x ∞ = − = = +

∑

, (2.41)

Selanjutnya, fungsi Bessel sferis untuk orde lebih tinggi dapat diperoleh melalui rumus rekursi berikut:

1( ) ( ) ( ) l l l l d j x j x j x x dx + = − , (2.42)

5 10 15 20

-0.4 -0.2 0.2 0.4

Gambar 2.8: Fungsi Bessel sperik (l=0−4) untuk mencari tingkat-tingkat energi pada quantum dot.

Pada r = a (jari-jari dot) , haruslah dipenuhi R(a) = 0. Sehingga, akar-akar dari persamaan j_l

( )

k_wa =0 akan menyatakan tingkat-tingkat energi pada quantum dot. Dalam teori spektrum atom, bilangan kuantum l = 0, 1, 2, 3, … menyatakan orbital s, p, d, ... Dengan mengurutkan nilai akar-akar persamaan, yang bersesuaian dengan nilai eigen energi, diperoleh deret tingkat-tingkat energi pada quantum dot

1s(2), 1p(6), 1d(10), 2s(2), 1f(14), 2p(6), …

Angka dalam kurung menunjukkan jumlah elektron yang terdapat pada tiap tingkat energi.

2.3.2 Rapat Keadaan Quantum dot

Terkurungnya elektron dalam tiga sumbu koordinat pada kasus quantum dot berbentuk kotak menyebabkan rapat keadaan energinya pun berupa sekumpulan fungsi delta

( )

=

_∑

(

−

)

v v E E E g δ , _(2.43)

dengan v=

(

n₁,n₂,n₃

)

. Pada kondisi ideal, puncak-puncaknya sangat sempit dan tak berhingga seperti terlihat pada gambar 2.8.

j0 j1 j2 j₃ j4

Gambar 2.9: Rapat keadaan energi quantum dot.

Untuk keadaan nyata, interaksi antara elektron-elektron dan ketidakmurnian material akan menyebabkan pelebaran tingkat-tingkat energi diskret. Sebagai hasilnya, puncak-puncak rapat keadaan memiliki amplitudo yang berhingga dan lebar tertentu. Akan tetapi, semakin kecilnya ukuran bahan (sekitar orde nanometer) dan temperatur yang rendah justru dapat menyebabkan rapat keadaan quantum dot menuju sistem ideal.

Dengan menggunakan beberapa pendekatan, jumlah keadaan pada volume x y z

Δ Δ Δ dapat diturunkan dari rumusan rapat keadaan. Hasilnya adalah

3 2 3 k x y z ρ π Δ Δ Δ Δ = , (2.44) dengan 2 ( ) 2 * ( ) / k rr = m V rr _{h ,} (2.45)

Integrasikan pada seluruh koordinat klasik untuk mendapatkan jumlah keadaan energi dalam sebuah quantum dot, yaitu

3/ 2 3/ 2 2 2 2 2( *) ( ) 3 t m N dxdydx V r π =

∫

r h , (2.46)

Sebagai contoh, untuk sebuah kotak dengan kedalaman potensial berhingga Vb, dapat diperoleh

3/ 2 3/ 2 2 2 2 2( *) 3 t b x y z m N V L L L π = h , (2.47)

Andaikan seseorang membuat quantum dot dengan 10 nm,

x y z

L =L =L = V_b =0, 2 eV, dan massa efektif elektron pada material quantum dot adalah m* 0,067= m_elektron, maka didapatkan jumlah total keadaan energi di dalam kotak adalah Nt = 75. Jumlah elektron sebenarnya yang terperangkap dalam quantum dot seharusnya kurang dari Nt terkait reduksi oleh ketidakmurnian material. Teknologi saat ini bahkan sudah memungkinkan untuk mengontrol jumlah pembawa muatan terlokalisasi dengan pemberian tegangan luar.

2.4 Eksiton Dalam Struktur Kuantum

Eksiton adalah ikatan pasangan elektron-hole yang disebabkan penyerapan photon pada semikonduktor. Secara khusus dapat dikatakan bahwa terdapat elektron di pita konduksi dan hole di pita valensi semikonduktor dan keduanya saling berinteraksi melalui interaksi Coulomb. Eksiton sendiri bermuatan netral. Terdapat dua jenis eksiton, yakni eksiton Mott-Wannier, dan eksiton Frenkel. Interaksi elektron-hole pada eksiton Mott-Wannier lemah dengan energi ikatnya berada pada orde 10meV sehingga pasangan elektron-hole tersebut relatif terpisah jauh. Berbeda dengan eksiton Frenkel dengan energi ikat berada pada orde 100meV, interaksi Coulomb antara elektron dan hole kuat.

Gambar 2.11: Spektrum optik eksiton.

Eksiton dapat diamati pada spektrum penyerapan semikonduktor bulk. Pada umumnya eksiton muncul di bawah energi gap semikonduktor. Hal tersebut karena energi eksiton lebih rendah dibandingkan dengan energi gap akibat pengurangan oleh energi ikatnya E_exc =E_g −E_binding dengan E adalah energi gap _g semikonduktor.

2.4.1 Jari-Jari Bohr Eksiton dan Energi Ikat Eksiton

Jari –jari Bohr pasangan elektron-hole diungkapkan melalui persamaan berikut

0 0 _a m a_{exc ⎟⎟} ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = μ ε , (2.48)

dengan μ , ε , m , dan ₀ a berturut-turut adalah massa reduksi eksiton, konstanta ₀ dielektrik material, massa diam elektron, dan jari-jari Bohr (a₀ = 5280, Α). Energi total eksiton relatif terhadap batas ionisasinya adalah perbedaaan antara energi kinetiknya dan energi potensial Coulomb

2 0 2 2 4 2 1 r q mv E_tot πεε − = , (2.49) karena 2 0 2 2 4 r q mv πεε = , (2.50)

diperoleh

(

)

2 0 2 2 0 2 2 2 0 4 0 2 0 2 1 1 4 2 1 4 2 1 n m R n m q m r q E_tot ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ε μ ε μ πε πεε h , (2.51)

dengan R adalah konstanta Rydberg. Energi ikat eksiton adalah perbedaan energi antara pasangan elektron-hole pada orbit n tertentu dan pada n tak berhingga

2 0 2 2 2 0 2 1 1 1 n m R n n m R E E E_{binding n} ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = ∞ ∞ ε μ ε μ , (2.52) 2.4.2 Cakupan Pengurungan

Terdapat tiga cakupan pengurungan yang terkait dengan struktur yang telah dibahas yakni cakupan pengurungan kuat, pengurungan menengah, dan pengurungan lemah. Ketiga cakupan tersebut bergantung pada jari-jari Bohr eksiton.

• Pengurungan kuat

Jenis pengurungan ini dapat dijumpai pada material nano berukuran kecil. Ukuran material lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr elektron dan jari-jari Bohr hole. Pada kondisi ini, sifat optik material sangat didominasi oleh efek pengurungan kuantum dari elektron dan hole.

• Pengurungan menengah

Pada kasus ini, ukuran material lebih besar dibandingkan dengan jari-jari Bohr salah satu pembawa muatan dan lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr

pembawa muatan lainnya. Karena massa efektif elektron lebih kecil dibandingkan dengan massa efektif hole, maka ukuran material a_B,h <a<a_B,e.

• Pengurungan lemah

Pada kasus ini, ukuran material a>a_B,h,a_B,e. Sebagai konsekuensinya, energi ikat eksiton lebih besar dibandingkan dengan energi pengurungan elektron dan hole. Energi transisi optiknya adalah selisih antara energi gap dan energi ikat eksiton.