BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
Salah satu fenomena yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari adalah fenomena menunggu, contohnya antrian untuk membeli tiket, antrian nasabah di bank, antrian di kasir swalayan, dan lain-lain. Hal ini terjadi karena kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk penyelenggaraan pelayanan tersebut. Di sektor jasa, bagi sebagian orang antri merupakan hal yang membosankan dan sebagai akibatnya terlalu lama antri, akan menyebabkan pelanggan kabur yang akan menimbulkan kerugian bagi penyedia jasa tersebut. Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah perusahaan atau penyedia jasa selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Pelayanan yang cepat akan sangat membantu untuk mempertahankan pelanggan, yang dalam jangka panjang tentu saja akan meningkatkan keuntungan perusahaan. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya penambahan fasilitas layanan bagi perusahaan, karena harus menambah fasilitas layanan.
negatif pada pendapatan perusahaan. Pelanggan dikatakan tak sabar jika ia cenderung bergabung dengan antrian hanya ketika ekspektasi menunggu sebentar dan cenderung untuk tetap berada di antrian jika waktu menunggunya telah dekat (Rakesh dan Sumeet, 2012:1). Pelanggan dalam antrian dibagi menjadi dua yaitu pelanggan sabar dan tidak sabar. Pelanggan tidak sabar sering ditemui dalam antrian dengan tiga tipe perilaku, yaitu balking, reneging, dan jockeying. Balking menggambarkan pelanggan yang tidak berkenan masuk dan bergabung dalam antrian. Reneging menggambarkan pelanggan yang telah masuk dalam antrian tetapi kemudian meninggalkan antrian sebelum mendapatkan pelayanan. Jockeying menggambarkan perpindahan pelanggan dari satu jalur antrian kejalur antrian lainnya di dalam sistem antrian dengan jumlah jalur antrian lebih dari satu (Gross dan Harris, 1974:95).
balking dan reneging masing-masing untuk sistem antrian yang berbeda. Menggunakan indeks balking dan tingkat reneging memungkinkan pengambil keputusan untuk memiliki kemampuan dalam memperkirakan kerugian bisnis yang dikeluarkan untuk nilai yang berbeda dari indeks balking, tingkat reneging dan tingkat layanan.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah maka permasalahannya adalah bagaimana menyusun persamaan probabilitas dan persamaan ukuran keefektifan sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian?
C. Tujuan
Dengan mengacu pada latar belakang masalah dan rumusan masalah, maka tujuan penulisan ini adalah menjelaskan bagaimana penyusunan persamaan probabilitas dan persamaan ukuran keefektifan sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian.
D. Manfaat
Penulisan tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi banyak pihak, antara lain sebagai berikut:
a. Bagi Akademik
Penulisan tugas akhir ini diharapka dapat dijadikan sebagai wacana untuk melakukan pengembangan dan penelitian selanjutnya terkait masalah antrian. b. Bagi Perusahaan atau Penyedia Jasa
c. Bagi Peneliti
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Pada bab ini diuraikan tentang dasar-dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian, mencakup tentang model antrian satu pelayanan yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
A.Proses Antrian
1. Definisi Proses Antrian
Menurut Bronson (1996:310), proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum mendapat pelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan pelayanan mulai datang. Pelanggan berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai sumber input.
Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan ke suatu sistem antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih pelanggan sesuai dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya pelanggan meninggalkan sistem antrian setelah selesai pelayanan.
merupakan “proses kelahiran-kematian“ dengan suatu populasi yang terdiri atas para pelanggan yang sedang menunggu pelayanan atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang pelanggan memasuki fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika pelanggan meninggalkan fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan (Wospakrik, 1996: 302).
Gambar 2.1 Sistem Antrian dengan Server 2. Komponen Dasar dalam Proses Antrian
Menurut Taha (1997:609), suatu sistem antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola kepergian, kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran sumber pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen-komponen tersebut diuraikan sebagai berikut.
a. Pola Kedatangan
tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa suatu variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telah diketahui.
Jika tidak disebutkan secara khusus pelanggan datang secara individu ke dalam sistem antrian. Namun dapat pula lebih dari satu pelanggan datang secara bersamaan ke dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk arrival (Taha, 1997:177).
b. Pola Kepergian
Pola kepergian adalah banyak kepergian pelanggan selama periode waktu tertentu. Pola kepergian biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelayan untuk melayani seorang pelanggan. Waktu pelayanan dapat bersifat deterministik dan dapat berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang tertentu (Bronson, 1996 : 310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti bahwa waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap pelanggan selalu tetap, sedangkan waktu pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap pelanggan berbeda-beda.
c. Kapasitas Sistem
sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak pelanggan dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika pelanggan memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka pelanggan akan ditolak dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
d. Desain Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008:249), desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana para pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian:
1. Single channel - Single phase
Single Channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis kereta api yang hanya dibuka satu loket.
2. Single channel - Multi phase
Multi phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan dalam phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry, pakaian-pakaian setelah dicuci kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir dikemas.
Gambar 2.3 Sistem Antria Single Chanel – Mutli Phase 3. Multi channel - Single phase
Sistem multi channel-single phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah sarana pelayanan nasabah di Bank.
Gambar 2.4 Sistem Antrian Multi Channel – Single Phase 4. Multi channel - Multi phase
tersebut terdapat beberapa pelayanan yang tersusun seri. Contohnya seperti pendaftaran pasien di rumah sakit. Pasien mendaftar di rumah sakit menuju loket pendaftaran yang terdiri dari beberapa loket. Kemudian, pasien melanjutkannya dengan menuju klinik yang diinginkan.
Gambar 2.5 Sistem Antrian Multi Channel – Multi Phase e. Disiplin Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008: 251), disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih pelanggan dari barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin pelayanan ialah:
1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO), suatu peraturan dimana yang akan dilayani ialah pelanggan yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu kasir sebuah swalayan.
3. Service in random order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan acak atau sering dikenal juga random selection for services (RSS), artinya pelayanan atau panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu tiba. Contohnya kertas-kertas undian yang menunggu untuk ditentukan pemenangnya, yang diambil secara acak.
4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah sakit. f. Sumber Pemanggilan
Sumber pemanggilan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber yang terbatas (finite source) berarti bahwa pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin yang menunggu servis dari montir mesin-mesin tersebut. Sumber yang tak terbatas (infinite source) adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti, seperti panggilan pada sentral telepon (Taha, 2007:552).
g. Perilaku Manusia
sebagai pelanggan maupun pelayan. Jika manusia berperan sebagai pelayan, dapat melayani pelanggan dengan cepat atau lambat sesuai kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha, 1996:178).
Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem antrian jika berperan sebagai pelanggan sebagai berikut:
1. Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.
2. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian.
3. Jockeying menggambarkan situasi jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian maka orang dapat berpindah antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.
B.Notasi Kendal
Notasi baku untuk memodelkan suatu sistem antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dalam bentuk / / , dan dikenal sebagai notasi Kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol dan sehingga menjadi
/ / / / yang disebut notasi Kendall-Lee (Taha, 1996:627).
format baku / / : / / . Notasi dari sampai tersebut berturut - turut menyatakan distribusi kedatangan, distribusi waktu pelayanan, jumlah pelayanan, disiplin pelayanan, kapasitas sistem, dan ukuran sumber pemanggilan. Notasi sampai dapat digantikan dengan simbol - simbol yang diberikan dalam tabel 2.1 berikut.
Table 2.1 Simbol – simbol Pengganti Notasi Kendall - Lee Notasi Simbol Keterangan
dan
M (Markov)
Markov menyatakan kedatangan dan kepergian berdistribusi poisson (waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial)
D (Deterministic)
Deterministik menyatakan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan kostan GI
(General Independent)
Distribusi independen umum dari kedatangan (atau waktu antar kedatagan)
G (General)
Distribusi umum dari keberangkatan (waktu pelayanan)
FCFS/FIFO First Come First Served/ First In First Out LCFS/LIFO Last Come First Served/ Last In First Out
Notasi Simbol Keterangan
, , 1, 2, 3,.. ,∞
C.Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson 1. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan untuk mengambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa, dimana waktu pelayanan tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak bergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang menunggu untuk dilayani. (Djauhari, 1997:175-176 ).
Definisi 2.1 (Cooper, 1981:42) Jika adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif { } = �
� = { −, − �,
dan fungsi densitas peluang = � �
� yaitu
= − �, (2.1)
2. Distribusi Poisson
Suatu percobaan yang menghasilkan jumlah suskes yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang sepesifik dikenal sebagai eksperimen poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit, hari, minggu, bulan, maupun tahun. Sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi, maupun material (Dimyati, 1999:309).
Menurut Dimyati (1999:309), ciri-ciri eksperimen Poisson adalah:
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut.
c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut dapat diabaikan.
Definisi 2.2 (Djauhari, 1997:163) Variabel acak diskrit dikatakan berdistribusi poisson dengan parameter λ jika fungsi peluangnya sebagai berikut.
D.Proses Kelahiran dan Kematian (Birth-Death Processes)
Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth - death processe). Kelahiran terjadi jika seorang pelanggan memasuki sistem antrian dan kematian terjadi jika seorang pelanggan meninggalkan sistem antrian tersebut.
Menurut Winston (1994:115), proses kelahiran dan kematian merupakan proses penjumlahan dalam suatu sistem dimana keadaan sistem selalu menghasilkan bilangan bulat positif. Keadaan sistem pada saat didefinisikan sebagai selisih antara banyaknya kelahiran dan kematian pada saat . Dengan demikian, keadaan sistem pada saat dalam suatu sistem antrian yang dinotasikan dengan � , adalah selisih antara banyaknya kedatangan dan kepergian pada saat .
Misalkan banyaknya kedatangan pelanggan pada saat dinotasikan dengan dan banyaknya kepergian pada saat dinotasikan denga , maka banyaknya pelanggan yang berada dalam sistem pada saat adalah � = − . Sedangkan peluang terdapat pelanggan dalam sistem antrian pada saat dinotasikan dengan � = atau .
Akan dicari peluang terdapat pelanggan dalam suatu sistem antrian pada saat . Namun sebelumnya, diberikan definisi - definisi yang digunakan pada pembahasan selanjutnya.
Definisi 2.4 (Bain dan Engelhardt, 1992:9) Jika sebuah percobaan , , , … adalah kejadian yang mungkin terjadi pada ruang sampel . Fungsi peluang merupakan fungsi yang mengawankan setiap kejadian dengan bilangan real dan disebut peluang kejadian jika memenuhi ketentuan berikut.
1.
2. =
3. Jika , , , , … adalah kejadian yang saling asing, maka
… = + + + + ⋯
Definisi 2.5 (Hogg dan Tanis, 2001:96) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
= .
Jika kejadia dan tidak memenuhi kondisi tersebut maka disebut kejadian bergantung.
Definisi 2.6 (Ross, 1999:60) o(∆t) merupakan suatu fungsi atas ∆t dengan ketentuan
lim
∆ → ∆
∆ =
Definisi 2.7 (Purcell & Varberg, 1998:141)
′ = lim ∆ →
+∆ −
∆ =
Teorema 2.1 (Bartle dan Sherbert, 2000:176-177) misal dan didefinisikan pada
Teorema tersebut disebut dengan aturan L’Hopital
Bukti:
i) Semua kejadian pada saat interval waktu yang sangat pendek ∆ mempunyai probabilitas yang sama apabila sebanyak pelangan berada dalam sistem antrian, maka probabilitas sebuah kedatangan terjadi antara dan + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = ∆ + ∆
merupakan laju kedatangan.
ii)Probabilitas tidak ada kedatangan antara dan + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = − ∆ + ∆
iii) Probabilitas ada satu kepergian antara dan + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = µ ∆ + ∆
µ merupakan laju pelayanan.
iv) Probabilitas tidak ada kepergian antara dan + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = − µ ∆ + ∆
v) Probalititas terjadi lebih dari satu kejadian pada selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga dapat diabaikan, dapat dinyatakan dengan
( + ∆ − ) > = ∆
vi) Proses kedatangan dan pelayanan merupakan kejadian yang saling bebas.
mempengaruhi kejadian pada interval waktu sesudahnya. Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrian sesuai asumsi-asumsi diatas ditunjukan pada Gambar 2.6 berikut.
Gambar 2.6 Proses Kedatangan dan Kepergian dalam Sistem Antrian
Berdasarkan Gambar 2.6 kemungkinan-kemungkinan kejadian saling asing yang dapat terjadi jika terdapat > pelanggan dalam sistem pada waktu +
∆ adalah sebagi berikut.
Kasus
Menurut asumsi (vi), kedatangan dan kepergian merupakan kejadian - kejadian yang saling bebas, sehingga peluang dari masing - masing kejadian tersebut adalah sebagai berikut:
1. Probabilitas kasus 1 = − ∆ + ∆ − µ ∆ + ∆
2. Probabilitas kasus 2 = + − + ∆ + ∆ µ + ∆ + ∆
3. Probabilitas kasus 3 = − ( − ∆ + ∆ )( − µ − ∆ + ∆ )
= − ( − ∆ + ∆ )
4. Probabilitas kasus 4 adalah ∆ , sesuai dengan asumsi v.
Karena kasus – kasus tersebut saling asing, maka probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem pada saat + ∆ dinyatakan dengan:
+ ∆ = (kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 3 atau kasus 4)
+ ∆ = − ∆ + ∆ − µ ∆ + ∆
+ + ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ )
+ − ( − ∆ + ∆ ) + ∆ (2.3)
+ ∆ = − ∆ − µ ∆ + + µ + ∆ +
− − ∆ + ∆ (2.4) Pada Persaman (2.4) dikurangkan pada ruas kanan dan kiri kemudian dibagi dengan ∆ maka diperoleh:
�� +∆ −��
∆ = − − + + µ + − − µ +
∆ ∆
(2.5)
Karena ∆ sangat kecil dan mendekati nol, maka berdasarkan Definisi 2.7 didapatkan:
lim
∆ →
+ ∆ − ∆
= lim∆ → [ − − + + µ + − − µ
+ ∆ ]∆
= − − + + µ + − − µ
Persamaan (2.6) merupakan dasar perhitungan probabilitas terdapat pelanggan pada proses kedatangan murni dan kepergian murni. Persamaan (2.6) disebut sebagai Persamaan Kolmogorov untuk .
Selanjutnya akan dibahas secara khusus probabilitas terdapat pelanggan untuk nilai = . Pada saat jumlah pelanggan dalam sistem adalah nol, maka probabilitas terjadinya nol kepergian pelanggan pada kasus 1 adalah satu.
Probabilitas terdapat pelanggan, dengan = dalam waktu +
∆ adalah
+ ∆ = (kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 4)
+ ∆ = Probabilitas Kasus 1 + Probabilitas Kasus 2 + Probabilitas Kasus 4
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ )
+ + ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ ) + ∆
nilai = maka diperoleh
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ )
+ ( − ∆ + ∆ )(µ ∆ + ∆ ) + ∆
= ( − ∆ + ∆ ) + µ ∆ + ∆
= − ∆ + µ ∆ + ∆
Pada persamaan di atas dikurangkan pada ruas kanan dan ruas kiri, kemudian dibagi dengan ∆ , maka diperoleh
+ ∆ − dignakan sebagai dasar untuk menentukan pluang bahwa ada pelanggan dengan dan = pada selang waktu , + ∆ , yang dapat diringkas sebagai
dimaksud dalam pembahasan ini adalah kedatangan murni, yaitu kedatangan tanpa disertai kepergian, maka laju kepergian µ = , ∀ (Dimyati, 1999:358-359).
Peluang terdapat kedatangan pada waktu dapat diperoleh dengan mensubtitusikan µ = dan = ke persamaan (2.6) dan persamaan (2.8) sehingga diperoleh sebagai berikut:
�
= − (2.9)
�� =
− − , > (2.10)
Definisi 2.8 (kreeyszig, 2003:33) Persamaan differensial orde satu dapat dinyatakan sebagai
= − � � �+ − � � �∫ � � �
Persamaan (2.9) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial linear orde satu dengan = = . Maka penyelesaiannya adalah
= −
= −
Peluang ada pelanggan > pada = adalah 0, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
= { , = , > (2.11)
dengan demikian
= − . =
dan diperoleh =
= − (2.12)
Jadi persamaan (2.12) merupakan solusi untuk persamaan (2.9).
Selanjutnya akan dicari solusi untuk persamaan (2.10) sebagai berikut. Berdasarkan Definisi (2.8), persamaan (2.10) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial linear orde satu dengan = dan = − . Maka penyelesaiannya adalah
= − + − ∫
−
= − + −
− (2.13) untuk nilai = diperoleh
Persamaan (2.12) disubstitusikan ke persamaan (2.14) diperoleh
= − + − ∫ −
= − + − (2.15)
berdasarkan persamaan (2.11) disubstitusikan ke persamaan (2.15) didapatkan
= − . + . . − . =
Sehingga diperoleh nilai = , maka persamaan (2.15) menjadi
= − (2.16)
Jadi persamaan (2.16) adalah solusi dari persamaan (2.10) untuk = .
Selanjutnya dicari solusi persamaan (2.10) untuk = sebagai berikut
untuk = persamaan (2.13) menjadi
= − + − (2.17)
Persamaan (2.16) disubstitusikan ke persamaan (2.17) didapatkan
= − + − ∫ −
= − + − ∫
Berdasarkan persamaan (2.11) maka dari persamaan (2.18) didapatkan
= − . + . − . =
Sehingga diperoleh nilai = , maka persamaan (2.18) menjadi
= . − + −
= − (2.19)
Jadi persamaan (2.19) adalah solusi dari persamaan (2.10) untuk =
Dari persamaan (2.12), (2.16), dan (2.19) dapat disimpulkan bahwa solusi umum dari persamaan (2.9) dan persamaan (2.10) adalah
= !� − (2.20)
Bukti bahwa persamaan (2.20) adalah solusi umum dari persamaan (2.9) dan persamaan (2.10) adalah sebagai berikut
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika
1. Persamaan (2.16) yaitu = − membuktikan bahwa persamaan (2.20) merupakan penyelesaian persamaan (2.10) unuk =
2. Diasumsikan persamaan (2.20) merupakan penyelesaian persamaan (2.10) untuk
= , maka = �
3. Akan dibuktikan bahwa persamaan (2.20) merupakan penyelesaian dari persamaan (2.19) untuk = +
Untuk = + , persamaan (2.10) menjadi
��+ = −
+ (2.21)
asumsi 2 disubstitusikan ke persamaan (2.21) sehingga menjadi
��+ = + �
! − − + (2.22) persamaan (2.22) merupakan persamaan differensial orde satu dengan = dan = + �
! − , sehingga penyelesaiannya adalah
+ = − + − ∫ + ! − berdasarkan persamaan (2.11) maka persamaan (2.23) didapatkan
+ = − . + .
+
+ ! − . =
sehingga diperoleh nilai = ,maka persamaan (2.23) menjadi
+ =
�+
persamaan (2.24) merupakan penyelesaian dari persamaan (2.10) untuk = + dan memenuhi persamaan (2.20).
Jadi, = �
! − merupakan solusi umum dari persamaan (2.9) dan persamaan (2.10). Dengan demikian, berdasarkan Definisi (2.2) dapat disimpulkan bahwa kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson.
Teorema 2.2 (Bronson, 1966:305) Jika kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson maka waktu antar kedatangan pelanggan berdistribusi Eksponensial.
Bukti:
Berdasarkan uraian sebelumnya, diketahui bahwa kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson. > adalah waktu antara ( − ) kedatangan sampai kedatangan. Barisan { , = , , , …} merupakan barisan waktu antar kedatangan yang saling asing dan saling bebas.
Ambil yang merupakan waktu antara tidak ada pelanggan dalam sistem dan ketika ada kedatangan pertama. Akan ditunjukkan bahwa berdistribusi Eksponensial.
Ambil < , maka banyaknya kedatangan pada waktu adalah nol, artinya
> = (tidak ada kedatangan selama waktu t )
berdasarkan prsamaan (2.12), = − dengan menyatakan laju kedatangan rata-rata, maka fungsi distribusi dari dengan adalah
� =
= − >
= −
= − − (2.25)
berdasarkan Definisi (2.1), persamaan (2.25) merupakan distribusi kumulatif dari dstribusi Ekspnensial yang secara umum ditulis
� = { −, <− ,
Sehingga fungsi densitas peluang dari untuk adalah
= � = − (2.26)
F.Distribusi Kepergian
Distribusi kepergian berhubungan dengan peluang terdapat kepergian pelanggan dalam suatu sistem antrian pada interval waktu tertentu. Kepergian yang dimaksud dalam pembahasan ini adalah kepergian murni, yaitu kepergian yang tanpa disertai kedatangan, sehingga laju kedatangan = , ∀ .
Diasumsikan bahwa laju kepergian tidak tergantung pada banyaknya pelanggan yang berada dalam sistem, sehingga µ = µ, ∀ . Peluang terdapat kepergian selama waktu dapat diperoleh dengan mensubsitusikan = dan µ = µ ke Persamaan (2.6) dan Persamaan (2.8) sehingga diperoleh
�
= µ + (2.27)
�� = −µ + µ
+ , > (2.28)
Akan ditunjukkan bahwa kepergian pelanggan berdistribusi Poisson. Jika jumlah pelanggan dalam sistem antrian selama adalah = �, maka + = ,
� sehinggan untuk � berlaku
�� = −µ (2.29)
Sedangkan untuk < < � berlaku
�� = −µ + µ
berdasarkan Definisi (2.8), persamaan (2.9) dan persamaan (2.30) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial orde satu. Sehingga penyelesaian persamaan (2.29) adalah
= −µ , �
Diasumsikan bahwa proses kepergian murni dimulai ( = ) pada saat sistem memiliki = � pelanggan dalam sistem. Sehingga peluang terdapat � pelanggan dalam sistem pada kondisi awal ( = ) dinotasikan � adalah 1. Jika <
� maka � = . Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut
� = { ,, = �< � (2.31)
dengan demikian, � = −µ. =
maka diperoleh nilai = , oleh karena itu diperoleh
= −µ (2.32)
Selanjutya akan dicari solusi untuk persamaan (2.30) sebagai berikut, penyelesaian dari persamaan (2.30) adalah
= −µ + µ −µ µ
+ , < < � (2.33) untuk = � − maka
subsitusi persamaan (2.32) ke persamaan (2.34) sehingga diperoleh
�− = −µ + µ −µ µ −µ
= −µ + µ −µ (2.35) berdasarkan persamaan (2.31), maka
�− = −µ. + µ. . −µ. = sehingga = , maka persamaan (2.35) menjadi
�− = µ −µ (2.36)
untuk = � − , persamaan (2.33) menjadi
�− = −µ + µ −µ µ �− (2.37) persamaan (2.36) disubstitudikan ke persamaan (2.37) sehingga diperoleh
�− = −µ + µ −µ µ µ −µ
= −µ + µ −µ µ
= −µ + µ −µ (2.38)
berdasarkan persamaan (2.31) maka
�− = −µ. + µ. −µ. =
sehingga diperoleh = , maka persamaan (2.38) menjadi
= µ!� −µ
Pembuktiannya analog dengan pembuktian distribusi kedatangan yang telah dibahas pada subbab sebelumnya. Jadi kepergian pelanggan juga berdistribusi Poisson, dengan parameter µ.
Teorema 2.3 (Wagner, 1978 : 850) Jika kepergian pelanggan berdistribusi Poisson maka waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
Bukti :
Misal keadaan awal suatu sistem antrian sebanyak = � pelanggan. Ambil sebagai waktu pelayanan pertama, dengan > menunjukkan waktu pelayanan kepada pelanggan ke sehingga barisan { } dengan = , , , … merupakan barisan waktu pelayanan yang saling asing dan saling bebas.
Akan ditunjukkan bahwa berdistribusi Eksponensial. Ambil < , maka jumlah kepergian pada waktu adalah nol, artinya
� > = (terdapat � pelanggan pada waktu )
= �
berdasarkan persamaan (2.32), � = −µ dengan µ menyatakan laju pelayanan rata - rata, maka fungsi distribusi kumulatif dari dengan adalah
� =
= − >
= − �
Berdasarkan Definisi (2.1), persamaan (2.40) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Eksponensial yang secara umum ditulis
� = { − , <−µ ,
sehingga fungsi densitas peluang dari untuk adalah
= � = µ −µ (2.41)
Berdasarkan Definisi (2.1), merupakan variabel acak yang berdistribusi Eksponensial dengan parameter µ. Sesuai dengan asumsi bahwa barisan waktu pelayanan pada sistem antrian adalah saling bebas, maka pembuktian diatas juga berlaku untuk { } dengan > . Jadi, terbukti bahwa waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
G.Proses Kedatangan dan Kepergian Steady State
Kondisi steady state yaitu keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah dilalui. Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady state maka peluang terdapat pelanggan dalam sistem pada waktu
tidak tergantung pada waktu (Ecker dan Kupferschmid, 1988:394). Kondisi steady state terjadi ketika �� = dan lim
→∞ = sehingga
= untuk semua , artinya tidak tergantung pada waktu.
steady state, substitusikan �� = dan = pada persamaan (2.6) dan Persamaan (2.8), sehingga diperoleh persamaan kesetimbangan sebagai berikut
= − + µ + µ + + + − − , (2.42)
= µ − , = (2.43)
Atau
+ = �+µ�µ�+ ��−µ�−�+ − , > (2.44)
=µ , = (2.45)
akan dicari penyelesaian umum dari persamaan (2.42) dan persamaan (2.43) untuk
= , maka persamaan (2.44) menjadi
= +µ �µ −µ (2.46)
selanjutnya persamaan (2.45) disubtitusikan ke persamaan (2.46), sehingga diperoleh
= + µ µ µ − µ
= µ µ+ µ − µ
=µ µ
untuk = diperoleh
selanjutnya akan dibuktikan bahwa penyelesaian umum dari persamaan (2.42) dan Bukti dengan induksi matematika:
1. Untuk = maka
= µ
Untuk = maka
= µ µ
2. Diasumsikan bahwa persamaan (2.47) berlaku untuk = maka
= µ µ− − …
− … µ
3. Akan dibuktikan persamaan (2.47) berlaku untuk = +
= �+ � �− …
µ�+ µ�+ µ�…µ (2.48) Jadi terbukti bahwa persamaan (2.47) berlaku untuk = + . Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan (2.47) menyatakan peluang terdapat pelanggan dalam keadaan steady state , > .
H.Ukuran Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha (1997:189-190), ukuran keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas steady state diketahui. Ukuran - ukuran keefektifan suatu sistem tersebut antara lain:
1. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian (� ) 2. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrian (� )
3. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian ( ) 4. Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian ( )
Sebelum membahas lebih lanjut, akan diuraikan tiga Definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu sistem.
Definisi 2.9 (Taha, 1993:596) Laju kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata - rata dalam waktu yang panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan dan dinyatakan dengan
= ∑∞
= (2.49)
merupakan laju kedatangan jika ada pelanggan dalam sistem, jika laju kedatangan konstan untuk semua , maka cukup ditulis dengan .
Definisi 2.10 (Dimyati, 2003:373) Laju pelayanan rata - rata untuk seluruh pelayan dalam sistem antrian adalah laju pelayanan rata - rata diamana pelanggan yang sudah mendapat pelayanan meninggalkan sistem antrian. Laju pelayanan rata - rata untuk seluruh pelayan dinyatakan dengan µ.
Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian (� ) merupakan jumlah dari perkalian keseluruhan pelanggan dalam sistem dengan peluang terdapat
pelanggan (Ecker, 1988:390), dinyatakan dengan
� = ∑∞
= (2.50)
Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian (� ) merupakan jumlah dari perkalian pelanggan dalam antrian dengan peluang terdapat pelanggan (Hiller & Lieberman, 2011:852), dinyatakan dengan
� = ∑∞ −
Apabila merupakan waktu menunggu pelanggan dalam sistem antrian dan merupakan waktu menunggu pelanggan dalam antrian, maka hubungan , , � , � , dinyatakan dengan
� = (2.52)
� = (2.53)
Persamaan (2.52) dan (2.53) dikenal dengan formula Little Law, diperkenalkan pertama kali oleh John D.C Little pada tahun1961 (Gross dan Harris, 1998:11).
I. Model Antrian M/M/1/N
Model antrian M/M/1/N merupakan variasi dari model antrian pelayanan saluran tunggal M/M/1, dimana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum � individu . Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani. Bila individu mencapai � atau lebih, individu yang datang berikutnya akan ditolak atau meninggalkan antrian.
tempat lain . Kecuali batas jumlah dalam sistem, asumsi yang mendasari model ini, sama dengan yang mendasari model M/M/1.
Adapun sifat dari sistem antrian M/M/1/N adalah sebagai berikut; a. Sumber kedatangan terdistribusi Poisson ( Markov)
b. Distribusi service time; eksponensial negative (Markov) c. Hanya ada satu pelayanan
d. Disiplin antrian : FIFO
e. Kapasitas terbatas untuk � pelanggan dalam sistem
Adapun pemodelan dari sistem antrian dengan pelayanan tunggal yakni seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.7 dibawah ini :
Gambar 2.7 Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Pada Gambar 2.7 dapat dilihat sebuah model antrian pelayanan tunggal (single server). Paket - paket tiba secara acak, kemudian paket antri di dalam buffer sebelum dilayani oleh server. Setelah selesai dilayani, maka paket meninggalkan sistem antrian.
Asusmsi dari model M/M/1/N
2. Ada satu pelayanan dan waktu pelayanan terdistribusi Eksponensial dengan parameter µ.
3. Disiplin antrian First In First Out (FIFO) 4. Kapasitas sistem terbatas, yaitu �
Menurut Taha (1997:197), untuk mengukur kinerja dari sistem ini dapat menggunakan ukuran - ukuran keefektifan sistem sebagai berikut :
1. Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem
= µ � (2.54) 2. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian (� )
� = 3. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrian (� )
� = 4. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian ( )
= ��
−�� (2.58)
5. Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian ( )
= �−�
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas tentang penurunan sistem persamaan lengkap untuk sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian. Sistem persamaan lengkap tersebut terdiri dari persamaan probabilitas sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian, nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian (� ), nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrian (� ), nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian ( ) dan nilai harapan waktu tunggu dalam antrian ( ).
A. Probabilitas Model Antrian M/M/1/N dengan Retensi Pelanggan yang Membatalkan Antrian
Langkah pertama yang dilakukan dalam menentukan karakteristik model antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian adalah menentukan probabilitas kejadian terdapat pelanggan dalam sistem .
Sebelumnya akan dijelaskan terlebih dahulu notasi-notasi yang digunakan untuk menentukan probabilitas kejadian terdapat pelanggan dalam sistem, yaitu:
: laju kedatangan jika ada pelanggan dalam sistem, jika laju kedatangan konstan untuk semua maka cukup ditulis dengan
� : reneging times (dalam waktu: jam, menit, atau detik)
: probabilitas dari reneging
∆ : probabilitas terjadi lebih dari 1 kejadian pada kondisi saat sampai + ∆ yang bernilai sangat kecil, sehingga ∆ dapat diabaikan.
Kemudian ditentukan bebarapa probabilitas-probabilitas sebagai berikut:
1. Probabilitas ada satu kedatangan dari t sampai + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = ∆ + ∆ (3.1)
2. Probabilitas tidak ada kedatangan dari sampai + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = − ∆ + ∆ (3.2)
3. Probabilitas ada satu kepergian dari sampai + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = µ ∆ + ∆ (3.3)
4. Probabilitas tidak ada kepergian dari sampai + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = − µ ∆ + ∆ (3.4)
5. Probabilitas ada satu customer reneging dari sampai + ∆ , dinyatakan dengan
( + ∆ − ) = = � ∆ + ∆ (3.5)
6. Probabilitas tidak ada customer reneging dari sampai + ∆ , dinyatakan dengan
7. Probalititas terjadi lebih dari satu kejadian pada selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga dapat diabaikan, dapat dinyatakan dengan
( + ∆ − ) > = ∆ (3.7)
Dari probabilitas-probabilitas yang telah didapatkan, probabilitas-probabilitas tersebut dapat digambarkan dalam bentuk state flow sebagai berikut:
Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian dalam sistem antrian M/M/1/N
Berdasarkan gambar 3.1 terdapat 3 kondisi yang berbeda pada state flow tersebut sehingga kemungkinan-kemungkinan kejadian saling bebas yang dapat terjadi jika terdapat pelanggan dalam sistem pada waktu + ∆ dapat dibagi menjadi 3 kasus kemungkinan kejadian, yaitu :
1. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan dalam sistem untuk � − adalah :
a. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah :
1. Tidak ada kedatangan, tidak ada kepergian, dan tidak ada reneging 2. Ada kedatangan, ada kepergian, dan tidak ada reneging
3. Ada kedatangan, tidak ada kepergian, dan ada reneging
b. Kemungkinan kejadian terdapat + pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah :
1. Tidak ada kedatangan, ada kepergian, dan tidak ada reneging 2. Tidak ada kedatangan, tidak ada keperian, dan ada reneging
c. Kemungkinan kejadian terdapat + pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah : tidak ada kedatangan, ada kepergian, dan ada reneging
d. Kemungkinan kejadian terdapat − pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah : ada kedatangan, tidak ada kepergian, dan tidak ada reneging.
Dari kemungkinan-kemungkinan yang telah diperoleh, kemudian disajikan kedalam tabel sebagai berikut ini.
Tabel 3.1 Kemungkinan Kejadian Terdapat Pelanggan dalam Sistem pada Saat +
Kasus
Menurut asumsi (vi) mengacu dari bab 2, kedatangan dan kepergian merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, sehingga kejadian-kejadian pada interval waktu tertentu tidak mempengaruhi kejadian ada interval waktu sesudahnya maka peluangdari masing-masing kejadian tersebut adalah sebagai berikut:
1. Probabilitas kasus 1 =
( − ∆ + ∆ )( − µ ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ ) (3.8) 2. Probablitas kasus 2 =
( ∆ + ∆ )(µ ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ ) = ∆ (3.9) 3. Probabilitas kasus 3 =
4. Probabilitas kasus 4 =
+ ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ )
(3.11)
5. Probabilitas kasus 5 =
+ ( − + ∆ + ∆ )( − µ + ∆ + ∆ )( � ∆ + ∆ ) (3.12) 6. Probabilitas kasus 6 =
+ ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ )( � ∆ + ∆ ) = ∆ (3.13)
7. Probabilitas kasus 7 =
− ( − ∆ + ∆ )( − µ − ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ )
(3.14)
Maka probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem dengan � − pada saat
+ ∆ dinyatakan dengan:
+ ∆ = (kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 3 atau kasus 4 atau kasus 5 atau kasus 6 atau kasus 7)
Karena kasus-kasus tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan atau saling asing, maka probabilitasnya adalah:
Substitusi persamaan (3.8), (3.9), (3.10), (3.11), (3.12), (3.13) dan (3.14) ke persamaan (3.15), sehingga didapatkan:
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ )( − µ ∆ + ∆ )( − − � ∆
+ ∆ ) + ∆ + ∆
+ + ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ )( − − � ∆
+ ∆ )
+ + ( − + ∆ + ∆ )( − µ + ∆ + ∆ )( � ∆
+ ∆ ) + ∆
+ − ( − ∆ + ∆ )( − µ − ∆ + ∆ )( − − � ∆
+ ∆ )
+ ∆ = − ∆ + µ ∆ ( − − � ∆ + ∆ )
+ + µ + ∆ ( − − � ∆ + ∆ )
+ + − ∆ + µ ∆ ( � ∆ + ∆ )
+ − − ∆ ( − − � ∆ + ∆ ) + ∆
+ ∆ = − ∆ − µ ∆ − − � ∆ + + µ + ∆
+ + � ∆ + − − ∆ + ∆
+ ∆ = − ∆ − µ ∆ − − � ∆ +
Pada persamaan (3.16) dikurangkan pada ruas kiri dan kanan kemudian dibagi
Karena ∆ sangat kecil dan mendekati nol, maka berdasarkan Definisi 2.7 didapatkan:
lim 2. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan dalam sistem pada saat = adalah: a. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan pada waktu dan terdapat
pelanggan pada waktu + ∆ adalah :
2. Ada kedatangan, ada kepergian dan tidak ada reneging
b. Kemungkinan kejadian terdapat + pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah :
1. Tidak ada kedatangan, ada kepergian dan tidak ada reneging 2. Tidak ada kedatangan,tidak ada kepergian, dan ada reneging
Dari kemungkinan-kemungkinan yang telah diperoleh, kemudian disajikan kedalam tabel sebagai berikut ini.
Tabel 3.2 Kemungkina Kejadian Terdapat Pelanggan dalam Sistem pada Saat +
∆ dengan =
terjadinya nol kepergian pada kasus 1 dan kasus 4 serta nol reneging pada kasus 1, kasus 2 dan kasus 3 adalah satu.
Menurut asumsi (vi) mengacu dari bab 2, kedatangan dan kepergian merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, sehingga kejadian-kejadian pada interval waktu tertentu tidak mempengaruhi kejadian ada interval waktu sesudahnya maka peluangdari masing-masing kejadian tersebut adalah sebagai berikut:
1. Probabilitas kasus 1 =
( − ∆ + ∆ ) (3.19)
2. Probablitas kasus 2 =
( ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ ) = ∆ (3.20)
3. Probabilitas kasus 3 =
+ ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ ) (3.21)
4. Probabilitas kasus 4 =
+ ( − + ∆ + ∆ ) ( � ∆ + ∆ ) (3.22)
Probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem dengan = pada saat + ∆ adalah :
+ ∆ = (kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 3 atau kasus 4)
+ ∆ = (Probabilitas kasus 1 + Probabilitas kasus 2 + Probabilitas kasus 3 + Probabilitas kasus 4) (3.23)
Substitusikan persamaan (3.19), (3.20), (3.21), dan (3.22) ke persamaan (3.23) sehingga didapatkan :
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ ) + ∆
+ + ( − + ∆ + ∆ )(µ + ∆ + ∆ )
+ + ( − + ∆ + ∆ ) ( � ∆ + ∆ )
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ ) + + µ + ∆ + ∆ +
+ ( � ∆ + ∆ ) + ∆ (3.24)
Substitusi = pada persamaan (3.24), diperoleh :
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ ) + µ ∆ + ∆
+ ( � ∆ + ∆ ) + ∆
+ ∆ = ( − ∆ + ∆ ) + µ ∆ + ∆ + ∆
+ ∆ = − ∆ + µ ∆ + ∆ (3.25)
Pada persamaan (3.25) dikurangkan pada ruas kiri dan kanan kemudian dibagi dengan ∆ maka diperoleh:
� +∆ −�
∆ = − + µ (3.26)
Karena ∆ sangat kecil dan mendakati nol, maka berdasarkan Definisi 2.7 didapatkan:
lim
∆ →
+ ∆ −
∆ = lim∆ → (− + µ )
�
= − + µ (3.27)
3. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan dalam sistem pada saat = � adalah: a. Kemungkinan kejadian terdapat pelanggan pada waktu dan terdapat
pelanggan pada waktu + ∆ adalah :
1. Tidak ada kedatangan, tidak ada kepergian dan tidak ada reneging 2. Ada kedatangan, ada kepergian dan tidak ada reneging
3. Ada kedatangan, tidak ada kepergian, dan ada reneging
b. Kemungkinan kejadian terdapat − pelanggan pada waktu dan terdapat pelanggan pada waktu + ∆ adalah : tidak ada kedatangan, ada kepergian dan tidak ada reneging.
Tabel 3.3 Kemungkinan Kejadian terdapat Pelanggan dalam Sistem pada Saat +
Selanjutnya akan dibahas secara khusus probabilitas terdapat pelanggan untuk nilai = �. Pada saat jumlah pelanggan dalam sistem adalah N, maka probabilitas terjadinya nol kedatangan pada kasus 1 adalah satu.
Menurut asumsi (vi) mengacu dari bab 2, kedatangan dan kepergian merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, sehingga kejadian-kejadian pada interval waktu tertentu tidak mempengaruhi kejadian ada interval waktu sesudahnya maka peluangdari masing-masing kejadian tersebut adalah sebagai berikut:
1. Probabilitas kasus 1 =
2. Probablitas kasus 2 =
( ∆ + ∆ )(µ ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ ) = ∆
(3.29) 3. Probabilitas kasus 3 =
( ∆ + ∆ )( − µ ∆ + ∆ )( � ∆ + ∆ ) = ∆
(3.30) 4. Probabilitas kasus 4 =
− ( − ∆ + ∆ )( − µ − ∆ + ∆ ) − − � ∆ + ∆
(3.31) Probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem dengan = � dalam waktu +
∆ adalah:
+ ∆ = (kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 3 atau kasus 4)
Karena kasus-kasus tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan atau saling asing, maka probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem dengan = � pada saat + ∆ dinyatakan dengan:
+ ∆ = (Probabilitas kasus 1 + Probabilitas kasus 2 + Probabilitas kasus 3 + Probabilitas kasus 4) (3.32)
+ ∆ = ( − µ ∆ + ∆ )( − − � ∆ + ∆ ) + ∆
+ ∆ + − ( − ∆ + ∆ )( − µ − ∆ + ∆ )
− − � ∆ + ∆
+ ∆ = − µ ∆ − − � ∆ + − ∆ + ∆
+ ∆ = − µ ∆ − ( − � ∆ ) + ∆ − +
∆ (3.33)
Pada persamaan (3.33) dikurangkan pada ruas kiri dan kanan kemudian dibagi dengan ∆ maka diperoleh:
+ ∆ − = − µ ∆ − ( − � ∆ ) + ∆ −
�� +∆ −��
∆ = − µ − ( − � ) + − (3.34) Karena ∆ sangat kecil dan mendakati nol, maka berdasarkan Definisi 2.7 didapatkan:
lim
∆ →
+ ∆ −
∆ = lim∆ → − µ − ( − � ) + −
= − µ − ( − � ) + −
= − − µ − − �
Substitusi nilai = � maka diperoleh : �� =
Jadi dari ke tiga kasus kemungkinan-kemungkinan kejadian saling asing yang dapat terjadi jika terdapat pelanggan dalam sistem pada waktu + ∆ diperoleh tiga sistem persamaan diferensial, yaitu persamaan (3.11), (3.20), dan (3.28) sebagai berikut :
1. �� = − + µ + − � + µ + + � + +
− − ; � −
2. � = − + µ ; =
3. �� = � �− − µ�− � − � � ; = �
Dari ke tiga persamaan diferensial tersebut, karena pada kasus ini laju kedatangan dan laju pelayanan µ konstan untuk semua maka dapat ditulis menjadi :
1. �� = − + µ + − � + µ + � + + − ;
� − (3.36)
2. � = µ − ; = (3.37)
3. �� = �− − µ − � − � � ; = � (3.38)
Dalam kondisi steady-state lim
→∞ = , oleh karena itu
�� = untuk →
substitusikan �� = dan = ke persamaan (3.36), (3.37), dan (3.38) sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
1. = − + µ + − � + µ + � + + − ; � −
(3.39)
2. = µ − ; = (3.40)
3. = �− − µ − � − � � ; = � (3.41)
Atau
1. + µ + − � = µ + � + + − (3.42)
2. = µ
=µ (3.43)
3. µ − � − � �= �−
� = µ− �− � �− (3.44)
Untuk mencari solusi rekursif dari kondisi steady-state, dilakukan perhitungan sebagai berikut:
substitusi = pada persamaan (3.42), sehingga
[ + µ + − � ] = µ + � + + −
Jadi,
µ + � = + µ −
µ + � = + µ − (3.45)
Dengan menggunakan persamaan (3.40) yaitu µ − = , persamaan (3.45) menjadi
µ + � = (3.46)
Kemudian persamaan (3.46) dibagi dengan µ + � menjadi
= µ+�� (3.47)
Substitusikan persamaan (3.43) pada persamaan (3.47) sehingga diperoleh
= µ + �µ
= (µ) µ + �
= (µ + � )( µ + � )
= µ+ − � µ+ − � (4.48)
Dengan menggunakan notasi sigma, maka persamaan (3.41) menjadi,
Substitusi = pada persamaan (3.42), sehingga
[ + µ + − � ] = µ + � + + −
Jadi,
µ + � = [ + µ + � ] −
µ + � = + µ + � − (3.50)
Dengan menggunakan persamaan (3.46) yaitu µ + � = , persamaan (3.50) menjadi
µ + � = + −
sehingga
µ + � = (3.51)
Kemudian persamaan (3.44) dibagi dengan µ + � maka menjadi
= µ+ �� (3.52)
Substitusi persamaan (3.49) pada persamaan (3.52) sehingga
= µ+ � ∏ = µ+ − � (3.53)
Dengan menggunakan notasi sigma, maka persamaan (3.53) menjadi,
Substitusi = pada persamaan (3.35), sehingga
[ + µ + − � ] = µ + � + + −
Jadi,
µ + � = [ + µ + � ] −
µ + � = + µ + � − (3.55)
Dengan menggunakan persamaan (3.44) yaitu µ + � = , persamaan (3.48) menjadi
µ + � = + −
Sehingga
µ + � = (3.56)
Kemudian persamaan (3.56) dibagi dengan µ + � maka menjadi
= µ+ �� (3.57)
Substitusi persamaan (3.54) pada persamaan (3.57) sehingga
= µ+ � ∏ = µ+ − � (3.58)
Dengan menggunakan notasi sigma, maka persamaan (3.58) menjadi,
Untuk � − dengan menggunakan cara yang sama, maka diperoleh:
= ∏ = µ+ − � ; � − (3.60)
Untuk = � , substitusikan persamaan (3.60) pada persamaan (3.44)
�= [µ + � − � ]�−
Jadi,
� =[µ+ �− � ] ∏�−= µ+ − � (3.61)
Dengan menggunakan notasi sigma, maka persamaan (3.61) menjadi,
�= ∏�= µ+ − � (3.62)
Selanjutnya, akan dicari probabilitas nol pelanggan dalam sistem. Jumlah kumpulan dari berbagai kemungkinan terjadinya probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem adalah sama dengan 1. Dalam kalimat matematika ditulis:
∑� =
= (3.63) Oleh karena itu dapat dicari probabilitas nol pelanggan dalam sistem, yaitu
+ ∑� =
= (3.64) Substitusi persamaan persamaan (3.60) ke persamaan (3.64) sehingga
+ ∑� ∏ = µ+ − � =
Dengan menggunakan operasi pemfaktoran pada persamaan (3.65) menjadi
[ + ∑� ∏ = µ+ − �
= ] = (3.66)
Kemudian persamaan (3.66) dibagi dengan [ + ∑ ∏
µ+ − �
Jadi persamaan rekursif kondisi steady-state dari model adalah:
= ∏ µ + − �
B. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian M/M/1/N dengan Retensi Pelanggan yang Membatalkan Antrian
Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem (� mempunyai hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri dan berbagai kemungkinan
Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem � menggunakan persamaan umum nilai harapan berdasarkan persamaan (2.50)
� = ∑
�
=
Substitusi persamaan (3.60) pada persamaan (2.50) sehingga
� = ∑�
= ∏ = µ+ − � (3.68)
Rata-rata waktu tunggu dalam sistem dipengaruhi jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem.
Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula berdasarkan persamaan (2.52) sebagai berikut:
� =
= �� (3.69)
Substitusi persamaan (3.68) ke persamaan (3.69) sehingga diperoleh
Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrian menggunakan little formula sebagai berikut:
= −µ (3.71)
Substitusi persamaan (3.70) pada persamaan (3.71) sehingga diperoleh
= ∑��= � ∏ lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrian.
Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula berdasarkan persamaan (2.53) sebagai berikut:
� =
Substitusi persamaan (3.72) pada persamaan (2.53) sehingga diperoleh
� = ∑��= � ∏
Dengan operasi perkalian biasa pada persamaan (3.73) sehingga diperoleh nilai � sebagai berikut
� = ∑�
C. SIMULASI
Simulasi yang dilakukan adalah membandingkan hasil perhitungan probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem serta perhitungan ukuran keefektifan pada sistem antrian M/M/1/N dengan sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian.
Contoh kasus sistem antrian M/M/1/N
Dalam sebuah sarana jasa pembersihan mobil, informasi yang dikumpulkan menunjukan bahwa kedatangan mobil terdistribusi Poisson dengan rata-rata 2 mobil perjam. Waktu untuk mencuci mobil bervariasi, tetapi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 20 menit per mobil. Sarana pelayanan hanya dapat menangani satu mobil setiap saat serta tempat pakir yang tersedia hanya dapat memuat sebanyak 9 mobil. Tentukan ukuran keefektifan dari sistem antrian sarana jasa pembersihan mobil tersebut jika diketahui probabilitas dari retention adalah sebesar
. dan reneging times . jam.
Diketahui :
= mobil/jam
µ= menit/mobil , µ = mobil/jam
Kapasitas sistem (� = mobil
Probabilitas dari reneging = − = .
Reneging times � = . jam
Ditanyakan:
1. Probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem
2. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem � 3. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian � 4. Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam sistem 5. Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam antrian
Jawab:
A. Menentukan probabilitas dan ukuran keefektifan sistem antrian M/M/1/N sederhana:
1. Menentuka probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem
= (µ)�
dengan
= − µ
− µ �+
= −
− +
= − .− . = .
untuk = � = , maka nilai
= ( )
= . .
= .
Jadi probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem adalah = µ
�
dan probabilitas terdapat 10 pelanggan dalam sistem adalah sebesar . .
2. Menentukan nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem �
� = µ
− � + µ �+ � µ �+
− µ − µ �+
� =
− + + +
− − +
� =
− +
� = .. = .
Jadi nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem adalah sebesar . pelanggan.
3. Menentukan nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian �
� = µ
− � + µ �+ � µ �+
− µ − µ �+
− −µ �
� = � − −µ �
� = . − − .
� = . − . = .
Jadi nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian adalah sebesar . pelanggan.
4. Menentukan nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam sistem
= �−
�
= − .. = .
Jadi nilai harapan waktu tunggu dalam sistem adalah sebesar . jam. 5. Menentukan nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam antrian
= �−
�
Jadi nilai harapan waktu tunggu dalam antrian adalah sebesar . jam.
B. Menentukan probabilitas dan ukuran keefektifan sistem antrian M/M/1/N dengan reneging customers:
1. Menentukan probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem
= ∏ µ + − �
=
; = , , , … �
dengan
=
+ ∑� ∏ = µ + − �
=
untuk � = , maka nilai _
=
+ ∑ = ∏ = + − . .
dengan menggunakan Microsoft exel diperoleh
= .
untuk = � = , maka nilai
= ∏ + − . .
=
= . .
Jadi = ∏
µ+ − �
= dan probabilitas terdapat 10 pelanggan dalam sistem adalah sebesar . .
2. Menentukan nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem �
� = ∑
jadi diperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem adalah sebesar
. pelanggan.
3. Menentukan nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian �
� = ∑
�
= (∏ µ + − �= ) − µ
� = . −
� = . − . = .
jadi nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian adalah sebesar . pelanggan.
4. Menentukan nilai harapan waktu tunggu dalam sistem
=∑
�
= (∏ = µ + − � )
= �
= . = .
Jadi nilai harapan waktu tunggu dalam sistem adalah sebesar . jam. 5. Menentukan nilai harapan waktu tunggu dalam antrian
=∑
�
= (∏ = µ + − � )
− µ
= − µ
= . − = .
Tabel 3.4 Perbandingan Probabilitas dan Ukuran-ukuran Keefektifan Sistem Antrian M/M/1/N dengan Sistem Antrian M/M/1/N dengan Retensi Pelanggan yang
Membatalkan Antrian
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis tentang sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian, diperoleh persamaan probabilitas dan ukuran-ukuran keefektifan dari sistem antrian dengan langkah-langkah penyusunannya yaitu sebagai berikut :
1. Langkah-langkah bagaimana menyusun persamaan probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian, yaitu:
1. Analisis state flow proses kedatangan dan kepergian dalam sistem antrian 2. state flow dibagi menjadi beberapa kasus kemungkinan kejadian yang terjadi 3. Pada setiap kasus kemungkinan kejadian yang terjadi, digunakan asumsi
birth-death untuk mendapatkan sistem persamaan differensial
4. Sistem persamaan differesian tersebut dioperasikan ke dalam kondisi steady state sistem antrian untuk memperoleh persamaan probabilitas terdapat
pelanggan dalam sistem antrian
2. Persamaan Probabilitas terdapat pelanggan dalam sistem
3. Persamaan Ukuran-ukuran Keefektifan Sistem
a. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian (� )
� = ∑
�
= (∏ µ + − �=
)
b. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrian (� )
� = ∑
�
= (∏ µ + − �= ) − µ
c. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian ( )
=∑
�
= (∏ = µ + − � )
d. Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian ( )
=∑
�
= (∏ = µ + − � )
4. Perbandingan Probabilitas dan Ukuran-ukuran Keefektifan Sistem Antrian M/M/1/N dengan Sistem Antrian M/M/1/N dengan Retensi Pelanggan yang Membatalkan Antrian
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa adanya reneging pada sistem antrian berpengaruh terhadap ukuran sistem yang diharapkan dan ukuran-ukuran keefektifan pada sistem antrian M/M/1/N lebih tinggi daripada ukuran-ukuran keefektifan sistem antrian M/M/1/N dengan retensi pelanggan yang membatalkan antrian.
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Bain, L, & Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics. California: Wadsworth Publishing Company.
Bartle, R. G, & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.
Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research. (Terjemahan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga.
Cooper, R. B. (1981). Introduction to Queuing Theory. 2nd. ed. New York: Eleseveir North Holland, Inc.
Dimyati, A, & Tarliyah, T. (1999). Operation Research “Model-Model Pengambilan
Keputusan”. Bandung: PT Sinar Baru Algesindo.
Djauhari, M. (1997). Statistika Matematika. Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB.
Ecker, J, & Kupferschimd, M. (1988). Introduction to Operation Research. New York: John Wiley & Sons.
Gross, D, & Harris, C. M. (1998). Fundamental of Queuing Theory 3rd. New York: John Wiley & Sons.
Hiller,F.S, & Lieberman, G.J. (2005). Introduction to Operations Research. New York: McGraw-Hill.
Hogg, R. V, & Tanis, E. A. (2001). Probability and Statistical Inference. 6th. ed. New Jersey: Prentice Hall International, Inc.
Kreeyszig, E. (2003). Advance Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons
Kumar, R, & Sharma, S.K. (2012). M/M/1/N Queuing System with Retention of Reneged Customers. Journal Pak.j.stat.oper.res. (Volume 8 Nomor 4 Tahun 2012). Hlm 859-866.
Ross, S. M. (1983). Stochastic Processes. New York: John Wiley & Sons. Sinalungga, S. (2008). Pengantar Teknik Industri. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Taha, A. H. (2007). Operations Research an Introduction. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Varberg, D, & Purcell, E. J. (2001). Kalkulus Jilid 1. (Terjemahan 1 Nyoman Susila). Batam: Interaraksa.
Wagner, H. (1972). Principles of Operations Research “With Applications to Managerial Decisions. London: Prentice-Hall.
Winston, W. L. (1994). Operation Research. California: Duxbury Press.
ANALISA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N DENGAN RETENSI PELANGGAN YANG MEMBATALKAN ANTRIAN
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh : Ayi Umar Nawawi NIM. 12305141008
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
MOTTO
Jadikan keberhasilan orang lain sebagai motivasi kita, tetapi tidak perlu memaksa
diri untuk bekerja berdasarkan target orang lain, bekerjalah berdasarkan
kemampuan dan target kita sendiri.
Bukankah kesulitan yang membuat kita takut, tetapi ketakutanlah yang membuat
kita sulit. Jangan pernah mencoba untuk menyerah dan jangan pernah menyerah
untuk mencoba.
(Ali bin Abi Thalib)
Mintalah pertolongan kepada Allah dengan sabar dan shalat, sesungguhnya Allah
beserta orang - orang yang sabar.
