STUDI ALGORITMA FLOYD-WARSHALL UNTUK MENENTUKAN JALUR ALTERNATIF GUNA MENGHINDARI KEMACETAN LALU
LINTAS
(Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara)
SKRIPSI
APRIANTO TAMBUNAN 130803064
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
STUDI ALGORITMA FLOYD-WARSHALL UNTUK MENENTUKAN JALUR ALTERNATIF GUNA MENGHINDARI KEMACETAN LALU
LINTAS
(Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
APRIANTO TAMBUNAN 130803064
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2017
PERSETUJUAN
Judul : Studi Algoritma Floyd-Warshall Untuk
Menentukan Jalur Alternatif Guna Menghindari Kemacetan Lalu Lintas (Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara)
Kategori : Skripsi
Nama : Aprianto Tambunan
Nomor Induk Mahasiswa : 130803064
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, September 2017 Komisi Pembimbing :
Pembimbing
Drs. Agus Salim Harahap, M.Si NIP.195408281981031004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom Drs.
NIP.195908131986011002
PERNYATAAN
STUDI ALGORITMA FLOYD-WARSHALL UNTUK MENENTUKAN JALUR ALTERNATIF GUNA MENGHINDARI KEMACETAN LALU
LINTAS
(Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara)
SKRIPSI
Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya serahkan benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, September 2017
Aprianto Tambunan 130803064
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah kasih-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Studi Algoritma Floyd-Warshall untuk Menentukan Jalur Alternatif Guna Menghindari Kemacetan Lalu Lintas (Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara).
Dalam menyelesaikan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu penulis. Untuk itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar- besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada:
1. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA serta seluruh Staf pegawai di Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
2. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris jurusan Matematika serta seluruh Bapak dan Ibu dosen yang telah mendidik penulis selama menjalani pendidikan di Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam USU.
3. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si selaku dosen pembimbing yang senantiasa membantu dan mengarahkan saya dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku dosen pembanding yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi penulis.
5. Teristimewa kepada kedua orangtua tercinta, Ayahanda Dominggo Tambunan, S.Th, Ibunda Rumondang Panjaitan serta saudara-saudara penulis Jubelando Tambunan, Yohana Tambunan, Daniel Tambunan yang selalu memberikan dukungan berupa doa, meteri, serta motivasi kepada penulis.
6. Tak terlupakan seluruh rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2013, adik- adik stambuk 2014, 2015, 2016 dan Organisasi, terkhusus kepada Dedek Miranda Simbolon, Lambeturah “Agelh Naomi, Aris S, Fariza Annisa, Jessa Saragih, Pratiwi”, Putri M, Dermawan, dan Futsal Mathyang berjuang
bersama-sama dan memberikan dukungan kepada penulis dan untuk semua yang telah memotivasi dan mendoakan penulis. Semoga Tuhan memberikan balasan yang tak terhingga. Amin.
Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan skripsi.
Medan, September 2017
Aprianto Tambunan 130803064
STUDI ALGORITMA FLOYD-WARSHALL UNTUK MENENTUKAN JALUR ALTERNATIF GUNA MENGHINDARI KEMACETAN LALU
LINTAS
(Studi Kasus: Simpang Brayan, Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara)
ABSTRAK
Algoritma Floyd-Warshall adalah algoritma yang digunakan untuk mencari lintasan terpendek dalam suatu graf berbobot. Pada penelitian ini digunakan algoritma Floyd-Warshall untuk menyelesaikan permasalahan yang ada. Permasalahan dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana cara menghindari kemacetan lalu lintas yang ada dengan mencari jalur alternatif yang ada dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall di simpang Brayan Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara. Pengambilan data dalam penelitian ini dilakukan dengan cara mengambil data primer yang diperoleh langsung dari lokasi penelitian. Dari data yang diperoleh dapat disusun gambar graf. Selanjutnya dari graf dapat diperoleh lintasan minimum dengan proses iterasi menggunakan algoritma Floyd- Warshall. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa lintasan terpendek dari A1 (Jln K.L Yos Sudarso) ke B10 (Jl Cemara) dengan menggunakan algortima Floyd-Warshall sebesar 1.663 m. Saran yang dapat diberikan dari hasil penelitian adalah diharapkan dapat memberikan sumbangan kepada Dinas Perhubungan Kota Medan dalam perencanaan sistem lalu lintas di daerah Brayan Medan dan selanjutnya dapat mengaplikasikan algoritma Floyd- Warshall dalam penentuan jalur alternatif lain di kota medan.
Kata kunci: Algoritma Floyd-Warshall, Graf, Jalur Terpendek.
A STUDY ON THE USE OF THE FLOYD-WARSHALL ALGORITHM TO FIND AN ALTERNATE ROUTE TO AVOID TRAFFIC JAM
(Case Study: Brayan Intersaction, West Medan District, Medan City, North Sumatera Province)
ABSTRACT
The Floyd-Warshall algorithm is used to obtain the shortest paths in a weighted graph. This study aims to find the alternate route to avoid the traffic jam at the Brayan intersection in the subdistrict of West Medan by using the Floyd-Warshall algorithm. The data are collected through the field observation. Furtherly, from the collected data, the graphs are drawn to find out the shortest path through the iteration process by using the Floyd-Warshall algorithm. The result of the study reveals that the shortest path from A1 (K.L. Yos Sudarso Street) to B10 (Cemara Street) was measured 1.663 meters by using the Floyd-Warshall algorithm. Based on the result of the study, it is expected that this study can be a contribution to the transportation department of the city of Medan in planning the traffic system in Brayan. Finally, this study can also be used as a reference to find the alternate routes in the city of Medan by using the Floyd-Warshall algorithm.
Keywords: Floyd-Warshall Algorithm, Graph, Shortest Path
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN x
Bab 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
1.6 Metodologi Penelitian 4
1.7 Lokasi Penelitian 4
Bab 2 Landaran Teori
2.1 Pengertian Kemacetan 5
2.2 Definisi Transportasi 6
2.3 Karakteristik Volume Lalu Lintas 6
2.4 Teori Graf 7
2.4.1 Jenis-jenis Graf 10
2.4.2 Terminologi Graf 14
2.5 Algoritma Floyd-Warshall 14
Bab 3 Metode Penelitian
3.1 Penemuan Masalah 17
3.2 Perumusan Masalah 17
3.3 Pengambilan Data 17
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah 18
3.5 Penarikan Kesimpulan 18
Bab 4 Hasil dan Pembahasan
4.1 Pengumpulan Data 19
4.1.1 Gambaran Umum Tempat Penelitian 19 4.1.2 Peta Wilayah Penelitian dan Penetapan Verteks 22
4.2 Pengolahan Data 26
Bab 5 Kesimpulan dan Saran
5.1 Kesimpulan 33
5.2 Saran 33
Daftar Pustaka 34
Lampiran 36
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
Tabel
2.1 Jenis-jenis Graf 13
4.1 Daftar Node Pada Pemodelan Graf 24
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
Gambar
2.1 Diagram Siklus Perluasan Ruas Jalan dan Transportasi 6
2.2 Graf G dengan Lima Simpul dan Lima Sisi 8
2.3 Graf sederhana (a), Graf Ganda (b), Graf semu (c) 11
2.4 Graf tak berhingga 12
2.5 Graf Berarah 13
2.6 Graf Berbobot 15
2.7 Representasi Matriks 15
4.1 Kondisi Kepadatan Jl K.L Yos Sudarso 19
4.2 Contoh parkir di tepi badan jalan 20
4.3 Contoh pedagang kaki lima yang memakan badan jalan 20 4.4 Contoh angkutan umum yang berhenti di tepi jalan 21
4.5 Peta Wilayah Penelitian 22
4.6 Graf wilayah penelitian 23
4.7 Graf hasil iterasi 32
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman
Lampiran
1 Algoritma pada Matlab 36
2 Matriks Awal dan Hasil iterasi 40
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Kemacetan adalah kondisi dimana arus lalu lintas yang lewat pada ruas jalan yang ditinjau melebihi kapasitas rencana jalan tersebut yang mengakibatkan kecepatan bebas ruas jalan tersebut mendekati atau sama dengan 0 km/jam sehingga menyebabkan terjadinya antrian. Jika arus lalulintas mendekati kapasitas, kemacetan mulai terjadi. Kemacetan semakin meningkat apabila arus begitu besarnya sehingga kendaraan sangat berdekatan satu sama lain.
Kemacetan disebabkan oleh beberapa faktor. Faktor yang pertama adalah kondisi jalan raya itu sendiri. Buruknya kondisi jalan serta sempit/terbatasnya ruang/lahan jalan akan menghambat pergerakan pengguna jalan, dan ditambah dengan jumlah kendaraan yang melintas melebihi daya tampung ruang jalan dan pemanfaatan yang keliru dari ruang lalu lintas jalan. Faktor kedua adalah kurangnya kesadaran pemakai jalan raya. Berbagai hal yang menyangkut dengan manusia antara lain: sikap, perilaku atau kebiasaan yang kurang tepat ketika menggunakan jalan raya menyebabkan kemacetan lalu lintas dan membahayakan pihak lain, misalnya pengendara yang suka melanggar lampu merah, angkot yang sesuka hati menurunkan penumpung di kondisi jalan yang sedang macet. Pengendara motor yang suka menyalip di sebelah kiri jalan juga dapat membuat lau lintas menjadi kacau.
Dalam menghindari kemacetan yang terjadi, banyak cara yang dapat dilakukan misalnya menghindari jalur yang menjadi sumber kemacetan. Dalam menghindari jalur ini diperlukan jalur lain untuk dilewati. Jalur-jalur yang ada di sekitar jalur kemacetan akan dapat membentuk sebuah lintasan namun jalur baru yang akan dilewati haruslah memiliki jarak tempuh yang paling singkat untuk menghindarkan pengguna jalan memakan waktu lebih lama dari pada melewati jalur yang macet.
Graf adalah suatu model untuk merepresentasikan suatu objek-objek diskrit serta hubungan antara objek-objek tersebut. Secara matematis, graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) yang dalam hal ini, 𝑉 adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices) dan 𝐸 adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan sepasang simpul. Graf dapat daplikasikan pada banyak permasalahan. Salah satunya adalah dalam pencarian jalur terpendek pada suatu lintasan. Pada jalan raya, vertices merepresentasikan simpang suatu jalan sedangkan edges merepresentasikan jarak antara simpang. Graf yang digunakan pun merupakan graf berbobot. Terdapat beberapa algoritma dalam menyelesaikan masalah pencarian jalur terpendek seperti Algoritma Dijkstra, Algoritma Greedy, Algoritma Semut, Algoritma A*, Algoritma Bellman Ford, Algoritma Floyd- Warshall.
Algoritma Floyd Warshall adalah salah satu varian dari pemrograman dinamis, yaitu suatu metode yang melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu keputusan yang saling terkalit. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih dari satu.
Berdasarkan uraian diatas, maka penulis memberi tulisan ini dengan judul,
“STUDI ALGORITMA FLOYD-WARSHALL UNTUK MENENTUKAN JALUR ALTERNATIF GUNA MENGHINDARI KEMACETAN LALU LINTAS (STUDI KASUS: SIMPANG BRAYAN MEDAN)”
1.2 RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang di atas, yang menjadi permasalahan adalah:
Bagaimana menentukan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan lalulintas dengan menggunakan algoritma Floyd Warshall.
1.3 BATASAN MASALAH
Batasan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah : 1. Membatasi lokasi penelitian di daerah simpang Brayan Medan.
2. Penelitian dilakukan pada jam sibuk, yaitu pukul 07.00 - 08.00 WIB, dan pukul 17.30 - 18.30 WIB.
3. Metode yang digunakan adalah Algoritma Floyd Warshall.
4. Bobot pada kasus tidak bernilai negatif.
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini memiliki tujuan untuk menentukan jalur terpendek untuk menghindari kemacetan lalu lintas dengan menggunakan Algoritma Floyd-warshall
1.5 Manfaat Penelitian
Dalam penulisan skripsi ini, diharapkan mempunyai manfaat antara lain:
1. Bagi Peneliti
Manfaat yang diambil peneliti adalah, peneliti mampu menerapkan ilmu yang telah dipelajari. Khususnya tentang mencari jalur terpendek menggunakan algoritma Floyd-Warshall. Hal ini diharapkan dapat memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata.
2. Bagi Pembaca
Manfaat bagi pembaca khusunya bagi pengguna jalan raya, menjadi salah satu acuan dalam membuat keputusan untuk melintas di jalan yang penuh dengan kemacetan, dan juga dapat menjadi bahan referensi untuk mencari jalur alternatif di suatu wilayah yang diinginkan.
3. Bagi Dinas yang terkalit lalu lintas
Manfaat bagi dinas yang terkait dengan masalah lalu lintas, khususnya Dinas Perhubungan, menjadi bahan acuan dalam hal mengurangi kemacetan lalu lintas.
1.6 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Studi Literatur
Tahap ini dilakukan untuk mempelajari, mengidentifikasi, memahami, mengkaji, dan menganalisis Algoritma Floyd Warshall dalam memecahkan pemilihan jalur alternatif.
2. Mencari referensi
Pada tahap ini, penulis mengumpulkan referensi dari buku dan jurnal mengenai metode dan permasalahan yang akan dibahas yang diperoleh dari perpustakaan maupun internet serta melakukan bimbingan dengan dosen pembimbing.
3. Pengumpulan data
Pada tahap ini dilakukan penelitian di simpang Brayan, yang akan dilakukan pada jam-jam sibuk.
4. Pengolahan data
Setelah pengumpulan data, maka data yang diperoleh akan diolah. Pengolahan data dibantu dengan menggunakan software. Data nantinya akan diformulasikan dalam bentuk model matematika sehingga diperoleh penyelesaian yang diinginkan.
5. Membuat kesimpulan
Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan hasil analisis data sekaligus memberikan saran yang berkaitan dengan pengembangan penelitian sebelumnya.
1.7 Lokasi Penelitian
Dalam penulisan skripsi ini, yang menjadi lokasi penelitian adalah simpang Brayan dengan letak geografis berada di Kecamatan Medan Barat, Kotamadya Medan, Provinsi Sumatera Utara.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Pengertian Kemacetan
Kemacetan adalah kondisi dimana arus lalu lintas yang lewat pada ruas jalan yang ditinjau melebihi kapasitas rencana jalan tersebut yang mengakibatkan kecepatan bebas ruas jalan tersebut mendekati atau melebihi 0 km/jam sehingga menyebabkan terjadinya antrian. Pada saat terjadinya kemacetan, nilai derajat kejenuhan pada ruas jalan akan ditinjau dimana kemacetan akan terjadi bila nilai derajat kejenuhan mencapai lebih dari 0,5.
Kemacetan lalu lintas pada ruas jalan raya terjadi saat arus kendaraan lalu lintas meningkat seiring bertambahnya permintaan perjalanan pada suatu periode tertentu serta jumlah pemakai jalan melebihi dari kapasitas yang ada. Kemacetan merupakan masalah yang sering dihadapi di kota-kota besar, seperti Jakarta, Bandung, Jogjakarta, Medan, dan masih banyak kota lain yang memiliki masalah kemacetan yang hamper serupa. Jika arus lalu lintas mendekati kapasitas, kemacetan mulai terjadi. Kemacetan semakin meningkat apabila arus begitu besarnya sehingga kendaraan sangat berdekatan satu sama lain. Kemacetan total terjadi apabila kendaraan harus berhenti atau bergerak sangat lambat.
Sudradjat, Tony Sumartono, Asropi (2011) dalam jurnalnya menyebutkan bahwa kemacetan lalu lintas biasanya meningkat sesuai dengan meningkatnya mobilitas manusia pengguna transportasi, terutama pada saat-saat sibuk.
Kemacetan terjadi karena berbagai sebab diantaranya disebabkan oleh kelemahan sistem pengaturan lampu lalu lintas, banyaknya persimpangan jalan, banyaknya kendaraan yang turun ke jalan, musim, kondisi jalan, dan lain-lain. Berbagai usaha untuk menanggulangi kemacetan lalu lintas yang dilakukan adalah dengan penambahan sarana jalan, pembangunan jalan tol, jalan layang, terowongan, sistem pengaturan lampu ATCS (Area Traffic Control System), dan lain-lain.
Transportasi sangat erat kaitannya dengan perluasan lahan tanah. Drewe menggambarkan hubungan antara perkembangan transportasi dengan perluasan lahan tanah yang digambarkan seperti pada gambar.
Gambar 2.1 Diagram Siklus Perluasan Ruas Jalan dan Transportasi
2.2. Definisi Transportasi
Pengertian transportasi menurut Morlok (1981) adalah memindahkan atau mengangkat dari suatu tempat ke tempat lain. Menurut Bowersox (1981), definisi transportasi adalah perpindahan barang atau penumpang dari suatu lokasi ke lokasi lain, dengan produk yang digerakkan atau dipindahkan ke lokasi yang dibutuhkan atau diinginkan.
Transportasi dikatakan baik, apabila perjalanan cukup cepat, tidak mengalami kemacetan, frekuensi pelayanan cukup, aman, bebas dari kemungkinan kecelakaan dan kondisi pelayanan yang nyaman. Untuk mencapai kondisi yang ideal sepeti ini, sangat ditentukan oleh berbagai faktor yang menjadi komponen transportasi ini, yaitu kondisi prasarana (jalan), Sistem jaringan jalan, kondisi sarana (kendaraan) dan sikap mental pemakai fasilitas transportasi tersebut (Budi D. Sinulingga, 1999).
2.3. Karakteristik Volume Lalu Lintas
Di dalam suatu perlalulintasan dikenal lalu lintas harian atau AADT (Average Annual Daily Traffic) yaitu jumlah kendaraan yang lewat secara rata-rata dalam sehari (24 jam) pada suatu ruas jalan tertentu, besarnya lalu lintas harian akan
menentukan dimensi penampang jalan yang akan di bangun. Volume lalu lintas ini bervariasi besarnya, tidak tetap, tergantung waktu, variasi dalam sehari, seminggu maupun sebulan dan setahun. Di dalam satu hari biasanya terdapat dua waktu jam sibuk, yaitu pagi dan sore hari. Tapi ada juga jalan-jalan yang mempunyai variasi volume lalu lintas agak merata. Volume lalu lintas selama jam sibuk dapat digunakan untuk merencanakan dimensi untuk menampung lalu lintas. Semakin tinggi volumenya, semakin besar dimensi yang diperlukan. Suatu volume yang over estimate akan membuat perencanaan menjadi boros, sedangkan volume yang under estimate akan membuat jaringan jalan cepat mengalami kemacetan, sehingga memerlukan pengembangan pula.
2.4. Teori Graf
Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti.
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Di ilmu matematika dan komputer teori graf adalah himpunan benda-benda yang disebut verteks (vertex atau node) yang terhubung oleh jalur-jalur (edges). Graf digunakan untuk merepresentasikan objek- objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau verteks, sedangkan hubungan di antara objek dinyatakan dengan garis (jalur).
Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan jalan raya pada sebuah wilayah bisa direpresentasikan dengan graf. Verteks-verteksnya adalah kota-kota yang terdapat pada wilayah tersebut dan ada jalur antara kota A dan kota B dihubungkan oleh sebuah jalan.
Sebuah struktur graf dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap jalur.
Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan berbagai konsep. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi jalur tertentu. Ekstensi lain pada
graf adalah dengan membuat jalurnnya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digraph (directed graph). Digraf dan jalur berbobot disebut jaringan.
Jaringan banyak digunakan pada cabang praktis teori graf yaitu analisis jaringan.
Pada analisis jaringan, definisi kata jaringan bisa berbeda dan sering berarti graf sederhana (tanpa bobot dan arah).
Graf G didefinisikan sebagai pasangan terurut (V, E) dan dilambangkan dengan G = (V, E) dimana:
1. V = {𝑣1, 𝑣2, ... , 𝑣𝑛} adalah himpunan tak kosong yang terbatas dan anggota-anggotanya dinamakan simpul
2. E = {𝑒1, 𝑒2, ... , 𝑒𝑛} adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2003).
Definisi diatas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah jalur dinamakan graf trivial. Jumlah simpul pada suatu graf dinyatakan dengan |𝑉| dan jumlah sisi dinyatakan dengan |𝐸| .
Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, ..., v, w, ..., dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang 𝑒1, 𝑒2,… Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u,v).
Nama suatu jalur dapat dituliskan dengan pasangan simpulnya, misalnya dari gambar graf dibawah jalur 𝑒2.
Gambar 2.2 Graf G dengan Lima Simpul dan Lima Sisi
Suatu graf dapat disajikan dalam bentuk diagram seperti pada gambar 2.2 di atas. Selain itu graf dapat juga disajikan dalam bentuk matriks yaitu matriks berelasi dan matriks berisisian seperti berikut ini.
Andaikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah graf sederhana dengan banyak simpul di V adalah n. Misalkan simpul-simpul dari G adalah 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛. Matriks berelasi dari suatu graf G adalah matriks nol satu 𝑛 × 𝑛 dengan 1 sebagai entri dari 𝑎𝑖𝑗 jika 𝑣𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑗 tidak berelasi artinya (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ 𝐸, dan 0 sebagai entri dari 𝑎𝑖𝑗 jika 𝑣𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑗 tidak berelasi artinya (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∉ 𝐸. Dengan kata lain jika matriks berdekatan, maka entrinya adalah:
𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ 𝐸 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∉ 𝐸
Matriks berdekatan dari graf sederhana adalah simetrik, yaitu𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖. Kedua entri itu sama dengan 1 bila 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 berdekatan dan keduanya sama dengan 0 bila 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 tidak berdekatan. Selanjutnya karena matriks dari graf sederhana tidak mempunyai loop, maka setiap entri 𝑎𝑖𝑗 untuk i = j adalah 0. Matriks berdekatan dapat juga digunakan untuk menyajikan graf tidak berarah yang mempunya loop dan jalur ganda. Suatu loop pada simpul 𝑣𝑖 atau 𝑣𝑗 diwakili oleh 1 pada posisi 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗 dengan i = j sehingga 𝑎𝑖𝑗 = 1 untuk 𝑖 = 𝑗 pada matriks berdekatan. Untuk jalur ganda bahwa entri 𝑎𝑖𝑗 pada matriks berdekatan adalah sama dengan banyaknya jalur yang berhubungan 𝑣𝑖 dengan 𝑣𝑗 dengan i = j. Semua graf tidak berarah yang mempunyai jalur ganda dan pseudograf mempunyai matriks berdekatan yang simetris.
Contoh matriks berdekatan untuk menyajikan graf pada gambar 2.2. Kalau urutan simpul-simpulnya adalah a, b, c, d, e maka dapat dianggap 𝑣1 = 𝑎, 𝑣2 = 𝑏, 𝑣3 = 𝑐, 𝑣4 = 𝑑, 𝑣5 = 𝑒. Dari gambar 2.2 diperoleh E = {ac, ae, be, dc, de} berarti 𝑎13 = 1, 𝑎15 = 1, 𝑎25 = 1, 𝑎43 = 1, dan 𝑎45 , sedang selainnya entrinya 0. Matriks yang menyajikan graf tersebut adalah sebagai berikut:
[ 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 1 0]
Jika matriks bersisian digunakan untuk merepresentasikan hubungan antara simpul-simpul graf, maka untuk menunjukkan hubungan antara simpul-simpul dan jalur-jalur pada graf digunakan matriks berelasi. Definisi dari matriks berelasi disajikan sebagai berikut.
Misalkan G = (V, E) adalah graf tidak berarah dengan 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘} dan E= {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑘} maka matriks bersisian yang berkenaan dengan urutan V dan E adalah matriks 𝑚 × 𝑛, dengan entrinya adalah :
{
1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑗𝑎𝑙𝑢𝑟 𝑒𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑖 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑗𝑎𝑙𝑢𝑟 𝑒𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑖
Selain untuk menyajikan graf sederhana, matriks bersisian dapat juga digunakan pada jalur-jalur ganda dan loop. Untuk mewakili jalur-jalur ganda pada matriks bersisian menggunakan kolom sebagai jalur dan baris sebagai simpul.
Kalau jalurnya ganda berarti jalur-jalur ini bersisian dengan pasangan simpul yang sama. Kalau terdapat loop berarti jalur itu bersisian dengan tepat satu simpul sehingga entrinya sama dengan 1.
Menurut teori graf, persoalan lintasan terpendek (the shortest path problem) adalah suatu persoalan untuk mencari lintasan antara dua buah simpul pada graf berbobot yang memiliki gabungan nilai jumlah bobot pada sisi graf yang dilalui dengan jumlah yang paling minimum.
2.4.1 Jenis – Jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Pengelompokan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda berdasarkan ada tidakknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi.
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis :
1
2 3
4
1
1
2
2 4
4
3
3 ce
1 e2 e3 e4
e5
e6 e1 e7
e2 e3 e4
e5
e6
e7
(a) e8 (b)
(c)
1. Graf sederhana (simple graph)
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda dinamakan graf sederhana. Pada gambar (a) adalah contoh graf sederhana yang mempresentasikan jaringan komputer. Simpul menyatakan komputer, sedangkan sisi menyatakan saluran telepon untuk berkomunikasi. Saluran telepon dapat beroperasi pada dua arah.
2. Graf tak sederhana (unsimple graph)
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Gambar (b) adalah graf ganda. Sisi ganda pada gambar (b) dapat diandaikan sebagai saluran telepon tambahan apabila beban komunikasi data antar komputer sangat padat. Graf semu adalah graf yang mengandung gelang.
Gambar (c) adalah graf semu (termasuk bila memiliki sisi ganda sekalipun). Sisi gelang pada gambar (c) dapat dianggap sebagai saluran telepon tambahan yang menghubungkan komputer dengan dirinya sendiri (mungkin untuk tujuan diagnotik). Graf semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis :
Gambar 2.3 Graf sederhana (a), Graf Ganda (b), Graf semu (c)
1. Graf berhingga (limited graph)
Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya n, berhingga. Graf pada gambar 2.2 adalah contoh graf yang berhingga.
2. Graf tak berhingga (unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya , n , tidak berhingga banyaknya disebut graf tak berhingga. Berikut adalah contoh gambar graf yang tak berhingga.
Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis yaitu :
1. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orintasi arah disebut sebagai graf berarah.
Menyebut sisi berarah lebih sering dengan sebutan busur (arc). Pada graf berarah, (v ,j vk) dan (v ,k vj) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (
k
j v
v , ) tidak sama dngan(v ,k vj). Untuk busur (v ,j vk), simpul v dinamakan simpul j asal (initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex). k Pada gambar di bawah ini adalah contoh graf berarah. Gambar 2.3 (a) diandaikan saluran telepon tidak dapat beroperasi pada dua arah. Saluran hanya beroperasi pada arah yang ditunjukkan oleh anak panah. Jadi, sebagai contoh, saluran telepon (1, 2) tidak sama dengan saluran telepon (2,1). Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lalu lintas suatu kota (jalan searah atau dua arah) dan sebagainya. Pada graf berarah, gelang diperbolehkan, tetapi sisi ganda tidak.
Gambar 2.4 Graf tak berhingga
2. Graf tak berarah (undirect graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi yang sama.
Tiga buah graf pada gambar 2.3 adalah graf tak berarah.
Definisi graf dapat diperluas sehingga mencakup graf ganda berarah. Tabel 2.1 meringkas perluasan definisi graf. Di sini penulis menyebut graf baik sisinya tak berarah maupun berarah, baik mengandung gelang maupun sisi ganda, baik graf sederhana maupun graf tak sederhana.
Tabel 2.1 Jenis-jenis graf
Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan ?
Sisi gelang dibolehkan ? Graf sederhana Tak berarah Tidak Tidak
Graf ganda Tak berarah Ya Tidak
Graf semu Tak berarah Ya Ya
Graf berarah Berarah Tidak Ya
Graf ganda berarah Berarah Ya Ya Gambar 2.5 Graf Berarah
2.4.2 Terminologi dalam Graf
Terminologi (istilah) yang berkaitan dengan graf akan sering digunakan. Di bawah ini didefinisikan beberapa istilah yang sering dipakai dan berhubungan dengan maximum spanning tree.
1. Walk adalah suatu barisan berhingga dari verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk adalah:
𝑣0𝑒0𝑣1𝑒1, … , 𝑣𝑛−1𝑒𝑛−1𝑣𝑛𝑒𝑛
Dalam hal ini 𝑣0 merupakan verteks awal dan 𝑣𝑛 merupakan verteks akhir.
Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk disebut close walk (walk tertutup).
2. Trail adalah suatu walk dengan setiap edge-nya berlainan.
3. Path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda.
4. Cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama dengan vertex akhir.
5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang muncul dalam suatu walk.
6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G dengan e tidak terhubung.
Secara umum edge e adalah jembatan untuk suatu graf G jika G dengan e mempunyai komponen terhubung lebih dari G.
2.5 Algoritma Floyd-Warshall
Algoritma Floyd Warshall diciptakan oleh R. Floyd pada tahun 1962. Algoritma Floyd Warshall adalah salah satu pemrograman dinamis, yaitu suatu metode yang melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih darisatu (Ramadhan, 2011).
Floyd Warshall merupakan algoritma untuk pencarian lintasan terpendek pada suatu graf berbobot (weighted graph). Algoritma ini dapat melakukan analisis dan penyelesaian kerumitan suatu proses (Purwanto, 2005).
Floyd Warshall menerapkan pencarian keseluruh titik yang ada. Dalam Algoritma Floyd Warshall terdapat fungsi yang dituliskan kedalam notasi matematika dapat dilihat pada persamaan (1):
𝑆(𝐸) = 𝑆(𝑟) + 𝐸(𝑟) . . . (1) Penjelasan:
𝑆(𝐸) = Nilai jarak yang sebenarnya.
𝑆(𝑟) = Nilai titik awal.
𝐸(𝑟) = Nilai titik akhir.
Sebagai contoh adalah mencari rute terpendek dari titik A menuju titik C dari grafik berikut :
Gambar 2.6 Graf Berbobot
Langkah pertama jadikan grafik pada gambar 2.6 Menjadi sebuah table atau matriks terlihat pada gambar 2.7
Gambar 2.7 Representasi Matriks
Kotak abjad berwarna kuning di samping kiri adalah titik awal dan kotak abjad berwarna hijau yang ada di atas adalah titik tujuannya. Sedangkan kotak angka kuning dan hijau berfungsi untuk menentukan sebuah indeks proses (R0 = 1, R1 = 2, R2 = 3, R3 = 4) dan memudahkan posisi angka-angka yang ada di dalam table dengan mengkombinasikannya dengan kotak abjad yang sama dengan warnanya. Sebagai contoh dapat dilihat pada persamaan (2):
𝑨(𝟑), 𝑩(𝟐)(𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑤𝑎𝑙, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑢𝑗𝑢𝑎𝑛) = 𝟗, 𝟎 . . . (2) Karena dalam grafik diatas terdapat 4 buah titik, yaitu A, B, C, D maka akan ada 5 proses yang akan dilewati yaitu R0, R1, R2, R3, dan R4 sebagai hasil akhir. Perlu diingat bahwa hasil dari sebuah proses akan digunakan untuk proses berikutnya.
Rumusnya adalah:
𝑟 = Index proses. => R0 = 1, R1 = 2, R2 = 3, R3 = 4, R4 adalah hasil akhir.
𝑆 = Titik awal. => A, B, C, dan D (kotak merah).
𝐸 = Titik tujuan. => A, B, C, dan D (kotak biru).
jika hasil penjumlahan nilai titik awal 𝑆(𝑟) dan nilai titik tujuan 𝐸(𝑟) lebih kecil daripada nilai jarak yang sebenarnya 𝑆(𝐸), maka ganti nilai jarak sebenarnya dengan hasil penjumlahan nilai titik awal dan nilai titik tujuan 𝑆(𝐸) = 𝑆(𝑟) + 𝐸(𝑟).
BAB 3
METODE PENELITIAN
Metode penelitian merupakan suatu cara yang dilakukan dapam penelitian sehingga pelaksanaan penelitian dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Adapun metode yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
3.1 Penemuan Masalah
Dalam tahap ini peneliti mengamati kenyataan-kenyataan yang terjadi di lapangan, terkhusus untuk daerah simpang brayan yang merupakan daerah yang di pilih untuk di teliti. Kemacetan merupakan salah satu gejala yang terjadi di lalu lintas yang merupakan peristiwa yang sangat di hindari di jalanan. Para pengguna jalan tidak ada yang menginginkan terjebak di situasi macet di jalan. Simpang brayan merupakan salah satu simpang yang memiliki tingkat kemacetan yang tinggi di daerah medan. Karena adanya kemacetan ini, maka perlu ditinjau kembali untuk jalur yang bisa dilalui oleh pengguna jalan tanpa melewati titik kemacetan yang ada.
3.2 Perumusann masalah
Berdasarkan uraian permasalahan yang akan dikaji, rumusan masalah yang menjadi titik focus penelitian adalah bagaimana menentukan jalur terpendek (Shortest path) pada sekitaran simpang brayan dengan menggunakan Algoritma Floyd Warshall
3.3 Pengambilan Data
Dalam penelitian ini, penulis memperoleh data dengan menggunakan metode sebagai berikut.
1. Metode pengumpulan data dengan cara mengambil data primer yang diperoleh langsung dari pengamatan dilapangan berupa peta dan menggunakan aplikasi Google Map.
2. Studi pustaka dengan cara mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan masalah, mengumpulkan konsep pendukung yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah, sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar pengembangan upaya pemecahan masalah.
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah
Dari berbagai sumbe pustaka yang menjadi bahan kajian, diperoleh suatu rumusan masalah, selanjutnya dilakukan langkah-langkah pemecahan masalah sebagai berikut:
1. Menyusun jaringan dari data peta wilayah simpang Brayan
2. Mencari rute terpendek yang dilalui menggunakan algoritma Floyd Warshall 3.5 Penarikan Kesimpulan
Langkah terakhir dalam metode penelitan adalah penarikan simpulan yang diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah dalam menentukan jalur terpendek dengan algoritma Floyd Warshall. Simpulan yang diperoleh dapat diterapakan pada permasalahan sesuai dengan judul penelitian
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data
4.1.1 Gambaran Umum Tempat Penelitian
Berdasarkan hasil observasi yang dilakukan di daerah tempat penelitian, Simpang Brayan merupakan salah satu simpang yang memiliki tingkat kemacetan yang tinggi di kota Medan.
Berdasarkan hasil pengamatan, terdapat beberapa macam faktor yang menyebabkan kemacetan sehingga mempengaruhi waktu tempuh perjalanan. Secara garis besar, faktor-faktor diantaranya yaitu fluktuasi arus dan hambatan samping. Fluktuasi arus adalah penumpukan suatu arus kendaraan yang menuju pada suatu tempat dengan menggunakan pilihan jalur yang samasehingga menimbulkan kepadatan lalu lintas dan selanjutnya menyebabkan kemacetan.
Fluktuasi arus biasanya terjadi pada jam jam tertentu, seperti jam berangkat kerja dan jam pulang kerja. Sedangkan hambatan samping diantaranya berupa parkiran di tepi jalan, penyebrang jalan, Pedagang kaki lima dan angkutan umum yang berhenti di tepi jalan untuk mencari penumpang, adapun penjelasan dari setiap faktor-faktor penyebab kemacetan tersebut sebagai berikut:
- Lalu lintas padat, lalu lintas padat merupakan salah satu akibat dari fluktuasi arus, sehingga membuat laju kendaraan melambat sehingga terjadi antrian kendaraan
- Parkir di tepi jalan, penggunaan badan jalan untuk parkiran membuat luas badan jalan yang digunakan untuk jalur yang dilewati oleh pengguna jalan. Mengakibatkan terjadi penyempitan wilayah laju kendaraan yang melewati daerah tersebut.
- Penyebrang jalan, penyebrang jalan dapat menjadi penyebab antrian kendaraan ketika lalu lintas sedang ramai, sembarangan menyebrang jalan membuat laju kendaraan berkurang bagi yang melewati jalur tersebut.
- Pedagang kaki lima, seperti yang diketahui daerah simpang brayan sering digunakan oleh warga untuk melakukan transaksi jual beli, dengan menggunakan badan jalan dalam melakukan kegiatan jual beli membuat kepadatan di ruas jalan yang dilalui, sehingga terjadi penurunan laju kendaraan.
Gambar 4.2 Contoh Parkir di tepi badan Jalan
- Angkutan umum yang berhenti di tepi jalan untuk mencari penumpang, mengakibatkan kendaraan yang berada di belakang ikut terhenti sehingga menyebabkan antrian kendaraan yang panjang.
Gambar 4.4 Contoh Angkutan Umum yang Berhenti di Tepi Jalan
Selain penyebab kemacetan, penulis juga mendapatkan data jarak dari setiap simpang yang ada melalui aplikasi “Google Map”. Dalam hal ini penulis hanya menggunakan data jarak setiap simpang jalan untuk mencari rute dan jarak terpendek yang di lalui pengguna jalan.
4.1.2 Peta Wilayah Penelitian dan Penetapan Verteks Peta wilayah Penelitian digambarkan sebagai berikut.
Gambar 4.5 Peta wilayah penelitian
Dari data jarak dan lokasi tersebut, selanjutnya penulis membuat sebuah pemodelan graf yang dapat merepresentasikan setiap persimpangan dan jaringan jalan yang berada pada wilayah penelitian. Dalam graf tersebut node merupakan persimpangan, sementara simpul merupakan jalur yang menghubungkan antara dua persimpangan.
Berikut merupakan pemodelan graf yang penulis maksud.
130
40 216
195
131 66
64
100 66 61 65 62 120
79
59
36
38
70 84
84
207 271
208 357
86 146
46 101 47 45
118 46 48
122
59 123
75 116 40 41
37
126 86 48
70
258
186 n
100
68
36 155
43 40
51 39 41
55 52
279
120 289
63 282
274 255 234
146
58
39
151
203 57 57 32 59
34 225 195 196 197 195 197 199
40 54 64 60 58 71 158 151 115 115
168 169 145 199 59 79
79
72 85 87 85 80 85
61 66 65 65
75 67
48 43
61
149 A40
A21
A19
A17
A16
A7
A5
A4
A2
B1
B2 B3
B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
A3 A6
A8 A18 A20 A22
A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29
A30 A31
A32 A33
A34 A35
A36 A37
A38 A39
A1
216 611
Gambar 4.6 Graf wilayah penelitian
B11
B15
A41 A42
C13 C19
C14
C12 C23
C22 C24
C21 C25
C20
C18
C15
C11
C4
C3
C2
C1 C26
C17
C16
C10
C5
C6
C7 C9
C8
A43
Pada graf tersebut, nama persimpangan diwakili oleh nama node sedangkan nama jalur diwakili dengan penomoran pada setiap simpul. Adapun pemberian huruf A, B,dan C pada nama node dimaksudkan untuk memudahkan dalam mengelompokkan letak persimpangan. Adapun pengelompokan tersebut adalah sebagai berikut.
1. Sepanjang jalan Yos Sudarso dilambangkan dengan node A dan sepanjang Jalan Cemara disimbolkan dengan node B.
2. Jalur yang berada di sekitaran jalan Yos Sudarso dan jalan Cemara sebelah tenggara, dilambangkan dengan node dengan huruf A.
3. Jalur yang berada di Sekitaran Jalan Pertempuran dan Jl K.L Yos Yos Sudarso sebelah Barat laut, dilambangkan dengan node C
Berikut daftar node yang terdapat pada graf di atas Tabel 4.1 Daftar Node Pada Pemodelan Graf
No Node Nama Persimpangan
1 A1 Simp Jl. K.L Yos Sudarso dan Jl. Budi Kemasyarakatan 2 A2 Simp Jl. K.L Yos Sudarso dan Jl. Budi Pembangunan 3 A3 Simp Jl Budi Pembangunan dan Jl Budi Keadilan 4 A4 Simpang Apotek AA
5 A5 Simp Jl Budi Kemenangan dan Jl K.L Yos Sudarso 6 A6 Simp Jl Budi Kemenangan dan Jl Budi Keadilan 7 A7 Simp Jl K.L Yos Sudarso dan Jl Jemadi
8 A8 Simp Jl Jemadi dan Jl Budi keadilan 9 A9 Simp Jl Jemadi dan Gg Komp.Jemadi I 10 A10 Simp Jl Jemadi dan Gg Komp. Jemadi II 11 A11 Simp Jl Jemadi dan Gg Lingkungan V 12 A12 Simp Jl Jemadi dan Lorong 4
13 A13 Simp Jl. Jemadi dan Gg. Gembira 14 A14 Simp Jl Jemadi dan Gg Bahagia I 15 A15 Simp Jl Jemadi dan Gg Bahagia II 16 A16 Simp Jl K.L Yos Sudarso dan Jl Pelita 17 A17 Simp Jl K.L Yos Sudarso dan Lorong 21 18 A18 Simp Jl Mesjid Raya dan Lorong 21 19 A19 Simp Jl K.L Yos Sudarso dan Lorong 21A 20 A20 Simp Jl Mesjid Raya dan Lorong 21A 21 A21 Simpang Mall Fajar
22 A22 Simp Jl Mesjid Raya dan Jl Kolonel Yos Sudarso 23 A23 Simp Gg Jeruk dan Jl Jemadi II
24 A24 Simp Gg Nangka dan Jl Jemadi II 25 A25 Simp Gg Turi dan Jl Jemadi II 26 A26 Simp Gg Sena dan Jl Jemadi II 27 A27 Simp Gg Rambutan dan Jl Jemadi II 28 A28 Simp Gg Seri dan Jl Jemadi II 29 A29 Simp Gg Pinang dan Jl Jemadi II 30 A30 Simp Gg Jambu dan Gg Tusan 31 A31 Simp Gg Jeruk dan Gg Tusan 32 A32 Simp Gg Nangka dan Gg Tusan 33 A33 Simp Gg Turi dan Gg Tusan 34 A34 Simp Gg Sena dan Gg Tusan 35 A35 Simp Gg Sena dan Gg Turi 36 A36 Simp Gg Rambutan dan Gg Turi 37 A37 Simp Gg Seri dan Gg Tusan 38 A38 Simp Gg Pinang dan Gg Tusan 39 A39 Simp Gg Delima dan Gg Tusan 40 A40 Simp Brayan
41 A41 Simp Jl K.L Yos Sudarso dan Jl Mayor 42 A42 Simp Jl. K.L Yos Sudarso dan Jl Palapa 43 A43 Jl. K.L Yos Sudarso (Bank Danamon) 44 B1 Simp Gg Jambu dan Jl Cemara 45 B2 Simp Gg Jeruk dan Jl Cemara 46 B3 Simp Gg Nangka dan Jl Cemara 47 B4 Simp Gg Turi dan Jl Cemara 48 B5 Simp Gg Sena dan Jl Cemara 49 B6 Simp Gg Rambutan dan Jl Cemara 50 B7 Simp Gg Seri dan Jl Cemara 51 B8 Simp Gg Pinang dan Jl Cemara 52 B9 Simp Gg Delima dan Jl Cemara 53 B10 Gas Station SPBU Jln Cemara 54 B11 Ujung Fly Over Cemara Pertempuran 55 B12 Simpang Vihara Meitreya Yana 56 C1-C7 Komplek Brayan City
57 C8 Simp Jl Pertempuran dan Komplek Brayan City 58 C9 Ujung Jalan pertempuran
59 C10 Simp Jl Deli Indah IV dan Jl Deli Indah I 60 C11 Simp Jl Deli Indah XII dan Jl Deli Indah I 61 C12 Simp Jl Deli Indah II dan Jl Deli Indah I 62 C13 Simp Jl Mayor dan Jl Deli Indah I
63 C14 Simp Jl Mayor dan Jl Deli Indah II 64 C15 Simp Jl Deli Indah II dan Jl Deli Indah XII 65 C16 Simp Jl Deli Indah II dan Jl Deli Indah IV 66 C17 Simp Jl Deli Indah III dan Jl Deli Indah IV 67 C18 Simp Jl Deli Indah III dan Jl Deli Indah XII 68 C19 Simp Jl Palapa Perguruan PAB
69 C20 Simp Jl Deli Indah XII dan Jl Deli Indah XI 70 C21 Simp Jl Deli Indah XII A dan Jl Deli Indah XI A 71 C22 Jl Deli Indah XII
72 C23 Jl Deli Indah XII Buntu Atas
73 C24 Simp Jl Deli Indah XII B dan Jl Deli Indah XI B 74 C25 Simp Jl Deli Indah XI dan Jl Deli Indah XII 75 C26 Simp Jl Deli Indah V dan Jl Deli Indah XII
4.2 Pengolahan Data
Pengolahan data dilakukan dengan memodelkan rute yang menjadi calon rute alternative yang akan menghindari kemacetan. Calon rute alternatif diawali dari jalur kedatangan Jalan K.L Yos Sudarso yang dinotasikan dengan A1 menuju Simpang SPBU Jalan Cemara yang dinotasikan dengan B10.
Permasalahan menentukan jalur alternatif dari A1 Menuju B10 dengan syarat tidak melewati A40 dikarenakan A40 merupakan titik kemacetan.
• Langkah pertama dalam menyelesaikan Permasalahan ini dilakukan dengan merepresentasikan graf yang ada menjadi suatu matriks berbobot dimana bobot untuk masing masing edge adalah
𝑤𝑖𝑗{ 0 𝑤(𝑖, 𝑗)
∞
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 = 𝑗
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 𝑑𝑎𝑛 (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 𝑑𝑎𝑛 (𝑖, 𝑗) ∉ 𝐸 Representasi matriks awal dapat dilihat pada lampiran 1.
• Langkah kedua adalah melakukan iterasi, dimulai dari iterasi ke-0 sampai ke n, dengan n merupakan jumlah Verteks yang ada. Dengan menggunakan persamaan.
𝑑𝑖𝑗(𝑘) = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑑𝑖𝑗(𝑘 – 1), 𝑑𝑖𝑘(𝑘 – 1) + 𝑑𝑘𝑗(𝑘 – 1)}, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Pengerjaan hasil iterasi penulis lakukan dengan menggunakan aplikasi MATLAB dengan algoritma dan Hasil Iterasi dapat dilihat pada pada lampiran 1.
Untuk mencari jalur terpendeknya dapat ditelusuri melalui iterasi terakhir yang di dapat, yaitu iterasi ke 50, dengan memulai dari verteks tujuan.
➢ Verteks A1/B10 memiliki bobot 1663, terdapat cabang pada B10 yaitu B9 dengan bobot A1/B9 = 1532, dan jumlahkan bobot A1/B9 dengan bobot B9/B10, yaitu 1543 + 120 = 1663, jika hasilnya sama maka itu adalah jalur yang dilalui.
➢ Verteks A1/B9 memiliki bobot 1543, terdapat cabang pada B9 yaitu B8 dan A39 dengan bobot masing masing dari A1 adalah 1481 dan 1465, dan jumlahkan masing masing bobot dengan bobot menuju ke B9, bobot yang tepat adalah A1/B8 dengan B8/B9 = 1481 + 62 = 1543.
➢ Dari verteks B8 terdapat 2 cabang verteks yaitu B7 dan A38 dengan masing masing bobot A1/B7 dan A1/A38 masing masing adalah 1440 dan 1401, dan jumlahkan hasil masing masing bobot dengan bobot menuju ke B8, bobot yang tepat adalah A1/A38 dengan A38/B8, 1401+80 = 1481
➢ Dari verteks A38 terdapat 3 cabang verteks yaitu A39, A37, dan A28, dengan masing masing bobot A1/A39, A1/A37, dan A1/A28 adalah 1465, 1357, dan 1243, lalu jumlahkan masing masing bobot dengan bobot setiap verteks menuju ke A38 yang memiliki nilai = 1401, bobot yang tepat adalah A1/A28 dengan A28/A38, 1243 + 158
= 1401
B10 B9
B10 B9 B8
B10 B9 B8 A38
B10 B9 B8 A38 A28
➢ Dari verteks A28 terdapat 2 cabang verteks yaitu A27 dan A14 dengan masing masing bobot A1/A27 dan A1/A14 adalah 1185 dan 1053, lalu jumlahkan masing masing bobot dengan bobot setiap verteks menuju ke A28 yang memiliki nilai = 1243, bobot yang tepat adalah A1/A27 dengan A27/A28, 1185 + 58 = 1243
➢ Dari verteks A27 terdapat 2 cabang verteks yaitu A26 dan A13 dengan masing masing bobot A1/A26 dan A1/A13 adalah 1125 dan 1019, lalu jumlahkan masing masing bobot setiap verteks menuju A27 yang memiliki nilai 1185, bobot yang tepat adalah A1/26 dan A26/A27, 1125 + 60 = 1185.
➢ Dari verteks A26 terdapat 4 cabang verteks yaitu A25, A34, A11,dan A12 dengan masing masing bobot A1/A25, A1/A34, A1/A11, dan A1/A12 adalah 1067, 1244, 928 dan 960, lalu jumlahkan masing masing bobot setiap verteks menuju A26 yang memiliki nilai 1125, bobot yang tepat adalah A1/11 dan A11/A26, 928 + 197 = 1125
➢ Dari verteks A11 terdapat 1 cabang verteks yaitu A10 dengan bobot A1/A10 adalah 871, lalu jumlahkan bobot verteks menuju A11 yang memiliki nilai 928, bobot yang tepat adalah A1/10 dan A10/A11, 871 + 57 = 928.
B10 B9 B8 A38 A28
A27
B10 B9 B8 A38 A28
A26 A27
B10 B9 B8 A38 A28
A26 A27 A11
B10 B9 B8 A38 A28
A26 A27 A10 A11
➢ Dari verteks A10 terdapat 1 cabang verteks yaitu A9 dengan bobot A1/A9 adalah 814, Karena hanya terdapat 1 cabang, lakukan pengujian nilai bobot verteks tersebut jika dijumlahkan dengan edge yang menuju ke A10 akan menghasilkan nilai 871, bobot A1/A9 dan A9/A10, 814 + 57 = 871.
➢ Dari verteks A9 hanya 1 cabang verteks yaitu A8 dengan bobot A1/A8 adalah 611, lakukan pengujian nilai bobot verteks tersebut jika dijumlahkan dengan edge yang menuju ke A9 akan menghasilkan nilai bobot 814, bobot A1/A8 dan A8/A9, 611 + 203
= 814.
➢ Dari verteks A8 terdapat 3 cabang verteks yaitu A18, A7, dan A6, dengan masing masing bobot A1/A18, A1/A7, dan A1/A6 adalah 762, 510, dan 546, lalu jumlahkan masing masing bobot dengan bobot setiap verteks menuju ke A8 yang memiliki nilai = 611, bobot yang tepat adalah A1/A6 dengan A6/A8, 546 + 63 = 611
B10 B9 B8 A38 A28
A26 A27 A10 A11
A9
B10 B9
A26 A27 A10 A11
A9
B8 A38 A28
A8
B10 B9
A26 A27 A10 A11
A9
B8 A38 A28
A8 A6
➢ Dari verteks A6 terdapat 2 cabang verteks yaitu A5 dan A33 dengan masing masing bobot A1/A5 dan A1/A3 adalah 440 dan 428, lalu jumlahkan masing masing bobot setiap verteks menuju A6 yang memiliki nilai 546, bobot yang tepat adalah A1/A3 dan A3/A6, 428 + 120 = 548.
➢ Dari verteks A3 hanya 1 cabang verteks yaitu A2 dengan bobot A1/A2 adalah 149, lakukan pengujian nilai bobot verteks tersebut jika dijumlahkan dengan A2/A3 akan menghasilkan nilai bobot 428, bobot A1/A2 dan A2/A3, 149 + 279 = 428.
➢ Dari verteks A2 hanya 1 cabang verteks yaitu A1 yang merupakan titik awal dari kasus yang memiliki bobot A1/A2 = 149.
B10 B9
A26 A27 A10 A11
A9
B8 A38 A28
A8 A6 A3
B10 B9
A26 A27 A10 A11
A9
B8 A38 A28
A8 A6 A3 A2
B10 B9
A26 A27 A11
A10 A9
B8 A38 A28
A8 A6 A3 A2 A1
Dari hasil diatas kita dapat melihat bahwa sudah terdapat jalur atau lintasan yang menghubungkan dari Verteks A1 menuju ke Verteks B10, dan memiliki bobot terkecil pada iterasi ke-50 yaitu 1663, dan tidak ada yang membentuk sikel. Berdasarkan perhitungan algoritma Floyd-Warshall, jika di hitung kembali jarak dari setiap verteks adalah sebagai berikut .
W(A1,A2) + W(A2,A3) + W(A3,A6) + W(A6,A8) + W(A8,A9) + W(A9,A10) + W(A11,A26) + W(A26,A27 + W(A27,28) + W(A28,A38) + W(A38,B8) + W(B8,B9) + W(B9,B10)
= 149 + 279 + 120 + 63 + 203 + 57 + 57 + 197 + 60 + 58 + 158 + 80 + 62 + 120
= 1663 m
Jadi diperoleh jalur alternatif terpendek untuk menghindari kemacetan si simpang brayan dari vertex A1 menuju B10 adalah A1-A2-A3-A6-A8-A9-A10-A11-A26-A27-A28-A38-B8-B9- B10 yaitu jalan K.L Yos Sudarso – Jln Budi Kemakmuran – Jln Budi Keadilan – Jln Jemadi – Lorong 4 – Jln Jemadi II – Gg Seri – Jln Cemara dengan panjang jalur 1663 m.
Simpang Brayan adalah persimpangan yang sangat macet pada jam sibuk, akan sangat membuang waktu jika masuk dalam antrian kendaraan dan mengikuti alur yang macet ini.
Maka diharapkan hasil yang di dapat ini adalah jalur alternatif yang diharapkan dapat digunakan untuk menghindari kemacetan. Jalur alternatif ini dapat digunakan oleh beragam kendaraan seperti motor, becak sampai mobil Karena jalur jalur yang dipakai adalah jalur yang cukup besar dan jarang dilalui kendaraan lain.
66 64
100 66 61 65 62 120
79
59
36
38
70 84
84
207 279
120 289
63 282
274 255 234
146
58
39
151
203 57 57 32 59
34 225 195 196 197 195 197 199
40 54 64 60 58 71 158 151 115 115 168 169
145 199 59 79
79
72 85 87 85 80 85
61 66 65 65
75 67
48 43
61
149 A40
A21
A19
A17
A16
A7
A5
A4
A2
B1
B2 B3
B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
A3 A6
A8 A18 A20 A22
A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29
A30 A31
A32 A33
A34 A35
A36 A37
A38 A39
A1
216 611
Gambar 4.7 Graf hasil iterasi
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan
Berdasarkan perumusan masalah dan serangkaian penelitian yang telah penulis lakukan, maka dapat disimpulkan bahwa kemacetan pada lokasi penelitian, yaitu simpang Brayan dapat di hindari dengan menemukan jalur alternatif sebagai jalur pengganti. Kendaraan yang sebelumnya harus melewati jalur kemacetan ini dapat menggunakan jalur alternatif yang menghabiskan waktu lebih sedikit. Adapun jalur alternatif tersebut adalah jalur A1-A2-A3-A6- A8-A9-A10-A11-A26-A27-A28-A38-B8-B9-B10 yaitu jalan K.L Yos Sudarso – Jln Budi Kemakmuran – Jln Budi Keadilan – Jln Jemadi – Lorong 4 – Jln Jemadi II – Gg Seri – Jln Cemara dengan jarak tempuh 1663 m. Jalur alternatif yang didapatkan diharapkan menjadi jalur yang dapat digunakan untuk menghindari kemacetan di simpang Brayan Medan.
5.2 Saran
Berikut ini beberapa saran yang dapat digunakan untuk pengembangan penelitian dalam mencari jalur alternatif yaitu:
1. Memperluas cakupan penelitian tidak hanya di satu simpang, tetapi di satu wilayah kota, sehingga jalur alternatif yang akan dipilih semakin banyak dan juga dapat menjangkau kepentingan masyarakat luas.
2. Menggunakan data yang real time sehingga sangat akurat dalam menentukan jalur alternatif terpendek.
DAFTAR PUSTAKA
Aprian, Raden. 2007. Perbandingan Algoritma Dijkstra dan Algoritma Floyd- Warshall dalam Penentuan Lintasan Terpendek (Single Pair Shortest Path).
Bandung: Teknik Informatika.
Clarkson, O. H., dan Gary R. H., 1988. Teknik Jalan Raya, edisi keempat Erlangga, Jakarta
Hasmawati. 2015. Bahan Ajar Teori Graf. Hasanudin: Unhas
Jayanti, Ni Ketut Dewi. 2014. Penggunaan Algoritma Floyd Warshall dalam Masalah Jalur Terpendek Pada Penentuan Tata Letak Parkir. Bali: STMIK STIKOM
Kriswanto, Y Rudi; Bendi, Kristoforus; Aliyanto Arif. 2014. Penentuan Jarak Terpendek Rute Transmusi dengan Algoritma Floyd-Warshall. Palembang:
STTM
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.
Nurhayati, Oky Dwi. 2010. Dasar Algoritma.
http://eprints.undip.ac.id/18630/1/pertemuan2.pdf.
Robbany, M Arif. 2012. Sistem Informasi Geografis Penentuan Jarak Terpendek Menggunakan Algoritma Floyd Warshall, Jurnal Teknik Informatika.
Jember
Salaki, Deiby T. 2011. Jurnal FMIPA Sam Ratulangi. Penentuan Lintasan Terpendek dari FMIPA ke Rektorat dan Fakultas Lain di UNSRAT Manado dengan Menggunakan Algoritma Dijkstra
Setiawan, Willy. 2010. Pembahasan Pencarian Lintasan Terpendek Menggunakan Algoritma Dijkstra dan A*. Jurnal Matematika ITB. Bandung
