Statistika Ekonomi & Bisnis

(1)

Statistika Ekonomi & Bisnis

FEB UHAMKA, Oktober 2021

Oleh: Tono Saksono

(2)

7. Distribusi Normal

(3)

Distribusi probabilitas kontinyu yang terpenting adalah distribusi normal, atau kurfa normal, atau distribusi gauss yang fungsinya berbentuk:

𝑌 = ¹

𝜎 2𝜋 𝑒⁻¹² ^𝑋−𝜇 ^ൗ

2 𝜎2

(3) Dimana:

• Luas total daerah yang dibatasai oleh fungsi (3) dan sumbu x adalah satu.

Distribusi Normal (Schaum hal 123)

𝜇 = Mean (harga rerata)

𝜎 = Standard deviation (simpangan baku) 𝜋 = 3.14159 . . .

𝑒 = 2.71828 . . .

(4)

• Ide di atas dapat dikembangkan dimana variabel x dapat dianggap sebagai himpunan harga yang

kontinyu

• Relative frequency poligon untuk seluruh populasi (teoretis) akan merupakan fungsi kontinyu

Distribusi probabilitas yang kontinyu

• Total luas di bawah kurva ini = 1 (100%), dan luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b memberikan nilai probabilitas harga x yang berada di antara a dan b. Atau ditulis:

𝑃𝑟 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

(5)

• Luas daerah di bawah kurva antara dua titik 𝑋 = 𝑎 dan 𝑋 = 𝑏 dimana 𝑎 < 𝑏

merepresentasikan probabilitas X terletak antara a dan b yang dinyatakan dengan 𝑃𝑟 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 .

• Jika variabel 𝑋 dinyatakan dalam unit standar 𝑧 = (𝑋 − 𝜇)/𝜎, persamaan (3) dikatakan berada dalam bentuk standar (standard form):

𝑌 = ¹

2𝜋 𝑒⁻¹²^𝑧²

(4)

Dalam kasus seperti ini, z dikatakan terdistribusi secara normal dengan mean sama dengan NOL, dan variance sama dengan SATU.

(6)

𝑓(𝑥)

𝑎 𝑏

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) Misal: 𝑏 = 1.72; 𝑎 = 1.50

Maka probabilitas 𝑥 akan berada di antara 𝑎 dan 𝑏 dapat dilihat dari Tabel Standard Normal Curve.

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 0.4573 − 0.4332

= 0.0241 = 2.41%

Yaitu luasan dalam kurva yang berwarna merah

(7)

Contoh 2.3 (Ramanathan)

• Luas daerah dari 0 sampai 1.72 adalah 0.4573;

• Karena kurva berbentuk simetri, luas daerah antara 0 dan -1.72 juga 0.4573;

• Jadi, luas antara 0.65 sampai 1.72 diperoleh dari selisih luas L1 (dari 0 ke 1.72) dengan L2 (dari 0 ke 0.65) = 0.4573-0.2422 = 0.1829 atau 18.29%;

• Dengan cara sama, kita dapat menghitung:

• 𝑃 −0.65 < 𝑥 < 1.44 = 0.2422 + 0.4251 = 0.6673 = 66.73%;

• 𝑃 −1.44 < 𝑥 < −0.65 = 0.1892 = 18.92%;

• 𝑃 𝑥 > 1.12 = 𝑃 𝑥 > 0 − 𝑃 0 < 𝑥 < 1.12 = 0.5 − 0.3686 = 0.1314 = 13.14%

(8)

• Bila kita memiliki indikasi distribusi sebuah populasi, umumnya kita dapat mencocokkannya dengan distribusi teoretis (dinamakan model atau

expected distribution);

• Secara umum, caranya dengan menggunakan mean dan standard deviation sampel untuk mengestimasi mean dan standard deviation dari seluruh

populasi;

• Untuk melakukan test the goodness of fit atas distribusi teoretis, kita

menggunakan chi-square test yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya (Bab 12);

• Sebagai upaya untuk menentukan apakah sebuah distribusi normal

merupakan good fit atas data yang ada, kita dapat menggunakan normal curve graph atau probability graph paper seperti contoh berikut:

Mencocokkan distribusi teoretis dengan sample frequency distribution

(9)

• Kita akan mencek, apakah disribusi frekuensi data bobot 100

mahasiswa pada Tabel 2.1 yang lalu menunjukkan distribusi normal?

• Pertama kali, kita mengkonversi distribusi frekuensinya menjadi cumulative relative frequency distribution seperti pada Tabel 7.5.

• Kemudian kita plot data di atas Contoh 7.32 (hal 136)

Bobot (kg) Frekuensi

kumulatif relatif (%)

< 62.5 5

< 65.5 23

<68.5 65

< 71.5 92

< 74.5 100

(10)

• Normal curve graph atau

probability graph paper sukar diperoleh, maka kita plot saja melalui Excel (pendekatan);

• Grafik di samping menunjukkan trend yang linier sempurna yang mengindikasikan goodness of fit sampel data dengan normal

distribution.

• Atau distribusi normal sangat cocok dengan sampel data.

(11)

This slide is intentionally left blank

(12)

Beberapa contoh lain

• Banyak contoh yang mengikuti pola distribusi normal;

• Misal: tinggi badan, ukuran benda yang diproduksi mesin, kesalahan dalam pengukuran, tekanan darah, nilai ujian, dsb.;

(13)

• Distribusi normal memiliki sifat:

• Mean = median = mode;

• Simetri terhadap tengahnya

• 50% nilainya < daripada mean-nya;

• 50% nilainya > daripada mean-nya.

(14)

• Lihat permainan Quincunx berikut:

(15)

Contoh 1:

• 95% mahasiswa/i memiliki tinggi badan antara 1.1m dan 1.7m;

• Anggaplah data terdistribusi secara normal, maka:

𝑀𝑒𝑎𝑛 = 1.1𝑚 + 1.7𝑚

2 = 1.4𝑚;

• 95% adalah 2𝜎 (standard deviasi) ke sebelah kiri dan kanan mean (total: 4𝜎), maka: 𝜎 = ^{1.7𝑚−1.1𝑚}

4 = ^0.6𝑚

4 = 0.15𝑚.

(16)

(17)

Keuntungan mengetahui harga stndard deviation adalah: kita dapat mengatakan bahwa:

• Mungkin (likely) dalam batas 1𝜎 (68 dari 100 data berada pada batasan tersebut);

• Sangat mungkin (very likely) dalam batas 2𝜎 (95 dari 100 data berada pada batasan tersebut);

• Hampir pasti (almost certainly) dalam batas 3𝜎 (997 dari 1000 data berada pada batas tersebut.

(18)

Standard Scores

• Harga standard deviation dari mean juga dinamakan Standard Scores, Sigma, atau z-score.

• Misal, di sekolah yang sama salah seorang mahasiswa memiliki tinggi tubuh 1.85m;

• Kita lihat kembali bell curve dimana 1.85m berada pada wilayah 3𝜎 dari mean yang memiliki harga 1.4m;

• Dengan demikian, mahasiswa ini berada pada z-score 3.0.

• Jaraknya dari mean: 1.85m- 1.4m = 0.45m → dari mean;

• Karena 𝜎 = 0.15𝑚, ini berarti jaraknya 3𝜎 dari mean.

(19)

Standard Normal Distribution

• Pertama kurangkan mean dari data, kemudian bagi dengan standard deviation (𝜎).

• Ini dinamakan proses menstandarisasi (standardizing);

• Semua normal distribution dapat distandarisasi

(20)

• Sebuah survey perjalanan harian mahasiswa ke kampus (dalam

menit) diperoleh data sbb: 26, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34;

• Proyek 1: Hitunglah z-score untuk masing-masing data;

• Buat Kelompok Kerja terdiri atas 4-5 mahasiswa/i;

• Masing-masing Kelompok Kerja mempresentasikan hasilnya, minggu depan.

Contoh : Waktu Perjalanan

(21)

• Seorang dosen memberikan nilai ujian sbb: 20, 15, 26, 32, 18, 28, 35, 14, 26, 22, 17 → dari nilai maksimum 60 yang seharusnya diperoleh;

• Kebanyakan mahasiswa/i bahkan tidak memperoleh nilai 30, dan kebanyakan akan gagal;

• Ujian ini pasti sangat sukar, maka si dosen memutuskan menstandarisasi semua nilai;

• Mean = 23, dan Standard Deviation = 6.97. Berikut adalah Standard Scorenya: -0.43, -1.15, 0.43, 1.29, -0.72, 0.72, 1.72, -1.29, 0.43, -0.14, -0.86;

• Standarisasi hanya membuat dua orang mahasiwa/i gagal yang memang berada di bawah -𝜎;

• Proyek 2: Kerjakan detil perhitungan standarisasi ini.

Mengapa distandarisasi?

(22)

• Berikut adalah Standrad Normal Distribution dengan persentase

setiap pertengahan standard deviation dan persentase kumulatifnya.

Lebih jauh tentang Bell Curve

(23)

Contoh:

• Nilai seorang mahasiswa pada ujian adalah 0.5 standard deviation di atas harga rerata. Berapa orang yang memperoleh nilai lebih rendah?

• Antara 0 dan 0.5 adalah 19.1%;

• Lebih rendah dari 0 adalah 50% (belah kiri dari kurva);

• Dengan demikian, total yang memperoleh nilai di atas adalah:

50% + 19.1% = 69%

Secara teori 69.1% lebih rendah dari nilai mahasiswa di atas;

Namun, dengan menggunakan real data, persentasenya mungkin berbeda.

(24)

Contoh praktek timbangan:

• Sebuah perusahaan pengepakan gula menimbang 100 paket 1 kg seratus kali;

• Diperoleh data sebagai berikut: 1007 gram, 1032 gram, 1002 gram, 1004 gram, dst;

• Harga reratanya (mean) 𝜇 = 1010 gram;

• Standard deviasinya 𝜎 = 20 gram;

• Berarti, beberapa paket memiliki bobot yang kurang dari 1000 gram, dan Anda harus mengkoreksinya;

(25)

• Normal distribution hasil pengukuran Anda tampak seperti gambar di atas;

• Sekitar 31% paket gula perusahaan Anda kurang dari 1000 gram;

• Ini artinya merugikan pelanggan Anda!

• Kita lakukan koreksi pada mesin timbangan dengan dua cara

(26)

• Pada -3𝜎. Dari bell curve yang lalu, kita melihat bahwa luas wilayah ini hanya 0.1%. Ini terlalu kecil;

• Pada -2.5𝜎. Di bawah 3𝜎 adalah 0.1%, dan antara 3𝜎 dan 2.5𝜎 adalah 0.5%. Keduanya memiliki luas total 0.1% + 0.5% = 0.6% → ini pilihan yang lebih realistis;

• Jadi, mari kita koreksi mesin timbangan agar diperoleh 1000 gram pada -2.5𝜎 dari mean.

Kita koreksi dengan:

• Menambah jumlah gula pada tiap kantong (berarti merubah mean- nya), atau

• Melakukan timbangan yang lebih akurat dengan menurunkan 𝜎 (standard deviation).

(27)

Merubah mean pada setiap kantong

• 𝜎 = 20 gram;

• Kita memerlukan koreksi 2.5𝜎 = 2.5 x 20 gram = 50 gram;

• Dengan demikian, mesin timbangan harus memperoleh harga mean 1050 gram seperti gambar berikut:

(28)

Mengkoreksi ketelitian timbangan

• Kita tetap mempertahankan 𝜇 = 1010 𝑔𝑟𝑎𝑚, tapi kita kita harus memperoleh 2.5𝜎 = 10 𝑔𝑟𝑎𝑚.

• Berarti, 𝜎= ^{10 𝑔𝑟𝑎𝑚}

2.5 = 4 𝑔𝑟𝑎𝑚 → harus dicari timbangan yang lebih akurat;

• Atau kombinasi dua solusi di atas.

(29)

8. Metode Sampling

dan Teorema Central Limit

(30)

8.1 Pendahuluan

• Dalam kesimpulan statistik, tujuan kita adalah menentukan sesuatu tentang populasi hanya berdasarkan sampel;

• Populasi adalah keseluruhan kelompok individu atau objek;

• Sampelnya adalah bagian dari populasi itu;

• Sekarang kita mulai cara melakukan pengambilan sampel;

• Sampel adalah alat untuk menyimpulkan tentang sebuah populasi;

• Kita mulai dengan membahas metode pemilihan sampel dari suatu populasi;

• Selanjutnya, kita akan kaji distribusi sample mean untuk memahami

bagaimana sample mean cenderung mengelompok di sekitar population mean;

• Akhirnya, kita akan lihat bahwa untuk populasi mana pun, bentuk distribusi sampling ini cenderung mengikuti distribusi probabilitas normal.

(31)

• Tujuan statistik inferensial adalah untuk menemukan sesuatu tentang populasi berdasarkan sampel;

• Sampel adalah bagian dari populasi yang kita selidiki.

• Kita akan bahas alasan utama pengambilan sampel, dan beberapa metode untuk memilih sampel.

• Beberapa alasan pengambilan sampel:

1) Untuk mengkaji seluruh populasi akan memakan waktu;

2) Biaya mempelajari semua item dalam suatu populasi mahal, bahkan mungkin tidak mungkin.

3) Secara fisik, tidak juga mungkin melakukan studi semua item dalam universe;

8.2 Metoda Sampling

(32)

4) Dalam banyak kasus, ada efek yang merusak jika harus melakukan untuk semua populasi (universe) → misal: mencoba rasa rokok, minuman alkohol, dsb.

5) Hasil dari sebuah sampel cukup. Meskipun jika biaya dan waktu

bukan halangan, tidak mungkin akan memperoleh hasil yang 100%.

Random sampling sederhana

• Metode ini yang paling banyak digunakan;

• Sampel dipilih sehingga setiap item atau orang dalam populasi memiliki peluang yang sama untuk dimasukkan.

• Cara yang paling sederhana adalah dengan pengundian;

• Misal: untuk memilih 50 dari 800 karyawan.

(33)

• Metode yang lebih mudah adalah dengan

menggunakan nomor identifikasi masing-masing karyawan dan tabel nomor acak;

• Angka-angka dihasilkan oleh proses acak (komputer).

Untuk setiap digit angka, probabilitas 0, 1, 2,. . . , 9 adalah sama;

• Banyak software statistik yang menyediakan paket

untuk memperoleh simple random sample. Excel-pun memiliki fasilitas ini.

• Contoh: seorang manajer RBnB hotel yang memiliki 8 kamar harus menempatkan tamunya pada kamar-

kamar yang tersedia. Agar jangan bias, digunakan random number generator. Atau menghitung

occupancy rate dengan memilih 5-malam sebagai

sampel untuk bulan Juni 2011 → lihat file Excel (akan dijelaskan kemudian)

June Rentals Sample

1 0 4

2 2 2

3 3 4

4 2 3

5 3 2

6 4

7 2

8 3

9 4

10 7

11 3

12 4

13 4

14 4

15 7

16 0

17 5

18 3

19 6

20 2

21 3

22 2

23 3

24 6

25 0

26 4

27 1

28 1

29 3

30 3

(34)

Systematic random sampling

• Simple random sampling mungkin jadi rumit untuk situasi tertentu;

• Misal: sudah ada 2000 invoice penjualan yang tersedia di laci. Harus dipilih 100 invoice untuk mengestimasi revenue;

• Maka, jika menggunakan simple random sampling, kita harus memberikan penomoran pada masing-2 invoice untuk diundi → makan waktu lama.

• Kita gunakan systematic random sampling. Misal:

setiap invoice nomor k;

• Dimana k diperoleh dari 2,000/100 =20;

(35)

Stratified random sampling

• Jika populasi dapat dibagi ke dalam grup berdasarkan karakteristik tertentu dengan jelas;

• Grup ini juga dinamakan strata;

• Misal: mahasiwa dikelompokkan menjadi yang penuh dan paruh waktu;, laki dan perempuan, dll;

• Random, tapi berdasarkan rasio terhadap ukuran grupnya;

• Contoh: Kita akan melakukan studi pengeluaran iklan untuk 352 perusahaan terbesar di Amerika Serikat

• Untuk menentukan apakah perusahaan dengan profit tinggi juga menghabiskan biaya yang lebih besar untuk iklan;

• Agar representatif dan adil, 352 perusahaan tsb

dikelompokkan berdasarkan persentase pengembalian atas ekuitas.

(36)

STRATA Profitability

(return on equity)

Number of Firms

Relative Frequency

Number Sampled

1 ≥ 30% 8 0.02 1*

2 20% - 30% 35 0.10 5*

3 10% - 20% 189 0.54 27

4 0% - 10% 115 0.33 16

5 Deficit 5 0.01 1

352 1.00 50

*0.02 x 50 = 1, 0.10 x 50 = 5, dst.

(37)

Cluster sampling

• Populasi dibagi ke dalam cluster menggunakan batas geografi alam atau yang lain;

• Kemudian, cluster dipilih secara random, dan sampel dikoleksi secara random dalam cluster tersebut;

• Contoh:

Anda ingin menentukan pandangan penduduk di sebuah provinsi tentang kebijakan perlindungan lingkungan;

• Memilih sampel acak penduduk provinsi tsb dan secara pribadi menghubungi masing-masing akan memakan waktu dan sangat mahal;

• Alternatif: Anda bisa menggunakan cluster sampling dengan membagi provinsi menjadi unit-unit kecil

(kabupaten atau kota). Ini disebut unit primer.

(38)

Cluster sampling . . .

• Misal, kita bagi provinsi menjadi 12 unit primer, lalu memilih secara acak empat wilayah: 2, 7, 4, dan 12;

• Kita pusatkan survey dalam unit primer ini;

• Dengan mengambil sampel acak dari

penduduk di masing-masing wilayah dan melakukan mewawancara;

• Jadi, ini merupakan kombinasi dari cluster sampling dan simple random sampling.