ABSTRAK AYU MERYANTI GALMAYURA FARIDA HANUM

vii

ABSTRAK

AYU MERYANTI GALMAYURA. Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan Goal Programming. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan ENDAR HASAFAH NUGRAHANI

Dalam suatu istilah investasi, portofolio didefinisikan sebagai suatu kumpulan investasi, baik berupa aset riil maupun aset keuangan. Portofolio dapat tersusun dari berbagai jenis sekuritas baik obligasi maupun saham. Obligasi dianggap sebagai jenis sekuritas yang memiliki risiko yang lebih kecil daripada saham. Berdasarkan jenisnya, obligasi dibagi menjadi dua macam yaitu:

obligasi pemerintah dan obligasi swasta. Risiko obligasi diperoleh dari risiko tingkat suku bunga yang berubah-ubah, waktu jatuh tempo dan risiko gagal bayar (default risk) yang ada pada setiap obligasi. Risiko-risiko tersebut memengaruhi harga obligasi, sehingga harga portofolio yang dimiliki investor juga akan berubah-ubah. Dalam hal ini, investor tetap mengharapkan tingkat pengembalian yang sama atau lebih besar dari harga beli obligasinya. Oleh sebab itu, muncul konsep imunisasi yang akan mengimunisasi tingkat risiko pada portofolio yang disusun dari berbagai jenis obligasi. Dalam mengelola portofolio obligasi yang terimunisasi timbul permasalahan yang harus dihadapi, yakni meminimumkan risiko-risiko yang ada pada obligasi yang akan memengaruhi tingkat pengembalian yang diperoleh investor di masa datang.

Permasalahan optimasi portofolio obligasi yang terimunisasi dapat diselesaikan dengan goal programming sebagai salah satu teknik alternatif untuk mencari portofolio obligasi terimunisasi yang optimal dan menggunakan software LINGO 11.0. Hasil yang diperoleh dari optimasi ini adalah proporsi dari portofolio obligasi yang terimunisasi yang membuat investor mendapatkan yield yang maksimal dan risiko yang minimal pada periode investasi tertentu.

vii

ABSTRACT

AYU MERYANTI GALMAYURA. Optimization of Immunized Bond Portfolios using Goal Programming. Supervised by FARIDA HANUM and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI.

In a term investments, portfolio is defined as a collection of securities, i.e. real or financial assets. Portfolio can be arranged in a form of bonds or stocks. Bonds are considered as types of securities that have smaller risk than stocks. Based on the type, the bonds are divided into government and corporate bonds. The risk of bonds is obtained from the risk of interest rate swing, maturity, and default risk that exist on each bond. Those risks affect bond prices, so the price of the portfolio will also vary. In this case, investors still expect the rate of return equal to or greater than the purchase price of the bonds. Therefore, the concept of immunization is introduced to reduce the level of risk in the portfolio composed by various types of bonds. In the immunized bond portfolio the risk that exist on the bonds will be minimized so that the rate of return obtained by investors in the future will be maximized. The implementation of optimizing the immunized bond portfolios is carried out using goal programming with LINGO 11.0. The result of this optimization is the proportion of immunized bond portfolios which gives maximal return and minimal risk over a particular investment period.

vii

Judul : Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan Goal Programming Nama : Ayu Meryanti Galmayura

NIM : G54070041

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

NIP. 19651019 199103 2 002 NIP. 19631228 198903 2 001

Mengetahui, Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL

...

viii

DAFTAR LAMPIRAN

...

viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

...

1

1.2 Tujuan

...

1

II LANDASAN TEORI 2.1 Istilah-Istilah Keuangan

...

1

2.2 Pemrograman Linear

...

3

2.3 Fungsi Konveks

...

3

2.4 Goal Programming

...

3

III PEMBAHASAN 3.1 Pengimunisasian Obligasi dari Risiko Gagal Bayar

...

6

3.2 Pemaksimuman Yield Portofolio Saat Jatuh Tempo (Term to Maturity)

...

7

3.3 Pengendalian Risiko Gagal Bayar

...

7

3.4 Kendala Pemilihan Portofolio Bullet

...

8

3.5 Formulasi Masalah Imunisasi dengan Goal Programming

...

8

IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA 4.1 Contoh Kasus Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi

...

10

4.2 Penyelesaian Masalah Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi

...

13

V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan

...

15

5.2 Saran

...

15

DAFTAR PUSTAKA

...

16

LAMPIRAN

...

17

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Riset Operasi dengan judul Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan Goal Programming. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1 Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis;

tak lupa kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku penguji;

2 Ibunda Anik Zuhriyah dan Ayahanda Ariyadi yang banyak memberi wejangan dan nasihat serta dukungan yang tak terkira, Adikku Enggar Puspita Ningrum dan Sultan Arkaan Al Mufid atas semangat belajar dan mengingatkan yang tiada henti, dan Sukma Kukuh Pribadi atas segenap perhatian, semangat serta kesabarannya selama penyusunan skripsi;

3 keluarga besar dan staf Penilai Harga Efek Indonesia (Indonesia Bond Pricing Agency):

Mbak Rani, Mas Irfan, dkk yang telah memberi semangat dan membantu penyusunan skripsi ini;

4 keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam penyusunan skripsi;

5 teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Iyat, Iam, Wahyu, Indin, Ipul, Cepi, Cita, Ririh, Imam, Ali, Aswin, Eka, Aje, Yuyun, Deva, Wenti, Ndep, Titi, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Fajar, Rofi, Ima, Fitri, Lingga, Naim, Dhika, Nadiroh, Nurus, Endro, Puying, Lukman, Olih, Dian, Pandi, Vianey, Dela, Anis, Iresa, Sari, Masayu, Yuli, Diana, Arina, Abe, Tyas atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB;

6 kakak-kakak mahasiswa Matematika angkatan 43: kak Slamet, kak Ecka, dkk atas segala bantuan dan motivasinya; adik-adik mahasiswa Matematika angkatan 45: Gita, Feni, Icha, Bolo, dkk yang telah mendukung penulis dalam penyusunan skripsi; keluarga besar, staf dan pengajar ELLIPS: Teh Walidah, Teh Lia, Teh Cici, Mega, Kak Iput, Mba Ana, Kak Ian, terima kasih atas bantuannya selama ini;

7 keluarga besar Gentra Kaheman: Kang Afdal, Punjung, Tyas, Putri, dkk yang telah memberikan pandangan dan pengalaman baru dalam hidup penulis;

8 keluarga besar Manggis 49: Bunda, Bapak, Ipin, Mirna, Fahmi, Ude, Dian, Fahren, dkk dan teman-teman alumni SMA 1 Tambun Selatan, serta untuk sahabatku Kasfy, Apri, Febi, dan Upeh terima kasih sudah memberi motivasi selama penulisan skripsi ini;

9 keluarga besar Kost Raya Darmaga no 6: Bu Titi, Devi, Mbak Dinda, Kak Tyas, Nunu, Nia, Sari, Kak Lina, Kak Lia, terima kasih atas semangat yang tidak pernah berhenti;

10 adik-adik bimbingan belajar: Dewi, Tanty, Yodi, Tyas, Septa, Farida, Mery, Vian, Icha, Nova, Novi, Nay, Nurul, dkk, terima kasih atas dukungan dan semangat yang tiada henti;

11 juga pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Juli 2011

Ayu Meryanti Galmayura

vii

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 23 Maret 1990 dari pasangan Aryadi dan Anik Zuhriyah. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.

Pada tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tambun Selatan. Penulis melanjutkan studinya di Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk ( USMI) IPB pada tahun 2007. Penulis juga memilih minor Manajemen, Departemen Manajemen, Fakultas Ekonomi dan Manajemen sebagai bidang keahlian pelengkap untuk menambah kompetensi penulis.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan, di antaranya pada tahun 2007-2008 menjabat sebagai anggota Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman dan UKM kewirausahaan CENTURY, serta mengikuti kepanitiaan dari beberapa kegiatan selama rentang waktu 2007-2011. Penulis juga aktif dalam kegiatan mengajar. Pada tahun 2008-2011 penulis menjadi staf pengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I pada Lembaga Bimbingan Belajar ELLIPS. Pada tahun 2009 penulis juga menjadi asisten dosen untuk beberapa mata kuliah, di antaranya Kalkulus II pada tahun 2009, Pemrograman Linear pada Januari 2010, dan Pemrograman Taklinear pada tahun 2010.

vii

OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI DENGAN GOAL PROGRAMMING

AYU MERYANTI GALMAYURA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

vii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Informasi obligasi

...

10

2 Matriks data untuk seluruh obligasi

...

12

3 Proporsi optimal portofolio obligasi yang terimunisasi

...

15

4 Pencapaian multisasaran portofolio obligasi yang terimunisasi

...

15

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Pembuktian Teorema 2 dan Teorema 3

...

18

2 Pembuktian 𝐺_𝑖^∗ dan V fungsi konveks dari

λ ...

19

3 Pembuktian persamaan (6), (7), (8), (11), dan (12)

...

20

4 Informasi obligasi

...

23

5 Solusi optimal untuk model goal programming

...

28

vii

OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI DENGAN GOAL PROGRAMMING

AYU MERYANTI GALMAYURA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Istilah obligasi telah dikenal masyarakat luas. Obligasi digunakan sebagai pengganti surat utang yang dikeluarkan oleh suatu lembaga tertentu. Pihak yang menerbitkan obligasi akan membayar imbalan berupa kupon bunga yang tetap pada periode tertentu dan melunasi pokok utang pada waktu yang telah ditentukan kepada pihak pembeli obligasi tersebut.

Investor seringkali menggunakan obligasi untuk menyusun portofolio. Nilai portofolio akan berubah sesuai dengan harga obligasi yang menyusun portofolio tersebut. Jika nilai portofolio naik, artinya nilai kekayaan investor bertambah, sedangkan nilai kekayaan investor menurun jika nilai portofolio turun.

Oleh sebab itu, diperlukan suatu cara untuk mengatasi naik turunnya nilai portofolio investor.

Konsep imunisasi obligasi diperkenalkan untuk mencegah risiko-risiko obligasi.

Imunisasi obligasi berfungsi untuk melindungi investor dari perubahan harga obligasi yang dipengaruhi tingkat suku bunga dan risiko gagal bayar (default risk). Investor harus memilih portofolio yang optimal dengan

meminimumkan risiko dan memaksimalkan waktu jatuh tempo obligasi sehingga investor mendapatkan imbal hasil (yield) yang maksimum.

Permasalahan pemilihan portofolio optimal yang terimunisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan goal programming (GP). Goal programming (GP) adalah perluasan pemrograman linear (PL). Goal programming digunakan untuk permasalahan yang menggunakan multifungsi objektif.

Selain itu, masalah ini akan diselesaikan dengan menggunakan software LINGO 11.0.

Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang berjudul Using Linear and Goal Programming to Immunize Bond Portfolios yang ditulis oleh Alexander, G.J. dan Resnick, B.G pada tahun 1985.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menyajikan penyelesaian masalah imunisasi portofolio obligasi dengan menggunakan goal programming sebagai salah satu teknik untuk mengetahui portofolio optimal yang terimunisasi.

II LANDASAN TEORI

Untuk memahami masalah optimasi portofolio obligasi yang terimunisasi diperlukan definisi dan beberapa konsep berikut.

2.1 Istilah-Istilah Keuangan Definisi 1 (Portofolio)

Portofolio merupakan suatu kumpulan investasi, baik berupa aset riil maupun aset keuangan.

(Sartono 1997) Portofolio dapat tersusun dari berbagai jenis sekuritas baik obligasi maupun saham.

Definisi 2 (Imunisasi)

Imunisasi merupakan suatu strategi untuk membuat durasi aset sama dengan durasi kewajiban sehingga nilai investasi tidak terpengaruh oleh pergerakan suku bunga.

(Bodie et al. 2006)

Definisi 3 (Risiko)

Risiko (risk) didefinisikan sebagai penyimpangan atas yield yang diperkirakan;

diukur sebagai standar deviasi dari yield.

(Keown et al. 2001) Terdapat tiga sikap investor dalam menghadapi risiko berinvestasi; (1) risk averse investor yaitu investor yang lebih senang terhadap pilihan investasi dengan risiko yang lebih kecil pada tingkat keuntungan yang sama; (2) risk neutral investor yaitu investor yang bersikap netral terhadap risiko; (3) risk seeker investor yaitu investor yang lebih senang dengan memilih risiko yang lebih tinggi.

(Sartono 1997) Definisi 4 (Obligasi)

Obligasi (bond) adalah surat utang yang diterbitkan oleh pihak peminjam obligasi yang mewajibkan pihak penerbit obligasi untuk melakukan pembayaran bunga yang disebut sebagai pembayaran kupon kepada pemegang obligasi selama masa obligasi, kemudian

2

melunasi nilai nominal pada waktu jatuh tempo.

(Bodie et al. 2006) Secara umum jenis obligasi dapat dilihat dari penerbitnya, yaitu obligasi perusahaan dan obligasi pemerintah. Obligasi pemerintah disebut juga obligasi bebas risiko. Obligasi pemerintah ini dianggap lebih aman daripada obligasi perusahaan. Karena lebih aman, bunga yang dibayarkan menjadi lebih kecil dibandingkan dengan bunga dari obligasi perusahaan.

Definisi 5 (Nilai Pari)

Nilai pari (par value) obligasi yaitu nilai nominal yang tertera pada lembar obligasi yang akan dibayarkan kepada pemegang obligasi pada saat jatuh tempo.

(Keown et al. 2001) Definisi 6 (Waktu Jatuh Tempo)

Waktu jatuh tempo yaitu lama waktu sampai penerbit obligasi mengembalikan nilai pari ke pemegang obligasi dan mengembalikan obligasi itu.

(Keown et al. 2001) Sepanjang pelunasan obligasi telah dilakukan maka penerbit tidak lagi memiliki kewajiban kepada pemegang obligasi setelah lewat tanggal jatuh tempo obligasi tersebut.

Definisi 7 (Kupon)

Kupon adalah besarnya persentase terhadap nilai pari obligasi yang akan dibayarkan secara berkala dalam bentuk bunga.

(Keown et al. 2001) Biasanya kupon memiliki besaran yang tetap sepanjang masa berlakunya obligasi, tetapi juga dapat mengacu kepada suatu indeks pasar uang. Istilah kupon asal mulanya digunakan karena di masa lalu secara fisik obligasi diterbitkan bersama dengan kupon bunga yang melekat pada obligasi tersebut.

Pada tanggal pembayaran kupon, pemegang obligasi akan menyerahkan kupon tersebut ke bank untuk ditukarkan dengan pembayaran bunga.

Definisi 8 (Peringkat Obligasi)

Peringkat obligasi mencakup penilaian atas risiko obligasi yang mungkin terjadi kemudian. Peringkat obligasi umumnya dipengaruhi oleh proporsi modal terhadap utang, tingkat profitabilitas perusahaan, tingkat kepastian dalam menghasilkan

pendapatan, besar kecilnya perusahaan, dan jumlah pinjaman subordinasi yang dikeluarkan perusahaan.

(Keown et al. 2001) Pemeringkatan obligasi dilakukan oleh sebuah perusahaan independen. Di Indonesia, perusahaan pemeringkatan tersebut adalah Pefindo (Pemeringkat Efek Indonesia).

Pefindo memberikan simbol atau nilai pemeringkatan dari yang tertinggi sampai yang terendah sebagai berikut: AAA (superior), AA (very strong), A (strong), BBB (adequate), BB (somewhat weak), B (non- investment), CCC (vulnerable), D (default).

Pemeringkatan obligasi memberikan informasi kepada investor mengenai kapasitas maupun kemampuan sebuah penerbit obligasi dalam memenuhi janjinya, yaitu membayar kupon secara berkala dan mengembalikan semua pokok atau nilai pari obligasi pada saat jatuh tempo.

Definisi 9 (Nilai Obligasi)

Nilai obligasi adalah jumlah dari nilai sekarang (present value) dari tingkat kupon serta nilai pari obligasi yang akan diterima di masa datang.

(Keown et al. 2001) Definisi 10 (Risiko Gagal Bayar)

Risiko gagal bayar (default risk) adalah risiko yang diterima investor karena penerbit obligasi mengalami kesulitan untuk membayar kupon bunga obligasi yang telah dijanjikan. Potensi gagal bayar dari penerbit obligasi dapat diketahui dengan melihat peringkat obligasi tersebut.

(Keown et al. 2001) Definisi 11 (Imbal Hasil Obligasi )

Imbal hasil (yield) obligasi adalah angka yang menunjukkan keuntungan yang diperoleh investor dari obligasi.

(Bodie et al. 2006) Definisi 12 (Imbal Hasil Saat Jatuh Tempo) Imbal hasil saat jatuh tempo (yield to maturity) adalah ukuran rata-rata tingkat imbal hasil yang akan diterima dari suatu obligasi yang dimiliki hingga waktu jatuh tempo.

(Bodie et al. 2006) Definisi 13 (Yield curve)

Yield curve (yield curve) adalah grafik dari imbal hasil hingga jatuh tempo (yield to

3

maturity) sebagai fungsi dari waktu jatuh tempo.

(Bodie et al. 2006) 2.2 Pemrograman Linear

Pemrograman linear (PL) atau linear programming (LP) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:

a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b) Nilai variabel-variabel keputusan harus memenuhi suatu himpunan kendala.

Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear.

c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel 𝑥_𝑖 , pembatasan tanda menentukan 𝑥_𝑖 harus taknegatif (𝑥_𝑖 ≥ 0) atau tidak dibatasi tanda (unrestricted in sign).

(Winston 2004) 2.3 Fungsi Konveks

Sebelum membahas fungsi konveks, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 14 (Himpunan Konveks)

Misalkan S menyatakan himpunan titik.

Himpunan S adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan sembarang titik-titik dalam S seluruhnya termuat dalam S, atau dengan kata lain himpunan 𝑆 ⊆ ℝ^𝑛 dikatakan himpunan konveks jika untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂ϵ 𝑆 berlaku 𝜆𝑥₁+ 1 − 𝜆 𝑥₂ϵ 𝑆 dengan 0 ≤ λ ≤ 1.

(Winston 2004) Definisi 15 (Fungsi Konveks)

Misalkan 𝑓: 𝑆 → ℝ, dengan S himpunan konveks yang takkosong di ℝ^𝑛. Fungsi 𝑓dikatakan fungsi konveks pada S jika dan hanya jika

𝑓 𝜆𝑥₁+ 1 − 𝜆 𝑥₂

≤ 𝜆𝑓 𝑥₁ + 1 − 𝜆 𝑓 𝑥₂ , untuk setiap 𝑥₁, 𝑥₂ϵ 𝑆 dan untuk setiap 0 ≤ 𝜆 ≤ 1.

(Peressini et al. 1988)

Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk memeriksa kekonveksan fungsi satu variabel.

Teorema 1

Jika 𝑓 fungsi satu variabel yang terdiferensialkan dua kali pada S, maka 𝑓 adalah fungsi konveks pada S jika dan hanya jika 𝑓^′′(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ϵ 𝑆. Jika 𝑓^′′ 𝑥 > 0 untuk setiap 𝑥 ϵ 𝑆, maka 𝑓 dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly convex).

(Peressini et al. 1988) Teorema 2

Jika 𝑓₁+ 𝑓₂+ 𝑓₃+ ⋯ + 𝑓_𝑘 adalah fungsi konveks pada himpunan konveks S di ℝ^𝑛, maka 𝑓 = 𝑓₁+ 𝑓₂+ 𝑓₃+ ⋯ + 𝑓_𝑘 juga fungsi konveks. Selanjutnya, jika paling sedikit satu dari 𝑓_𝑖 adalah strictly convex di S, maka 𝑓 adalah strictly convex.

(Peressini et al. 1988) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

Teorema 3

Jika 𝑓 adalah fungsi konveks pada himpunan konveks S di ℝ^𝑛 dan jika α adalah bilangan yang positif, maka 𝛼𝑓 adalah fungsi konveks pada S.

(Peressini et al. 1988) Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

2.4 Goal Programming

Goal programming adalah salah satu teknik yang dapat digunakan oleh pembuat keputusan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan tujuan lebih dari satu.

(Winston 2004) Goal programming berbeda dengan pemrograman linear karena goal programming dapat menyelesaikan permasalahan dengan dua fungsi objektif atau lebih. Model goal programming merupakan perluasan dari model pemrograman linear, sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi model, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda. Model goal programming memiliki sepasang variabel deviasi 𝑑_𝑗⁻ dan 𝑑_𝑗⁺ yang taknegatif. Variabel 𝑑_𝑗⁻ didefinisikan sebagai sejumlah nilai yang menampung deviasi yang berada di bawah sasaran ke-j, sedangkan variabel 𝑑_𝑗⁺ didefinisikan sebagai sejumlah nilai yang menampung deviasi yang berada di atas

4

sasaran ke-j. Variabel-variabel deviasi ini harus diminimumkan pada model goal programming. Suatu tujuan ke-j pada model goal programming dianggap berhasil dicapai bila varibel deviasi pada fungsi objektif tujuan ke-j bernilai 0.

Ilustrasi bentuk model goal programming dapat dilihat pada Contoh 1.

Contoh 1.

Misalkan formulasi model PL Maksimumkan 𝑥₁+ 𝑥₂ terhadap 7𝑥₁+ 3𝑥₂≥ 40

10𝑥₁+ 5𝑥₂≥ 60 5𝑥₁+ 4𝑥₂≥ 35 100𝑥₁+ 60𝑥₂≤ 600

𝑥₁, 𝑥₂≥ 0 (PL.1) Dengan mengasumsikan bahwa ada tiga tujuan yang akan dicapai, yaitu pada kendala pertama, kedua, dan ketiga, maka dengan menambahkan variabel deviasi, model PL dapat diubah menjadi model goal programming seperti berikut.

Minimumkan 𝑑1−+ 𝑑2−+ 𝑑3−

Terhadap 7𝑥₁+ 3𝑥₂+𝑑₁⁻−𝑑₁⁺= 40 10𝑥₁+ 5𝑥₂+𝑑₂⁻−𝑑₂⁺= 60 5𝑥1+ 4𝑥2+𝑑3−−𝑑3+= 35 100𝑥₁+ 60𝑥₂≤ 600 (GP.1) 𝑥₁, 𝑥_2,𝑑_𝑗⁻, 𝑑_𝑗⁺≥ 0 𝑗 = 1,2,3 Dengan menggunakan software LINGO 11.0, maka diperoleh solusi optimal dari (GP.1) adalah 𝑥₁= 5, 𝑥₂ = 1.67, 𝑑₁⁻= 0, 𝑑₂⁻= 1.67, 𝑑₃⁻= 3 dan 𝑑₁⁺, 𝑑₂⁺, 𝑑₃⁺= 0 dengan nilai fungsi objektif 5. Solusi ini berarti bahwa tujuan pertama berhasil dicapai sedangkan tujuan kedua dan ketiga gagal dicapai.

Masalah penentuan prioritas tujuan sering menjadi masalah bagi pembuat keputusan.

Masalah ini dapat dituangkan ke dalam model goal programming dengan mengatur urutan prioritas peminimuman variabel deviasi.

Untuk menerapkan model ini, pembuat keputusan harus menentukan peringkat tujuan mulai dari yang paling penting hingga tujuan yang tidak terlalu penting. Diasumsikan bahwa pembuat keputusan memiliki n tujuan.

Urutan prioritas tujuan n yang akan diminumkan pada fungsi objektif akan dinotasikan sebagai 𝑃𝑛. Diasumsikan bahwa

𝑃₁≫ 𝑃₂≫ 𝑃₃≫ ⋯ ≫ 𝑃_𝑛

Pada model goal programming, fungsi objektif dapat diubah menjadi 𝑃₁𝑑₁⁻+ 𝑃₂𝑑₂⁻+ 𝑃₃𝑑₃⁻.

Untuk menerapkan model prioritas ini, fungsi objektif harus dipisah menjadi n komponen yang dinotasikan sebagai berikut:

𝑧_𝑗= fungsi objektif yang memuat tujuan ke-j.

dengan j =1,2,...,n.

Berdasarkan fungsi objektif (GP.1), fungsi objektif dipisah menjadi 3 komponen, yaitu 𝑧₁= 𝑃₁𝑑₁⁻, 𝑧₂= 𝑃₂𝑑₂⁻ , dan 𝑧₃= 𝑃₃𝑑₃⁻ dengan kendala yang sama dengan (GP.1) dan menambahkan kendala 𝑑₁⁻= 0 untuk formulasi dengan fungsi objektif 𝑧2 serta menambah kendala 𝑑₁⁻= 0 dan 𝑑₂⁻= 0 untuk formulasi dengan fungsi objektif 𝑧₃.

Ilustrasi bentuk model goal programming dengan prioritas dapat dilihat pada Contoh 2.

Contoh 2.

Prioritas ke-1 Minimumkan 𝑑1−

terhadap 7𝑥₁+ 3𝑥₂+𝑑₁⁻−𝑑₁⁺= 40 10𝑥₁+ 5𝑥₂+𝑑₂⁻−𝑑₂⁺= 60 5𝑥₁+ 4𝑥₂+𝑑₃⁻−𝑑₃⁺= 35 100𝑥₁+ 60𝑥₂≤ 600 𝑥₁, 𝑥_2,𝑑_𝑗⁻, 𝑑_𝑗⁺≥ 0 𝑗 = 1,2,3 (GP.2)

Dengan menggunakan software LINGO 11.0 maka diperoleh solusi optimal dari (GP.2) adalah 𝑥₁= 5.714, 𝑥₂ = 0, 𝑑₁⁻= 0, 𝑑₂⁻= 2.857, 𝑑₃⁻= 6.4285 dan 𝑑₁⁺, 𝑑₂⁺, 𝑑₃⁺= 0.

Kemudian ditambahkan 𝑑₁⁻= 0 pada kendala di prioritas ke-2, sehingga modelnya menjadi

Prioritas ke-2 Minimumkan 𝑑₂⁻

terhadap 7𝑥₁+ 3𝑥₂+𝑑₁⁻−𝑑₁⁺= 40 10𝑥₁+ 5𝑥₂+𝑑₂⁻−𝑑₂⁺= 60 5𝑥₁+ 4𝑥₂+𝑑₃⁻−𝑑₃⁺= 35 100𝑥₁+ 60𝑥₂≤ 600 𝑥₁, 𝑥_2,𝑑_𝑗⁻, 𝑑_𝑗⁺≥ 0 𝑗 = 1,2,3 𝑑₁⁻= 0 (GP.3)

Dengan menggunakan software LINGO 11.0 maka diperoleh solusi optimal dari (GP.3) adalah 𝑥₁= 6, 𝑥₂ = 0, 𝑑₁⁻= 0, 𝑑₂⁻= 0, 𝑑₃⁻= 5, 𝑑₁⁺= 2, dan 𝑑₂⁺, 𝑑₃⁺= 0.

5

Selanjutnya ditambahkan 𝑑₁⁻= 0 dan 𝑑₂⁻= 0 pada kendala di prioritas ke-3, sehingga modelnya menjadi

Prioritas ke-3 Minimumkan 𝑑₃⁻

terhadap 7𝑥₁+ 3𝑥₂+𝑑₁⁻−𝑑₁⁺= 40 10𝑥₁+ 5𝑥₂+𝑑₂⁻−𝑑₂⁺= 60 5𝑥₁+ 4𝑥₂+𝑑₃⁻−𝑑₃⁺= 35 100𝑥₁+ 60𝑥₂≤ 600 𝑥₁, 𝑥_2,𝑑_𝑗⁻, 𝑑_𝑗⁺≥ 0 𝑗 = 1,2,3

𝑑1−= 0

𝑑₂⁻= 0 (GP.4)

Setelah menyelesaikan (GP.4) menggunakan software LINGO 11.0, maka diperoleh solusi optimal dari (GP.4) adalah 𝑥₁= 6, 𝑥₂ = 0, 𝑑₁⁻= 0, 𝑑₂⁻= 0, 𝑑₃⁻= 5, 𝑑₁⁺= 2, dan 𝑑₂⁺, 𝑑₃⁺= 0.

Nilai fungsi objektif keseluruhan untuk Contoh 2 diperoleh dengan menambahkan hasil optimal dari fungsi objektif pada setiap prioritas, sehingga pada Contoh 2 diperoleh nilai fungsi objektif 5 dan solusi optimalnya adalah 𝑥₁= 6, 𝑥₂ = 0, 𝑑₁⁻= 0, 𝑑₂⁻= 0, 𝑑3−= 5, 𝑑1+= 2, dan 𝑑2+, 𝑑3+= 0. Solusi pada Contoh 2 menujukkan bahwa tujuan pertama dan tujuan kedua berhasil dicapai sedangkan tujuan ketiga gagal dicapai.

III PEMBAHASAN

Pembelian dan penjualan obligasi banyak dilakukan oleh berbagai institusi seperti perusahaan asuransi, pendana pensiun dan bank sentral. Obligasi dipandang sebagai investasi yang lebih aman daripada saham karena investor akan mendapat pembayaran kupon tetap. Investor juga dapat dengan mudah menjual investasi obligasi daripada menjual saham. Akan tetapi, persepsi ini tidak sepenuhnya benar. Bagaimanapun, obligasi juga dapat berisiko.

Harga dari setiap jenis obligasi berbeda.

Harga obligasi dinyatakan dalam persentase dari nilai nominal. Harga ini dipengaruhi oleh tingkat suku bunga dan waktu jatuh temponya. Harga obligasi berbanding terbalik dengan tingkat suku bunga. Bila tingkat suku bunga turun, maka harga obligasi akan naik.

Akan tetapi, bila suku bunga naik maka harga obligasi akan menurun. Demikian pula dengan waktu jatuh temponya, semakin jauh waktu jatuh tempo obligasi maka akan semakin besar penurunan harganya.

Selain risiko suku bunga dan waktu jatuh tempo, cara melihat risiko lain yang ada pada obligasi yaitu dengan melihat pemeringkatan obligasi yang biasa dikenal dengan istilah Standard and Poor (S&P). Di Indonesia pemeringkatan obligasi dilakukan oleh Pefindo untuk menunjukkan risiko gagal bayar (default risk) dari pemilik obligasi.

Semakin tinggi peringkatnya, maka akan semakin sedikit risiko gagal bayarnya. Harga obligasi juga dapat berubah bergantung pada peringkatnya. Penurunan peringkat obligasi akan menyebabkan harga obligasi jatuh.

Perubahan harga pada obligasi juga berakibat pada portofolio yang disusun. Jika nilai pada obligasi yang menyusun portofolio

terus menerus jatuh, maka nilai portofolio juga akan jatuh. Namun, bila ada kesempatan bagi pemegang obligasi untuk menjual obligasinya, tingkat suku bunga akan menjadi masalah utama. Harga pasar obligasi akan meningkat jika tingkat risiko yang berlaku jatuh. Salah satu cara mengukur risiko tingkat suku bunga pada obligasi adalah pada jangka waktunya (duration). Usaha untuk mengendalikan risiko ini disebut imunisasi.

Konsep imunisasi pertama kali diperkenalkan oleh Bierwag dan Khang (1979). Imunisasi diperlukan untuk menjaga nilai obligasi dari tingkat suku bunga dan waktu jatuh tempo serta mengendalikan risiko gagal bayar (default risk) dari penerbit obligasi. Usaha imunisasi ini juga dapat dibantu dengan diversifikasi portofolio.

Diversifikasi portofolio digunakan untuk menghilangkan risiko portofolio yang dipengaruhi oleh faktor inflasi, struktur aset dan struktur modal.

Salah satu permasalahan yang dihadapi oleh investor adalah memaksimalkan imbal hasil (yield) dari obligasi-obligasi yang menyusun portofolio investor. Investor tidak hanya mengharapkan kupon, tetapi investor juga mengharapkan kenaikan nilai (capital gain) dari obligasi yang diperoleh dari harga jual obligasi yang lebih tinggi dari harga belinya. Untuk memaksimalkan imbal hasil (yield) obligasi tersebut, investor perlu meminimalkan risiko tingkat suku bunga, risiko gagal bayar (default risk), serta memaksimalkan waktu jatuh tempo obligasi tersebut. Masalah ini dapat dimodelkan

dengan goal programming. Goal

programming mulai diperkenalkan oleh A.

Charnes dan W.M. Cooper pada tahun 1955.

6

Model ini mampu menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linear yang memiliki lebih dari satu sasaran yang akan dicapai.

Strategi investasi dari imunisasi portofolio obligasi dapat dihubungkan dengan konsep durasi Macaulay. Durasi Macaulay dari obligasi ke-i dapat dihitung dengan persamaan berikut :

D

i



1 1

(1 ) (1 )

1

(1 ) (1 )

i

i

i

i T

i i

t T

t i i

T i

T t

t i i

tC T

y y

C

y y





   

      

 

   

      

 





(1)

dengan

yi = yield dari obligasi ke-i

T = waktu jatuh tempo obligasi (term to i

maturity) ke-i

Ci= tingkat kupon obligasi ke-i 𝐷𝑖 = durasi dari obligasi ke-i i = indeks obligasi

Konsep dan persamaan durasi Macaulay diperkenalkan dalam (Macaulay 1938).

Konsep durasi Macaulay menghubungkan waktu jatuh tempo dan tingkat kupon untuk memperoleh durasi yang dapat digunakan dalam imunisasi obligasi.

3.1 Pengimunisasian Obligasi dari Risiko Gagal Bayar (Default Risk)

Investor berharap untuk dapat mengimunisasikan portofolio dari risiko obligasi yang disebabkan oleh perubahan tingkat suku bunga. Investor juga berharap dapat menambahkan obligasi perusahaan yang memiliki risiko gagal bayar ke dalam portofolio.

Diasumsikan terdapat dua obligasi yang berasal dari dua kelas risiko yang berbeda.

Misalkan yield dari dua obligasi tersebut dinyatakan dengan 𝑦₁ dan 𝑦₂. Berdasarkan Definisi 9, nilai dari setiap obligasi per rupiah dari nilai pari dapat dinotasikan sebagai berikut :

𝑃_𝑖 = 𝐶_𝑖 1 + 𝑦𝑖 𝑡 𝑇_𝑖

𝑡=1

+ 1

1 + yi 𝑇_𝑖 𝑖 = 1,2. 2 Misalkan qi menyatakan banyaknya obligasi ke-i yang dibeli, maka kendala budget untuk investor adalah

𝐴 = 𝑞₁𝑃₁+ 𝑞₂𝑃₂. (3)

Diasumsikan kedua yield curve obligasi berubah secara acak sebesar 𝜆 setelah investor melakukan pembelian obligasi, sehingga yield curve baru akan berubah menjadi 𝑦₁^∗= 𝑦₁+ 𝜆 dan 𝑦₂^∗= 𝑦₂+ 𝜆. Akibatnya, nilai dari investasi pada obligasi ke-i pada periode investasi m adalah

   

*

* *

1

1 ,

1 1

i

i

T

t m T m

t

i i

i i

G C

y ^ y ^



 

 

   







(4)

Jika Ci > 0 dan 𝑇_𝑖 ≠ 𝑚, maka ^{𝜕 𝐺𝑖}

∗

𝜕𝜆 > 0, sehingga 𝐺_𝑖^∗ adalah fungsi konveks dari λ (Lampiran 2). Nilai dari portofolio obligasi pada periode investasi m akan sama dengan 𝑉 𝜆 = 𝑞1𝐺1∗+ 𝑞2𝐺2∗ (5) Karena 𝐺_𝑖^∗ adalah fungsi konveks maka berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, V adalah fungsi konveks dari λ, sehingga V memiliki nilai minimum (lihat Lampiran 2).

Jika 𝑉 minimum maka ^𝜕𝑉

𝜕𝜆 = 0, sehingga diperoleh

 

   ^  ^

1

1

1 1

1 * 1 * 1

1 1 1 1 1

T

m t T m

i

C t m T m

q

y ^{ } y ^{ }



   

  

   







 

   ^  ^

2

2

2 2

2 * 1 * 1

1 2 2

0

1 1

T

m t T m

i

C t m T m

q

y ^{ } y ^{ }



   

 

 



   

(6) (lihat Lampiran 3).

Karena V( ) V(0),, sehingga investor harus menyusun portofolio seperti persamaan (6) dengan mengganti 𝜆 = 0. Pergantiany₁ dengan y dan ₁ y₂ dengan y₂ pada persamaan (6), akan menghasilkan persamaan 𝑞1𝑃1 𝐷1− 𝑚 1 + 𝑦1 𝑚−1

+𝑞₂𝑃₂ 𝐷₂− 𝑚 1 + 𝑦₂ ^𝑚−1 = 0 7 (lihat Lampiran 3).

Didefinisikan

𝐷_𝑖^∗= 𝐷𝑖− 𝑚 1 + 𝑦𝑖 𝑚−1+ 𝑚

7

dan misalkan 𝑥_𝑖 sebagai proporsi budget A yang diinvestasikan pada obligasi ke-i 𝑥_𝑖 =^{𝑞𝑖𝑃𝑖}

𝐴 , sehingga persamaan (7) dapat ditulis sebagai

𝑥1𝐷1∗+ 𝑥2𝐷2∗= 𝑚 (8) (lihat Lampiran 3).

Misalkan, terdapat N buah obligasi, maka persamaan imunisasi menjadi

𝑥_𝑖𝐷_𝑖^∗= 𝑚 9

𝑁

𝑖=1

Kemudian, jika semua obligasi berasal dari kelas risiko yang sama maka y_i i adalah sebuah konstanta. Persamaan (9) dapat disederhanakan menjadi

𝑥_𝑖𝐷_𝑖 = 𝑚 (10)

𝑁

𝑖=1

3.2 Pemaksimuman Yield Hingga Jatuh Tempo (Yield To Maturity) Portofolio Semakin banyak portofolio yang tersedia maka investor akan tertarik pada satu obligasi yang memiliki 𝑉(0) yang maksimum karena portofolio akan memiliki tingkat yield yang maksimum dan risiko yang minimum.

Dengan cara menyederhanakan

persamaan (2) dan persamaan (5) pada kasus obligasi N buah, maka akan diperoleh

1

(0) (1 )

N

m

i i i

i

V q P y









(11)

(lihat Lampiran 3).

Dengan membagi kedua sisi dengan A pada persamaan (11) diperoleh

1

(0) ,

N i i i

V x y

A 





 (12) dengany_i  (1 y_i)^m (lihat Lampiran 3).

Kemudian, pemaksimuman imbal hasil (yield) portofolio hingga jatuh tempo akan sama dengan memaksimumkan persamaan (12).

3.3 Pengendalian Risiko Gagal Bayar Sebuah portofolio yang diimunisasi akan mencegah risiko tingkat suku bunga tetapi portofolio tetap akan mengandung risiko gagal bayar dari default-grade corporate bond. Investor berharap untuk mengendalikan sejumlah risiko gagal bayar pada portofolio dengan diversifikasi konstrain. Bentuk konstrain yang pertama diasumsikan sebagai spesifikasi proporsi maksimum dan minimum untuk berbagai grup obligasi.

Misalkan 𝛤_𝑗^𝑚𝑖𝑛 adalah grup obligasi ke-j yang dibatasi oleh proporsi investasi minimum 𝛾_𝑗^𝑚𝑖𝑛 . 𝛤_𝑗^𝑚𝑎𝑥 adalah grup obligasi ke-j yang dibatasi oleh proporsi investasi maksimum 𝛾_𝑗^𝑚𝑎𝑥. Pada masalah ini, diasumsikan bahwa jumlah proporsi budget dari grup obligasi harus lebih besar dari proporsi investasi minimum dan jumlah proporsi budget dari grup obligasi harus lebih besar dari proporsi investasi maksimum.

Misalkan 𝑥_𝑖 adalah proporsi budget obligasi ke-i, sehingga akan diperoleh kendala sebagai berikut :

min

min

j

i j

i

x 







j=1,…, 𝛤_𝑗^𝑚𝑖𝑛 (13) dan

max

max

j

i j

i

x









j=1,…, 𝛤_𝑗^𝑚𝑎𝑥 (14) Kendala diversifikasi yang kedua memungkinkan untuk perluasan premi risiko gagal bayar pada portofolio. Hal ini diperoleh dengan menghitung premi risiko gagal bayar dari setiap obligasi. Kemudian jumlah nilai premi risiko gagal bayar harus lebih kecil atau sama dengan sebuah tingkat maksimum toleransi premi risiko gagal bayar Δ yang diinginkan investor. Misalkan 𝛿_𝑖 didefinisikan sebagai premi risiko gagal bayar dari obligasi i , maka kendala ini dapat ditulis menjadi

𝑥_𝑖𝛿_𝑖≤ ∆ (15)

𝑁

𝑖=1

Sebuah alternatif untuk kendala diversifikasi kedua pada pertaksamaan (15) dapat dikembangkan untuk menetapkan setiap kelas risiko obligasi. Alternatif kendala ini

8

juga dapat menetapkan nomor indeks setiap obligasi pada kelas risikonya dan juga sebagai kendala rata-rata terboboti pada nomor indeks.

Sebagai contoh, obligasi dapat ditetapkan kelas risikonya dari pemeringkatan obligasi yang ditetapkan oleh Pefindo. Peringkat obligasi yang layak untuk diinvestasikan hanya obligasi berperingkat AAA sampai BBB. Obligasi pemerintah akan diberi nilai indeks 0, peringkat obligasi AAA akan diberi nilai indeks 1, peringkat obligasi AA akan diberi nilai indeks 2, peringkat obligasi A akan diberi nilai indeks 3, dan peringkat obligasi BBB akan diberi nilai indeks 4.

Misalkan f didefinisikan sebagai nomor _i indeks yang ditetapkan untuk setiap obligasi ke- i, maka kendala yang diperoleh adalah

𝑥_𝑖𝑓_𝑖 ≤ 𝐹 (16)

𝑁

𝑖=1

dengan F adalah toleransi maksimum nilai indeks. Toleransi maksimum nilai indeks diperoleh dari nilai indeks obligasi perusahaan yang memiliki waktu jatuh tempo paling dekat dengan periode investasi.

3.4 Kendala Pemilihan Portofolio Bullet Pemilihan portofolio obligasi yang diimunisasi bukan hanya dari satu kandidat portofolio saja tetapi dari banyak kandidat.

Kandidat-kandidat ini berasal dari portofolio bullet, barbell atau ladder. Portofolio bullet berisi obligasi yang memiliki waktu jatuh tempo yang singkat. Portofolio barbell berisi obligasi yang beberapa di antaranya memiliki waktu jatuh tempo yang sangat singkat dan beberapa obligasi lainnya memiliki waktu jatuh tempo yang sangat panjang.Sedangkan, portofolio ladder berisi obligasi dengan durasi rentang waktunya sangat luas.

Berdasarkan penjelasan tersebut, performa portofolio bullet lebih baik daripada portofolio barbell atau portofolio ladder, sehingga diperlukan sebuah kendala yang dibutuhkan oleh portofolio obligasi agar performanya seperti portofolio bullet.

Spesifikasi kendala portofolio bullet dapat dilakukan dengan dua tahap. Pertama, N buah obligasi dibagi ke dalam dua grup. Grup NA berisi obligasi yang memiliki durasi Di

kurang dari periode m, sedangkan grup NB

berisi obligasi yang memiliki durasi Di lebih panjang daripada periode m. Kedua, deviasi rata-rata terboboti absolut (Mean Absolute Deviation/MAD) dari perbedaan durasi kedua

obligasi dengan periodenya dapat dihitung dengan menggunakan persamaan

( ) ( ),

A B

i i i i

i N i N

MAD x m D x D m

 





 



 (17a)

dengan NA = obligasi yang memiliki waktu jatuh tempo yang kurang dari periode investasi, sedangkan NB = obligasi yang memiliki waktu jatuh tempo yang lebih panjang dari periode investasi. Persamaan (17a) dapat disederhanakan menjadi

1

.

N

i i

i

MAD x D m







 (17b) MAD merupakan kesalahan peramalan (forecasting error) terhadap selisih durasi dengan periode investasi. Semakin kecil kesalahan peramalan yang dihasilkan, maka hasil yang diperoleh semakin baik. Oleh sebab itu, kendala portofolio bullet diperoleh dari MAD yang kurang dari atau sama dengan jumlah arbitrasi  , akibatnya

𝑥_𝑖 𝐷_𝑖− 𝑚 ≤ 𝛽 17c

𝑁

𝑖=1

Sebagai tambahan, jumlah proporsi budget dari setiap obligasi harus sama dengan satu dan jumlah proporsi budget dari setiap obligasi juga harus taknegatif, yaitu

1

1

N i i

x





 (17d)

𝑥_𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 (17e)

3.5 Formulasi Masalah Imunisasi dengan Goal Programming

Penyelesaian imunisasi obligasi dengan goal programming ini dilakukan dengan mengatur urutan peminimuman variabel deviasi dari prioritas yang tertinggi sampai yang terendah. Urutan peminimuman variabel deviasi di dalam model akan menentukan urutan sasaran yang tercapai. Prioritas sasaran tertinggi untuk imunisasi obligasi akan dijamin bila yield portofolio paling tidak sama dengan ₁, dengan ₁ didefinisikan sebagai yield yang diinginkan.

9

Kendala sasaran ini dapat ditunjukkan dengan persamaan berikut :

1 1 1

1

.

N i i i

x y d^ d^ 



   



(18)

Sasaran ini akan muncul dalam fungsi objektif sebagai

Minimumkan₁d₁^, (19) dengan ₁ digunakan untuk menyatakan bahwa d₁^memiliki prioritas teratas.

Spesifikasi pada prioritas kedua dan ketiga dikembangkan dari tingkat risiko gagal bayar dan pembentukan portofolio bullet.

Misalkan pengendalian tingkat risiko gagal bayar adalah prioritas sasaran yang lebih tinggi daripada pembentukan portofolio bullet. Misalkan p adalah banyaknya kendala yang ada pada model untuk 𝛤_𝑗^𝑚𝑖𝑛, sedangkan q adalah banyaknya kendala yang ada pada model untuk 𝛤_𝑗^𝑚𝑎𝑥, sehingga investor akan menambahkan

2 1 1 2

1 1

p q

j j p p q

j j

d^ _ d^ _{ } d^ _{ }

 

 

    



 

⁺

3d^3 p q_{ }



pada fungsi objektif di persamaan (19).

Variabel-variabel deviasi muncul dari modifikasi persamaan-persamaan berikut ini :

min

min

1 1

j

i j j j

i

x d^ _ d^ _ 



  



j =l,.., 𝛤_𝑗^𝑚𝑖𝑛 , (20)

max

max

1 1

j

i j p j q j

i

x d^   d^   



  



j=1,..., 𝛤_𝑗^𝑚𝑎𝑥 , (21)

2 2

1

,

N

i i p q p q

i

x d^ _{ } d^ _{ }



   



(22a)

dengan Δ adalah tingkat maksimum toleransi premi risiko gagal bayar Δ yang diinginkan investor. atau

2 2

1

,

N

i i p q p q

i

x f d^ _{ } d^ _{ } F



  



(22b)

dengan F adalah toleransi maksimum nilai indeks, dan

3 3

1

.

N

i i p q p q

i

x D m d^_{ } d^_{ } 



   



(23)

Pada persamaan (20), variabel deviasi

1

d

^j_ dapat dihilangkan dari fungsi objektif karena investor tidak menghiraukan jika jumlah proporsi grup obligasi ke j melebihi proporsi investasi minimum. Variabel deviasi

1

j p

d^ _{ } pada persamaan (21) juga dihilangkan dari fungsi objektif karena investor tidak menghiraukan jika jumlah proporsi grup obligasi ke j lebih kecil dari proporsi investasi maksimum,d^_{2 p q } dan

3 p q

d^_{ } pada persamaan (22a) atau (22b) dan (23) juga dapat dihilangkan dari fungsi objektif karena investor tidak menghiraukan bila nilai persamaan lebih kecil dari nilai di ruas sisi kanan persamaan.

Prioritas sasaran keempat diperoleh dari ketiga prioritas sasaran awal. Pada tahap ini ada lebih dari satu solusi yang dapat mencapai ketiga sasaran awal, yaitu

1 1 1

1 1

2 3 0

p q

j j p

j j

p q p q

d d d

d d

  

  

 

 

   

 

  

 

Mengingat kemungkinan solusi berganda (multiple solution), investor akan lebih tertarik pada portofolio yang memiliki yield yang paling tinggi. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menambahkan kendala sasaran yang keempat, yaitu :

'

4 2

1

,

N

i i p q

i

x y d^_{ }





 



(24) dengan ₂adalah nilai yield yang besar. Nilai 𝛼₂ sama dengan nilai terbesar pada {y_i}, sehingga sasaran keempat diperoleh dengan menambahkan ₄d^_{4 p q } pada fungsi objektif.