MEKANIKA
I. VEKTOR
1. Jumlah / Selisih Vektor
21
. 2 2
2 B ABCos
A B
A
21
. 2 2
2 B ABCos
A B
A
Jika dua buah vektor dijumlah/dikurang, maka masing-masing vector dengan vector jumlah/selisih selalu membentuk segitiga. Yang dimaksud besar vector (scalar) adalah panjang sisi dari segitiga tersebut, yang dapat dicari dengan :
a. Dalil Cos
Cos AB B
A
C2 2 2 2 .
Cos AC C
A
B2 2 2 2 .
Cos AB B
A
C2 2 2 2 .
Cos AC C
A
B2 2 2 2 .
Cos BC C
B
A2 2 2 2 .
b. Dalil Sin : SinA SinB SinC
2. Unit Vektor
B
A
B
A
A
B
B
A
B
A
C
A
A A a
1 ˆ
a
Untuk 3 dimensi :
1 ˆ ˆ
ˆ j k i
3. Vektor Posisi
a. Untuk yang titik pangkal pada titik asal koordinat
a
ˆ
A
k
ˆ
j
ˆ
i
ˆ
zy
x
j
y
ˆ
j
y
ˆ
i
x
ˆ
z
k
ˆ
P (x,y,z)
r
z
y
x
r
P
('
x
,'
y
,'
z
)'
)
,
,
(
x
y
z
P
R
zy
'
R r R
R R r ' dengan : k z j y i x
R' 'ˆ 'ˆ 'ˆ
k z j y i x
R ˆ ˆ ˆ
k z z j y y i x x
r( ' )ˆ( ' )ˆ( ' )ˆ
2 2
2 ( ' ) ( ' )
) '
(x x y y z z
r
r
4. Perkalian Vektor a. Dot Product
ABCos B
A
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆi jjkk
i 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆjjk ki
i k Az j Ay i Ax
A ˆ ˆ ˆ
k Bz j By i Bx
B ˆ ˆ ˆ
AzBz AyBy
AxBx B
A
Catatan : vector . vector = scalar
Misal : Usaha : W FsFsCos
b. Cross Product
u ABSin B
A ˆ
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆi jjkk
i
k j iˆˆ ˆ
i k j ˆ ˆ
ˆ
j i kˆˆˆ
k Az j Ay i Ax
A ˆ ˆ ˆ
k Bz j By i Bx
B ˆ ˆ ˆ
By Bx Ay Ax k Bz Bx Az Ax j Bz By Az Ay i B
Aˆ ˆ ˆ
k
ˆ
j
ˆ
=
Bz By Bx
Az Ay Ax
k j iˆ ˆ ˆ
Catatan : vector x vector = vector Mis :rFrFSinuˆ
rFSin
Tips : Luas adalah Besaran Vektor.
Luas parallelogram = (alas) (tinggi) = A (B Sinθ) = AB Sin θ = AB
GERAK
Kelajuan (speed) = waktujarak tempuhtempuh
scalart s vr
dt ds t s v
t
lim
0
Kecepatan =
waktu n perpindaha
vektort r vr
dt r d t r v
t
lim
0
Contoh
2. Sebuah benda bergerak dari A ke B
BSin
B
10 km 10 km
dalam waktu 2 jam dan dari B ke C juga dalam waktu 2 jam. Maka :
jam km jam
km
vr 5 /
4 20 t AC vr t r vr 2 10 200 10
102 2
r
jam km jam
km
vr 2,5 2 /
4 2 10
GLB
kecepatan (besar dan arah) tetap0 0 t t s s t s v v r
Jika diambil : s0 = 0 dan t0 = 0, maka :
t s v Percepatan t v ar 2 2 0
lim
vt dvdt ddtsa t
GLBB
a tetap0 0 t t v v t v a
a r t
Jika diambil t0 = 0, maka :
at v v atau a v v t atau t v v
a t t t
0 0
0 : :
Jarak yang ditempuh GLBB
t v s
2
0
v v v t
t v v s t 2 1 ) ( 0 2 0 2 1 at t v
s
a v v s t 2 2 0 2
Gerak Jatuh Bebas : V0 = 0; a = g
gt
vt ; 2
2 1
Gerak Vertikal ke atas : a = -g Pada saat mencapai titik tertinggi : vt = 0
gt v0
2 2 1
gt t v h o
GRAFIK GERAK
1. Grafik fungsi v-t. a. GLB
v
t v
0 t
[image:6.612.70.209.558.710.2]b. GLBB
2. Grafik fungsi s-t a. GLB :
b. GLBB
GERAK PADA BIDANG (DUA DIMENSI)
Posisi partikel : rr xiˆ yjˆ
v
t 0
v
t
v
0
trapesium
luas t v v
s t)
2 ( 0
t s
t 0
s
t 0
Y
r
x
i
ˆ
y
ˆ
j
i
x
ˆ
j
y
ˆ
[image:7.612.69.236.81.563.2]Kecepatan :
t j y y i x x t r r t rvr 2 1 2 1 ˆ 2 1 ˆ r r r j v i v dt j dy dt i dx dt r d t r
v x y
t ˆ ˆ ˆ ˆ lim
0
t t y x t j dt v i dt v dt v r r dt v r d 0 0 00 ˆ ˆ
Percepatan : t v v t v
ar 2 1
j a i a dt j dv dt i dv dt v d t v
a x y
y x t ˆ ˆ ˆ ˆ lim
0
t t t
y xdti a dtj
a dt a v v dt a v d
0 0 0
0 ˆ ˆ
HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK
Hukum I : F 0
1. Benda diam
2. Benda bergerak lurus beraturan
Hukum II :
F
0
Muncul percepatan (a), dimana
m F
a F ma
Hukum III : Faksi Freaksi
1. Berat Benda (W).
Berat Benda adalah besarnya gaya gravitasi yang bekerja pada benda yang berada dalam medan gravitasi. Dalam hal ini a = g, sehingga berdasarkan Hk II berlaku : W = m.g
2. Gaya Normal (N).
Jika sebuah benda berada di atas bidang datar dan maka selain gaya berat pada benda tersebut bekerja gaya oleh bidang yang arahnya tegak lurus bidang, gaya ini disebut gaya nprml (N).
a). Jika sistem dalam keadaan diam, maka berlaku Hk. I, N
mg N
mg N
F
0 0
W = mg
Cat : Tanda positip atau negatif bebas.
b). Jika sistem bergerak ke atas atau ke bawah dengan kecepatan tetap (v konstan), juga berlaku Hk. I, sehingga : N = mg.
c). Jika sistem bergerak dengan percepatan tetap (a konstan), maka berlaku Hk. II.
c).1. Untuk a keatas :
W = mg
N
ma mg N
ma mg N
ma F
c).2. Untuk a ke bawah :
ma mg N
ma mg N
ma F
cat. Tanda positif searah gerak cat. Tanda positif searah gerak
cos 0 cos 0
mg N
mg N
F
3. Tegangan pada Tali a).
Jika benda diam atau bergerak dengan kecepatan tetap (keatas/kebawah), berlaku Hukum I Newton :
mg T mg T
F
0 0
b).
W=mg N
a
N
mg sin
θ mg cos
θ mg
θ
T
W
a
Jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma
T-mg = ma T = mg+ma
c).
jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma
-T+mg = ma T = mg- ma
4. Katrol
Massa dari gesekan pada katrol diabaikan. Jika m2 > m1, maka m1 bergerak naik dan m2 bergerak
turun. Tinjau m1 :
a mg
T
m1 g m
2 g
m2 m1
T T
T T
) ( 1 1 1 1 1 1 a g m a m g m T a m g m T a m F
Tinjau m2 :
) ( 2 2 2 2 a g m T a m g m T a m F
2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 m m m m g a m m g m m a a m g m a m g m 2. Gaya Gesekan
Gaya gesekan merupakan gaya yang melawan gerak relatif antara dua arah benda, arah gaya gesekan selalu sejajar dengan bidang tempat benda berada dan berlawanan arah dengan arah gerakan benda dan bersifat memperlambat gerakan benda tersebut. Gaya gesekan dapat terjadi pada dua permukaan yang kasar dan keduanya bersinggungan.
Bila m ditarik oleh gaya F, maka m tidak segera bergerak karena harus mengatasi gaya gesekan f.
Pada saat benda belum bergerak, besarnya gaya gesekan adalah sama dengan gaya yang diberikan. Secara umum dapat dirumuskan:
Ada 2 macam gaya gesekan :
1. gaya gesekan statik (fs), yaitu gaya gesekan yang terjadi pada saat benda masih diam.
F 0 F fs 0 fs FPada saat benda tepat akan bergerak, daya gesekan statis mencapai nilai maksimum : N
fsmax s fsmax sN dimana s koefisiengesekanstatis.imana
is esekanstat koefisieng
s
.
2. gaya gesekan kinetik (fk), yaitu gaya gesekan yang terjadi setelah benda bergerak yang
besarnya tetap : fk kN dengank koefisiengesekankinetis
. Dalam hal ini
s
k
), sehinggamax
s
k
ff
). Jika benda bergerak, maka berlaku hukum II Nerwton :ma N F ma f F ma
F k k
Pada bidang miiring :
Gambar 2
Berdasarkan gambar 2, maka terdapat 3 gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu gaya tarik bumi (W), gaya normal (N), dan gaya gesekan (f).
Ada tiga kemungkinan :
1.Jika
sin
cos
max
max
bendamasih
diam
f
mg
f
mg
s
s
s
, berlaku hukum I Newton:
F 0 mgsin fs0 fs mgsin2 Jika
mg
sin
f
smax
bendaberge
rak
, berllaku hukum II Newton :) cos (sin
cos sin
sin
k
k s
g a
ma mg
mg ma f mg
ma F
3.Jika
) (
sin max
masihdiam bergerak
saatakan bendatepat
f mg s
, berllaku hukum I Newton:
0
cos
sin
tan
max
0
sin
s s
s
mg
mg
f