ISBN : 978-979-16353-2-5
PROSIDING
SEMINARNASIONAL
ALJABAR,
PEMBELAJARAN
ALJABAR
DAN
PENERAPANNYA
“K
K
o
o
n
n
t
t
r
r
i
i
b
b
u
u
s
s
i
i
A
A
l
l
j
j
a
a
b
b
a
a
r
r
d
d
a
a
l
l
a
a
m
m
U
U
p
p
a
a
y
y
a
a
M
M
e
e
n
n
i
i
n
n
g
g
k
k
a
a
t
t
k
k
a
a
n
n
K
K
u
u
a
a
l
l
i
i
t
t
a
a
s
s
P
P
e
e
n
n
e
e
l
l
i
i
t
t
i
i
a
a
n
n
d
d
a
a
n
n
P
P
e
e
m
m
b
b
e
e
l
l
a
a
j
j
a
a
r
r
a
a
n
n
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
a
a
t
t
i
i
k
k
a
a
u
u
n
n
t
t
u
u
k
k
M
M
e
e
n
n
c
c
a
a
p
p
a
a
i
i
W
W
o
o
r
r
l
l
d
d
C
C
l
l
a
a
s
s
s
s
U
U
n
n
i
i
v
v
e
e
r
r
s
s
i
i
t
t
y
y
”
”
Yogyakarta, 31 Januari 2009
Penyelenggara
:
Jurusan
Pendidikan
Matematika
FMIPA
UNY
Kerjasama
dengan
Himpunan
Matematika
Indonesia
(Indo
Ͳ
MS)
Wilayah
Jateng
dan
DIY
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
ALJABAR, PEMBELAJARAN ALJABAR
DAN PENERAPANNYA
31 Januari 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
ArtikelͲartikeldalamprosidinginitelahdipresentasikanpada
SeminarNasionalAljabar,PengajarandanTerapannya
padatanggal31Januari2009
diJurusanPendidikanMatematika
FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam
UniversitasNegeriYogyakarta
ȱ
ȱ
ȱ
ȱ
ȱ
ȱ
Tim
Penyunting
Artikel
Seminar
:
1.
Sukirman,
M.Pd
2.
Dr.
Hartono
3.
R.
Rosnawati,
M.Si
4.
Emut,
M.Si
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
SAMBUTAN
DEKAN
PADA
SEMINAR
NASIONAL
JURDIK
MATEMATIKA
PertamaͲtamamarilahkitapanjatkanpujisyukurkehadiratAllahSWTyangtelah melimpahkanberbagaikenikmatankepadakitasekalian.Salahsatunikmatyangsekarang kitarasakanadalahnikmatkesehatansehinggakitadapatmenyelenggarakanseminar nasionalini.
Selanjutnyaperkenankansayamenyampaikanpenghargaandanucapanterima kasihkepadaKetuabesertaseluruhpengurusjurusandandosenJurdik.Matematikayang telahmempersiapkanterselenggaranyaseminarnasionalini.Halinisangatpentinguntuk sayasampaikanmengingatFMIPAUniversitasNegeriYogyakarta(UNY)sedangbekerja keras untuk menggapai pengakuan publik sebagai fakultas yang berkualitas dalam melaksanakansistemmanajemenmutumenujuworldclassuniversity(WCU).Kualitasdi atasadalahkualitasyangberimbangdalamseluruhbidangTriDarmaPerguruanTinggi. SecarakhususperkenankanpulasayasampaikanterimakasihkepadayangterhormatIbu Dr.IntanDetienaMuchtadiAlamsyah(DosenFMIPAInstitutTeknologiBandungdan BapakSukirman,M.Pd (DosenJurdikMatematikaFMIPAUNY)yangtelahberkenan menjadipembicarakuncipadaseminarnasionalini.
Seminarnasionaldengantema”Kontribusialjabardalamupayameningkatkan kualitaspenelitiandanpembelajaranMatematikauntukmencapaiWCU”diharapkanakan bermanfaatbagipengembanganilmumatematikadanIPApadamasayangakandatang. Pengembangantersebuttentusaja baikditinjaudarisisimateri,penelitianmaupun teknologipembelajarannya.Kitatelah menyadaribahwa pemahaman terhadapilmu pengetahuandanteknologiakandicapaimanakalapemahamanterhadapilmudasarnya sangat memadai. Matematika khususnya Aljabar berkembang seiring dengan berkembangnyasainsdanteknologi.Dimulaidaripersoalanhitungsederhanasampaipada aplikasinyapadabidangFisika,Kimia,danbahkanpadabidangEkonomi.Olehkarenaitu penelitiantentangAljabardanteknikpembelajaranyaperludilakukanterusmenerusagar aplikasipadabidangͲbidangdiatasdapatdipahamiolehpembelajarnya.Seminarnasional iniharusmampumendorongparapenelitidanprakstisipendidikanbidangmatemtika mampumeramubidangini,sehinggamudahdipahamiolehsiswadidalamkelas,mampu melakukanpenelitian,danmengimplementasikanterapannyapadabidangFisika,Kimia, EkonomidanlainͲlain.
Akhirnyasayamengucapkanterimakasihataspartisipasinyadalamseminaryang diselenggarakan oleh Jurdik. Matematika FMIPA UNY ini dengan harapan semoga memberikanpencerahanbagikitakhususnyayangtelibatdalampenelitian,pembelajaran danaplikasipadabidangAljabar.
Yogyakarta,27Januari2009 Dekan
Dr.Ariswan NIP131791367
KATAPENGANTAR
PujiSyukurkeHadiratTuhanYangMahaEsaatassegalaKaruniadanRahmatͲ
Nya sehinggaprosidinginidapatdiselesaikan.Prosidinginimerupakankumpulan
makalahdaripeneliti,pemerhatidandosenbidangAljabar,PembelajaranAljabardan
Penerapannya dari berbagai daerah di Indonesia. Makalah yang dipresentasikan
meliputi makalahutamadan makalahpendamping,terdiridarimakalahbidang
Aljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
Padakesempataninipanitiamengucapkanterimakasihkepadasemuapihak
yangtelah membantudan mendukungpenyelenggaraanseminarini.Khususnya,
kepada seluruh peserta seminar diucapkan terima kasih atas partisipasinya dan
selamatberseminar,semogabermanfaat.
KetuaPanitia
Daftar
Isi
SambutanDekan KataPengantar MakalahUtama
QuiverSebagaiRepresentasiAljabar (IntanMuchtadiͲAlamsyah)
UpayaMeningkatanMutuPerkuliahanPadaPerguruanTinggiMelaluiLesson Study
(Sukirman) MakalahPendamping
Kode Judul Hal
M–1 Efektivitas Pembelajaran Aljabar Dengan Pendekatan Metakognisi
(AkhsanulIn’am)
1
M–2 Penerapan AljabarMaxͲPlusInterval padaJaringanAntrian denganWaktuAktifitasInterval
(M.AndyRudhito,SriWahyuni,AriSuparwanto,F.Susilo)
11
M–3 PembelajaranFaktorisasiKuadratMelaluiManipulasiBenda Konkret
(EndahRetnowati,M.Ed)
19
M–4 DesainPembelajaranMatematikaBagiCalonGuruMatematika (MathematicsLearningDesign forPreͲServiceMathematics Teacher)
(INengahParta)
31
M–5 ModulPerkalian
(SamsulArifin)
47
M–6 ProsesBerpikirAnakTunanetraDalamMenyelesaikanOperasi AljabarPadaPermasalahanLuasDanKelilingPersegiPanjang
(Susanto)
57
M–7 Peningkatan Pemahaman Aljabar LlnierDengan Sintaks Model Pembelajaran Pencapaian Konsep Pada Mahasiswa JurdikMatematika
(SusiloBekti)
71
M–8 PemetaanLinearYangMengawetkanInversDrazinMatriksAtas Lapangan
(Sutopo)
83
M–9 Permainan (Tradisional) untuk Mengembangkan Interaksi Sosial, Norma Sosial dan Norma Sosiomatematik pada Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Matematika Realistik(AriyadiWijaya)
95
M–10 Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan Sikap Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran BerbasisKomputer
(BambangPriyoDarminto)
Pembelajaran
Faktorisasi
Kuadrat
Melalui
Manipulasi
Benda
Konkret
EndahRetnowati,M.Ed. JurusanPendidikanMatematika FMIPAUniversitasNegeriYogyakarta
Email:e.retno@uny.ac.id
Abstrak
Salahsatucarauntukmenyampaikansuatuidedenganlebihbermaknaadalahmembuatnyalebihnyata(konkrit), terutamabagipembelajarbaru(novices).Misalnyadalampembelajaranaritmetika,gurudapatmenyampaikan konseppenjumlahanbilanganpuluhanlebihbermaknadenganmenggunakanbatangͲbatanglidiataudalam pembelajarangeometri,gurudapatmenyampaikankonsepluasbangundatardenganmenggunakanpersegiͲ persegisatuan.DenganbendaͲbendakonkrittersebut,siswaterlibatsecarafisikdalammengatur,memanipulasi danmenemukanstrukturyangmendasarisuatukonsepmatematikayangsedangdipelajari.Artikelinimembahas pembelajaranaljabarmenggunakanbendakonkret,khususnyapadapemfaktoranbentukkuadrat.Pembahasan meliputibagaimanapelaksanaanpembelajaranyangsistematisdananalisisefektivitasprosespembelajaran, melaluiperspektifkognitivisme.
Katakunci:bendakonkrit,aljabar,pembelajaranbermakna
Learning
Quadratic
Factorisation
through
Concrete
Manipulative
Abstract
Onewaytomakeanideamoremeaningfulistomakeitmoreconcrete,particularlyfornovicelearners.For instances,inarithmetic,teachermaymaketheconceptofadditionoftwodigitnumbersmoreconcreteusing bundlesofsticksoringeometry,teachermaymaketheconceptofareaofaplaneusing1x1unitsquares.Using concretes,studentscanphysicallyrearrange,manipulateandfindtheunderlyingstructureofamathematical concept.Thispaperdiscussesconcretemanipulativeforlearningthestructureofquadraticfactorisation.The discussioncovershowtosystematicallyteachthetopicandpresentsananalysisofitseffectivenessinthe cognitivismperspectives.
Keywords:concretemanipulative,algebra,meaningfullearning
A. Pendahuluan
AljabaradalahsalahsatubagiandariMatematikayangmempelajaritentangkonsep
bilangandanoperasinya.KonsepͲkonsepdalamaljabarseringkalidisajikanmelalui
variabelͲvariabel atau simbolͲsimbolyangbersifatabstrak.Bagi siswa yang beru
pertamakalimempelajarialjabar,penyajianmaterialjabarsecaraabstraktersebut
dapatmenjadikurangbermakna.Sehingga,siswaakanmengalamikesulitandalam
mempelajari dasar pengembangan konsep aljabar tersebut, berikut aplikasinya.
Meskipunmungkinsajasiswamempelajarialjabardenganhafalanatautanpamakna
tetapi mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait. Namun pembelajaran
EndahRetnowati,M.Ed
dengan hafalan tidak akan menjadikan siswa lebih baik dalam mentransfer
kemampuannya ke tingkat yang lebih tinggi, selain mungkin saja menurunkan
kesenangansiswadalambelajaraljabar(Hirdjan,1997).Selainitu,siswajugabelum
tentumampumenjelaskanketerkaitanantarkonsep,mengaplikasikankonsepatau
prosedursecaraluwesdantepatdalampemecahanmasalah.Artikelinimembahas
pembelajaranaljabar,khususnyapadapemfaktoranbentukkuadrat,menggunakan
benda konkret. Lebih khusus lagi, artikel ini membahas mengenai perencanaan
pembelajarannyayangsistematis,sehinggadapatmenjadireferensibagiguruatau
calongurudalammelaksanakanpembelajaranaljabar.
B. Pembahasan
Siswa akan lebih mudah memahami suatu konsep atau lebih terampil dalam
menjalankansuatu prosedur apabila pembelajarannya dilakukan melalui aktivitas
menggunakankonteksyangtelahdimilikiolehsiswa.Konteksinimenjadipengetahuan
awalyangmembimbingsiswauntukmempelajarikonsepatauproseduryangbaru.
Mayer(1999)menjelaskanbahwaprosespembelajaranakanlebihbermaknajikasiswa
mampu menggunakan pengetahuanyang telah dimilikiuntuk mengorganisirdan
mengaitkanmateripembelajaranbarudenganpengetahuanawaltersebut.Selainitu,
untuk menyampaikankonsepabstrak, sepertikonsepͲkonsepdalamMatematika,
menjadilebihbermaknadapatmenggunakanpendekatanbendakonkritkarenabenda
konkritinimemvisualisasikonsepabstraksehinggakaitanataupoladarikonsep
tersebutlebihmudahditemukan.Simanjuntak(1993)jugaberpendapatbahwamelalui
kerja praktek menggunakan benda konkrit, siswa dapat lebih mudah dalam
mengabstraksikonsepͲkonsepmatematika.
Salahsatutopikpadapembelajaranaljabaradalahmemfaktorkanbentukkuadrat,
yangsecaraumumdinyatakansebagaiax2+bx+c,denganxadalahvariabel,a,bdanc
adalahbilanganreal.Sepertibanyakdisajikandibukupelajaransekolah,banyakguru
yangmembelajarkancaramemfaktorkanbentukkuadratdenganmenerapkansifat
distributif.Penyajianmateripembelajarannyadapatdicontohkansepertiberikutini:
SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
1. Untukmemfaktorkanbentukx2+bx+c,dapatmenggunakanhukumdistributif.
MulaͲmulasiswadibericontohpenerapanhukumdistributifmelaluipenyelesaian
masalahperkalianduabuahfaktor,seperti:
(x+4)(x+5) =x(x+5)+4(x+5)
=x2+5x+4x+20
=x2+9x+20
Kemudian,gurumenjelaskanbahwa(x+4)dan(x+5)adalahfaktorͲfaktordarix2+
9x+20.Sehinggadapatditulis:x2+9x+20=(x+4)(x+5).Untukmenemukan
prosesmemfaktorkan(kebalikandarimengalikan),gurumemintasiswauntuk
memperhatikan bahwakoefisienxdiruaskiri,yaitu9,samadenganjumlah
konstantadidalamkurungpadaruaskanan,yaitu4+5.Sementaraitu,konstanta
diruaskiri,yaitu20,samadenganhasilkalikonstantadalamkurungpadaruas
kanan,yaitu4u5.
Jadi,
x
2+
9x
+
20
=
(x
+
4)(x
+
5)
4u 5 4 + 5
Setelah itu, disimpulkan bahwa pemfaktoran bentuk kuadrat adalah sebagai
berikut:
x2+bx+c=(x+p)(x+q)dengansyarat
p+q=bdanpuq=c.
2. Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat ax2 + bx + c, pada umumnya juga
menggunakanhukumdistributif.Misalnyadenganmenggunakancontoh:6x2+23x
+20,mulaͲmuladibahasterlebihdahuluhasilperkalian(2x+5)dan(3x+4).Uraian
perkalianduafaktorinimenggunakanhukumdistributifadalah:
(2x+5)(3x+4) =2x(3x+4)+5(3x+4)
=6x2+8x+15x+20
=6x2+23x+20
Kemudian,guruakanmengarahkankepadasiswauntukmenemukanhubunganͲ
hubungansepertiberikutini:120=puqdan 23 =p+q.Pertanyaanyang
ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5
EndahRetnowati,M.Ed
diajukanolehguru:Carilahduabilanganpdanqyangapabiladikalikanhasilnya
120danapabiladijumlahkanhasilnya23.Jawabanyangdiharapkanadalah8dan
15.SehinggaprosesmemfaktorkansebagaikebalikandarimengalikanfaktorͲ
faktordapatditulissebagai:
6x2+23x+20=6x2+8x+15x+20
=(6x2+8x)+(15x+20)
=2x(3x+4)+5(3x+4)
=(2x+5)(3x+4)
Ataumenggunakandiagramsebagaiberikut:
KemudiandisimpulkanbahwafaktorͲfaktordariax2+bx+cdapatditentukan
dengancaramengubahbmenjadipenjumlahanduabilangan,misalnyapdanq
dengansyaratp+q=bdanpuq=auc.
Memfaktorkanbentukkuadratdenganmenggunakanhukumdistributifsepertidiatas
tidaklahsalah,namunlogisdanrasional.Yangkurangtepatjikasiswamempelajaricara
memfaktorkandenganmenghafalsaja,misalnyauntukmemfaktorkanx2+bx+c
dilakukandenganmencariduasebarangbilanganyanghasiljumlahnyaadalahbdan
hasilkalinyaadalahc.Denganhafalansepertiini,siswamungkinakankurangmampu
menjelaskanrasionalyangmendasaripemfaktoranbentukkuadrat.Sehingga,siswa
8 + 15
15x+20
6x + 8
6 u 20 = 120
6x
2+ 23x + 20
2x(3x+4)
5(3x+4)
(2x+5)(3x+4)
SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
mungkinakanmengalamikesulitanuntukmemfaktorkanbentukkuadratyangjarang
muncul,bentuk kuadrat yang tidak dapatdifaktorkan dengan cara yang dihafal
tersebutataumengubahnyakebentukkuadratsempurna.
Alternatif membelajarkan prosedur memfaktorkan bentuk kuadrat dengan
menggunakanbendakonkret,misalnyaDienesBlocksyangdimodifikasiolehBruner
danKenney(1966)sepertipadagambar1berikut.
ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5
23
Gambar1
x
x
x 1
1 1
(i) (ii) (iii)
Gambar1(i)adalahpersegidenganpanjangsisixsatuan,sehinggaluasnyaadalahx2 satuanluas.Gambar1(ii)adalahpersegipanjangdenganpanjangsisiͲsisi xdan1
satuan,sehinggaluasnyaadalahxsatuanluas.Gambar1(iii)adalahpersegisatuan
denganpanjangsisi1satuan,sehinggaluasnyaadalah1.Untukmembuatmedia
peragaini,dapatdigunakankertaskarton(yangkaku)ataubahanyanglebihbaik.Pada
saatsiswamempelajaripemfaktoranbentukaljabarini,siswadiasumsikansudah
mempunyaikonteksawalmengenaikonsepluasdansifatkekekalanluas.
DenganmendemonstrasikanpotonganͲpotongantersebut,gurumenjelaskanbahwa
untukmembuatpersegidenganukuran(x+1)u(x+1)diperlukansebuahpersegi(i), duapersegipanjang(ii)dansatupersegisatuan(iii),sehinggaluasnyaadalahgabungan
dariluasmasingͲmasingpotongan,yangdapatditulissebagai:x2+2x+1.Dengankata
lain:x2+2x+1=(x+1)(x+1).Perhatikangambar2berikutini.
x
x
x 1
1 1 1
x
x + 1
EndahRetnowati,M.Ed
Gambar2.x2+2x+1=(x+1)(x+1)
Kemudian,untukmembuatpersegipanjangdenganukuran(x+2)u(x+3)diperlukan sebuahpersegi(i),limapersegipanjang(ii)danenampersegisatuan(iii),sehingga
luasnya adalah gabungan dari luas masingͲmasing potongan, yang dapat ditulis
sebagai:x2+5x+6.Dengankatalain:x2+5x+6=(x+2)(x+3).Perhatikangambar3
berikutini.
Gambar3.x2+5x+6=(x+2)(x+3)
x
x
x 1
1 1
1
x
x 1
1 1
1 1
1 1 1
x
1 1
1 1 1
x
x + 3
x + 2
Sedangkanuntuk membuatpersegi panjangdengan ukuran(2x+ 1) (x+3)
diperlukanduapersegi(i),tujuhpersegipanjang(ii)dantigapersegisatuan(iii),
sehinggaluasnyaadalahgabungandariluasmasingͲmasingpotongan,yangdapat
ditulissebagai:2x
u
2
+7x+3.Dengankatalain:2x2+7x+3=(2x+1)(x+3).Perhatikan
gambar4berikutini.
SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
x
x
ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5
25
x
x
x 1
x + 3
2x + 1
1
x
1
x 1 1
1
x
1
x 1 1
1
x
1
x 1
1
Gambar4.2x2+7x+3=(2x+1)(x+3)
SiswasecaraindividuataukelompokdiberimediaperagaberbentukbangunͲbangun
sepertipadagambar1diatas.Denganmenggunakanberbagaibentukkuadrat,siswa
dapatmemanipulasimodifikasiDienesBlockstersebutuntukmenemukanfaktorͲfaktor
daribentukkuadrattersebut.Melaluikegiataspraktekini,gurudisarankanuntuk
membimbingsiswamenemukan(1)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan;(2)
penyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecarautuh(adasisakonstan);
dan(3)syaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,sehinggakeduafactorͲfaktornya
sama(membentukkuadratsempurna).Prosespenemuaninidapatdilakukanmelalui
kegiatanͲkegiatansebagaiberikut.
1. Untukmenemukansyaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,siswadapatdiberikan
pasangancontohbentukkuadratyangdapatdifaktorkandanyangtidakdapat
difaktorkan.Bentukkuadratdapatdifaktorkanberartimediaperaganyadapat
disusundalambentukpersegiataupersegipanjang.Contohbentukkuadratyang
dapatdifaktorkanadalahx2+5x+6dancontohyangtidakdapatdifaktorkan
adalahx2+5x+7.Pasanganyanglainadalahx2+4x+3danx2+4x+1;x2+7x+10
danx2+7x+8;2x2+5x+2dan2x2+5x+5serta2x2+11x+12dan2x2+11x+6.
Denganmenyusunpersegidanpersegipanjangsebagaimediapembelajaran,siswa
dibimbinguntukmenemukansyaratbentukkuadratx2+bx+cdapatdifaktorkan
EndahRetnowati,M.Ed
darikoefisienxdalambentukkuadrattersebutdenganbanyaknyapersegisatuan
(iii) sebagai representasi dari konstanta dalam bentuk kuadrat itu. Juga,
menemukanhubungan antara banyaknyapersegi(i), persegipanjang(ii)dan
persegisatuan(iii)untukmenemukansyaratbentukkuadratax2+bx+cdapat
difaktorkan.
Dengandemikian,siswadiharapkandapatmenemukansendiri,misalnya,bahwa
untukdapatmenyusunbentukkuadratdalamperkalianduafaktor,konstanta
bentukkuadratx2+bx+charusdapatdisajikandalambentukperkaliandua
bilanganyanghasiljumlahkeduabilanganiniadalahkoefisiendarixdibentuk
kuadratnya.
2. Untukmenemukanpenyajianbentukkuadratyangtidakdapatdifaktorkansecara
utuh(adasisaxatausisakonstan)dapatmenggunakancontohbentukkuadrat
yangtidakdapatdifaktorkandiatas.Contohnyauntukx2+5x+7,tidakdapat
diubahdalamperkalianduabuahfaktorkarenaseluruhmediaperaganyayang
merepresentasikannyatidakdapatdisusunmenjadipersegiataupersegipanjang,
sepertipadagambar5berikut.Karenasebagianmedianyadapatdibentukdalam
persegi atau persegi panjang, bearti sebagian dari bentuk kuadratnya dapat
difaktorkan,makapenyajianhasilpemfaktorannyadapatditulissebagaijumlah
perkalianfaktorͲfaktordansisanya.Sehingga,x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1.
x x x 1 1 1 1 x x 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 x
x + 3
x + 2
1
+ 1
1
Gambar15.x2+5x+7=(x+2)(x+3)+1
SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
Untukmenemukansyaratbentukkuadratdapatdifaktorkan,sehinggafaktorͲfaktornya
sama(membentukkuadratsempurna)denganmemberikancontohbentukͲbentuk
kuadratyangmedianyadapatdisusundalampersegi.Jikamedianyadapatdisusun
dalambentukpersegi,makabentukkuadrattersebutakanmempunyaiduafaktoryang
sama.SebagaimanapersegimempunyaisisiͲsisiyangsamapanjang.Dengankatalain,
jikamedianyatidakdapatdisusundalambentukpersegi,makabentukkuadratnya
tidakmempunyaifaktorͲfaktoryangsama.Contohyangdapatdiberikanadalahx2+2x
+1,sepertitelahditunjukkanpadagambar2diatasataubentukkuadratx2+4x+4,
seperti ditunjukkan pada gambar 6 berikut. Pemfaktoran bentuk kuadrat ini
menghasilkanduafaktoryangsama,yaitu(x+2)(x+1).
x + 2
x + 2
x x x 1 1 1 1 x 1 1 1 x x 1 1 1 1 1
Gambar6.x2+4x+4=(x+2)2
Permasalahanlainyangdapatdiajukanadalahbentukkuadratx2+3x+2.Media
peragaannyaditunjukkanpadagambar7berikut.
x + 1½
x x 1 x x 1 1 1 x 1 1 1
x + 1½
Gambar7.x2+3x+2=(x+1½)2–¼
Menggunakanperagaansepertidiatas,siswadapatmenemukanbahwauntuk
membentuknyamenjadipersegi,salahsatupersegipanjang(ii)perludipotong
ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5
EndahRetnowati,M.Ed
menjadiduabagian,demikianjugapersegisatuannya.Perlakuaninimenghasilkan
persegi,namunluasannyakurang¼satuan(padagambar7ditunjukkanoleh
bagianyangdiarsir).Sehingga,x2+3x+2=(x+1½)2–¼.MenggunakanbentukͲ
bentukkuadratsemacamini,siswadiarahkanuntukmenemukanhubunganantara
banyaknyaxdan besarnya konstantapada bentuk kuadrat, sehinggabentuk
kuadrattersebutdapatdiubahmenjadibentukyangmemuatperkalianduafaktor
yang sama(kuadratsempurna).Selain itu, siswaperlu jugadiarahkanuntuk
membentukkuadratsempurnadaribentukkuadrat,seperti2x2+4x+2.Media
peragaanuntukbentukkuadratiniditunjukkanolehgambar8berikutini. x + 1
x
x
x 1
x + 1
x
x
x 1
+
x + 1
1
x
x 1
1
1 x + 1
1
1
Gambar8.2x2+4x+2=2(x+1)2
Melaluikegiatandenganbendakonkretsepertiini,siswamelakukanpembelajaran
konsepaljabaryangbersifatabstrakdenganvisualisasikonsepyanglebihmudah
diamati.KegiatanmemanipulasibendakonkritsecaraberulangͲulangakanmembantu
proseskognitifsiswadalammemahamiprosedurdansehinggamengingatnyadengan
lebihbaik.SepertipendapatSweller(2004),pengetahuanyangdigunakansecara
ekstensifakanmenjadiotomasishadirdalamproseskognitifselanjutnya.Jikakegiatan
SeminarNasionalAljabar,PembelajaranAljabardanPenerapannya
ISBN:978Ͳ979Ͳ16353Ͳ2Ͳ5
29 inidilaksanakandenganmanajemenyangbaik,antaralainketersediaanmediaperaga
yangmemadai,setingkelasyangkondusif,waktupembelajarancukupuntukmemberi
ruang bagi siswa berkreasi dan tindak lanjut berupa latihan dan aplikasi yang
menantang tentu juga akan meningkatkan capaian hasil belajar siswa. Dengan
menemukansendirisuatuprosedur,siswajugamungkinmeningkatkankesenangan
atauminatsiswabelajarmatematika(Simanjuntak,1993).
KegiataninitentusajamembutuhkankejeliandariguruuntukmemilihsoalͲsoalyang
membimbingsiswadalammenemukankonsepdasardarimateripembelajaran.Selain
itu,guruperlumendorongsiswauntuksecaraaktifmengintepretasikanhasilyang
ditemukandenganmengurangidominasiguruuntukmemimpinpenemuan(Mayer,
1999). Sebagaipendamping kegiatan manipulasibendakonkrit, perlu disediakan
lembarkerja(worksheet)yangmengarahkansiswadalamkegiatannya.Namun,materi
didalamlembarkerjainiperludisajikandenganmemperhatikanproseskognitifyang
akandicapai,misalnyadenganmenghindarisplitͲattentioninformation(pemisahan
informasiyangberkaitan)atauredundantinformation(informasiyangberlebihan)
(Sweller,2004).Selanjutnya,untukmenegaskankeefektivandarimetodeiniperlu
dilaksanakaneksperimen,agarapabilaadaketidakefektivan,dapatdiajukaninovasi
strategiyanglebihbaikdalammenyajikanmateripembelajaranaljabar.
C. Penutup
Pembelajaran aljabar, khususnya pada pemfaktoran bentuk kuadrat dapat
dilaksanakanmelaluikegiatanmemanipulasibendakonkrityangdiadaptasidariDienes
Blocks. Agar pelaksanaanya dapat efektif, perlu dirancang langkahͲlangkah
pembelajaranyangmembimbingsiswamenemukanprosedurͲprosedurterkaitdengan
pemilihanpemecahanmasalahyangtepat.Kegiatanpraktekdenganbendakonkritini
dapatmembantusiswamemvisualisasikonsepabstrakyangdikandungdalamaljabar,
sehinggadiharapkansiswadapatbelajardenganlebihbermakna.
EndahRetnowati,M.Ed
Bruner,J.S.&Kenney,H.(1966).MultipleOrdering,dalamJ.S.Bruner,R.R.Oliver&P. M.Greenfeld(Eds.).StudiesinCognitiveGrowth.NewYork:JohnWiley.
Hirdjan.(1997).BelajarPembelajaranMatematika.Yogyakarta:UniversitasSarjana Wiyata.
Mayer,Richard.1999.ThePromiseofEducationalPsychology,VolumeII:Teachingfor MeaningfulLearning.NewJersey,USA:Merill,PrenticeHall.
Sweller, John. 2004. Instructional Design Consequences of an Analogy between EvolutionbyNaturalSelectionandHumanCognitiveArchitecture.Instructional Science32:9Ͳ31.
Simanjuntak,Lisnawaty.1993.MetodeMengajarMatematika.Jakarta:RinekaCipta.
