2. LIMIT
1.
Limit Barisan
Bilangan-bilangan c1, c2, c3, ..., cn disebut barisan bilangan tak hingga. Cn
disebut suku umum dari barisan dan merupakan fungsi dari n atau cn = f(n).
Bilangan n (n = 1, 2, 3, ...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.
Contoh :
a) Barisan 1, suku umumnya adalah Cn =
Barisannya adalah {Cn} = { }
b) Barisan 1,
suku umumnya adalah Cn = Barisannya adalah {Cn} = { }
Suatu barisan disebut konvergen jika barisan itu mempunyai limit dan dalam hal lain disebut divergen. Jika barisan konvergen maka limitnya tunggal (unik).
Contoh : a)
Barisan {Cn} = { } konvergen
b)
⁄
Barisan tersebut divergen
Limit yang tak sebenarnya :
1. Kalau , dikatakan juga bahwa barisan mempunyai limit tak sebenarnya
Contoh :
2. Kalau , dikatakan juga bahwa barisan mempunyai limit tak sebenarnya
Contoh :
{Cn} = mulai n =2 berlaku Cn<0, n2 lebih mendekati
daripada 2n. Ditulis
3. {Cn} divergen jika {Cn} dikatakan mempunyai limit tak sebenarnya atau
tidak mempunyai limit sama sekali. Contoh :
{Cn} =
= {
Atau : -1, 1, -1, 1, ...
Barisan ini tidak mempunyai limit sama sekali
Sifat-sifat limit barisan :
Bila dan , maka :
1)
, bila k sebarang bilangan riil 2)
3)
Bila semua suku Cn≠ 0 dan l≠ 0
4) Bila semua suku Cn≠ 0 dan l≠ 0
5)
Untuk sebarang p bilangan riil dan ada 6)
Untuk sebarang p bilangan riil dan ada
Contoh :
1.
2.
Dengan menggunakan perluasan sifat (2), maka :
= 1 . 1 . 1 ... 0 . 0 . 0 = 0
3. √
√ √
√
√
√
Barisan-barisan yang istimewa :
1. { √ } { } , a bilangan positif; 2. { √ } { }
3. {√ √ }
Berlaku {√ √ }√ √ √ √
4.
5. { }
{( ) }
Contoh :
7. (√ √ )
Dapat disederhanakan (karena mempunyai faktor yang sama (x – 2))
5.
Beberapa limit fungsi yang istimewa :
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7.
8. Jika | |
9. 10.
11.
Contoh :
1.
2.
= 2 3. Latihan soal :
1. 2.
4. √ 5.
6. 7.
√
8.
9.
