VALUING PATH DEPENDENT OPTIONS WITH ASSUMPTION THE UNDERLYING ASSET FOLLOWS VARIANCE GAMMA PROCESS

Perjanjian No:

VALUING PATH DEPENDENT OPTIONS WITH ASSUMPTION

THE UNDERLYING ASSET FOLLOWS VARIANCE GAMMA

PROCESS

Disnsnn Oleh:

(Dr. Ferry Jaya Permana)

Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat

Universitas Katolik Parahyangan

DAFTAR 151

ABSTRAK 1

BAB I. PENDAHULUAN 1

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 3

BAB III. METODE PENELITIAN 6

BAB IV. JADWAl PElAKSANAAN 7

BAB V. HASll DAN PEMBAHASAN 7

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN 9

ABSTRAK

Model gerak Brown geometri dipergunakan secara luas untuk memodelkan dinamika harga asel. Model tersebut mengasumsikan bahwa log return dari aset berdistribusi normal. Studi menggunakan data dari harga berbagai aset yang diperdagangkan di Indonesia memperlihatkan adanya excess kurtosis dan toil pada distribusi log return sehingga performansi model gerak Brown Geometri menjadi kurang baik untuk menggambarkan dinamika harga aset. Pada penelitian yang dibiayai oleh Hibah Penelitian Fundamental 2011-2012 sudah diperlihatkan bahwa Proses Varians Gamma (VG) memiliki performansi yang jauh lebih baik dalam menangkap karakteristik yang diperlihatkan data real tersebut. Penggunaan model gerak Brown geometri memberi banyak kemudahan. Selain mudah dimengerti karena distribusi normal biasa dipergunakan pad a berbagai bidang ilmu, penggunaan distribusi normal juga memudahkan dalam memodelkan harga berbagai macam derivatif, misalnya opsi, dan juga berbagai alat ukur dalam manajemen risiko, seperti Value-at-Risk. Sebaliknya, penggunaan proses VG memberikan kesulitan sekaligus tantangan dalam membangun model-model tersebut karena tidak ada bentuk eksplisit untuk fungsi kepadatan peluang untuk proses VG. Melalui Hibah Penelitian Fundamental 2011-2012 sudah diturunkan model untuk valuasi opsi plain vanilla jenis Eropa menggunakan sifat distribusi bersyarat dari proses VG. Melalui penelitian ini akan diturunkan suatu metoda untuk valuasi opsi plain vanilla jenis Amerika. Metoda yang akan digunakan merupakan gabungan antara model binomial tree dan simulasi Monte Carlo. Metoda terse but merupakan pengembangan dari path-simulation model yang diperkenalkan Tiley untuk valuasi opsi plain vanilla jenis Amerika dengan asumsi dinamika

underlying asset mengikuti gerak Brown geometri.

BAB I. PENDAHULUAN

Sistem ekonomi/keuangan dapat dikarakteristikkan dalam berbagai cara. Salah satunya adalah dengan mengelompokkannya rnenjadi dua tipe pasar, yaitu: pasar aset nyata dan layanan serta pasar aset keuangan. Aset keuangan merupakan suatu klaim terhadap unit ekonomi. Banyak aset keuangan, seperti saham dan obligasi, diperdagangkan pad a pasar yang terorganisir. Selama 30 tahun terakhir ini derivatif (instrumen keuangan turunan), seperti: opsi, future, forward contract, swap, dan lain-lain memegang peranan penting dalam dunia keuangan. Derivatif dapat didefinisikan sebaeai alat kplJangan yang nilainya tergantung pada nilai lain yang lebih mendasar dari varia bel tertera (underlying asset).

Salah satu contoh derivatif yang telah disebutkan di atas adalah opsi. Opsi adalah suatu alat keuangan yang rnemberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual suatu aset dengan harga tertentu dan pad a waktu tertentu. Opsi biasanya digunakan untuk merninimalkan risiko yang diakibatkan oleh fluktuasi harga aset. Berdasarkan jenisnya opsi

dapat dibagi dua yaitu: opsi yang tidak tergantung pada pergerakan harga aset selama masa berlakunya opsi terse but

(path independent option),

seperti: opsi Eropa, dan opsi yang tergantung pada pergerakan harga aset selama masa berlakunya opsi tersebut

(path

dependent option),

seperti: opsi Amerika, opsi Asia, dan lain-lain.

Simulasi Monte Carlo banyak digunakan untuk valuasi ospi jenis Amerika karena sangat mudah dimengerti dan mudah diterapkan. Dengan simulasi Monte Carlo dapat dibangkitkan jalur

(path)

yang menggambarkan pergerakan harga

underlying asset,

kemudian ekspektasi nilai

payoff

dari opsi dihampiri menggunakan rata-rata dari

payoff.

Kesulitan utama penerapan model simulasi Monte Carlo untuk valuasi opsi jenis Amerika adalah menentukan

holding value

berdasarkan dari satu jalur harga

underlying asset.

Underlying asset

dari derivatif dapat berupa komoditi, saham, obligasi, suku bunga, nilai tukar mata uang, indeks saham, atau jenis aset lainnya. Untuk memodelkan pergerakan dari

underlying asset

tersebut akan digunakan model Varians Gamma. Model Varians Gamma sangat eaeak digunakan untuk memodelkan dinamika harga aset yang karakteristiknya ditandai oleh adanya lompatan

Uumps),

suatu fenomena yang biasa terjadi di

emerging

markets.

Hasil penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa model Varians Gamma memiliki performansi yang paling baik dalam arti dapat menangkap karakteristik dari data real ([9]).

Beberapa metoda sudah dikembangkan untuk memodifikasi model simulasi Monte Carlo untuk menghitung harga opsi jenis Amerika. Tiley ([10],[11]) merupakan perintis dari pengembangan model simulasi Monte Carlo untuk valuasi opsi jenis Amerika dengan cara menentukan

early exercise

boundary, untuk kemudian memandang opsi Amerika sebagai

knocked-and-exercised option.

Ketika jalur harga

underlying asset

menyentuh

boundary,

maka opsi tersebut akan segera dieksekusi

(early exercise).

Grant et. al. ([5]) kemudian mengembangkan model yang diusulkan Tiley sehingga dapat diterapkan untuk valuasi opsi Asia jenis Amerika.

Model yang dikembangkan Tiley mengundang krtitik karena dianggap kurang efisien, terutama jika jumlah

node

yang dipilih cukup besar, padahal keakuratan model ini bergantung pada jumlah

node.

Chan et. al. ([1]) mengembangkan model pencarian iteratif untuk meningkatkan efisiensi dari

path-simulation model

yang dikembangkan oleh Tiley ([10],[11]). Longstaff dan Schwartz ([7l) memanfaatkan model kuadrat terkecil untuk memutuskan apakah

early exercise

menguntungkan atau tidak. Kesulitan dari model ini adalah penaksiran parameter jenis polinom karena jumlah parameter yang harus ditaksir jauh lebih sedikit dibandingkan jumlah jalur harga yang dimiliki Ibanez dan Zapatero ([G]) mengkombinasikan model yang diusulkan Longstaff dan Schwartz dengan model yang diusulkan Tiley dengan memperkenalkan

optimal exercise frontier.

Pada model ini,

parameter dari frontier cukup ditaksir menggunakan fungsi kubik menggunakan model regresi.

Seluruh model-model yang diperkenalkan tersebut mengasumsikan bahwa pergerakan harga underlying asset mengikuti gerak Brown geometri. Asumsi pergerakan harga underlying asset, khususnya lag return dari aset, mengikuti proses varians gamma menyisakan banyak masalah untuk dijadikan topik penelitian, antara lain dalam hal valuasi opsi.

Tujuan dari penelitian ini adalah membangun model untuk valuasi opsi plain vanilla jenis Amerika dengan berdasarkan asumsi log return dari underlying asset mengikuti proses varians gamma. Model yang akan diusulkan merupakan gabungan metoda binomial tree dan path-simulation model yang dikembangkan oleh Tiley, dan juga mempertimbangkan berbagai modifikasi model yang sudah disebutkan di atas.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Model Varians Gamma

Untuk dapat memodelkan harga berbagai derivatif, seperti opsi, diperlukan pers<lm<l<ln diferensial stokastik sebagai model untuk pergerakan underlying asset yang melekat pada derivatif tersebut. Ada beberapa model yang dapat digunakan untuk mengg<lmbarkan pcrgcrakan underlying asset, seperti: model Gerak Brown (ipnmptri, model Potensial Difusi dan model Varians Gemma.

Proses Gamma dengan mean!1 dan variansi v, ditulis G(t; a, v), didefinisikan sebag<li proses dengan waktu kontinu yang kenaikannya (increments) bersifat st<lsioner dan saling bebas sehingga untuk setiap dt

>

0,

!"dt G(t

+

dt;!I,v) -G(t;!I,V) - r ( - - ,V/I1)

v

dimana

re.)

menyatakan fungsi padat peluang dari distribusi gamma dengan parameter !12dt/v dan vII!.

Madan, Carr dan Chang ([8]) memperkenalkan proses v<lriansi Gamma <lsimetrik dengan tig<l parameter. Parameter pertam<l d<ln kedua dapat mengontrol variansi dan kurtosis sedangkan parameter yang ketiga dapat mengontrol kemiringan (skewness).

Pandang gerak Brown dengan drift

e

dan volatilitas ([ yang dinyatakan oleh persamaan diferensialslokdSlik:

bet; e,([) = ot

+

([Wet) dengan Wet) adalah gerak Brown standar.

Proses Varians Gamma (VG) dapat diperoleh dari gerak Brown dengan mensubstutusi peubah acak peubahan waktu (random time change) dengan proses gamma. Dengan menggunakan subordinat dari gerak Brown bet;

e,

0'), proses VG dapat dinyatakan sebagai fungsi dari gerak Brown bet; 0, 0') and proses gamma G(t; 1, v) sebagai berikut:

X(t;0',v, 8)

=

beGet; 1,v);O,0')

Dengan mengasumsikan proses be bas risiko (risk-neutral process), proses pergerakan harga aset yang mengikuti proses VG diberikan oleh persamaan:

Set)

=

S(O)exp(rt

+

X(t; 0', v, 0)

+

wt)

dimana w

=

:'/n(l -

ev -

O.S0'2V).

v

2.2. Opsi

Derivatif dapat didefinisikan sebagai alat keuangan yang nilainya tergantung pada nilai lain yang lebih mendasar dari variabel tertera (underlying asset). Salah satu jenis derivatif adalah opsi. Opsi adalah suatu alat keuangan yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual suatu aset dengan harga tertentu dan pada waktu tertentu. Valuasi harga opsi yang mengasumsikan bahwa pergerakan underlying asset mengikuti model Varians Gamma tidaklah mudah karena fungsi padat peluang dari distribusi varians gamma tidaklah sederhana, antara lain akan melibatkan fungsi Bessel dan distribusi gamma juga. Tetapi menurunkan rumus untuk valuasi harga opsi masih memungkinkan, seperti dijelaskan di dalam Cont and Tankov ([2]) maupun Madan, Carr, and Chang ([8J) yang akan dijadikan referensi utama untuk mempelajari model ini.

Perbedaan opsi Amerika dengan opsi Eropa terletak pada waktu eksekusi. Pemilik opsi Eropa hanya bisa melakukan eksekusi pada saat jatuh tempo sedangkan pada opsi Amerika, pemilik opsi dapat menggunakan haknya setiap saat sampai jatuh tempo. Berdasarkan jenisnya, opsi Amerika dibagi menjadi dua jenis yaitu :

1. Opsi call Amerika : Opsi call Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada

pemiliknya untuk membeli saham dari pihak penerbit dengan harga tertentu setiap saat sampai waktu jatuh tempo.

2. Opsi put Amerika : Opsi put Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada ppmiliknya untuk menjllal saham kepada pihak penerbit dengan harga tertentu setiap saat sampai waktll jatuh tempo.

Opsi jenis Amerika lebih banyak diperjual belikan dibandingkan opsi jenis Eropa karena opsi jenis Amerika memberikan keuntungan lebih bagi pemegang opsi, yaitu dapat dieksekusi kapan saja sampai saat jatuh tempo (early exercise). Tetapi keuntungan tersebut memberi

konsekuensi juga yaitu harga opsi jenis Amerika akan lebih mahal dibandingkan opsi jenis Eropa, dan valuasi opsi Amerika lebih sulit dibandingkan dengan opsi jenis Eropa.

2.3. Model Simulasi Lintasan

Model simulasi dipandang tidak efisien jika digunakan untuk menentukan nilai path dependent option. Model simulasi dengan jumlah langkah yang semakin besar akan membuat perhitungan menjadi semakin sulit. Selain itu, untuk memperoleh hasil yang cukup akurat maka model simulasi memerlukan pengulangan yang cukup besar. Akibatnya waktu perhitungan (processing time) yang dibutuhkan semakin lama. Kesulitan ini membuat para peneliti termotivasi untuk mencari model simulasi yang cukup efisien untuk menentukan nilai opsi Amerika.

Pada penelitian ini akan dibahas model simulasi lintasan ([11J) untuk menentukan nilai opsi

plain vanilla jenis Amerika yang merupakan modifikasi dan gabungan dari simulasi Monte Carlo dan metode pohon binomial. Performansi dari model simulasi lintasan akan diuji dengan membandingkan nilai opsi yang diperoleh dari model tersebut dengan nilai opsi yang diperoleh dari metode pohon binomial.

Misalkan suatu opsi hanya dapat dieksekusi pada saat ti dimana i

=

0,1,2, ... , n, to

=

0, tn

T.

Misalkan hd'gd saham pada saat tn =

T

adalah

S(t

_{n) '"}

Scn

dan harga saham pada saat

to

=0

°

adalah

sCto)

=0 S(O). Misalkan S(I!; ti) menyatakan harga saham pada

sa at

t

=

Ii yang terdapat pada lintasan k, dimana I! =0 1,2, ... , R. Dengan menggunakan

simulasi Monte Carlo dapat diperoleh barisan harga saham 5(1), 5(2), ... , 5(n) sebanyak R lintasan, dengan

SCi)

=0

Set;).

Misalkan dCk. t)

=

e-

r _{Mmenyatakan presen/ vulue pada saat}

_t

_{darl pembayaran sebesar}

$1 yang dilakukan pada saat

t

+

M di lintasan k. Sedangkan D(I<, I) =0

e-

rt menyatakan

present value pada sa at t ~ 0 dari pembayardn sebesar $1 yang dilakukan pilda saat t di lintasan k.

Misalkan Ilk,t) menyatakan nilai intrinsik (intrinsic value) pada saat t di Iintasan k. Definlsikan zlk,t) sebagai variabel indikator pada saat t di titik k yang menyatakan apakah opsi akan dieksekusi (exercise) atau tidak dleksekusi (hold) pad a saat terse but. Variabel

zlk,t) didefinisikan sebagai:

. (! ) _ fl . jika dieksekusi

Z <,

t -

(0. jika tidak dieksekusi

Jadi jika opsi tersebut diekseskusi pada saat t =0

t.

di lintasan k maka z(k. t.) =0 1 dan

z(k. t) = 0 untuk semua t

*'

t •.

Asumsikan lintasan harga saham tersebut bersifat aeak yang masing-masing memiliki peluang sama untuk terpilih apakah akan dieksekusi atau tidak yaitu sebesar

R-

1

=o~,

sehingga nilai opsi Amerika pada saat t = 0 adalah sebagai berikut :

Harga Opsi 0= R-1

L L

z(k, t)D(k, t)l(k, t)

k t

dengan

k

0= 1,2, ... ,

R

menyatakan lintasan dan

t

0= 1,2, ... , n menyatakan waktu.

Untuk mcncntukan harga opsi, milka terlebih dahulu perlu untuk memperkirakan apakah opsi akan dieksekusi atau tidak dieksekusi dengan menggunakan induksi mundur (backward induction). Induksi mundur dimulai dari

t

0=

tn

yaitu pad a sa at jatuh tempo. Pada saat jatuh

tempo jika opsi yang masih "hidup" di lintasan

k

(artinya tidak dieksekusi sebelum sa at t) akan dieksekusi jika dan hanya jika I(k,n) > O. Secara umum dapat dikatakan bahwa induksi mundur bertujuan untuk menentukan apakah opsi tersebut akan dieksekusi atau tidak dieksekusi pada saat t. Keputusan untuk mengeksekusi suatu opsi ditentukan dengan membandingkan nilai opsi jika ditahan (aptian's holding value) dan nilai opsi jika dieksekusi

(option's exercise value). Nilai opsi yang dieksekusi sama dengan nilai intrinsik opsi dan dapat dihitung untuk setiap lintasan pada saat t karena harga eksekusi (strike price) diketahui.

Setelah harga saham tersebut diurutkan, kita bagi lintasan ke dalam Q bundel yang masing-masing memuat P lintasan. Nilai opsi yang disimpan (option's holding value) di lintasan k pad a saat t dihitung sebagai nilai diskonto dari ekspektasi nilai opsi pada saat t + 1 yang terdapat pada bundel yang memuat lintasan k. Nilai Q dan P haruslah cukup besar agar model simulasi lintasan memiliki performansi yang cukup baik. Nilai Q dan P juga harus bilangan bulat positif yang merupakan faktor dari R.

BAB III. METODE PENElITIAN

Tujuan utama dari penelitian ini adalah memodelkan harga opsi Amerika atas underlying asset dengan mengasumsikan bahwa pergerakan underlying asset-nya mengikuti model Varians Gamma. Us ulan penelitian ini diharapkan akan dapat memberikan kontribusi bagi perkembangan pasar modal di Indonesia dalam hal pengembangan model harga opsi Amerika di Indonesia, di sam ping diseminasi hasil penelitian pada seminar-seminar nasional dan internasional serta publikasi hasil penelitian di tingkat nasional maupun internasional. Sistematika dari usulan hibah penelitian monodisiplin ini dibagi menjadi beberapa tahap yaitu:

• Tahap 1: Studi pustaka mengenai model harga opsi Amerika.

• Tahap 2: Valuasi harga opsi Amerika menggunakan simulasi Monte Carlo dan metode binomial. Mengingat simulasi yang akan dikerjakan untuk model varians gamma tidak sederhana maka diperlukan studi pustaka mengenai simulasi Monte Carlo untuk masing-masing model tersebut (sebagai referensi antara lain Cant and Tankov [2J dan Winkler, Apel dan Wystup [12]).

• Tahap 3: Valuasi harga opsi Amerika menggunakan model simulasi lintasan untuk menentukan nilai opsi plain vanilla jenis Amerika yang merupakan modifikasi dan gabungan dari simulasi Monte Carlo dan metode pohon binomial.

• Tahap 4: Membandingkan harga opsi yang diperoleh dari berbagai model.

Hasil seminar direncanakan akan dipresentasikan pada seminar intern, Seminar Nasional Matematika Unpar 2013 maupun seminar internasional. Salah satu seminar internasional yang direncanakan untuk dihadiri adalah The Asian Mathematical Canference 2013 di Busan, Korea Selatan 30 Juni-4 Juli 2013. Direncanakan, hasil penelitian akan ditulis dalam makalah dan akan dikirim ke International journal of Banking and Finance (IJBF), atau Asian

Economics journal.

BAB IV. JADWAL PELAKSANAAN

KEGIATAN

Studi Pustaka

Valuasi harga dengan simulasi Monte Carlo dan metode binomial

Valuasi harga dengan model simulasi lintasan

Penyusunan Laporan Kegiatan dan

BAB V. HASIL DAN PEMBAHASAN

Adapun prosedur untuk menentukan nilai opsi Amerika pada saat t menggunakan model

simulasi lintasan mengikuti algoritma sebagai berikut [l1J:

1. Mula-mula gunakan simulasi Monte Carlo untuk memperoleh R lintasan harga saham

sehingga diperoleh barisan S(k,l), S(k,2), S(k,3) ... , S(k,n). Kemudian untuk setiap t kita urutkan harga saham tersebut. Untuk opsi call maka urutkan harga saham dari yang terendah hingga harga saham yang terbesar sedangkan untuk opsi put maka urutkan harga saham yang terbesar ke harga saham yang terendah. Berikan penomoran ulang

(reindex) untuk harga saham sesuai dengan urutan tersebut sehingga diperoleh barisan

harga saham yang baru.

3. Partisi atau kelompokkan R lintasan menjadi Q bundel yang setiap bundel-nya memuat P lintasan, dengan P dan Q adalah bilangan bulat positif yang merupakan faktor dari R.

4. Untuk setiap lintasan k, hitung option's holding value H(k,tj yang didefinisikan sebagai ekspektasi seluruh nilai opsi pada saat sekarang V(k,tj di lintasan dalam bundel yang memuat lintasan k.

H(k, t)

=

d(k, t)p-l

L

VU, t

+

1)

dengan

*

menyatakan seluruh j yang terdapat dalam bundel yang memuat k. Varia bel V(k,t) didefinisikan pada langkah 8. Pada saat

t

= tn didefinisikan V(k,nj = I(k,nj untuk semua lintasan k.

5. Untuk setiap lintasan k, bandingkan nilai simpan opsi (option's holding value) H(k,t) dengan nilai intrinsik I(k,t) untuk menentukan keputusan sementara apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Definisikan variabel indikator x(k,t) sebagai berikut:

(k )

=

{L jika I(k,t) >H(k,t)

x ,t

0, jika I(k,t)

~

H(k,t)

6. Dari langkah 5 diperoleh barisan bilangan 0 dan 1 (x(k,t); k = 1,2, ... ,R). Kemudian tentukan sharp boundary yang merupakan batas dim ana opsi dieksekusi atau tidak.

Sharp boundary tersebut dapat ditentukan oleh angka 1 (satu) pertama yang diakhiri dengan angka 0 (nol) terakhir. Sharp boundary pad a sa at t dinotasikan oleh k.(t).

7. Tentukan y(k,t) yang menyatakan variabel baru untuk menentukan keputusan apakah opsi dieksekusi atau tidak berdasarkan batas yang telah ditentukan pad a langkah 6.

(I )

=

{L jika k ? I<.(t)

y (, t 0, jika k < k.(t)

8. Untuk setiap lintasan k, nilai opsi pada saat sekarang (current value) V (k,t) didefinisikan sebagai berikut:

V(Ic, t) = {l(k, t), jika y(k, t) = 1

H (k, t), Jlka y(k, t) =

°

Setelah melakukan langkah mundur (backward) dari waktu ke-n hingga waktu ke-l menggunakan algoritma di atas maka definisikan variabel indikator z(k,t) yang menyatakan apakah opsi dapat dieksekusi lebih awal atau tidak sebagai berikut:

z(k, t) = {L jika y(k,t) = 1 dan y(k,

t -

1) - a

a

,

untuk yang lamnya

Maka selanjutnya harga opsi dapat dihitung.

Misal diberikan data: S(O) = 99.36,

r

=

5 % per tahun, c=0.1923, v=0.004,

e

= - 0.2956,

0'=0.2865, T

=

1 tahun, n

=

100, R

=

5250,

Q

=

70, dan P

=

75. Berikut tabel perbandingan harga opsi Call Amerika yang diperoleh dengan model simulasi Iintasan untuk berbagai nilai strike price.

_.

Strike European Call Option American Call Option Price

Price (K)

_-

_... Price _..

.

-VG Model GBM Model VG Model

94 16.4534 16.0785 16.7663

.---~-99 13.8202 13.4960 15.2811

104 11.5200 11.2480 11.9742

BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN

Dari hasil simulasi yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Model simulasi lintasan cukup efektif dibandingkan metode Monte Carlo dalam menghitung harga opsi Amerika.

2. Harga opsi Amerika yang diperoleh dengan model Geometrik Brownian Motion lebih murah dibandingkan dengan harga opsi yang diperoleh dengan model Var'lans Gamma.

Adapun saran untuk penelitian lanjutan:

1. Mempelajari model simuldsi yang lain untuk menghitung nilai opsi plain vanilla jenis Arnerika kemudian membandingkan waktu proses yang dibutuhkan untuk rnernbandingkiln ilPilkilh rnnrlplsimulasi lintasan ini lebih efisien atill! tidilk.

2. Memperluas model simulasi lintasan untuk opsi Asia jenis Amerika. Opsi Asia adJlah opsi yang payoff -nya berdasarkan pad a rata-rata harga underlying asset selama periode waktu tertentu sebelum atau sampai sa at jatuh tempo.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chan, H.R., Chen, Y., Yeung, K.M., A Memory Reduction Method in Pricing American Options, Journal of Statistical Computation Simulation, 2003, vol. 00, pp. l-ll.

[2] Cont, R. and Tankov, P. Financial Modelling With Jump Processes, Chapman and Hall, USA,2004.

[3] Dyer, L., Jacob, D., An overview of fixed income option models, The Handbook of Fixed Incame Securities, vol. 73, p. 742, 1991.

[4] Geske, R., Shastri, K., Valuation by approximation: A comparison of alternative option valuation techniques, Journal of Financial and Quantitative Analysis 20, vol. 1, pp. 45-71,1985.

[5] Grant, D., Vora, G., and Weeks, D. Path-Dependent Options: Extending The Monte Carlo Simulatian Appraach, Management Science, vol. 43, no 11, pp. 1589-1602, 1997. [6] Ibanez, A., and Sapatero, F., Mante Carlo Valuation of American Options through

Computation af Optimal Exercise Frontier, working paper of Instituto Tecno Logico Autonomo de Mexico, 200l.

[7] Longstaff, F.A., and Schwartz, E.s., Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach, The Review of Financial Studies, 14(1), 113-147.

[8] Madan, D.P., P.P. Carr, Eric C. Chang., The variance gamma process and option pricing. European Finance Review, 2(1), 79-105, 1998.

[9] Permana, F.J., Lesmono, D., and Chendra, E., Modelling Indonesian Stock Indices using Variance Gamma, Proceedings of The World Congress on Engineering and Technology, Shanghai, 28 October - 2 November 2011.

[10] Tilley, J., An actuarial layman's guide ta building stochastic interest rote generators, Transactions of the Society of Actuaries, vol. 64, pp. 509-564, 1992.

[11] Tilley, J., Valuing american options in a path simulation madel, Transactions of the Society of Actuaries, vol. 45, pp. 83-104,1993.

[12] Winkler, Apel dan Wystup (2001), Valuation of Options in Heston Stochastic Volatility Madel Using Finite Element Methods, Foreign Exchange Risk, Risk Publications, London.