BAB IV DIFFERENSIASI

BAB IV DIFFERENSIASI

4.1 Garis singgung

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung

l

pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih

A

l

Gambar 4.1 Gambar 4.2 A B

l

suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis

l

1 yang mempunyai kemiringan :

m1 = x -x f(x) -) x ( f 1 1 _{( 4.1 )}

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x x f(x) -) x ( f lim m lim 1 1 x x 1 x x 1 1 -= ® ® ( 4.2 )

Persaman (4.2) adalah kemiringan garis

l

1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis

l

1

jika

x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis

l.

Dalam bentuk limit dapat ditulis : m x x f(x) -) x ( f lim m lim 1 1 x x 1 x x® ₁ = ® ₁ - =

l

1 A

l

B x x1 h x 0 y Gambar 4.3 Kemiringan garis

l

1 = m1 Kemiringan garis

l

= m

Jadi : x x f(x) -) x ( f lim m 1 1 x x ₁ -= ® ( 4.3 ) Karena x1 – x = h, maka h f(x) -) h x ( f lim m 0 h + = ® ( 4.4 )

Jika dimisalkan h = Dx, maka

x f(x) -) x x ( f lim m 0 x D D + = ® D ( 4.5 )

Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis

l

pada titik (x, f(x)) Contoh 4.1

Diketahui f(x) = 3x2 _{+ 5}

Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2₎ Penyelesaian : x f(x) -) x x ( f lim m 0 x D D + = ® D x 5 x 3 5 x) 3( x x 6 x 3 lim x 5 3x -5 ) x x ( 3 lim 2 2 2 0 x 2 2 0 x D -+ D + D + = D -+ D + = ® D ® D x 6 x 3 x 6 lim 0 x + D = = ® D Jadi m = 6x (*)

Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2_{) maka :} persamaan (*) menjadi :m = 6a

persamaan (**) menjadi : a2 _{= 6a}2 _{+ n. Sehingga n = -5a}2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

4.2 Turunan

Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :

x x ) x ( f ) x ( f lim ) x ( ' f 1 1 x x ₁ -=

® , jika nilai limitnya ada ( 4.6 )

Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Differensiasi

f(x) f’(x)

Contoh 4.2

Jika f(x) = 2x2 _{+ 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3)} Penyelesaian : f(x) = 2x2 _{+ 5x – 7} f(x+Dx) = 2(x+Dx)2 _{+ 5(x+Dx) – 7 = 2x}2 _{+ 4xDx +2(Dx)}2 _{+ 5x + 5Dx – 7} f(x+Dx) – f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 _{+ 5Dx} 5 x 4 5 x 2 x 4 lim x x 5 ) x ( 2 x x 4 lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x 2 0 x 0 x D = + D + = + D + D + D = D -D + = ® D ® D ® D Jadi : f'(x) = 4x+5 f'(c)= 4c+5 17 5 ) 3 ( 4 ) 3 ( ' f = + = 4.3 Notasi turunan

Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).

4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas

Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti :

Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika : x ) x ( f ) x x ( f lim 0 x D -D + ® D ada, maka x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x D -D + = ® D f(x+Dx)-f(x)= x x ) x ( f ) x x ( f D · D -D + x lim . x ) x ( f ) x x ( f lim )) x ( f ) x x ( f ( lim 0 x 0 x 0 x D D -D + = -D + ® D ® D ® D =f’(x) . 0 = 0

Sehingga : lim f( x x) lim f(x) 0 x 0

x® D ®

D D + = ® Dxlim®0f(x) =f(x) (terbukti)

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.

4.5 Teorema-teorema

4.5.1 Turunan bilangan konstan

y = f(x) = c maka f'(x) 0 dx dy _{= = ( 4.7 )} Bukti : f(x) = c ; f(x+Dx) = c x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f 0 x dx dy D -D + = = ® D = x 0 c c lim 0 x D = -® D (terbukti)

4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka f'(x) knxn 1 dx dy _{= =} - _{( 4.8 )} Bukti : f(x) = kxn f(x+Dx) = k(x+Dx)n

Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(x+Dx)n

=

! n x ! kn ! ) 1 n ( x ! 1) -k(n ! 2 ) x ( x ) 1 n ( kn ! 1 x knx ! 0 kxn n 1 n 2 2 n-1 ₊ D n -D + + D -+ D + - - _L 1 n 0 x x knx ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f dx dy -® D D = -D + = = (terbukti) Contoh 4.3

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian : 6 1 7 _35x x ) 7 )( 5 ( ) x ( ' f dx dy _{= =} - ₌ 4.5.3 Aturan penjumlahan

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x) + g(x) maka f'(x) g'(x) dx dy + = ( 4. 9 ) Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx) h’(x) = x ) x ( g ) x ( f ) x x ( g ) x x ( f lim x ) x ( h ) x x ( h lim 0 x 0 x D -D + + D + = D -D + ® D ® D = f'(x) g'(x) x ) x x ( g lim x ) x ( f ) x x ( f lim 0 x 0 x D = + D + + D -D + ® D ® D (terbukti) Contoh 4.4 Diketahui y = 5x6 + 2x-3

Tentukan dx dy Penyelesaian : f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3 f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4 = dx dy _{f’(x) + g’(x) = 30x}5 _{– 6x}-4 4.5.4 Aturan perkalian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = f(x).g(x) maka f'(x)g(x) f(x)g'(x) dx dy + = (4.10) Bukti : h’(x) = x ) x ( g ). x ( f ) x x ( g ). x x ( f lim 0 x D -D + D + ® D = x ) x ( g ). x ( f ) x ( g ). x x ( f ) x ( g ). x x ( f ) x x ( g ). x x ( f lim 0 x D -D + + D + -D + D + ® D = x ) x ( g ) x x ( g ) x x ( f lim 0 x D -D + D + ® D + x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x D -D + ® D = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3) Tentukan dx dy Penyelesaian : f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3 f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7 dx dy = f’(x).g(x) + g’(x).f(x) = (15x4_-4x-3

₎

_{(7x+3) + (3x}5 _{+ 2x}-2₎₍₇₎ = 105x5-28x-2 +45x4 _{– 12x}-3 _+21x5 _{+ 14x}-2 = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3 4.5.5 Aturan pembagian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : y = h(x) = ) x ( g ) x ( f _maka

[

_g(x)

]

2 ) x ( ' g ) x ( f ) x ( g ) x ( ' f dx dy ₌ - _(4.11) Bukti :

h(x) = ) x ( g ) x ( f _{; h(x+Dx) =} ) x x ( g ) x x ( f D + D + h’(x) = x ) x ( g ) x ( f ) x x ( g ) x x ( f lim x ) x ( h ) x x ( h lim 0 x 0 x D -D + D + = D -D + ® D ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( f ). x x ( g ) x x ( f ). x ( g lim 0 x D +D D + -D + ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( g ). x ( f ) x ( f ). x x ( g ) x ( g ). x ( f ) x x ( f ). x ( g lim 0 x D +D + D + -D + ® D = ) x ( g ). x x ( g . x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x D +D -D + ® D - x.g(x x).g(x) ) x ( g ) x x ( g ) x ( f lim 0 x D +D -D + ® D = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D +D -D + ® D g(x x).g(x) x ) x ( f ) x x ( f ) x ( g lim 0 x - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é D +D -D + ® D g(x x).g(x) x ) x ( g ) x x ( g ) x ( f lim 0 x =

[

_g(x)

]

2 ) x ( f ). x ( ' g ) x ( ' f ). x ( g - _(terbukti) Contoh 4.6 Tentukan h’(x) jika h(x) = 3 2 4 x 4 x 3 x 2 -Penyelesaian : f(x) = 2x4 _{– 3x}2 _{f’(x) = 8x}3 _{– 6x} g(x) = 4x3 _{g’(x) = 12x}2 h’(x) = 2 3 2 2 4 3 3 2 _{(4x )} ) x 12 )( x 3 x 2 ( ) x 4 )( x 6 x 8 ( )] x ( g [ ) x ( ' g ). x ( f ) x ( g ). x ( ' f - ₌ - - - = ₆ 4 6 6 4 6 4 6

16

12

8

16

36

24

24

32

x

x

x

x

x

x

x

x

-

-

+

₌

+

= ₂ 2

4

3

2

x

x

+

4.5.6 Turunan fungsi komposisi Jika y = f(u) dan u = g(x) maka

dx du du dy dx dy _{= (4.12)} Bukti :

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x).

u = g(x)

Du= g(x+Dx) – g(x) ® g(x+Dx) = g(x) + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0

y = f(g(x))

x )) x ( g ( f )) x x ( g ( f x y D -D + = D D u u x )) x ( g ( f )) x x ( g ( f D D D -D + = = D D x y x u u ) u ( f ) u u ( f D D D -D + _® = D D ® D x y lim 0 x dx dy x u u ) u ( f ) u u ( f lim 0 x D = D D -D + ® D dx du du dy x u lim . u ) u ( f ) u u ( f lim dx dy 0 x 0 x D = D D -D + = ® D ® D (terbukti)

Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7 Tentukan dx dy jika y = (4x3 _{+ 5x}2 _{– x + 4)}3 Penyelesaian : Misal u = 4x3 _{+ 5x}2 _{– x + 4 y = u}3 12x 10x 1 dx du ₌ 2 _{+ - 3u}2 du dy ₌ ) 1 x 10 x 12 ( u 3 dx du du dy dx dy _{= =} 2 2 ₊ -2 2 3 2 _{10x 1)(4x 5x x 4)} x 12 ( 3 + - + - + = Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! 1. f(t) = at2 _{– bt + 7 6. f(x) =} ú û ù ê ë é ₊ ú û ù ê ë é x 1 5 x 4 3x -x 4 5 2. f(x) = 3x-5 + 35x2 7. g(t) = (at2_+bt+c)2_(3at–7)5 3. g(x) = _ú û ù ê ë é ₊ 2 x x 2 8. h(w) = c w 2 aw b + -4. h(x) = 2 x 1 5 x 4 ú û ù ê ë é _{+ 9. v(t) =} 3 ) d ct ( 2 ) bt 2 at ( -5. w(x) = - 2x 3 3 x 4 7 ú û ù ê ë é _{+ 10. g(t) =} 3 -t ) 3 (2t t + 2

4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri

Jika y = f(x) = sin x maka f'(x) cosx dx dy = = (4.13) Bukti : x x sin ) x x sin( lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f dx dy 0 x 0 x D -D + = D -D + = = ® D ® D

x x sin x sin x cos x cos x sin lim 0 x D -D + D = ® D x x sin x cos ) 1 x (cos x sin lim 0 x D D + -D = ® D ú û ù ê ë é D D + D -D ® D = x x sin x cos x ) 1 x (cos x sin 0 xlim x x sin lim x cos x 1 x cos lim x sin 0 x 0 x D D + D -D = ® D ® D

= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti) Jika y = sin u dan u = f(x) maka

dx du u cos dx dy _{= (4.14)} Bukti : y = sin u cosu du dy ₌ u = f(x) f'(x) dx du = dx du u cos dx du du dy dx dy _{= = (terbukti)}

Jika y = f(x) = cos x maka f'(x) sinx dx dy _{= =- (4.15)} Bukti : x x cos ) x x cos( 0 xlim x ) x ( f ) x x ( f 0 xlim ) x ( ' f dx dy D -D + ® D = D -D + ® D = = x x cos x sin x sin x cos x cos 0 xlim D -D -D ® D = x x sin x sin ) 1 x (cos x cos 0 xlim D D -D ® D = ú û ù ê ë é D D -D -D ® D = x x sin x sin x ) 1 x (cos x cos 0 xlim x x sin 0 xlim x sin x 1 x cos 0 xlim x cos D D ® D -D -D ® D =

= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)

Jika y = cos u dan u = f(x) maka

dx du u sin dx dy _{=- (4.16)} Bukti : y = cos u sinu du dy ₌ -u = f(x) f'(x) dx du ₌

dx du u sin dx du du dy dx dy _{= =- (terbukti)} Contoh 4.8

Jika y = sin(p-2x), tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = p - 2x y = sin u 2 dx du _{=- cosu} du dy ₌ ) x 2 cos( 2 ) 2 )( u (cos dx du du dy dx dy _{= = - =- p} -Contoh 4.9 Jika y = 2 x cos tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2 x _{y = cos u} 1/2 dx du _{= sinu} du dy ₌ -2 x sin 2 1 -) 2 1 )( u sin ( dx du du dy dx dy _{= = - =} Contoh 4.10

Jika y = sin2x cos3x, tentukan dx dy Penyelesaian :

Misal u = sin 2x v = cos 3x 2cos2x dx du = 3sin3x dx dv -= ) x 3 sin 3 )( x 2 (sin ) x 3 )(cos x 2 cos 2 ( dx dv u v . dx du dx dy _{= + = +} -x 3 sin . x 2 sin 3 x 3 cos . x 2 cos 2 -= Contoh 4.11 Jika y = x 4 cos x 3 sin _{, tentukan} dx dy Penyelesaian :

Misal u = sin 3x v = cos 4x 3cos3x dx du _{= 4sin4x} dx dv ₌ -2 ) x 4 (cos ) x 4 sin 4 )( x 3 (sin ) x 4 )(cos x 3 cos 3 ( 2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ - -x 4 cos x 4 sin . x 3 sin 4 x 4 cos . x 3 cos 3 2 + =

Jika y = f(x) = tan x maka f'(x) sec x dx dy _{= =} 2 _(4.16) Bukti : y = tan x = x cos x sin u = sin x v = cos x cosx dx du _{= sinx} dx dv ₌ -2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ 2 ) x (cos ) x sin )( x (sin ) x )(cos x (cos - - ₌ x cos x sin x cos 2 2 2 ₊ = sec x x cos 1 ₂ 2 = (terbukti)

Jika y = tan u maka

dx du u) (sec dx dy ₌ 2 _(4.17) Bukti : y = tan u sec u du dy ₌ 2 u = f(x) f'(x) dx du ₌ dx du ) u (sec dx du du dy dx dy _{= =} 2 _(terbukti) Contoh 4.12

Jika y = 5 tan 3x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 3x y = 5 tan u 3 dx du _{= 5sec u} du dy ₌ 2 x 3 sec 15 u sec 15 ) 3 )( u sec 5 ( dx du du dy dx dy _{= =} 2 ₌ 2 ₌ 2

Jika y = f(x) = cot x maka f'(x) csc x dx dy _{= =-} 2 _(4.18) Bukti : y = cot x = x sin x cos u = cos x v = sin x sinx dx du _{= - cosx} dx dv ₌

2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ 2 ) x (sin ) x )(cos x (cos ) x )(sin x sin (- -= x sin ) x cos x (sin 2 2 2 ₊ -= csc x x sin 1 2 2 = -- (terbukti)

Jika y = cot u maka

dx du u) csc ( dx dy _{= -} 2 _(4.19) Bukti : y = cot u csc u du dy ₂ -= u = f(x) f'(x) dx du ₌ dx du ) u csc ( dx du du dy dx dy _{= = -} 2 _(terbukti) Contoh 4.13 Jika y = x 3 1 cot 2 1 _{, tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 y = cotu 2 1 3 1 dx du = csc u 2 1 du dy ₂ -= x 3 1 csc 6 1 u csc 6 1 ) 3 1 )( u csc 2 1 ( dx du du dy dx dy _{= = -} 2 _=- 2 _{= -} 2

Jika y = f(x) = sec x maka f'(x) secxtanx dx dy _{= = (4.20)} Bukti : y = sec x = x cos 1 u = 1 v = cos x 0 dx du _{= sinx} dx dv ₌ -2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ 2 ) x (cos ) x sin )( 1 ( ) x )(cos 0 ( - -= secxtanx x 2 cos x sin = (terbukti)

Jika y = sec u maka dx du tanu) u (sec dx dy _{= (4.21)} Bukti :

y = sec u secutanu du dy ₌ u = f(x) f'(x) dx du ₌ dx du u) tan u (sec dx du du dy dx dy = = (terbukti)

Jika y = f(x) = csc x maka f'(x) cscxcotx dx dy _{= = - (4.22)} Bukti : y = csc x = x sin1 u = 1 v = sin x 0 dx du _{= cosx} dx dv ₌ 2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ 2 ) x (sin ) x )(cos 1 ( ) x )(sin 0 ( - ₌ cotx x csc x 2 sin x cos ₌ -- _(terbukti) Jika y = csc u maka dx du cotu) u csc ( dx dy _{= - (4.23)} Bukti : y = csc u cscucotu du dy ₌ -u = f(x) f'(x) dx du = dx du u) cot u csc ( dx du du dy dx dy _{= = - (terbukti)} Contoh 4.15 Jika y = csc( x) 3 1 _{p- , tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal u = p-x y = cscu 3 1 1 dx du _{=- cscucotu} 3 1 du dy ₌ -x) -cot( ) x csc( 3 1 cotu u csc 3 1 ) 1 )( cotu u csc 3 1 ( dx du du dy dx dy p -p = = -= = Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9

1. f(x) = ) 3 2 x sin( - p 6. f(x) = x) 3 ( csc4 p

-2. f(x) = cos ) 3 x 2 (p - 7. g(t) = sin2tcos t 2 1 _p 3. g(x) = tan3_{x 8. h(w) =} ) bw cos( ) aw sin( -p p -4. h(x) = cot3_{x 9. v(t) =} ) t b cos( t 2 sin at2 -5. w(x) = ) 3 2 x ( sec5 - p 10. g(t) = t 3 sin cos2t t sin

4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers Jika y = f(x) = arcsin x maka

2 x 1 1 ) x ( ' f dx dy -= = (4.24) Bukti : y = arcsinx ® sin y = x ® 1 dx dx dx dy y cos = = ® y cos 1 dx dy ₌ Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

sin y = x cos y = _1-x2 2 x 1 1 dx dy -= (terbukti) 2 x 1

-Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka

dx du u 1 1 dx dy 2 -= (4.25) Bukti : y = arcsin u ® 2 u 1 1 du dy -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = (terbukti) Contoh 4.16 Jika y = x) 3 1 arcsin( 8 3 - , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 - y = arcsinu 8 3 1 x y

3 1 dx du _=- 2 u 1 1 8 3 du dy -= 2 2 x 9 1 1 8 1 3 1 u 1 1 8 3 dx du du dy dx dy -= ú û ù ê ë é -= =

Jika y = f(x) = arccos x maka

2 x 1 1 ) x ( ' f dx dy -= = (4.26) Bukti : y = arccosx ® cos y = x ® 1 dx dx dx dy y sin = = - ® y sin 1 dx dy ₌ -Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

cos y = x sin y = _1-x2 2 x 1 1 dx dy -= (terbukti) _1-x2 x

Jika y = arccos u dan u = f(x) maka

dx du u 1 1 dx dy 2 -= (4.27) Bukti : y = arccos u ® 2 u 1 1 du dy -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = (terbukti) Contoh 4.17

Jika y =-3arccos2x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2x y = -3arccosu 2 dx du ₌ 2 u 1 1 3 du dy -= 2 2 _{1 4x} 6 ) 2 ( u 1 1 3 dx du du dy dx dy -= -= = 1 y

Jika y = f(x) = arctan x maka ₂ x 1 1 ) x ( ' f dx dy + = = (4.28) Bukti :

y = arctanx ® tan y = x ® sec2_{y 1}

dx dx dx dy _{= = ®} y sec 1 dx dy 2 = Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

tan y = x sec2 _{y = 1-x}2 2 x 1+ x 2 x 1 1 dx dy -= (terbukti) 1 Jika y = arctan u dan u = f(x) maka

dx du u 1 1 dx dy 2 + = (4.29) Bukti : y = arctan u ® ₂ u 1 1 du dy + = dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 + = = (terbukti) Contoh 4.18 Jika y = x 3 1 arctan 5 3 _{, tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal u = x 3 1 _{y =}

_arctan

_u

5

3

3 1 dx du = ₂ u 1 1 5 3 du dy + = ) x 9 1 1 ( 5 1 3 1 u 1 1 5 3 dx du du dy dx dy 2 2 + = ú û ù ê ë é + = =

Jika y = f(x) = arccot x maka ₂ x 1 1 ) x ( ' f dx dy + -= = (4.30)

Bukti : y = arccotx ® cot y = x ® -csc2_y

1 dx dx dx dy = = ® y csc 1 dx dy 2 -= Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

cot y = x csc2 _{y = 1+x}2 2 x 1+ 1 y

2 x 1 1 dx dy + -= (terbukti) x

Jika y = arccot u dan u = f(x) maka

dx du u 1 1 dx dy 2 + -= (4.31) Bukti : y = arccot u ® ₂ u 1 1 du dy + -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 + -= = (terbukti) Contoh 4.19

Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 3x y = 2 arccot u 3 dx du = ₂ u 1 1 2 du dy + -= 2 2 _{1 9x} 6 ) 3 ( u 1 1 2 dx du du dy dx dy + -= + -= =

Jika y = f(x) = arcsec x maka

1 x x 1 ) x ( ' f dx dy 2 -= = (4.32)

Bukti : y = arcsecx ® sec y = x ® secy tany 1 dx dx dx dy _{= = ®} y tan y sec 1 dx dy -= Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

sec y = x sec y tan y = x x2-1 x x2-1 1 x x 1 dx dy 2 -= (terbukti) 1 Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka

dx du 1 u u 1 dx dy 2 -= (4.33) Bukti : y = arcsec u ® 1 u u 1 du dy 2 -= dx du 1 u u 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = (terbukti) y y

Contoh 4.20 Jika y = arcsec x) 2 (p- , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = x 2 -p _{y = arcsec u} 1 dx du _=- 1 u u 1 du dy 2 -= 1 ) x 2 ( ) x 2 ( 1 ) 1 ( 1 u u 1 dx du du dy dx dy 2 2 -p -p -= -= =

Jika y = f(x) = arccsc x maka

1 x x 1 ) x ( ' f dx dy 2 -= = (4.34) Bukti : y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y 1 dx dx dx dy = = ® y cot y csc 1 dx dy ₌ -Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

csc y = x csc y cot y = x x2-1 x 1 1 x x 1 dx dy 2 -= (terbukti) 1 x2

Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka

dx du 1 u u 1 dx dy 2 -= (4.35) Bukti : y = arccsc u ® 1 u u 1 du dy 2 -= dx du 1 u u 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = (terbukti) Contoh 4.21 Jika y = arccsc ) 2 x ( -p , tentukan dx dy Penyelesaian : Misal u = 2 x- p y = arccsc u 1 dx du ₌ 1 u u 1 du dy 2 -= y

1 ) 2 x ( ) 2 x ( 1 ) 1 ( 1 u u 1 dx du du dy dx dy 2 2 -p -p -= -= = Soal-soal

Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut ! 1. y = arcsin(p-x) 3. x arccos x 2 cos y=

2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x

4.8 Turunan fungsi Eksponen

Jika y = f(x) = ex maka =f'(x)= dx dy _ex _(4.36) Bukti : ex didefinisikan sebagai n n x 1 nlim úû ù ê ë é ₊ ¥ ®

Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n n x 1 _ú û ù ê ë é _{+ =} L n x 3! 1 ). 2 n )( 1 n ( n n x ! 2 1 ). 1 n ( n n x ! 1 1 n 1 . n n x ! 0 n 1 0 1 n 2 2 n 3 3₊ ú û ù ê ë é -+ ú û ù ê ë é -+ ú û ù ê ë é -+ ú û ù ê ë é - -n n x 1 _ú û ù ê ë é _{+ =} L x 3! ) n / 2 1 )( n / 1 1 ( x ! 2 ) n / 1 1 ( x 1+ + - 2+ - - 3+ n n x 1 nlim úû ù ê ë é ₊ ¥ ® = úû ù ê ë é _{+ +} - ₊ - - ₊ ¥ ® 3! x L ) n / 2 1 )( n / 1 1 ( x ! 2 ) n / 1 1 ( x 1 nlim 3 2 ex = 1 x x_2! x₃ L 3 2 + + + + (4.37) Sehingga : e = + + + +_L= + + + +_L ! 3 1 ! 2 1 1 1 3 1 ! 2 1 1 1 2 3 (4.38) Jika y = f(x) = ex Maka x ) 1 e ( e lim x e e lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f dx dy x x 0 x x x x 0 x 0 x D -= D -= D -D + = = D ® D D + ® D ® D Karena ex ₌ L 3 x ! 2 x x 1+ + 2+ 3+ , maka eDx

–

1 = _L 3 x ! 2 x x+D 2+ D 3 + D Sehingga x ) 1 e ( e lim x x 0 x D -D ® D = x 2 x 0 x 3 e x ! 2 x 1 e lim = ú ú û ù ê ê ë é + D + D + ® D L (terbukti)

Jika y = eu dan u = f(x) maka

dx du e dx dy ₌ u _(4.39) Bukti : y = eu _eu du dy ₌ u = f(x) f'(x) dx du ₌

dx du e dx du du dy dx dy _{= =} u _(terbukti) Contoh 4.22 Jika y = -2ea-bx, tentukan dx dy Penyelesaian : _{Misal : u = a – bx} dx du_{= -b (e}a bx_{)( b) be}a bx dx dy ₌ - _{- =-}

-4.9 Turunan fungsi logaritma

Jika y = f(x) = ln x maka =f'(x)= dx dy x 1 _(4.40) Bukti : y = f(x) = ln x x x x 1 ln lim x x ln ) x x ln( lim x ) x ( f ) x x ( f lim ) x ( ' f dx dy 0 x 0 x 0 x D ú û ù ê ë é ₊ D = D -D + = D -D + = = ® D ® D ® D = ú û ù ê ë é ₊D D = ® D x x 1 ln x 1 lim 0 x úû= ù ê ë é ₊ D D = ® D x x 1 ln x x lim x 1 0 x x x 0 x x x 1 ln lim x 1 D ® D úû ù ê ë é ₊D =

Berdasarkan teorema binomial maka :

L + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é -D ú û ù ê ë é D + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é D + = ú û ù ê ë é ₊ D -D -D D D ! 2 x x 1 1 x x x x ! 1 x x 1 x x ! 0 1 x x 1 2 2 x x 1 x x x x x x Jadi : ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é -D ú û ù ê ë é D + ú û ù ê ë é D ú û ù ê ë é D + = ú û ù ê ë é ₊D -D -D D ® D D ® D 2! L x x 1 1 x x x x ! 1 x x 1 x x ! 0 1 ln lim x 1 x x 1 ln lim x 1 2 2 x x 1 x x x x 0 x x x 0 x ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú û ù ê ë é D -ú û ù ê ë é D -+ ú û ù ê ë é D -+ + = ú û ù ê ë é ₊ D ® D D ® D 3! L x x 2 1 x x 1 ! 2 x x 1 1 1 ln lim x 1 x x 1 ln lim x 1 0 x x x 0 x

( )

x 1 1 x 1 e ln x 1 ! 3 1 ! 2 1 1 1 ln x 1 _{= = =} ú û ù ê ë é _{+ + + +} = _L (terbukti)

Jika y = ln u dan u = f(x) maka dx du u 1 dx dy _{= (4.41)} Bukti : y = ln u u 1 du dy = u = f(x) f'(x) dx du = dx du u 1 dx du du dy dx dy = = (terbukti) Contoh 4.23 Jika y = e2x ln x 3 1 _tentukan dx dy Penyelesaian :Misal : u = e2x v = ln x 3 1 _2e2x dx du ₌ x 1 dx dv ₌ ú û ù ê ë é ₊ = + = + = x 1 x 3 1 ln 2 e x 1 e x 3 1 ln e 2 dx dv . u v . dx du dx dy 2x 2x 2x

Jika y = f(x) = alog x maka =f'(x)=

dx dy x ) a (ln 1 _(4.42) Bukti : y = alog x ® ay = x y ln a = ln x ® y = lnx a ln 1 x ) a (ln 1 dx dy _{= (terbukti)}

Jika y = alog u dan u = f(x) maka

dx du u ) a (ln 1 dx dy = (4.43) Bukti : y = alog u ® u ) a (ln 1 du dy ₌ dx du . u ) a (ln 1 dx du . du dy dx dy = = (terbukti) Contoh 4.24

Jika y = 7_{log(3-5x) tentukan}

dx dy Penyelesaian :Misal : u = 3 – 5x ® 5 dx du ₌ ) x 5 3 )( 7 (ln 5 dx du u ) a (ln 1 dx dy -= =

Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! 1. y = xe3x 4. y = 2_4x e x 3 ln x _{7. y =} x 4 ln e3x 1 10. y = x ln e e x 5 ln x x x -2. y = _3x e 2 2 x 3 - 5. y = 2x x e ) e x 4 (ln x + _{8. y =} x 2 3 5 e ) x 1 log( 3 -3. y = x3 _{ln2x 6. y =} x 6 5 x 3 ln 2 - 9. y = _log4x e x 3 bx a 3

-4.10 Turunan fungsi hiperbolik

Jika y = f(x) = sinhx maka =f'(x)=

dx dy _{coshx (4.44)} Bukti : y = f(x) = sinhx = (e e ) 2 1 x_- -x ) x ( ' f dx dy = = (e e ) 2 1 x₊ -x _{= coshx (terbukti)}

Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =

dx dy _{cosh u} dx du _(4.45) Bukti : y = sinh u ® coshu du dy = dx du u cosh dx du . du dy dx dy _{= = (terbukti)} Contoh 4.25 Jika y = 3 sinh x 5 1 _{, tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal : u = x 5 1 _{y = 3 sinh u} 5 1 dx du = 3coshu du dy =

x 3 1 cosh 5 3 ) 5 1 u)( cosh 3 ( dx du du dy dx dy _{= = =}

Jika y = f(x) = coshx maka =f'(x)=

dx dy _{sinhx (4.46)} Bukti : y = f(x) = coshx = (e e ) 2 1 x₊ -x ) x ( ' f dx dy _{= = (e e )} 2 1 x_- -x _{= sinhx (terbukti)}

Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =

dx dy _{sinh u} dx du _(4.47) Bukti : y = cosh u ® sinhu du dy ₌ dx du u sinh dx du . du dy dx dy = = (terbukti) Contoh 4.26

Jika y = cosh (1-2x), tentukan dx dy Penyelesaian : Misal : u = 1-2x y = cosh u 2 dx du -=

=

sinh

u

du

dy

(sinh

u)(-2

)

2

sinh(

1

2

x

)

dx

du

du

dy

dx

dy

₌

₌

₌

_-

-Jika y = f(x) = tanhx maka =f'(x)=

dx dy _sech2 _{x (4.48)} Bukti : y = f(x) = tanhx = x cosh x sinh ) x ( ' f dx dy _{= =} x cosh x sinh x cosh ) x (cosh ) x )(sinh x (sinh ) x )(cosh x (cosh 2 2 2 2 -= = sech x x cosh 1 2 2 = (terbukti)

Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =

dx

dy _sech2 _u

dx

du _(4.49)

y = tanh u ® sech u du dy ₌ 2 dx du u h sec dx du . du dy dx dy _{= =} 2 _(terbukti) Contoh 4.27

Jika y = tanh (a+bx), tentukan dx dy Penyelesaian :

Misal : u = a+bx y = tanh u

b

dx

du _{= sech u}

du

dy ₌ 2

(sech u)(b) bsech (a bx)

dx du du dy dx dy _{= =} 2 ₌ 2 ₊

Jika y = f(x) = cothx maka =f'(x)= dx dy _-csch2 _{x (4.50)} Bukti : y = f(x) = cothx = x sinh x cosh ) x ( ' f dx dy = = x sinh x cosh x sinh ) x (sinh ) x )(cosh x (cosh ) x )(sinh x (sinh 2 2 2 2 -= = csch x x sinh 1 2 2 = -- _(terbukti)

Jika y = coth u dan u = f(x) maka =

dx dy _{- csch}2 _u dx du _(4.51) Bukti : y = tanh u ® csch u du dy _=- 2 dx du u h csc dx du . du dy dx dy _{= =-} 2 _(terbukti) Contoh 4.28

Jika y = coth (a+bt), tentukan dt dy Penyelesaian :

Misal : u = a+bt y = coth u

b dt du _{= csch u} du dy _=- 2 ( csch u)(b) bcsch (a bt) dt du du dy dt dy _{= = -} 2 _=- 2 ₊

Jika y = f(x) = sechx maka =f'(x)= dx dy _-csch2 _{x (4.52)} Bukti : y = f(x) = sechx = x cosh 1

Misal u = 1 ® 0 dx du ₌ V = coshx ® sinhx dx dv = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy -= = ₂ ) x (cosh ) x )(sinh 1 ( ) x )(cosh 0 ( - ₌ x cosh x sinh 2 = - tanhx sechx (terbukti)

Jika y = sech u dan u = f(x) maka =

dx

dy _{- tanhu sechu} dx

du _(4.53)

Bukti : y = sech u ® tanhusechu du dy ₌ dx du u sech u tanh dx du . du dy dx dy _{= =- (terbukti)} Contoh 4.29 Jika y = 2sech x) 5 1 3 1 ( - , tentukan dt dy Penyelesaian : Misal : u = x 5 1 3 1 - y = 2 sech u 5 1 dx du _{=- tanhu sechu} du dy ₌ x) 5 1 3 1 sech( ) x 5 1 3 1 tanh( 5 2 ) 5 1 u tanh 2 ( dt du du dy dt dy _{= = - = -} -y = f(x) = cschx maka =f'(x)= dx dy _{-csch x cothx (4.54)} Bukti : y = f(x) = sechx = x sinh 1 Misal u = 1 ® 0 dx du = V = sinhx ® coshx dx dv = 2 v dx dv . u v . dx du dx dy ₌ - ₌ 2 ) x (sinh ) x )(cosh 1 ( ) x )(sinh 0 ( - ₌ x sinh x cosh 2 = - cothx cschx (terbukti)

Jika y = csch u dan u = f(x) maka = dx dy _{- cothu cschu} dx du _(4.55) Bukti : y = csch u ® cothucschu du dy -=

dx du u csch u coth dx du . du dy dx dy -= = (terbukti) Contoh 4.30 Jika y = -3csch x) 2 1 5 1 ( + , tentukan dt dy Penyelesaian : Misal : u = x 2 1 5 1_{+ y = -3 csch u} 2 1 dx du _{= 3cothu cschu} du dy ₌ x) 2 1 5 1 sech( ) x 2 1 5 1 coth( 2 3 ) 2 1 cschu)( u coth 3 ( dt du du dy dt dy _{= = = + +} Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. y = sinh(2-3x) 6. y = ) x 2 1 coth( c bx ax2 + + + 2. y = cosh(a2_{x – b) 7. y =} x 2 h sec e-ax 3. y = x2 _{sinh5x 8. y =} ) x 5 4 ln( x 3 h sec -4. y = emx _{cosh2x 9. y = x csch(x-1)} 5 1 3 5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = e3xcsch(a-bx) 1

4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers Jika y = f(x) = sinh-1_{x maka =f'(x)=}

dx dy 1 x 1 2₊ (4.56) Bukti : y = f(x) = sinh-1_{x = ln(x+ x}2₊₁₎ 1 x 1 1 x x 1 . 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 dx dy 2 2 2 2 2 2 + = + + + + + = + + + + = (terbukti)

Jika y = sinh-1 _{u dan u = f(x) maka =}

dx dy dx du 1 u 1 2₊ (4.57) Bukti : y = sinh-1 _{u ®} 1 u 1 du dy 2₊ = dx du 1 u 1 dx du . du dy dx dy 2₊ = = (terbukti)

Contoh 4.31 Jika y = -3sinh-1 x 2 1 _{, tentukan} dt dy Penyelesaian : Misal : u = x 2 1 _{y = -3 sinh}-1_u 2 1 dx du ₌

1

1

3

2

₊

-=

u

du

dy

1

4

1

2

3

)

2

1

)(

1

1

3

(

2 2

+

-=

+

-=

=

x

u

dt

du

du

dy

dt

dy

Jika y = f(x) = cosh-1_{x maka}

= =f'(x) dx dy 1 x 1 2_- , x > 1 (4.58) Bukti : y = f(x) = cosh-1_{x = ln(x+ x}2_-1) 1 x 1 1 x x 1 . 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 dx dy 2 2 2 2 2 2 -= -+ -+ -= -+ -+ = , x > 1 (terbukti)

Jika y = cosh-1 _{u dan u = f(x) maka}

= dx dy dx du 1 u 1 2_- , u > 1 (4.59) Bukti : y = cosh-1 _{u ®} 1 u 1 du dy 2 -= dx du 1 u 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = , u > 1 (terbukti) Contoh 4.32 Jika y = cosh-1 x 4 3 _{, tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal : u = x 4 3 _{y = cosh}-1_u 4 3 dx du ₌ 1 u 1 du dy 2 -= 1 x 16 9 4 3 ) 4 3 )( 1 u 1 ( dt du du dy dt dy 2 2 + = -= =

Jika y = f(x) = tanh-1_{x maka =f'(x)=}

dx dy 2 x 1 1 - , x <1 (4.60) Bukti : y = f(x) = tanh-1_{x =} 1 x , x 1 x 1 ln 2 1 < -+

_{2 2} x 1 1 x 1 x 1 . ) x 1 ( 2 2 1 dx dy -= + -= , x <1 (terbukti)

Jika y = tanh-1 _{u dan u = f(x) maka =} dx dy dx du u 1 1 2 - , u <1 (4.61) Bukti : y = tanh-1 _{u ®} 2 u 1 1 du dy -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = , u <1 (terbukti) Contoh 4.33

Jika y = tanh-1_{(2x-1), tentukan}

dx dy Penyelesaian : Misal : u = 2x - 1 y = tanh-1_u 2 dx du = ₂ u 1 1 du dy -= _{2 2} ) 1 x 2 ( 1 2 ) 2 )( u 1 1 ( dx du du dy dx dy -= -= =

Jika y = f(x) = coth-1_{x maka}

= =f'(x) dx dy 2 x 1 1 - , x >1 (4.62) Bukti : y = f(x) = tanh-1_{x = , x 1} 1 x 1 x ln 2 1 _> -+ _{2 2 2} x 1 1 1 x 1 1 x 1 x . ) 1 x ( 2 2 1 dx dy -= -= + -= , x >1 (terbukti)

Jika y = coth-1 _{u dan u = f(x) maka =}

dx dy dx du u 1 1 2 - , u >1 (4.63) Bukti : y = tanh-1 _{u ®} 2 u 1 1 du dy -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = , u >1 (terbukti) Contoh 4.34

Jika y = 3 coth-1_{(2-3x), tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal : u = 2-3x y = 3 tanh-1_u 3 dx du ₌ -2 u 1 3 du dy -= _{2 2} ) x 3 2 ( 1 9 ) 3 )( u 1 3 ( dx du du dy dx dy -= -= =

Jika y = f(x) = sech-1_{x maka =f'(x)=} dx dy 2 x 1 x 1 -- , 0<x<1 (4.64) Bukti : y = f(x) = sech-1_{x = , 0 x 1} x x 1 1 ln + - 2 < < 2 x 1 x 1 dx dy -= , 0<x<1 (terbukti)

Jika y = sech-1 _{u dan u = f(x) maka}

= dx dy dx du u 1 u 1 2 -- , 0<u<1 (4.65) Bukti : y = sech-1 _{u ®} 2 u 1 u 1 du dy -= dx du u 1 1 dx du . du dy dx dy 2 -= = , 0<u<1 (terbukti) Contoh 4.35

Jika y = -2 sech-1_{(1-x), tentukan}

dx dy Penyelesaian : Misal : u = 1-x y = 2 sech-1_u 1 dx du -= 2 u 1 u 2 du dy -= 2 2 _{(1 x) 1 (1 x)} 2 ) 1 )( u 1 u 2 ( dx du du dy dx dy -= -= = Jika y = f(x) = csch-1_{x maka =f'(x)=} dx dy 2 x 1 x 1 + - (4.66) Bukti : y = f(x) = csch-1_{x =} x x 1 1 ln + + 2 2 x 1 x 1 dx dy + -= (terbukti)

Jika y = csch-1 _{u dan u = f(x) maka}

= dx dy dx du u 1 u 1 2 + - (4.67) Bukti : y = csch-1 _{u ®} 2 u 1 u 1 du dy + -= dx du u 1 u 1 dx du . du dy dx dy 2 + -= = (terbukti) Contoh 4.36

Jika y = csch-1_{(sinx), tentukan} dx dy Penyelesaian : Misal : u = sinx y = csch-1_u cosx dx du ₌ 2 u 1 u 1 du dy + -= x sin 1 x sin x cos ) x )(cos u 1 u 1 ( dx du du dy dx dy 2 2 =- ₊ + -= = Soal-soal

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y = sinh-1_{(cosx) 4. y = x}2 _coth-1_x 2. y = cosh-1_{(sin2x) 5. y = sech}-1_{(x sinx)} 3. y = tanh-1_{(3x+p) 6. y = e}-2x _csch-1_(1-2x)

4.12 Turunan tingkat tinggi

Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :

2 2 dx y d , dx dy _dan 3 3 dx y

d _{atau f’(x), f’’(x) dan f’’’(x). Sedangkan untuk turunan ke n,} dimana n ³4, maka kita gunakan lambang : n_n

dx y

d _{atau f}(n)_(x).

Contoh 4.37

Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2_-4)3 Penyelesaian : _{f'(x) 3(x}2 ₄₎2_{(2x) 6x(x}2 ₄₎2 dx dy _{= = - =} f''(x) 6(x 4) 6x(4x)(x 4) 6(x 4) 24x (x 4) dx y d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -+ -= -+ -= = f'''(x) 24x(x 4) 48x(x 4) 48x 120x 288x dx y d 2 2 3 3 3 3 -= + -+ -= = 288 x 360 ) x ( f dx y d (4) 2 4 4 -= = Soal-soal

Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi :

1. f(x) = 2x e-x 2. f(x) = ln(a-bx) 3. f(x) = 1 x

x 2₊

4. f(x) = 2 ₂ x 1 4 x

-+ _{5. f(x) = sin}2_(a-bx)

_{6.f(x) = cos}2 _(mx+n)

4.13 Differensial

Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5

didapat : x x y y _ú D û ù ê ë é D D = D (4.68)

Jika harga Dx sangat kecil, maka Dy menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi :

dx ) x ( f dy = ¢ (4.69)

Pada persamaan 4.69 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx.

Contoh 4.38

Jika y = x2 _{- 2x – 3, tentukan differensial y} Penyelesaian : f(x) = x2 _{- 2x – 3} f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx Contoh 4.39 Dx = dx

l

1 f(x)

l

f(x + Dx) f(x) Dy dy y x x+Dx x 0 Gambar 4.5

Volume sebuah silinder adalah V = pr2_{h. Jika jari-jari silinder tersebut} membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya.

Penyelesaian : f(r) = pr2_h f’(r) = 2prh

dV = f’(r) dr = 2prh (0,01r) = 0,02 pr2_h

Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 pr2_h

Soal-soal

1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut ?

2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah volume air yang menguap ?

Penjelasan :

Kerjakan kedua soal tersebut diatas dengan metode differensial !

4.14 Turunan fungsi implisit

Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut :

1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka : ) x ( ' g ) x ( g dx d _{= (4.70)}

2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka : dx dy ) y ( ' h ) y ( h dx d _{= (4.71)}

3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :

[

]

dx dy ) y ( ' v ). x ( u ) y ( v ). x ( ' u ) y ( v ). x ( u dx d _{= + (4.72)} = Contoh 4.40 Tentukan dx dy dari : x2 _{– 3xy +y}2 _{= 4} Penyelesaian : x2 _{– 3xy +y}2 _{= 4 ® x}2 _{– 3xy +y}2 _{– 4 = 0}

2x – 3y – 3x dx dy_{+ 2y} dx dy_{- 0 = 0} ( 2y – 3x ) dx dy = 3y - 2x ®

x

y

x

y

dx

dy

3

2

2

3

-=

Contoh 4.41 Tentukan dx

dy dari : x2_{y + xy}2 _{= 6 pada titik (1,2)} Penyelesaian : x2_{y + xy}2 _{= r}2_{® x}2_{y + xy}2 _{- r}2 _{= 0} 2xy + x2 dx dy + y2 _{+ 2xy} dx dy = 0 (x2 _{+ 2xy)} dx dy_{= -(2xy + y}2_{) ®} ) xy 2 x ( ) y xy 2 ( dx dy 2 2 + + -= ® 5 8 dx dy 2 y 1 x = -= = Soal-soal 1. Tentukan dx dy dari : i) x + y = sinxy ii) xy = cos (x+y) iii) y = exy

iv) y = ln(xy) 2. Tentukan nilai

dx

dy pada titik (1,0) dari : i) 3xy2 _{+ e}x+y _{= e}

ii) x2 _{+ y}2 _{+ xy = 1} 4.15 Turunan fungsi parameter

Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk :

x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter (4.73) Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan rumus: dt / dx dt / dy dx dy _{= (4.74)} Soal-soal Tentukan dx

1. ïî ï í ì -= + = 2 2 3 ) 4 t ( y ) 3 t ( x 3. î í ì = p -= t 2 cos y ) t sin( x 2. ïî ï í ì -= = ) 7 t 5 ln( y e x 2t _4. ï ï î ï ï í ì -= + + = t t 1 y 1 t 1 t x 2 2