Contoh Soal Fisika Modern

(1)

SOAL CONTOH 38.1

Sebuah electron denngan energy kinetik sebesar 20 GeV (yang disebut sebagai electron 20 GeV) dapat ditunjukkan memiliki laju = 0, 999 999 999 67 . apabila elektron seperti itu mempercepat pulsa cahaya menuju bintang terdekat di luar sistem tata surya (Proxima Centauri, 4,3 tahun cahaya, atau 4,0 × 1016 m). dengan berapa lam pulsa cahaya akan mencapai sasaran?

PENYELESAIAN : Apabila L adalah jarak ke bintang, perbedaan waktu tempuh adalah

.

Sekarang sangat dekat dengan yang dapat kita ambil = didalam penyebut dari ekspresi ini (tetapi bukan didalam pembilang!). Apabila kita melakukan itu, maka kita mendapatkan

.

( ₎

. .

Anda berada didalam pesawat uang-alik yang melintasi bumi dengan kelajuan relative sebesar . Setelah perjalanan selama 10,0 tahun (waktu anda), anda berhenti di pos LP13, berputar, dan kemudian kembali ke Bumi dengan kelajuan relatif yang sama. Perjalanan waktu kembali memakan waktu 10,0 tahun (waktu anda). Berapa lama waktu perjalanan yang diperllukan menurut pengukuran yang dibuat di Bumi? (Abaikan sembarangan pengaruh yang ditimbulkan oleh percepatan yang terkait dengan penghentian dan perputaran).

PENYELESAIAN : Pada perjalanan keluar, mulai dan akhir perjalanan terjadi pada lokasi yang sama didalam kerangka acuan kita, yaitu pada pesawat Ulak-alik kita. Oleh karena itu, Anda mengukur waktu tepat o untuk perjalanan,

yang diketahui 10,0 tahun. Pers. 38.6 memberikan kita waktu yang berpadanan ketika di ukur di dalam kerangka acuan Bumi:

√ .

√ . .

Pada perjalanan kembali, kita memiliki situasi yang sama. Dengan demikian perjalanan keseluruhan membutuhkan 20 tahun dari waktu anda, tetapi

= (2)(224 tahun) = 448 tahun.

Dari waktu Bumi. Dengan kata lain, Anda sudah berusia 20 tahun sementara Bumi berusia 448 tahun. Meskipun anda tidak dapat berjalan kemasa lalu, (sejauh yang kita tahu). Anda dapat berjalan kemasa depan, misalkan, Bumi dengan menggunakan gerak relatif kelajuan tinggi untuk menyesuaikan laju pada waktu yang dilalui.

Partikel elementer yang diketahui sebagai kaon

positif (K+) memiliki waktu hidup rata-rata

sebesar 0,1237 ketika stasioner, yaitu apabila waktu hidup diukur didalam kerangka diam kaon. Apabila kaon positif dengan kelajuan sebesar 0,990c relatif terhadap kerangka acuan laboratorium yang dihasilkan, seberapa jauh partikel-partikel itu dapat melintas didalam kerangka itu selama waktu hidupnya?

PENYELESAIAN : Didalam laboratorium, jarak

d yang dilalu oleh sebuah kaon dihubungkan dengan kelajuannya v(= 0,990c) dan waktu tempuhnya oleh . (Pernyataan ini tidak melibatkan relativitas karena semua besaran diukur didalam kerangka acuan yang sama). Apabila relativitas khusus tidak diaplikasikan, waktu tempuh akan tepat 0,1237 waktu hidup dari partikel tersebut. Dengan demikian, jarak tempuh akan menjadi

_{(Jawaban salah)}

Namun, relativitas khusus diaplikasikan dalam waktu tempuh dari kaon didalam kerangka laboratorium adalah dilasi waktu hidupnya . Dengan Pers. 38.6, kita dapat menemukan dari

(2)

waktu tepat kaon o (=0,127 ), seperti yang

terukur di dalam kerangka acuan diamnya :

√ .

√ _.

Ini adalah tujuhkali lebih lama dari pada waktu hidup tepat kaon. (Perhitungan ini melibatkan relativitas karena kita harus mengubah data dari kerangka diam partikel ke kerangka laboratorium). Sekarang kita dapat mencari jarak tempuh di dalam kerangka laboratorium sebagai

(Jawaban)

Ini sekitar tujuh kali jawaban pertama kita (yang salah). Eksprimen seperti yang diuraikan disini, yang membuktikan relativitas khusus, menjadi hal rutin di laboratorium fisika beberapa puluh tahun yanng lalu.

Didalam gambar 38.8, pesawat sally (di titik A) dalam pesawat sam (panjang tepat L0 = 230 In)

melintas satu sama lain dengan kelajuan relatif konstanta v. sally mengukur sebuah interval waktu sebesar 3.57 µs untuk pesawat yang melintasinya (dari lintasan titik B ke lintasan titik C). berapa parameter kelajuan B antara sally dan pesawat tersebut?

PENYELESAIAN: Apabila kelajuan relatif v

antara Sally dan Sam bernilai, misalkan kurang dari 0,1c, kita mungkin melihat situasi ini didalam bab 2, dimana kita akan menyatakan bahwa sebuah pesawat sepanjang L dan kelajuan v

melintasi Sally di dalam interval waktu

(Tidak ada relativitas yang dilibatkan dalam pernyataan ini)

Akan tetapi, disini kita mungkin memiliki suatu masalah relativistik, dengan v >0,1c. didalam kasus ini, kita tahu bahwa panjang L yang akan Sally ukur bukan merupakan panjang Tepat L0

dari pesawat tersebut, tetapi suatu panjang terkontraksi, yang diberikan oleh Pers. 38.9:

√ .

(Pernyataan ini melibatkan relativitas karena kita mentransformasikan data antara kerangka Sally dan Sam). Menurut Sally, waktu yang dibutuhkan untuk melintasi sekarang ditulis sebagai

√

Penyelesaian untuk dan kemudian subtitusi data yang diberikan setelah sedikit proses aljabar, kita dapatkan

√ .

Dengan demikian, kelajuan relatif antara Sally dan pesawat adalah 21% dari kelajuan cahaya. Perhatikan hanya gerak relatif dari Sally dan Sam yang diperhatikan disini; apakah salah satunya relatif stasioner terhadap, misalkan, sebuah stasiun luar angkasa tidak relevan. Didalam gambar 38.8 kita ambil Sally menjadi stasioner, tetapi kita akan mengganti pesawat menjadi stasioner, dengan Sally terbang melintasinya. Tidak akan ada yang berubah dalam hasil kita.

Karena terkejut dengan ledakan supernova, anda yang berada dalam pesawat mempercepat laju pesawat agar menjauh dari ledakan. Anda berharap dapat berlari lebih cepat dari bahan kelajuan tinggi yang menyembur mengarah pada anda. Faktor Lorentz anda yang relatif terhadap

(3)

kerangka acuan inersia dari bintang lokal adalah 22,4.

(a) Untuk mencapai jarak aman, anda menghitung kebutuhan anda untuk menempuh 9,00 X 1016 m ketika diukur ke dalam kerangka acuan dari bintang lokal. Berapa lama penerbangan akan berlangsung, ketika diukur di dalam kerangka itu ?

PENYELESAIAN : Panjang L0 = 9,00 X 10 16

m adalah panjang tepat di dalam kerangka acuan dari bintang lokal karena dua ujungnya diam di dalam kerangka itu. gambar 38.6 menyatakan bahwa dengan faktor Lorentz sepanjang itu, kelajuan anda relatif terhadap bintang lokal adalah v ≈ c. Jadi, dengan pendekatan ini, untuk bergerak sepanjang L0 membutuhkan waktu

.

= 3,00X 108 s = 9,49 tahun

(b) Berapa lama pesawat itu terbang menurut anda (di dalam kerangka acuan anda)? PENYELESAIAN : dari kerangka acuan anda, jarak yang anda tempuh adalah panjang terkontrasi L yang melintasi anda pada kelajuan relatif v ≈ c. Pers. 38.9 menyatakan bahwa L=L0 /

ᵞ. Jadi, waktu yang anda ukur untuk melintasi panjang terkontraksi itu adalah

⁄

( ₎

= 1,339 X 107 s = 0,424 tahun

Ini adalah waktu tepat karena bintang dan ujung dari lintasan terjadi pada titik yang sama di dalam kerangka acuan (pada pesawat anda). Anda dapat memeriksa kebenaran dari kedua jawaban tersebut dengan mensubtitusikan ke dalam pers. 38.8 (untuk dilatasi waktu ) dan penyelesaian untuk ᵞ.

Sebuah pesawat ruang angkasa dari bumi dikirim untuk mengecek titik terjauh bumi di planet P1407, yang satelitnya menampung sebuah pasukan tempur dari reptulian yang sering bermusuhan. Ketika pesawat itu mengikuti garis lurus, pertama kali meninggalkan planet dan kemudian meninggalkan satelit. Pesawat mendeteksi gelombang mikro energi tinggi meledak pada dasar satelit reptulian dan 1,10 s kemudian, sebuah ledakan pada titik terjauh bumi, yaitu 4,00X 108 m dari dasar reptulian ketika diukur dari kerangka acuan pesawat.reptulian dengan jelas diserang di titik terjauh bumi; jadi pesawat ruang angkasa tersebut mulai mempersiapkan penyerangan dengannya.

(a) Kelajuan dari pesawat relatif terhadap bidang planet dan satelit adalah 0,980c. Berapa jarak antara ledakan dengan letusan dan interval waktu antara keduanya ketika diukur di dalam kerangka inersia planet-satelit (dan dengan demikian menurut penghuni stasiun tersebut)? PENYELESAIAN : Keadaan tersebut di tunjukkan di dalam gambar 38.10, dimana kerangka planet-satelit S’ dipilih menjadi bergerak dengan kecepatan positif (ke kanan). (ini adalah pilihan sembarang: sebagai ganti, kita dapat memilih kerangka planet-satelit menjadi stasioner. Kemudian kita akan menggambar v di dalam gambar 38.10 ketika ditarik ke kerangka S dan mengarah ke kiri ; v kemudian akan menjadi besaran negatif. Hasil akan menjadi sama).

Subscrip e dan b masing-masing menyatakan

letusan dan ledakan. Kemudian data diberikan, semua di dalam kerangka acuan tanpa tanda petik, adalah

m Dan s

Di sini ∆x’ adalah besaran positif karena di dalam

(4)

besar daripada koordinat xb untuk ledakan; ∆t juga merupakan besaran positif karena waktu te dari ledakan lebih besar (kemudian ) dari pada waktu

tb dari ledakan.

Kita mencari ∆x’ dan ∆t’, yang kita akan dapatkandengan mengubah data kerangka S yang diberikan pada kerangka planet-satelit S’. Karena kita meninjau sepasang kejadian. Kita memilih persamaan transformasi dari tabel 38.2, yaitu pers. 1’ dan 2’:

. Dan ).

Di sini, v=+0,980c, dan faktor Lorentz adalah

√ ⁄ _√_⁄ .

Jadi, pers. 38.20 menjadi ∆x’ = (5,0252)X[4,00X108

m – (+0,980)(3,00X108m/s)(1,10s)] =3,85X108 m,

Dan pers.38.21 menjadi

] =-1,04 s

(b) Apa arti dari tanda minus di dalam nilai yang terhitung untuk ∆t’ ?

PENYELESAIAN : ingat kembali bagaimana kita pada awalnya mendefinisikan waktu antara ledakan dan letusan: agar konsisten dengan pilihan notasi itu, definisi kita dari ∆t’ harus menjadi te’ - tb’ ; dengan demikian, kita menentukan bahwa

s.

Ini menyatakan bahwa te’ - tb’; yaitu, didalam kerangka acuan planet-satelit, ledakan terjadi 1,04 s setelah letusan bukan 1,10s sebelum letusan ketika terdeteksi di dalam kerangka pesawat tersebut.

(c) Apakah ledakan menyebabkan letusan, atau apakah letusan menyebabkan ledakan ?

PENYELESAIAN : rangkaian yang terukur di dalam kerangka acuan plenet-satelit adalah berlawanan terhadap kejadian yang terukur di dalam kerangka pesawat. Di dalam salah satu keadaan, apabila terdapat hubungan sebab akibat antara dua kejadian, informasi harus berjalan dari satu kejadian untuk menyebabkan kejadian yang lain. Sekarang kita periksa kelajuan dari informasi yang dibutuhkan. Di dalam kerangka pesawat, kelajuan ini adalah

Tetapi kelajuan itu tidak mungkin karena ini melebihi c. Di dalam kerangka planet-satelit, kelajuan menjadi 3,70X108 m/s, juga tidak mungkin. Maka, tidak ada suatu kejadian yang dapat terjadi menyebabkan kejadian yang lain; artinya, kedua kejadian adalah kejadian yang tidak saling terkait. Dengan demikian pesawat ulang-alik seharusnya tidak menghadapi reptulian.

y. y’ s s’ v x x’ satelit Pelanet (Ledakan) (Letusan) SOAL CONTOH 38.7

Gambar 38.11 menunjukkan suatu kerangka acuan inersia S di mana kejadian 1 (sebuah batu dilempar ke atas oleh sebuah truk pada koordinat

x1 dan t1 ) menyebabkan kejadian 2 (batu menabrak anda pada koordinat x2 dan t2). Apakah terdapat kerangka acuan inersia lain S’ yang mana kejadian itu dapat diukur dengan membalik urutan kejadian sehingga efeknya terjadi sebelum penyebabnya ? (dapatkah anda dilukai sekarang sebagai hasil dari kejadian dari kejadian yang akan datang)?

PENYELESAIAN : untuk mendapatkan pemisahan temporal ∆t’ dari sepasang kejadian di

(5)

dalam kerangka S’ apabila kita memiliki data untuk kerangka S, kita gunakan pers. 2’ dari tabel 38.2:

)

Ingat kembali bahwa v adalah kecepatan relatif antara S dan S’. Kita ambil kerangka S menjadi stasioner; kerangka S’ kemudian memiliki kecepatan v.

Aturan ∆t=t2 – t1. Kemudian ∆t adalah besaran

positif dan menjadi konsisten dengan notasi ini, kita harus memiliki ∆x=x2 – x1 dan ∆t=t2 ‘– t1’

seperti gambar 38.11 tunjukan, ∆x adalah besaran positif karena x2>x1.

kita tertarik di dalam kemungkinan bahwa ∆t’ adalah besaran negatif, yang akan berarti bahwa waktu t1’dari kejadian 1 lebih lama (lebih

besar)dari pada waktu t2‘ dari kejadian 2. Dari pers. 38.22, kita melihat bahwa ∆t dapat menjadi negatif hanya apabila

.

Keadaan ini dapat disusun kembali untuk menghasilkan keadaan yang ekuivalen

⁄ y ● ● s (x1,t1) (x2,t2) x

Gambar 38.11 soal contoh 38.7. kejadian 1 pada koordinat ruang (x1,t1)menyebabkan kejadian 2 pada koordinat ruang waktu (x2,t2). Dapatkah urutan dari penyebab dan kejadian dibalik di dalam kerangka acuan lain ?

Perbandingan ∆x/∆t adalah kelajuan pada saat informasi (di sinimelalui sebuah batu) merambat dari kejadian 1 untuk menghasilkan kejadian 2.

Kelajuan itu tidak dapat melebihi c. (informasi dapat berjalan pada c apabila datang melalui cahaya; tentunya batu berjalan lebih lambat). Jadi, (∆x/∆t)/c harus paling besar 1. Dan v/c tidak dapat sama dengan atau melebihi 1. Dengan demikian, sisi kiri dari ketaksamaan terakhir harus kurang dari 1. Ketaksamaan tidak dapat dipenuhi.

Jadi, tidak terdapat kerangka S’ di dalam kejadian 2 yang terjadi sebelum penyebabnya, yaitu kejadian 1. Secara lebih umum, meskipun urutan kejadian yang tidak terkait kadang-kadang dapat dibalik di dalam relativitas (seperti d dalam soal contoh 38.6), kejadian yang melibatkan penyebab dan akibat tidak akan pernah dapat dibalik.

(a) Berapa energi total E dari sebuah elektron 2,53 Mev?

PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita memiliki

Dari Tabel 8.1, untuk sebuah elektron adalah 0,511Mev; maka

(Jawaban)

(b) Berapa momentum ?

PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.38, , Kita dapat menulis

. Kemudian

√ ,

Dan, memberikan momenum di dalam satuan energi dibagi oleh c, kita memperoleh

(6)

(c) Berapa faktor Lorentz untuk elektron? PENYELESAIAN : Dari Pers. 38.34 kita memiliki

.

Dengan dan _{, kemudian kita memiliki}

. (Jawaban) SOAL CONTOH 38.9

Sebagian besar energi proton yang terdeteksi di dalam sinar kosmik datang dari ruang yang memiliki energi kinetik yang sangat mengherankan sebesar (enerrgi yang cukup untuk menghangatkan air sebanyak satu endok teh menjadi beberapa derajat).

(a) Hitunglah faktor Lorentz dan kelanjutan v.

PENYELESAIAN : Penyelesaian Pers. 38.33 untuk , kita memperoleh

_(Jawaban) Di sini kita gunakan 938 MeV untuk energi diam proton.

Nili terhitung ini untuk sangat besar sehingga kita dapat menggunakan definisi dari (Pers. 38.7) untuk mendapatkan v. Coba hal itu; kalkulator Anda akan menyampaikan pada Anda bahwa secara efektif sama dengan 1 dan dengan

c. Sebenarnya, v hampir sama dengan c, tetapi kita peroleh dengan pertama kali menyelesaikan Pers. 38.7 untuk 1- . Untuk memulai kita tulis

√ √ √ ,

Di mana kita sudah menggunakan kenyataan bahwa sangat dekat sama dengan 1 sehingga 1+ sangat dekat dengan 2. Penyelesaian untuk 1- kemudianmenghasilkan jadi dan karena , . (Jawaban)

(b) Andaikan bahwa proton merambat di sepanjang Galaksi Bimasakti dengan diameter ( tahun cahaya). Secara hampir, beberapa lama proton mengitari diameter itu ketika diukur dari kerangka acuan bersama Bumi dan galaksi?

PENYELESAIAN : Kita baru saja melihat bahwa proton ultrarelativistik ini berjalan pada kelauan yang hampir dari c. Dengan definisi tahun cahaya, cahaya menggunakan tahun, dan proton ini seharusnya menempuh waktu yang hampir sama. Jadi, dari kerangka acuan Galaksi Bimasakti-Bumi kita perjalanan terjadi selama

tahun

(c) Berapa lama perjalanan yang dilakukan ketika diukur dalam kerangka diam proton?

PENYELESAIAN Karena awal perjalanan dan akhir perjalanan terjadi pada lokasi yang sama didalam kerangka diam proton, yaitu bersamaan dengan proton itu sendiri apa yang kita lihat adalah waktu tepat dari perjalanan tersebut. Kita dapat menggunakan persamaan dilasi waktu (Pers. 38.8) untuk mentransformasikan dari kerangka Bumi- Galaksi Bimasakti ke kerangka diam proton :

_{9,7 detik. (Jawaban0} Di dalam kerangka itu, perjalanan terjadi selama 98.000 tahun. Di dalam kerangka proton, perjalanan terjadi selama 9,7 detik! Seperti yang dijanjikan di awal bab ini, gerak relatif dapat mengubah laju pada saat waktu berlalu, dan di sini kita memiliki sebuah cotoh ekstrem.

(7)

Di dalam magnet dalam percobaan Stern-Gerlach, gradien medan magnetik melalui berkas yang dilewatkan adalah 1,4 T/mm dan panjang w

dari lintasan berkas yang melalui magnet adalah 3,5 cm. Suhu oven di mana perak diuapkan diatur sehingga kelajuan v yang paling mungkin untuk atom dalam berkas adalah 750 m/s. Tentukan pembelokan vertikal d dari subberkas yang lain ketika muncul dari magnet. (Massa M dari atom perak adalah kg dan momen magnetik efektifnya adalah 1,0 magneton Bhor, atau J/T.)

PENYELESAIAN : Percepatan vertikal dari atom perak ketika melewati magnet, dari hukum kedua Newton dan Pers 41.12 adalah,

.

Dengan menggerakkan secara horizontal pada kelajuan v, setiap atom perak melewati panjang w

dari magnet dalam waktu t=w/v. Pembelokan vertikal dari sembarang atom ketika membersihkan magnet kemudian adalah

( ) ( ) .

Denganmembuat untuk pembelokan maksimum dan memasukan data yang diketahui kemudian menghasilkan ( ) . _. ( ₎ _{. (Jawaban)} Pemisahaan antara dua subberkas adalah dua kali hasil ini, atau 0,16 mm. Pemisahan ini tidak besar tetapi mudah diukur.

Tetesan air digantungkan di dalam medan magnetik B sebesar 1,80 T dan medan elektromagnetik bolak-balik diaplikasikan, frekuensinya diatur untuk menghasilkan perputaran spin proton di dalam air. Komponen dari momen dipol magnetik proton terukur sepanjang arah B adalah . Anggap bahwa medan magnetik lokal diabaikan dibandingkan dengan B. Beraoa frekuensi f dan panjang gelombang dari medanbolak-balik?

PENYELESAIAN : DARI Pers. 41.13,kita memiliki ( ) . . (Jawaban)

Panjang gelombang yang bersesuaian adalah

.

(Jawaban)

Frekuensi dan panjang gelombang ini berada dalam daerah gelombang radio pendek dari spektrum elektromagnetik.

SOAL CONTOH 42.1 Pada bab 41, kita gunakan pers. 41.21,

Untuk menghubungkan populasi N, Atom-atom pada tingkat energi Ex terhadap populasi N0 pada tingkat energi E0, di mana atom-atom merupakan

(8)

Konstanta k adalah konstanta Boltzman (8,62 x 10-5 ev/K, dari pers.20.21).

Kita dapat menggunakan persamaan yang sama untuk menetukan kemungkinan bahwa sebuah elektron dalam isolator akan melompati celah energy Eg dalam gambar 42.4a. untuk melakukan hal tersebut, kita tetapkan Ex- E0 = Eg , kemudian

NX/N0 adalah perbandingan jumlah electron yang persis di atas celah energy terhadap jumlah electron yang persis di bawah celah energy. Berapa probabilitasnya bahwa, pada suhu ruang (300 K), sebuah electron pada bagian atas pita valensi dalam intan akan melompati celah Eg yang, utnuk intan , besarnya adalah 5,5 ev?

PENYELESAIAN : untuk intan, eksponen dalam pers. 42.1 adalah

( _{⁄ )} Maka probabilitas yang dibutuhkan adalah

(jawaban)

Tidak mengherankan intan merupakan isolator yang baik. Walaupun intan sebesar bumi, kesempatan untuk elektron tunggal melompati celah pada suhu 300 K makin lama makin kecil.

SOAL CONTOH 41.3 Hitunglah untuk jumlah unsur dalam enam periode horizontal dari tabel periodik dalam bentuk banyaknya subkulit.

PENYELESAIAN : Seperti Lampiran G perlihatkan, jumlah enam unsur dalam enam baris horizontal adalah 2, 8, 8, 18, 18, dan 32. Banyak subkulit tergantung hanya pada bilangan kuantum

l dan 2(2l + 1). Jadi, BIANGAN KUANTUM ORBITAL L BANYAK SUB KULI 2(2l+1) 0 2 1 6 2 10 3 14 NOMOR PERIODE UNSUR DALAM PERIODE JUMLAH BANYAK SUBKULIT 1 2 2 2,3 8 2+6=8 4,5 18 2+6+10=18 6 32 2+6+10+14=32

Kita dapat menghitung untuk setiap periode horizontal dalam bentuk subkulit tertutup dengan cara ini:

Berkas elektron 35 keV menumbuk target molybdenum, menghasilkan sinar X yang spektrumnya diperlihatkan dalam gambar 41.4 Berapa panjang gelombang putusnya ?

PENYELESAIAN : Dari pers. 41.15, kita memilki λmin = = ( ) ) = 3,55 X 10-11 m = 35,5 pm (jawaban)

Anggap bahwa satu dari elektron yang datang kehilangan energi kinetik dengan jumlah yang kecil sehingga energinya direduksi dari 35,0 keV menjadi 20,0 keV. Berapa panjang gelombang λ yang bersesuaian dari foton kemudian akan dihasilkan jika elektron kehilangan seluruh energi kinetik yang tersisa dalam tumbukan berhadapan tunggal dengan sebuah atom ?

PENYELESAIAN : Kita melakukan perhitungan seperti dalam (a), substitusikan 20,0 keV untuk 35,0 keV. Hasilnya adalah

λmin = 62, 1 pm.

(9)

panjang gelombang ini lebih besar dari pada panjang gelombang minimum yng dihitung dalam (a) karena sedikit energi yang terlibat.

Target kobalt ditembaki dengan elektron dan panjang gelombang dari spektrum sinar X karakteristik diukur. Terdapat juga spektrum karakteristik kedua yang redup, yang ditimbulkan oleh pengotoran dalam kobalt. Panjang gelombang dari garis K adalah 178,9 pm (kobalt) dan 143,5 pm (pengotor). Apakah jenis pengotorannya ?

PENYELESAIAN : Marilah kita aplikasikan persamaan 41.19 baik pada kobalt (Co) maupun pengotor (X). Dengan mensubstitusikan _λ untuk f, kita mendapatkan

√_λ

= CZCo - C dan √λ =

CZx - C

Dengan membagi persamaan pertama dengan persamaan kedua menghasilkan

√λ

λ =

Dengan mensubstitusikan data yang diketahui, dan ZCo = 27 menghasilkan

√ =

Penyelesaian untuk peubah, kita mendapatkan bahwa

Zx = 30,0

(jawaban)

Dengan melihat sekilas pada tabel periodik dapat dikenali bahwa pengotor tersebut adalah seng (Zn).

CONTOH SOAL 41.6

(a) Hitung konstanta C dalam pers. 41.19. PENYELESAIAN : Dengan membandingkan pers. 41.18 dan pers.41.19 menyatakan bahwa C = √ _{= 4,96 X 10}7

Hz1/2 (jawaban)

(b) Buktikan dari plot Moseley dari gambar 41.17 bahwa C adalah kemiringan garis lurus dalam gambar tersebut.

PENYELESAIAN : Jika kita mengukur garis hg

dan gj dalam Gambar 41.17, kita mendapatkan bahwa C = = = 4,96 X 107 Hz1/2 (jawaban)

Kedua hasil ini benar-benar bernilai sama. Kesamaan itu tidaklah sebaik garis selain Kα

dalam spektrum sinar X; untuk mendapatkan keduanya, seseorang harus membuat perhitungan yang lebih teliti pada efek yang melingkupi elektron ketika elektron menghasilkan garis.

Dalam laser helium-neon dari Gambar 41.21, kerja laser terjadi diantara dua keadaan tereksitasi dari atom neon. Namun, pada beberapa laser (lasing) terjadi diantara keadaan dasar dan keadaan tereksitasi, seperti disarankan dalam Gambar 41.20

(a) Tinjau laser yang memancar pada panjang gelombang λ = 550 nm. Jika inversi populasi tidak dihasilkan, berapa perbandingan populasi atom pada keadaan Ex dengan populasi atom pada

keadaan dasar E0 ?

PENYELESAIAN : Dari pers. 41.21 perbandingannya adalah

Nx /N0 = e

-(Ex-E0)/kT

(41.222)

(10)

₍ ₎

Energi rata-rata dari agritasi kT untuk atom pada suhu ruangan (300 K) adalah

( ₎

Dengan mensubtitusikan dua hasil terakhir ke dalam Pers. 41.22 menghasilkan

⁄ ⁄ (Jawaban)

Ini Adalah jumlah yang sangat kecil. Hal ini menjadi tidak masuk akal. Atom yang agitasi termal rata-ratanya hanya 0,0259 eV tidak akan member energy 2,26 eV ke atom yang lain dalam suatu tumbukan.

(b) Untuk kondisi dari (a), pada suhu berapakah perbandingan ⁄ menjadi ½?

PENYELESAIAN : Dengan melakukan substitusi ini ke Pers. 41.22, mengambil logaritma asli dari kedua ruas persamaan, dan menyelesaikan untuk T mengahasilkan

_⁄ (Jawaban)

Suhu ini lebih panas daripada permukaan Matahari. Jelas bahwa jika kita balik populasi dari dua tingkat ini, diperlukan beberapa mekanisme spesifikasi untuk mendapatkan hal ini. Meskipun tinggi, tidak ada suhu yang akan menghasilkan invers populasi.

Sebuah kubus tembaga memiliki panjang rusuk 1,00 cm. di dalam pita yang terisi sebagian pada Gambar 42.2b , berapa banyaknya N keadaan kuantum dalam jangkauan energi dari E=5,000 ev hingga E=5,010 ev? (nilai energi ini sangat dekat sehingga kitta dapat mengasumsikan kerapatan keadaan N(E) adalah konstan pada interval.) PENYELESAIAN : Kita dapat menentukan banyaknya keadaan N dari

( ) ( ) ( ) ( )

Atau N=N (E) ∆EV,(42.7)

Dengan ∆E = 0,010 ev dan V adalah volume sample kubus. Dari persamaan 42.2 dengan E=5,000 ev, kita dapatkan

√ = (8 √ )(9,11x10-31 kg)3/2 = 9,48 x 1046 m-3 J-1 = 1,52 x 1028 m-3 ev-1. Karena V=a3 , dengan a adalah panjang rusuk kubus , pers. 42.7 menghasilkan

N=N (E) ∆EV a3

= (1,52 x 1028 m-3 ev-1 ) (0,010 ev) (1 x 10-2 m)3 = 1,52 x 1020 (jawaban)

Ini adalah jumlah keadaan yang sangat banyak tetapi itulah yang diharapkan. Walaupun semua keadaan ini terdapat dalam jangkauan energi yang lebarnya hanya 0,01 ev, keadaan ini berasal dari jumlah atom yang sangat banyak yang membentuk sampel kita.

(a) Berapa probabilitas bahwa keadaan kuantum yang memiliki energi 0,10 ev di atas energi Fermi akan ditempati electron ? asumsikan bahwa suhu sampel adalah 800 K.

(11)

PENYELESAIAN : kita dapat menentukan P(E)

dari pers. 42.3 akan tetapi, sebelum itu kita menghitung eksponen (tak berdimensi) dalam persamaan tersebut:

_⁄ Dengan menyisipkan eksponen kedalam persamaan 42.3 kita dapatkan

(b) Berapa probabilitas penempatan untuk satu keadaan yang energinya 0,01 ev di bawah energy Fermi?

PENYELESAIAN : eksponen dalam Pers. 42.3 memiliki nilai mutlak yang sama seperti pada (a), tetapi sekarang bernilai negatif. Jadi, dari persamaan ini

Untuk keadaan di bawah energi Fermi, kita sering kali lebih tertarik dalam probabilitas bahwa keadaan tidak ditempati. Ini kira-kira 1-P(E) atau 19%. Perhatikan bahwa nilai ini sama seperti probabilitas penempatan dalam (a).

Kerapatan bilangan n0 dari elektron konduksi di

dalam silikon murni pada suhu ruang adalah 1016 m-3 . asumsikan bahwa , dengan mengotori kisi silikon dengan fosfor , kita dapat meningkatkan jumlah ini dengan faktor satu juta (106) . berapa fraksi dari atom silikonyang harus kita gantikan dengan atom fosfor ?(ingatlah bahwa pada suhu ruang , agitasi termal sangat efektif yang pada dasarnya setiap atom fosfor mendonorkan electron “ekstra”-nya ke pita konduksi).

PENYELESAIAN : kerapatan bilangan dari elektron konduksi yang ditambahkan melalui pengukuran akn sama dengan np , yaitu kerapatan

bilangan atom fosfor yang ditambahkan. Kita menginginkan kerapatan bilangan elektron total di

dalam pita konduksi setelah pengotoran , sebelum dan sesudah ditambahkan elektron , menjadi 106 n0. Jadi, 106 n0=n0+np Maka np=10 6 n0-n0 ≈ 10 6 n0 = (106) (1016 m-3)=1022 m-3

Ini menjelaskan bahwa kita harus menambahkan 1022 atom fosfor pada setiap meter kubik silikon. Kerapatan bilangan dari atom silikon didalam kisi silikon murni mungkin ditentukan dari

Denga NA adalah konstanta Avogadro (6,02 x 1023 mol-1), d adalah massa jenis silicon (2.330 kg/m3 ), dan A adalah masa molar silicon (28,1 g/mol atau 0,081 kg/mol.). pensubstitusian nilai-nilai ini menghasilkan

Fraksi yang kita cari kira-kira

Jika itu hanya menggantikan satu atom silikon dalam lima juta atom fosfor, kerapatan elektron di dalam pita konduksi akan ditingkatkan oleh faktor satu juta.

Bagaimana campuran fosfor yang sedikit ini dapat mengakibatkan suatu efek yang tampaknya besar ? jawabannya begini, walaupun efek ini sangat penting, efek ini tidak “besar”. Kerapatan bilangan dari elektron konduksi adalah 1016 m-3 setelah pengotoran. Namun untuk tembaga, kerapatan bilangan elektron konduksi (diberikan dalam table 42.1 ) sekitar 1029 m-3 . jadi, stelah pengotoran, kerapatan bilangan dari elektron konduksi di dalam silikon tetap lebih kecil daripada logam tertentu, misalnya tembaga dengan faktor sekitar 107.

SOAL CONTOOH42.5

Sebuah LED dibuat penghubung p-n yang didasarkan pada material semikonduktor Ga-As-P

(12)

tertentu, yang memiliki celah energy sebesar 1,9 eV. Berapa panjang gelombang dari cahaya yang dipancarkan?

PENYELESAIAN : Jika kita asumsikan bahwa transisi terjadi dari bagian bawah pita konduksi ke bagian atas valensi, maka berlaku Pers. 42.9. Dari persamaan ini

( )

_.

(Jawaban)

Cahaya dengan panjang gelombang sebesar ini adalah cahaya merah.