Kalkulus Proposisi MUG2B3 Logika Matemat

(1)

Kalkulus Proposisi

Author-IKN

(2)

Proposisi

–

Pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau

salah.

–

Terdiri dari proposisi atomik dan majemuk.

–

Contoh proposisi majemuk:

 Anda harus belajar dengan rajin atau anda akan gagal.

Logika Proporsional

–

Logika yang menangani atau memproses atau

memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari

proposisi-proposisi.

(3)

Argumen

–

Kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis dan

diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan

premis-premisnya.

–

Contoh argumen:

 Jika Anda belajar rajin, maka Anda lulus ujian.

 Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang.

 Dengan demikian, Jika Anda belajar rajin, maka Anda senang.

(4)

Argumen

–

Untuk memudahkan memanipulasi, maka proposisi

digantikan dengan huruf-huruf.

–

Contoh argumen:

–

Penggantian proposisi

 A = Anda belajar rajin, B = Anda lulus ujian, C = Anda senang.

–

Argumen menjadi:

 Jika A, maka B; Jika B, maka C; Jika A, maka C.

(5)

Silogisme Hipotetis

–

Bentuk ekspresi

 Jika A, maka B

 Jika B, maka C

 Jika A, maka C

–

Contoh kalimat

(6)

Silogisme Disjungtif

–

Bentuk ekspresi

 A atau B

 Tidak B

 A

–

Contoh kalimat

 Program komputer ini mempunyai bug, atau masukannya salah.

 Masukannya tidak salah.

(7)

Modus Ponens

–

Bentuk ekspresi

 Jika A, maka B

 A

 B

–

Contoh kalimat

 Jika lampu lalu lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti.

 Lampu lalu lintas menyala merah.

 Dengan demikian, semua kendaraan berhenti.

(8)

Modus Tollens

–

Bentuk ekspresi

 Jika A, maka B

 Tidak B

 Tidak A

–

Contoh kalimat

 Jika Badu belajar rajin, maka ia lulus ujian.

 Badu tidak lulus ujian.

 Badu tidak belajar rajin.

(9)

Variabel proposional

–

Huruf yang digunakan untuk menggantikan proposisi,

misal A,B,C,

…

Konstanta proposisional

–

Simbol yang menunjukkan nilai kebenaran dari suatu

proposisi, misal B/S atau T/F.

–

Konstanta porposisional tidak boleh sama dengan variabel

proposisional.

(10)

Konjungsi (

∧

)

–

Merupakan perangkai “dan”, berfungsi sebagai perangkai

binary

.

–

Contoh:

 Saya pergi ke pasar dan sekolah

Perangkai Logika

A B A ∧ B

F F F

F T F

T F F

(11)

Disjungsi (

∨

)

–

Merupakan perangkai “atau”, berfungsi sebagai perangkai

binary

.

–

Contoh:

 Saya pergi ke pasar atau sekolah

Perangkai Logika

A B A ∨ B

F F F

(12)

Negasi (



)

–

Merupakan perangkai “tidak” atau “bukan”, berfungsi

sebagai perangkai

unary

.

–

Contoh:

 Saya tidak malas.

–

Sifat yang berlawanan bukanlah negasi, misal

 Bodoh bukanlah negasi dari pintar.

Perangkai Logika

A



_A

F T

(13)

Implikasi (



)

–

Merupakan perangkai “jika …maka…”.

–

Bentuk umum: A



B.

 Proposisi di sisi kiri (A) disebut antecedent, dan proposisi di sisi kanan (B) disebut consequent.

–

Contoh:

 Jika hari hujan, maka saya akan membawa payung.

Perangkai Logika

A B A  B

F F T

(14)

Varian Implikasi (



)

–

Implikasi: A



B

 Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya.

–

Konvers: B



A

 Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.

–

Invers:



A

 

B

 Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya.

–

Kontraposisi (Invers dari Konvers):



B

 

A

 Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

(15)

Latihan

–

Nyatakan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi

berikut:

 Saya masuk kuliah jika ada kuis.

 Dian bisa lulus sarjana bila ia telah menyelesaikan 144 SKS.

(16)

Ekuivalensi/Biimplikasi (



)

–

Merupakan perangkai “…

jika dan hanya jika

…”, biasa

disingkat

iff

.

–

Contoh:

 Saya akan membawa payung jika dan hanya jika hari hujan.

Perangkai Logika

A B A  B

F F T

F T F

T F F

(17)

Latihan

–

Gunakan konstanta proposisi berikut:

 A = Bowo kaya raya.

 B = Bowo hidup bahagia.

–

Ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika:

 Bowo tidak kaya.

 Bowo kaya raya dan hidup bahagia.

 Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia.

 Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia.

 Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya.

(18)

Latihan

–

Misalkan A, B, dan C adalah variabel proposisional:

 A = Anda sakit flu.

 B = Anda ujian.

 C = Anda lulus.

–

Ubah ekspresi berikut menjadi pernyataan

(19)

Latihan

–

Ubah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk

logika:

 Jika Bowo berada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro.

 Pintu rumah Dewi berwarna merah atau cokelat.

 Berita itu tidak menyenangkan.

 Bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan.

 Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai.

(20)

Latihan

–

Buatlah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai

kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini:

 A ∧ (A ∧ B)

 A ∧ (A ∨ B)

 (A  B)  (B  A)

 A ∧ _((C∨ _B)  _C)

 ((A ∧ _B) _C)∨ _A

(21)

Pendahuluan

–

Untuk menghindari ambiguitas, maka proposisi majemuk

yang akan dikerjakan terlebih dahulu harus diberi tanda

kurung.

–

Proposisi-proposisi yang perangkainya berada dalam tanda

kurung disebut

fully parenthesized expression (fpe)

.

–

Proposisi majemuk yang rumit dapat dipecah menjadi

subekspresinya, disebut teknik

parsing

.

(22)

Contoh argumen

–

Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia

mendapat hadiah istimewa.

Variabel proposisional

–

A = Dewi rajin belajar.

–

B = Dewi lulus ujian.

–

C = Dewi mendapat hadiah istimewa.

Ekspresi logika

–

(A



B)

∧

_C

–

A



(B

∧

_C)

(23)

Hierarki perangkai

1. Negasi

2. Konjungsi

3. Disjungsi

4. Implikasi

5. Biimplikasi/Ekuivalensi

Contoh

–

(



A

∧

B), dibaca ((



A)

∧

B), bukan (



(A

∧

B))

–

A

∧

_B

∨

_{C, dibaca (A}

∧

B)

∨

C, bukan A

∧

(B

∨

C)

(24)

Contoh argumen

–

Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya

akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia

tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

(25)

Latihan

–

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi

logika

 Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya.

 Jika saya tidak keliru, Dewi sudah diwisuda dan adiknya atau orang tuanya berada di sampingnya.

 Seorang ayah tidak perlu gelisah terhadap musibah jika anaknya dapat menjaga diri, tetapi jika anaknya tida bisa menjaga diri dan terjadi kecelakaan, maka ia harus waspada mengawasinya.

 Jika dia bersabar dan tidak terburu-buru pulang, maka ia

(26)

Latihan

–

Masukkan tanda kurung ke dalam ekspresi logika berikut

ini:

 A ∧ B ∧ C  D

 A ∨ B ∨ C  D

 A ∧ B  C ∨ D

 A  B  C  D

(27)

Latihan

–

Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan D adalah F,

carilah nilai kebenaran dari ekspresi di bawah ini:

 A ∧ (B ∨ C)

 (A ∧ B) ∨ C

 ((A ∨ B) ∧ C) ∨ ((A ∨ B) ∧ (B ∨ D))

 ((A ∧ _B)∨ _C)∨ ₍₍₍_A∧ _B) ∨ _D)∧ _B)

(28)

Latihan

–

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi

logika

 Jika kamu mengirim e-mail, maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim e-mail, maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa lebih segar.

 Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir, rakyat menderita. Anginnya kencang tetapi

rakyat tidak menderita.

(29)

Tautologi

–

Ekspresi logika yang selalu memberikan nilai benar untuk

semua kemungkinan nilai variabel proposisional.

–

Contoh: A

∨



A

–

Buktikan bahwa pernyataan berikut adalah tautologi

 Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska

Tautologi

A A A ∨ A

F T T

(30)

Kontradiksi

–

Ekspresi logika yang selalu memberikan nilai salah untuk

semua kemungkinan nilai variabel proposisional.

–

Contoh: A

∧



A

Tautologi

A A A ∧ A

F T F

(31)

Contingent

–

Ekspresi logika yang memberikan campuran nilai salah

dan benar pada setiap kemungkinan nilai variabel

proposisional.

(32)

Latihan

–

Perhatikan argumen berikut:

 Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih,

maka Siti sedih. Siti tidak senang dan Siti tidak sedih. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih.

–

Buatlah ekspresi logikanya dan buktikan apakah ekspresi

di atas termasuk tautologi, kontradiksi atau

contingent

.

(33)

Ekuvalen Logis

–

Contoh: (A

∧

B)



(B

∧

A)

–

Dua ekspresi logika yang memiliki urutan nilai kebenaran

yang sama dapat dikatakan ekuivalen logis.

Ekuivalen Logis

A B A ∧ B B ∧ A

F F F F

F T F F

T F F F

(34)

Bentuk umum

–

A



B

 

A

∨

B

–

A



B



(A

∧

B)

∨

(



A

∧



B)

–



(A



B)

∧

(B



A)

Bentuk negasi

–



A



A

–



(A

∧

_B)

 

_A

∨



_B

–



(A

∨

_B)

 

_A

∧



_B

–



(A



B)



A

∧



_B

–



(A



B)



(A

∧



_B)

∨

₍



_A

∧

_B)

(35)

Latihan

–

Buktikan dengan menggunakan tabel kebenaran bahwa

ekspresi-ekspresi di bawah ini ekuivalen.

 A  B  (A ∨ B) ∧ (B ∨ A)

 (A ∨ B)  C  (A ∧ B) ∨ C

 A  B  (A ∧ B)

(36)

Metode Pembuktian

–

Tabel Kebenaran

–

Strategi Pembalikan

–

Tablo Semantik

–

Deduksi Alami

(37)

Contoh kasus:

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan. Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian.

(38)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika hari panas, Anton mimisan. Hari tidak panas. Oleh karena itu, Anton tidak mimisan.

 Jika Anton mimisan, maka hari panas. Hari tidak panas. Oleh karena itu, Anton mimisan.

 Jika hari tidak panas, Anton tidak mimisan. Hari panas. Oleh karena itu, Anton mimisan.

 Jika Anton tidak mimisan, hari tidak panas. Anton mimisan. Oleh karena itu, hari panas.

(39)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika Persib menjuarai Liga Super Indonesia, maka para

bobotoh akan senang. Para bobotoh akan sedih jika mereka tidak senang. Dengan demikian, jika para bobotoh tidak sedih, maka Persib akan menjuarai Liga Super Indonesia.

(40)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika kamu mengirim e-mail maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim e-mail maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa segar. Jadi, jika saya tidak menyelesaikan program lebih awal, maka saya akan merasa lebih segar.

 Jika hari hujan dan angin kencang, maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir rakyat menderita. Anginnya kencang akan tetapi rakyat tidak menderita. Jadi, hari tidak hujan.

(41)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau masyarakat rajin bekerja dan pemerintah cakap maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar maka negara sejahtera dan masyarakat bahagia. Masyarakat rajin bekerja. Jadi, negara sejahtera.

 Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas

bertambah yang menyebabkan harga emas naik maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan. Jadi, ada keuntungan bagi spekulator.

(42)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa. Jadi, pemerintah dapat diganti oleh rakyat.

 Kalau rakyat berpegang pada UUD 45 maka rakyat menerima apa yang tercantum di dalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD 45 maka rakyat menerima

Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD 45 dan ada yang

berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila.

(43)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau harga di toko itu rendah tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk. Jadi, harga Toko itu tidak rendah.

Pancasila. Kalau dalam berpolitik ada yang berpegang kepada ideologi lain maka negara Indonesia akan pecah. Rakyat

berpegang pada UUD 45 atau ada yang berpegang kepada

(44)

Contoh kasus:

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(45)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika m negatif, maka q negatif. Jika p positif maka q negatif. Dengan demikian, jika m negatif atau p positif maka q negatif.

(46)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(47)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika m negatif, maka q negatif. Jika p positif maka q negatif. Dengan demikian, jika m negatif dan p positif maka q negatif.

 Jika Badu mencontek saat ujian maka pengawasnya lalai atau dosennya telah memperingatkan. Jika dosennya tidak

memperingatkan, maka pengawasnya tidak lalai. Dosennya memperingatkan. Dengan demikian, Badu mencontek saat ujian.

 If you use Linux and Mozilla as a browser, you avoid problems. If you use Internet Explorer you will have problems. You use Mozilla. You also use Internet Explorer sometimes.

(48)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(49)

Contoh kasus:

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(50)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(51)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau masyarakat rajin bekerja dan pemerintah cakap maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar maka negara sejahtera dan masyarakat bahagia. Masyarakat rajin bekerja. Jadi, negara sejahtera.

(52)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

(53)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika Dito tidak tinggal di Jogja, dia tidak tinggal di Indonesia. Dito tinggal di Indonesia. Dengan demikian, Dito tidak tinggal di Jogja.

 Jika Wawan tinggal di Jogja, ia akan berbahagia. Jika dia bahagia dan senang belajar, dia akan lulus sekolah jika dia tidak jatuh cinta. Jika dia jatuh cinta, dia akan senang belajar. Dengan demikian, jika dia tinggal di Jogja, dia akan lulus

sekolah.

 Dewi akan lulus sekolah jika dia rajin belajar dan membaca berbagai literatur. Dia tidak akan lulus sekolah jika dia tidak

(54)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa. Jadi, pemerintah dapat diganti oleh rakyat.

berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila.

(55)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Bila sekarang hari Jumat, maka saya akan memakai baju batik. Sekaran hari Jumat. Dengan demikian, sekarang hari jumat

dan saya memakai batik.

 Jika Ibu datang dari pasar, maka Ani senang sekali. Ibu datang dari pasar dan membawa kue bolu. Dengan demikian, Ani

senang sekali.

(56)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Kalau harga di toko itu rendah tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk. Jadi, harga Toko itu tidak rendah.

berpegang pada ideologi lain. Jadi, rakyat menerima Pancasila

(57)

Latihan

–

Periksalah kesahihan argumen berikut:

 Jika Badu mencontek saat ujian maka pengawasnya lalai atau dosennya telah memperingatkan. Jika dosennya tidak

memperingatkan, maka pengawasnya tidak lalai. Dosennya memperingatkan. Dengan demikian, Badu mencontek saat ujian.

 If you use Linux and Mozilla as a browser, you avoid problems. If you use Internet Explorer you will have problems. You use Mozilla. You also use Internet Explorer sometimes.

Consequently, you don’t use Linux.

(58)