Pertemuan ke 4 (Konvolusi dan Transformasi Fourier)

Pertemuan ke-4

KONVOLUSI DAN

•

_{Dua operasi matematis penting dalam}

pengolahan citra:



_{Operasi konvolusi (spatial flter/}

discret convolution flter)



_{Transformasi Fourier}

•

_{Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x)}

didefnisikan sebagai berikut:

Tanda * menyatakan operator konvolusi,

dan peubah (variable) a adalah peubah

bantu (dummy variable)

Cont.

•

_{Konvolusi merupakan proses penting}

pada analisis domain frekwensi

karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u)

membentuk suatu pasangan

transformasi Fourier (Fourier

transform pair).

•

_{Teori konvolusi:}

Konvolusi pada Domain

Diskrit

Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x)

dan B

adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka

hasil konvolusi akan mempunyai periode M

dimana M=A+B

Periode f(x) dan g(x) masing-masing

dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0

f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤

x ≤ M-1

g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B

≤ x ≤ M-1

Konvolusi diskrit dilakukan melalui proses fip

dan shift terhadap fungsi g(x).

Cont.



_{g(x) disebut kernel konvolusi}

atau kernel penapis (flter).



Kernel g(x) merupakan suatu

jendela yang dioperasikan secara

bergeser pada sinyal masukan f(x),

yang dalam hal ini, jumlah

perkalian kedua fungsi pada setiap

titik merupakan hasil konvolusi

Pendekatan Rumus

Konvolusi

Kita lihat kembali rumusan konvolusi:

Proses Konvolusi pada Citra 2-D

Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X

3

5

dengan kernel atau mask 3 X

• f(x,y) * g(x,y)

• Operasinya :

Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian

pada posisi (0,0) dari kernel hitung nilai piksel

Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel

• Dengan cara

Hasil konvolusi :

• Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan

level maka dilakukan clipping 0, jika nilai > nilai max gray • Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah :

–

– Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusiDuplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan.

Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan.

–

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1)

•

Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi),

sedangkan deblurring / sharpening / outlining

merupakan efek differensiasi

Proses blurring dapat diperoleh dengan

mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya,

proses sharpening dapat diperoleh dengan

mengaplikasikan high pass filter

Filtering akan dipelajari pada proses

peningkatan mutu citra (image enhancement)

•

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2)

•

Contoh efek blurring (bayangkan

piksel citra 2-dimensi)

bila terjadi pada

point response function ideal response (averaging)

TRANSFORMASI

Mengapa perlu transformasi ?

CITRA

•

– Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]

Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z

• Analisa konvensional : pembagian secara manual • Analisa transformasi : melakukan transformasi

– log(y) = log(x) – log(z)

– look-up table  pengurangan  look-up table

teknik

–

Transformasi Citra

• Contoh :

– jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier

– Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet

• Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

• Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :

Transformasi Piksel dan Ruang

• Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah

Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.

Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll)

Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang

spasial ke ruang frekuensi

Ada beberapa transformasi ruang yaitu : •

Fourier (basis: cos-sin)

Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang

Transformasi Fourier (FT)

• Pada tahun

1822,

Joseph Fourier, ahli matematika

dari Prancis menemukan bahwa:

setiap fungsi

periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan

gelombang-gelombang sinus/cosinus.

•

Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan

fungsi sinus berikut dari

Fungsi kotak sebagai penjumlahan

fungsi-fungsi sinus

• Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat

sampai batas n berapa fungsi

berbentuk fungsi kotak.

yang dihasilkan sudah

– function kotak(n)

t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t);

for i = 3 : 2: n

kot = kot + (sin(i*t))/i; end

(a) (b)

(c)

Gambar

(d)

FT - Motivasi

• Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam

penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan

berikutnya yang muncul adalah:

– Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ?

Atau dengan kata lain

– Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?

Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung

•

•

Rumus FT – 1 D

• Rumus FT kontinu 1 dimensi

f

(

x

) exp[

−

2

j

π

ux

]

dx

• Rumus FT diskret 1 dimensi

Contoh FT 1 D

Contoh berikut diambil dari Polikar

(http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:

x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

Sinyal ini memiliki empat komponen

Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)

Gambar sinyal satu

dimensi dengan rumus x(t)=

cos(2*pi*5*t) +

cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) +

cos(2*pi*50*t)

FT dari sinyal tersebut

FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat menangkap

frekuensi-frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50

(nilai

pada

maksimum F(u)

angka 5,10, 20,

berada

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi

(Gonzalez hlm 90-92)

Contoh Penghitungan FT

• Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan

real dan imajiner

Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua

•

bilangan tersebut shg|

F

(

u

)| = [

R

2

(

u

) +

I

2

(

u

)]

1/2

• Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier

Spectrumnya adalah sebagai berikut:

|F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

|F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

Rumus

Rumus FT 2 dimensi

Contoh FT 2 Dimensi

Sifat-sifat

Separable :

FT 2 dimensi

•

– Pemrosesan FT 2 dimensi dapat

dengan melakukan FT 1 dimensi

kemudian dilanjutkan dengan FT

terhadap baris

Translasi :

dilakukan

terhadap kolom,

1 dimensi

•

f

(

x

,

y

) exp[

−

2

j

π

(

u

₀

x

+

v

₀

y

) /

N

]

⇔

F

(

u

−

u

₀

,

v

−

v

₀

)

f

(

x

−

x

,

y

−

y

)

⇔

F

(

u

,

v

) exp[

−

2

j

π

(

ux

₀

+

vy

₀

) /

Sifat-sifat

Periodik

FT 2 dimensi

•

– FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N

adalah jumlah titik)

Rotasi

– Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ

0

. maka

(N

•

F(u,x)

θ

0

, demikian pula

juga akan berotasi sebanyak

sebaliknya.

Distributif

– FT dan IFT bersifat distributif

tapi tidak terhadap perkalian

•

Sifat-sifat

Penskalaan

FT 2 dimensi

•

af

(

x

,

y

)

⇔

aF

(

u

,

v

)

f

(

ax

,

by

)

⇔

1

F

(

u

/

a

,

v

/

b

)

ab

• Nilai rata-rata

N −1 N −1

∑ ∑

x = 0 y

= 0

1 1

y )

=

=

f

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yang

N

2

mengurangi kompleksitas FT biasa dari

menjadi N log

₂

N saja

• Pada implementasinya, FFT merupakan cara

yang umum digunakan untuk menghitung FT

diskret

• InversFT juga dapat dihitung dengan

kompleksitas N log

₂

N (IFFT)

– Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT