Gerbang
Digital adalah rangkaian yang bernilai 1
atau 0, true atau false, on atau off
0 sampai 1
biner 0
2 sampai 5
biner 1
Diluar hal tersebut tidak di ijinkan
Gerbang
adalah peralatan elektronik kecil
5 Gerbang Utama
NOT NAND NOR AND OR
Inverter AND Adalah NAND yang di invert
OR Adalah NOR yang di invert
Aljabar Boolean
Logic (logika) berasal dari kata logos (Bhs. Yunani) yang artinya
kata (word) atau apa yang diucapkan, kemudian berubah menjadi studi sistem preskriptif dari argumen (argument) dan penalaran (reasoning), yaitu sistem yang menjadi acuan bagaimana manusia harus berfikir.
Logika dapat dikatakan sebagai bentuk penarikan kesimpulan,
apakah sesuatu atau argumen itu absah (valid) atau sebagai pendapat yang keliru (fallacious).
Logika mendefinisikan struktur statement dan formula argument
dan devises di mana semuanya dibuat kodenya.
Dua kategori logika:
Deductive reasoning : secara logika apa yang harus dilakukan dari suatu
pendapat (premise).
Inductive reasoning : bagaimana cara menyatakan sejumlah kejadian hasil
Aljabar Boolean
Jenis logika:
Aristotelian : 2 prinsip penting dalam logika yaitu tidak
ada rumusan (preposition) benar atau salah dan adanya sebuah rumusan mungkin benar atau salah.
Formal : hubungan antara konsep dan adanya sebuah
cara untuk membuat komposisi bukti-bukti pernyataan
Mathematical : logika berbasis formal untuk studi
pemikiran matematikal.
Philosophical : kaitan antara bahasa alami dan logika. Predicate : sentential logic level yang menjelaskan sifat
kerja kata-kata seperti and, but, or, not, if-then, if and only if, dan neither-nor.
Multi-valued : logika yang menambahkan possible
Aljabar Boolean
Komputasi çè logika formal:
Logika Boolean (aljabar Boolean) Fuzzy logic.
Aljabar Boolean:
Dibuat George Boole (1850) dikembangkan John
Venn (1881, Symbolic Logic) dan diperhalus Charles Dodgson menjadi Diagram Venn.
S {K buah elemen dan 2 operator (product, sum)} Prinsip duality, cara mempertukarkan
Aljabar Boolean
Definisi, boolean algebra
An algebraic structures which capture the essence of the
logical operations [AND, OR, NOT] as well as the set theoretic operations [union, intersection, complement]
An abstract mathematical system primarily used in computer science and in expressing the relationships between groups of objects or concepts (sets).
Penggunaan teknik aljabar untuk ekspresi proportional calculus.
Sifat-sifat fungsi-fungsi Boolean
Logical sum, that is Boolean OR, of several argument
values is true if one or more of the argument values is true and is false only if all the argument values are false.
Logical product, that is Boolean AND, of several
argument values is false if any of the argument values is false and is true only if all the argument values are true.
Definisi Formal
Definisi Formal (lanjutan)
Mutually distributive:
a ^(b v c) = (a ^ b)v(a ^ c) dan a v(b ^ c) = (a v b) ^ (a v c)
Universal bounds:
0 ^ a = 0, 0 v a = a, I ^ a = a, I v a = I
Unary operations (inverse):
a ^ a’ (¬a) = 0 a v a’ = I
De Morgan:
¬(ab) = ¬a v ¬b
Simplifikasi
Simplifikasi:
C + ¬(BC)
Ekspresi Rules
C + ¬(BC) Original Expression
C + (¬B + ¬C) DeMorgan's Law.
(C + ¬C) + ¬B Commutative, Associative
Laws.
T + ¬B Compliment Law.
Simplifikasi
Simplifikasi:
¬(AB)(¬A + B)(¬B + B)
Ekspresi Rules
¬(AB)(¬A + B)(¬B + B) Original Expression
¬(AB)(¬A + B) Compliment law, Identity
law.
(¬A + ¬B)(¬A + B) DeMorgan's Law
¬A + (¬B)B Distributive law. This step
uses the fact that or distributes over
and. It can look a bit
strange since addition does not
distribute over multiplication.
Simplifikasi
Simplifikasi:
(A + C)(AD + A(¬D)) + AC
+ C
Expresi Rules
(A + C)(AD + A(¬D)) +
AC + C Original Expression
(A + C)A(D + ¬D) + AC
+ C Distributive.
(A + C)A + AC + C Compliment, Identity.
A((A + C) + C) + C Commutative, Distributive.
A(A + C) + C Associative, Idempotent.
AA + AC + C Distributive.
A + (A + T)C Idempotent, Identity,
Distributive.
Ekspresi Boolean
Bentuk
Triplets: A OR B, X AND y Diadics: NOT Z
Hirarki evaluasi
Urutan top-bottom
Ekspresi tanda kurung NOT
AND OR
Aljabar Boolean
Variabel dan fungsi yang memiliki nilai
0 dan 1
Aljabar Boolean
Simplifikasi aljabar Boolean memungkinkan desainer
komputer membuat sirkit elektrikal.
Dari fungsi F (N argumen) dapat didefinisikan sebuah
tabel kebenaran dengan 2N masukan dapat digunakan
Aljabar Boolean
A term is a variable or a product (logical AND)
of several different literals. For example, if you
have two variables, A and B, there are 8
possible terms: A, B, ¬A, ¬B, ¬A¬B, ¬AB,
A¬B, and AB.
A minterm is a product containing exactly N
literals.
In general, there are 2N minterms for N
variables.
The set of possible minterms is very easy to
Aljabar Boolean
Representasi singkat
Sum of minterms (SOM) ~ keluaran dari baris tabel
kebenaran harganya 1, menggunakan notasi sigma (S).
Product of maxterms (POM) ~ keluaran dari baris tabel
kebenaran harganya 0, menggunakan notasi phi (? ).
Contoh, dari tabel kebenaran hal. 14:
F(A, B, C) = ¬A.¬B.¬C + ¬A.B.C + A.B.¬C
= m0 + m3 + m6 = S m (0, 3, 6)
F(A,B,C) =
(A+B+¬C).(A+¬B+C).(¬A+B+C).(¬A+B+¬C). (¬A+¬B+¬C)
Aljabar Boolean
Minterms dan SOM untuk 4-variabel:
Membaca Tabel Kebenaran
(TK)
Karena n var, kemungkinannya 2n Untuk 2 var = 00 01 10 11
Dibaca berdasarkan kolom hasil
NOT = 01 (2 bit=4 kemungkinan) NAND =1110 (4 bit=16 kemungkinan) NOR =1000 (4 bit=16 kemungkinan) AND =0001 (4 bit=16 kemungkinan) OR =0111 (4 bit=16 kemungkinan) Operator AND = . atau DOT
Integrated Circuit (IC)
IC (rangkaian terpadu) sering disebut chip
Kemasan dengan 2 deret pin diluar dan IC di dalamnya secara teknis disebut sebagai Dual Inline Packages (DIP)
– Klasifikasi chip:
SSI (small scale integrated) = 1 -10 gates
MSI (medium scale integrated) = 10 – 100 gates LSI (large scale integrated) = 100 – 100000 gates VLSI (very large scale integrated) = > 100000 Gates
Contoh chips Intel: 4004, 8008, 8080, 8085, 8086, 80x86,
Pentium, Itanium.
Kemasan paling umum memiliki 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28,
Logika & teknologi gate
IC = S (diode, resistor, transistor) secara terpadu;
bipolar atau MOS.
Bipolar menghasilkan SSI dan MSI yang cepat, tetapi
perlu daya dan volume IC besar.
DTL (diode-transistor logic)
TTL (transistor-transistor logic) ECL (emitter-coupled logic)
MOS menghasilkan LSI, VLSI, ULSI yang kompak, daya
kecil, tetapi lebih lambat dibanding bipolar
PMOS (p-Channel MOSFET) NMOS (n-channel MOSFET)
Implementasi TTL, seri
74xx, bekerja pada 0 - 70 C dan 4.75 - 5.25 V; 2
jenis: high-speed TTL dan low-power TTL.
52xx, bekerja pada -55 - >125 C dan 4.75 - 5.25
V; khusus untuk keperluan militer
Karakteristik TTL
Floating TTL input akan bekerja sebagai high input Worst-case input voltage, masukan antara 2 to 5 V
akan menjadi high input untuk TTL
Worst-case output voltage, output antara 0.4 - 2.4
V
Compatible, output satu TTL bisa jadi input TTL
Karakteristik TTL
Noise margin, selisih tegangan TTL driver – TTL load
= 0.4 V, merepresentasikan proteksi terhadap noise.
Sourcing & sinking, jika TTL output rendah akan
muncul arus emitter yang bergerak dari emitter ke collector [= sink] dan sebaliknya sebaliknya bila TTL output tinggi [= source].
Standard loading, sink = 16mA dan source = - 400 mA
Loading rules: pick driver - pick load è fanout = max
Contoh dari F.Mayoritas
A=1,B=0,C=1 maka A.-B.C=1
-A.B+B.-C=1, untuk A=1 dan B=0 atau
B=1 dan C=0
-A.B.C=1 (Z1) A.-B.C=1 (Z2) A.B.-C=1 (Z3) A.B.C=1 (Z4)
Implementasi Fungsi
Boolean
1.
Tulis Tabel Kebenaran dari Fungsi tsb
2.
Sediakan Inverter (Gerbang NOT) untuk
menghasilkan komplemen tiap input
3.
Gambar Gerbang AND dengan sebuah Bit 1
pada kolom hasil
4.
Hubungkan Gerbang AND ke input yang
sesuai
5.
Masukkan output gerbang AND ke Gerbang
Step 1, Tabel Kebenaran
M=Fungsi(ABC)
3 var, jadi 2
3=16, buat tabel dengan 3 var
dan 16 kemungkinan
A B C M
Step 2, Inverter dan komplemennya
M=F(ABC)
A B C -A -B -C
A
B
C
-A
-B
-C 1
2
3
Step 4, Hubungkan input yang sesuai
dengan gerbang AND
M=F(ABC)
Step 5, Masukan Output gerbang AND ke
Sebuah Gerbang OR
M=F(ABC)
IMPLEMENTASI Fungsi
Boolean (lanj.)
Menggunakan gerbang NAND dan NOR, sesuai
prosedur tadi, sehingga membentuk gerbang NOT,OR dan AND
Ganti gerbang multi input dengan rangkaian
ekuivalen yang memiliki 2 input.
Misal A+B+C+D, menjadi (A+B)+(C+D) dengan 3
OR 2 input
Terakhir gerbang NOT,OR dan AND di ganti dengan
Ekuivalensi Rangkaian
Ide Jumlah gerbang semakin sedikit cost
Rangkaiannya
A B
C
AB
AC
AB+AC
A
B
C B+C
Hukum Aljabar Boolean
Nama Bentuk AND Bentuk OR
Identitas 1A=A 0+A=A Pembatalan 0A=0 1+A=1 Idempoten AA=A A+A=A Inversi A-A=0 A+-A=1 Komutatif AB=BA A+B=B+A Asosiatif (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+
(B+C)
Distributif A+BC=(AB)+(AC) A(B+C)=AB+AC Absorbsi A(A+B)=A A+AB=A
Alternatif gerbang NAND,
NOR dan OR
-(AB) = (-A)+(-B) -(A+B) = (-A)(-B)
3 Rangkaian menghitung XOR
dengan NAND dan NOR
K-Map
Metoda yang diperkenalkan oleh Maurice
Karnaugh (1953).
Penyederhanaan suatu ekspresi menjadi
sebuah minimal sum of products (MSP).
N buah variabel akan mempunyai 2N
buah
square, yang merepresentasikan
kombinasi minterm atau invers-nya.
Cara lain simplifikasi ekspresi boolean
K Map
Minimization Technique
Based on the Unifying Theorem: X + X' = 1
The expression to be minimized should generally be
in sum-of-product form.
The function is mapped onto the K-map by marking
a 1 in those squares corresponding to the terms in the expression.
The other squares may be filled with 0's.
Pairs of 1's on the map which are adjacent are
Penyederhanaan, misal untuk 3 var:
¬A¬BC + ¬ABC = ¬AC·(¬B + B) = ¬AC · 1 = ¬AC
Perluasan/pengembangan, misal untuk 3 var:
AB +
¬BC + AC = (AB · 1) + (¬B C · 1) + (AC · 1)
= (AB · (
¬C + C)) + (¬BC · (¬A + A)) + (AC ·
(
¬B + B)) = (AB¬C + ABC) + (¬A¬BC + A¬BC)
+ (A
¬BC + ABC) = AB¬C + ABC + ¬A¬BC
Pengelompokan:
Pair, grup 2 buah bit 1 yang berdekatan. Quad, grup 4 buah bit 1 yang berdekatan. Octet, grup 8 buah bit 1 yang berdekatan.
Overlapping, memanipulasi pengelompokan bit 1
lebih dari satu kali.
Rolling, misalkan 2 pair di dua sisi digabung
penjadi quad.
Don’t care, sebuah truth table mungkin
Pemahaman
pair ~ grup 2 buah bit 1yang
berdekatan, secara horisontal atau vertikal
quad ~ grup 4 buah bit 1 yang
berdekatan dalam pola segi-4 atau deret [horisontal/
vertikal]
octet ~ grup 8 buah bit 1 yang
berdekatan
