MATERI KULIAH
MATEMATIKA DASAR
By
BUDI NURACHMAN
Garis bilangan
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
-3
2
Selang
Himpunan
selang
{
x x < a}
(
- ¥,a)
{
x x£ a}
(
- ¥,a]
{
xa < x < b}
( )
a, b{
xa£ x£b}
[ ]
a, b{
x x >b}
(
b, ¥)
{
x x ³ b}
[
b, ¥)
{
x x Î Â}
(
¥, ¥)
Jenis-jenis selang
Grafk
a
a
a b
a b
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel
adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi
urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x)
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu
pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku.
Himpunan bilangan real ini disebut
juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah
menjadi :
, dengan cara :
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan
menyederhanakan bentuk pembilangnya
2.
Dicari titik-titik pemecah dari
pembilang dan penyebut dengan
cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi
faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3.
Gambarkan titik-titik pemecah
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
5
3
2
13
x
3
5
2
3
13
x
8
2
16
x
4
8
x
8
4
x
4
,
8
Hp
=
4
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
8
4
6
2
x
2
4
8
x
2
4
8
x
8
4
2
x
2
2
1
x
,
2
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
0
3
5
2
x
2
x
2
x
1
x
3
0
Titik Pemecah (TP)
:
2
1
x
dan
x
3
3
++
--
++
2
1
3
Hp =
,
3
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6
3
7
6
4
2
x
x
x
x
x
4
6
7
2
dan
6
7
x
3
x
6
4
6
7
2
x
x
dan
7
x
3
x
6
6
4
10
9
x
dan
10
x
0
9
10
x
dan
10
x
0
9
10
Hp =
0
,
9
10
,
0
9
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
3
2
1
1
x
x
0
1
3
2
1
1
x
x
1
3
1
0
2
2
1
3
x
x
x
x
5.
1
3
1
0
3
x
x
x
1
3
+
+
+
+
---1
--3
1
Hp =
,
3
3
1
1
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
x
x
x
x
3
2
1
0
3
2
1
x
x
x
x
2
3
0
2
3
1
x
x
x
x
x
x
2
3
0
Untuk
pembilang
2
x
2
2
x
3
mempunyai
nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya
selalu positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik
pemecah.
-3
2
--
++
--
,
3
2
,
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Nilai mutlak
x
(|
x
|) didefnisikan
sebagai jarak
x
dari titik pusat pada
garis bilangan, sehingga jarak selalu
bernilai positif.
Defnisi nilai mutlak :
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2x
x
a
x
a
a
a
x
,
0
a
x
a
a
x
,
0
atau
x
a
y
x
x
2
y
26. Ketaksamaan segitiga
1
2
3
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4
1
x
Contoh :
3
5
2
x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3
x
5
3
2
3
5
x
8
2
2
x
Hp
=
1
,
4
1
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
2
4
0
x
x
3
5
2
x
2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
5
2
9
x
9
25
20
4
2
x
x
0
16
20
4
2
x
x
0
8
10
2
2
x
x
TP : 1, 4
1
4
++
--++
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake defnisi
5
4
3
2
x
x
3.
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
3
2
4
5
2
x
x
25
40
16
9
12
4
2
2
x
x
x
x
0
16
28
12
2
x
x
0
4
7
3
2
x
x
3
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp =
,
1
3
4
Jika digambar pada garis bilangan :
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
7
2
x
2
7
2
x
7
2
2
x
5
2
x
9
2
x
10
x
x
18
10
,
,
18
4.
atau
atau
atau
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
II
III
,
1
1
,
2
2
,
5.
3
x
2
x
1
2
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1
x
,
1
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
2
7
x
9
2
x
9
2
x
2
9
x
2
9
,
I. Untuk interval
atau
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
,
1
2
9
,
2
9
-1
Jadi Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
,
1
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
1
x
1
,
2
II. Untuk interval
atau
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
3
6
x
x
2
4
5
x
7
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp2 =
1
,
2
4
7
,
-1
2
4 7Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
4
7
,
1
sehingga Hp2 =
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2
x
2
,
2
1
2
3
x
x
2
1
2
3
x
x
2
1
6
3
x
x
2
7
2
x
5
2
x
III. Untuk interval
atau
2
5
x
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 =
2
,
,
2
5
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
,
2
5
sehingga
Hp =
Hp
1
Hp
2
Hp
3
,
2
5
4
7
,
1
1
,
Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp =
,
2
5
4
7
,
4 7 2 5 -1 47 52
Jadi HP =
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y
(tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a. b.
Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x
disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi
FUNGSI & GRAFIKNYA
Daerah hasil Daerah asal
y = f(x)
x
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205)
f
2
2 5
y x y x 2 9
A B
Notasi: f : A →B
2
{ ( , ) / 2 5 } f x y x
x 0 1 -1 2 -2 … 10
x y
y = f(x)
Df Wf
x y
Soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1
Catatan:
1. Himpunan A, B є
2. Fungsi: y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah) 0 < w ≤ 1 1.000
1< w ≤ 2 1.250 2 < w ≤ 3 1.500 3 < w ≤ 4 1.750 4 < w ≤ 5 2.000
3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
4. Secara aljabar
Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi
berikut. 1 . 0 0 0 , j i k a 0 1
1 . 2 5 0 , j i k a 1 2 ( ) 1 . 5 0 0 , j i k a 2 3 1 . 7 5 0 , j i k a 3 4 2 . 0 0 0 , j i k a 4 5
w w
B w w
w w
2.2 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis
b = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = Grafik:
y
x b y = ax + b
2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P(x) = an xn + a
n-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
Grafik:
Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c,
D = b2- 4ac
x y
c
a < 0, D > 0
a < 0, D = 0 a < 0, D < 0
y = P(x)
y
c y = P(x)
y
c y = P(x)
x x
x y
c
a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0
y = P(x) y
c y = P(x)
y
c y = P(x)
x x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є
Daerah asal: Df =
4. Fungsi akar
Bentuk Umum:
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil
Grafik:
( ) n , 2 , 3 , 4 , . . .
y f x x n
y
0 x
y
0 x
2
y x y 3 x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a. b. y x 1
2 2 2
y x x
1
y x
1
, 0
y x
x
y
0 x
5. Fungsi kebalikan
Bentuk umum:
Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0} Grafik:
6. Fungsi rasional
Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0}
Contoh:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
a. b.
( ) ( ) P x y Q x 1 1 x y x 2 2 1 x y x
7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a. b. 1 ( ) 1 x f x x 3 2 2
( ) ( 2 ) 1
1
x
f x x x
x
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: 0 -π -1 1 x y
y = sin x
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik:
0 -1
1 y y = cos x
x
-2π π 2π
-2π -π π 2π
8.3 Fungsi tangen
Bentuk umum:
Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є }
s i n
( ) t a n , d a l a m r a d i a n c o s
x
y f x x x
x
Grafik: 0 --1 1 x y
y = tan x
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum: ( ) s e c 1 , d a l a m r a d i a n c o s
1
( ) c o s e c , d a l a m r a d i a n s i n
1 (
a .
b .
c . ) c o t , d a l a m r a d i a n t a
n
y f x x x
x
y f x x x
x
y f x x x
x
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1
-π π 2π
x y
0 1
1
y = ax , a > 1
x y
0 1
1
y = ax , 0 < a < 1
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf = Grafik:
y
0 1
1 y =loga x
x
9
. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, ) Grafik:
Contoh:
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
4
2 1 0
5 2 1 0 1 0
2
( ) 1 ( ) t a n 2 6 ( ) 1 0 ( )
6
( ) l o g ( )
2 l o g
1 . 2 .
3 . 4 .
5 . 6 .
( ) 2
7 . 8 . ( )
2
x
f x x f x x
x
f x f x
x
x
f x x f x x
x
x
f x t t f x x
x x
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(
piecewise function
)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.
1 . (f x ) | x | x x 0
y
1
0 1
( ) 2 1 2
0
2 .
2
x x
f x x x
x y 0 1
y = f(x)
x
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.
f
(
x
) =
x
=
0 0 1 1 1 2
2 2 3 3 3 4
x x x x
0 1 2 3
1 2 3 x y 4
y = f(x)
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.
x y
f(x)
-x x
Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
x y
f(x)
-x x
y = f(x)
-f(x)
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x
c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2
14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika y f(x1) > f(x2) untuk setiap y = f(x) x1 < x2 di I.
f(x2)
y
y = f(x)
Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.
a. f(x) = x2 I = [0, )
b. f(x) = sin x I = [ , 2]
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x)
c
y
c
c
c y = f(x-c)
y = f(x+c)
y = f(x) - c
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c.
4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
0 π 2π
-1 1
y
y = cos x
2
-2
y = 2 cos x
y = ½ cos x
x 0 π 2π
-1 1
y
y = cos x
2
-2
x
y = cos ½ x
c.
Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y
x
y = f(x)
y = -f(x)
x
y = f(x)
y = f(-x)
y
x -x
x
f(x)
f(x)
-f(x)
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1.
f
(
x
)= |
x-
1|
2.
f(x
) =
x
2+2
x
+1
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}
Contoh:
Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
2
( ) ( ) ( ) 1
1 .
2 . ( ) 1
f x x g x x
f x x g x x
Komposisi fungsi
Definisi: [Komposisi fungsi]
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
2
1 .
2 .
( ) ( ) 1
( ) ( ) 1
f x x g x x
f x g x x
x
Df
g Wg f Wf
Dg
x
g(a)
f(g(x))
a
g(x)
TRANFORMASI
1.
Pergeseran ( Translasi )
Pergeseran (Translasi)
Y
X
O
1
5
1
Rumus :
A(x,y)
a
b
a
x
b
y
T
A’
A(2,3)
3
5
2
3
5
3
T
A’
B(4,2)
3
4
4
3
4
2
T
B’
C(6,2)
1
7
6
1
7
2
T
C’
D(-6,-2)
3
4
6
3
4
2
T
D’
E(5,-2)
1
7
5
1
Perkalian Bangun (dilatasi)
O
A
A
’
1
2
k
Berdasarkan gambar diatas :
OA'
=
k
OA
ata
u
OA’ =
k
.
Dilatasi pada bidang
koordinat
1.Dilatasi pusat O(0,0)
Notasi :
A(x,y)
D(0,k)
A’(kx,ky)
Rumus
OA’ = k.
Dilatasi pada bidang
koordinat
2. Dilatasi pusat P(a,b)
Notasi :
A(x,y)
D[P(a,b),k]
A’(x’, y’ )
x’- a = k(x- a) atau x’=k(x-
a) + a
y’- b = k(y- b) atau y’=k(y-
