Makalah matematika (2) Makalah matematika (2) Makalah matematika (2)

(1)

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam persamaan matematika maka persoalan tersebut akan lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks pada dasarnya merupakan suatu alat yang cukup untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua inilah matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan studi selanjutnya , matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang seperti matematika.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas permasalahannya sebagai berikut :

1. Apa pengertian atau definisi matrik serta pengertian determinan dan invers matriks ? 2. Apa saja jenis matriks ?

3. Bagaimana menyelesaikan masalah pada matriks ?

1.3 Tujuan Pembahasan

Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:

1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks serta pengertian determinan dan invers matriks

2. Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks 3. Menjelaskan masalah pada matriks.

(2)

ISI

A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS Penegertian matriks dan notasi matriks

a. Beberapa pengertian tentang matriks :

1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam

bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. Contoh matriks :

2 -5 1

3 2 2 3 4 2 1 2 1 0

4 1 3

a) Bilangan – bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan unsure – unsure atau elemen matriks. Baris sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang mendatar dalam matriks tersebut. Kolom sebuah matriks adalah susunan elemen – elemen yang tegak dalam matriks tersebut.

b) Matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan elemenya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka aij menyatakan elemen yang terdapat pada baris

ke-I dan kolom ke- j dari A dengan i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.

Contoh :

(3)

Jumlah kolom 2 1 4

Ordo matriks

a) Ordo suatu matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam suatu matriks. Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ordo matriks A adalah m x n dan ditulis Amxn.

Contoh : A= Banyaknya baris 2, banyaknya kolom 3. Jadi matriks A berordo 2 x 3, ditulis A 2x3.

 Banyaknya elemen suatu matriks sama dengan hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks yang bersangkutan. Banyaknya elemen matriks A diatas adalah

2 x 3 = 6

 Jika banyak elemen pada baris sama dngan banyak elemen pada kolom (baris = kolom = n) maka matriks tersebut berordo n.

Pengertian beberapa matriks khusus

Matriks Persegi, Matriks Baris, Matriks Kolom, dan Matriks Diagonal

 Matriks Persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

 Matriks Baris adalah matriks yang mempunyai satu baris atau berordo (mx1)

 Matriks Kolom adalah matriks yang mempunyai satu kolom atau berordo (1xn)

 Sedangkan matriks diagonal adalah matriks persegi dengan syarat :

a) Setiap elemen pada diagonal utama tidak semuanya nol.

b) Setiap elemen yang tiidak terletak pada diagonal utama adalah nol.

Contoh :

(4)

A =

(

Transpose matriks A, ditulis A t adalah matriks yang elemen-elemennya diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah elemen pada baris ke-m dan kolom

ke-n matriks A menjadi elemen pada baris ke-n dan kolom ke-m matriks A t . Contoh :

Dua matriks A dan B disebut sama, ditulis A = B, apabila memenuhi syarat : a. berordo sama

b. elemen-elemen yang setelah sama artinya : (aij) = (bij)

B. PENJUMLAHAN MATRIK DAN PENGURANGAN MATRIK 1. Penjumlahan matriks dan syaratnya

(5)

3. Lawan Suatu Matriks

Matriks A dan B saling berlawanan, ditulis A = -B atau B = -A, apabila ordonya sama dan setiap elemen yang seletak berlawanan.

4. Pengirangan Matriks

Dua buah matriks dapat dikurangkan apabila seordo. Selisih dua buah matriks A dan B ditulis A – Badalah jumlah dari A dan –B jadi A – B = A + (-B)

5. Sifat Penjumlahan Matriks

Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku :

a. A+B = B + A d. A + (-A) = -A + A = 0 b. (A + B) + C = A + (B + C) e. (A + B)’ = A’ + B’ c. A + 0 = 0 + A

6. Sifat Pengurangan Matriks

Untuk matriks-matriks yang seordo berlaku : a. A – A = 0

b. A – 0 = A

c. (A – B)’ = A’ + B ‘

C. PERKALIAN BILANGAN RREAL(SKALAR) DENGAN MATRIKS

Jika k є R dan A adalah suatu matriks, maka kA adalah matriks yang setiap elemennya diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada matriks A dengan k.

Sifat – sifat :

1. (k + l)A = kA + lA 6.(-1)A = -A 2. (k – l)A = kA – lA 7. 0A = 0 3. k(A + B) = kA + kB 8. k0 = 0 4. k(A – B) = kA – kB 9. (kl)A = k(lA) 5. 1A = A

(6)

a. Amxp Bpxn = Cmxn

(dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya baris pada matriks sebelah kanan).

b. Jika A =

(

Matrikd satuan dilambangkan dengan I, yaitu matriks persegi yang mempunyai sifat : a. setiap elemen pada diagonal utama adalah 1

b. setiap elemen kecuali pada diagonal utama adalah 0 3. Perpangkatan Matriks

Aⁿ = AAA…A sebanyak n kali. 4. Sifat-sifat Perkalian Matriks

Untuk setiap matriks A, B dan Cyang dapat dijumlah/dikalikan dipenuhi : a. pada umunya AB≠BA

(7)

dimana detA = determinan A= ad-bc.

Jika A−1 ada, maka A disebut matriks non singular atau detA ≠0 Jika A−1 tidak ada, maka A disebut matriks singular atau detA 3. Syarat Kesingularan

Invers matriks A ada apabila detA ≠ 0

4. Menentukan Invers Matriks selain Ordo 2 x 2

Menentukan invers matriks berordo 3x3, dengan menggunakan Adjoint matriks jika A

adalah matriks non singular berordo 3x3, maka invers dari A−1 adalah A−1₌adjA

|A| , dengan|A|=determinanmatriksA

Untuk dapat menggunakan adjoint matriks, kita sebelimnya harus memahami tentang minor, dan kofaktor

a. Jika elemen-elemen pada baris ke-I dank e-j dari matriks A berordo 3x3 dihapuskan maka didapat matriks baru berordo 2x2, dengan deteminannya disebut minor. Misalkan matriks A berordo 3x3

A =

(

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a21 a22 a23

a₃₁ a₃₂ a₃₃

)

Minor-minor dari matriks A adalah :

(8)

Kofaktor dari baris ke-I dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij, yang ditentukan

dengan rumus : Aij =

(−

1 )

i+j

|

Mij

|

c. adjoint

misalkan A = (aij) suatu matriks persegi berordo nxn dan Aij adalah kifaktor dari aij

maka: Adjoint A = Adj A =

(

 Sistem persamaan linear dengan dua variable

(9)

dan y.

D= a11 a12

A21 a22

Didefinisikan determinan variable x (Dx), yaitu determinan yang diperoleh dengan

menggantikan koefisien-koefisien variable x dari determinan utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.

Dx= b1 a12

b2 a22

Didefinisikan determinan variabel y (Dy), yaitu determinan yang

diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-bilangan di ruas kanan.

Dy= a 11 b1

a 21 b2

Nilai x dan y ditentukan dengan rumus: x = Dx dan y =Dy.

D D

Banyaknya penyelsaian suatu SPL dapat dilihat dari nilai-nilai determinannya. 1) Jika D ≠ 0maka SPL mempunyai satu penyelsaian.

2) Jika D = 0, Dx ≠0, dan Dy ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelsaian.

3) Jika D = Dx = Dy = 0 maka SPL mempunyai tak berhingga penyelsaian.

 Sistem persamaan linear dengan tiga variabel

Diberikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel (SPLTV) berikut.

a11x + a12y + a13z = b1 persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung yang di sebut matriks.

b1

(10)

DAFTAR PUSTAKA

 Twiet,whiet.2014.Makalah Matriks. http://wiettwiet.blogspot.com/2014/05/makalah-matriks.html