Sistem Persamaan
Linear Bagian 1
1.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR – PENGANTAR
Dalam bagian ini akan kita perkenalkan istilah dasar dan kita bahas sebuah metode untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear.
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
a1 x + a2 y = b
Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linear dalam peubah (variabel) x dan peubah y. Secara umum, kita mendefinisikan persamaan linear dalam n peubah, x1 , x2 ,...., xn sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + ··· + anxn = b dimana a1, a2,….,an dan b adalah konstanta-konstanta riil
Contoh 1 :
Berikut ini kita berikan persamaan-persamaan linear :
x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7
y = 2 1
x + 3z + 1 x1 + x2 + ··· + xn = 1
Perhatikanlah bahwa persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar peubah . Semua peubah hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau untuk fungsi eksponensial. Berikut ini bukanlah persamaan linear :
x + 3y2 = 7 3y + 2y – z + xz = 4
y – sin x = 0 x1 + 2x2 + x3 = 1
Pemecahan persamaan linear a1x1 + a2x2 + … + anxn = b adalah urutan dari n
bilangan s1, s2, ... , sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita
mensubsitusikannya terhadap x1 = s1, x2 = s2, … , xn = sn. Himpunan semua
pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
Carilah himpunan pemecahan masing-masing persamaan berikut : (i) 4x – 2y = 1 (ii) x1 – 4x2 + 7x 3 = 5
Untuk mencari pemecahan-pemecahan persamaan (i), maka kita dapat menetapkan sebarang nilai untuk x dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari y, atau kita dapat memilih sebarang nilai untuk y dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari x. Jika kita ikuti pendekatan pertama dan menetapkan nilai sebarang t untuk x, maka kita dapatkan
x = t, y = 2t -
2 1
Rumus-rumus ini menggambarkan himpunan pemecahan tersebut dalam sebarang parameter t. Pemecahan numerik khusus dapat diperoleh dengan mensubsitusikan nilai-nilai spesifik untuk t. Misalnya, t = 3 menghasilkan pemecahan x =3, y = 11/2 dan t = -1/2 menghasilkan pemecahan x = -1/2, y = -3/2.
Jika kita ikuti pendekatan kedua dan menetapkan nilai sebarang t tersebut untuk y, maka kita dapatkan
x = t 2 1 + 4 1 , y = t
Walaupun rumus-rumus ini berbeda dari rumus-rumus yang kita peroleh diatas, namun rumus-rumus ini menghasilkan himpunan pemecahan yang sama jika t berubah pada semua bilangan riil yang mungkin. Misalnya, rumus-rumus terdahulu memberikan pemecahan x = 3, y = 11/2 bila t = 3, sedangkan rumus-rumus ini menghasilkan pemecahan yang sama seperti itu bila t = 11/2.
Untuk mencari himpunan pemecahan persamaan (ii) kita dapat menetapkan sebarang nilai untuk setiap dua peubah dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari peubah ketiga. Khususnya, jika kita menetapkan nilai sebarang s dan t berturut-turut untuk x2 dan x3 dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari x1,
maka kita peroleh
x1 = 5 + 4s – 7t, x2 = s, x3 = t
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, ... , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Sebuah urutan
bilangan-bilangan s1,s2, ... ,sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut jika x1 = s1,
x2, ... ,xn adalah pemecahan masing-masing persamaan pada sistem tersebut.
Misalnya, sistem
4x1 – x2 + 3x3 = -1
3x1 + x2 + 9x3 = -4
mempunyai pemecahan x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1 karena nilai-nilai ini memenuhi kedua
karena nilai-nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama dari kedua persamaan dari sistem tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai pemecahan.misalnya, jika kita mengalikan persamaan dari sistem
x + y = 4
2x + 2y = 6
dengan ½ , maka jelaslah bahwa tidak ada pemecahan, karena kedua persamaan dalam sistem yang dihasilkan, yakni
x + y = 4 x + y = 3
bertentangan satu sama lain.
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan takkonsisten (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi dalam memecahkan sistem-sistem persamaan linear, tinjaulah sistem umum dari dua persamaan linear dalam bilangan-bilangan yang tak diketahui x dan y.
a1x + b1y = c1 (a1 , b1 kedua-duanya tidak nol)
a2x + b2y = c2 (a2, b2 kedua-duanya tidak nol )
grafik- grafik persamaan ini merupakan garis-garis; namakanlah garis-garis tersebut l1dan l2. Karena titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika
bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan titik perpotongan dari garis l1 dan garis
l2. Ada tiga kemungkinan (Gambar 1.1):
l1 dan l2
l2 y y l1 l2 y
l1
x x x
(a) (b) (c)
(a) Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2 , dalam kasus yang tidak ada
perpotongannya, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut.
(b) Garis l1 mungkin perpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dalam kasus ini
maka sistem tersebut hanya mempunyai satu pemecahan.
(c) Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2 , dalam kasus ini takterhingga
banyaknya titik perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka takterhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut.
Walaupun disini kita telah meninjau hanya dua persamaan dengan dua bilangan tak diketahui, namun akan kita perlihatkan kelak bahwa hasil yang sama ini berlaku untuk sebarang sistem; yakni, sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan, atau mempunyai persis satu pemecahan, atau mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan.
Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui akan dituliskan sebagai
a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm
dimana x1, x2, ... , xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan a dan b yang
bertikalas menyatakan konstanta-konstanta.
Misalnya, sebuah sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan empat bilangan yang tak diketahui akan kita tulis sebagai
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3
Penulisan tikalas ganda pada koefisien bilangan tak diketahui adalah sebuah alat yang berguna yang akan kita terapkan untuk menyatakan letak koefisien dalam sistem tersebut. Tikalas pertama pada koefisien aij menunjukkan persamaan yang
muncul pada koefisien tersebut, sedangkan tikalas kedua menunjukkan bilangan takdiketahui yang dikalikan oleh koefisien tersebut. Jadi a12 terdapat pada persamaan
pertama dan mengalikan bilangan takdiketahui x2.
Jika kita telusuri letak +, letak x, dan letak =, maka sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan takdiketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. :
m mn m m n n b a a a b a a a b a a a ... . . . . . . . . . . . . ... ... 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11
Jajaran ini kita namakan matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk sistem tersebut. (istilah matriks digunakan dalam matematika untuk menyatakan sebuah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks; kita akan mempelajari lebih terinci pada bagian-bagian akhir buku ini). Untuk melukiskannya, maka matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan-persamaan. x1 + x2 +2x3 = 9 2x1 + 4x2 - 3x3 = 1 3x1 + 6x2 - 5x3 = 0 adalah 0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1
PERNYATAAN. Bila kita membentuk sebuah matriks yang diperbesar, maka bilangan-bilangan takdiketahui harus dituliskan dalam urutan (orde) yang sama dalam masing-masing persamaan.
Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan-persamaan linear adalah untuk mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Sistem baru ini umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan takdiketahui secara sistematis.
1. Kalikanlah persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol 2. Pertukarkanlah kedua persamaan tersebut
3. Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar bersesuaian dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris trersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.
1. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol 2. Pertukarkanlah kedua baris tersebut
Operasi-operasi ini dinamakan operasi baris elementer. Contoh berikut melukiskan bagaimana operasi itu dapat digunakan untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear. Karena sebuah prosedur sistematik untuk mencari pemecahan akan diturunkan pada bagian berikutnya, kita tidak perlu khawatir tentang bagaimana memilih langkah-langkah dalam contoh ini. Usaha utama saat ini harus dikerahkan untuk memahami perhitungan dan pembahasan.
Contoh 3
Pada kolom sebelah kiri bawah, kita memecahkan sistem persamaan-persamaan linear dengan mengoperasikannya pada persamaan dalam sistem tersebut, dan dalam kolom sebelah kanan kita memecahkan sistem yang sama dengan mengoperasikannya pada baris dari matriks yang diperbesar.
x + y +2z = 9
2x + 4y- 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Tambahkanlah -2 kali persaman pertama pada persamaan kedua untuk mendapatkan
x + y + 2z = 9 2y - 7z = -17
3x + 6y – 5z = 0
Tambahkan -3 kali persamaan pertama pada persamaan ketiga untuk
mendapatkan
x + y + 2z = 9 2y - 7z = -17 3y - 11z = 27
Kalikanlah persamaan kedua dengan ½ untuk mendapatkan x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 3y - 11z = 27 0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1
Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua untuk mendapatkan
0 5 6 3 17 7 2 0 9 2 1 1
Tambahkan -3 kali baris pertama pada baris ketiga untuk mendapatkan
27 11 3 0 17 7 2 0 9 2 1 1
Kalikanlah baris kedua dengan ½ untuk mendapatkan 27 11 3 0 17/2 7/2 1 0 9 2 1 1
Tambahkanlah -3 kali persamaan kedua pada persamaan ketiga untuk mendapatkan
x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 - 1/2z = -3/2
Kalikanlah persamaan ketiga dengan -2 untuk mendapatkan
x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 z = 3
Tambahkanlah -1 kali persamaan kedua pada persamaan pertama untuk mendapatkan
x + 11/2z = 35/2 y – 7/2z = -17/2 z = 3
Tambahkanlah -11/2 kali persamaan ketiga pada persamaan pertama dan 7/2 kali persamaan ketiga pada persamaan kedua untuk mendapatkan
x = 1 y = 2 z = 3
Tambahkanlah -3 kali baris kedua pada baris ketiga untuk mendapatrkan
3/2 1/2 0 0 2 17 2 17 1 0 9 2 1 1
Kalikanlah baris ketiga dengan – 2 untuk mendapatkan 3 1 0 0 17/2 7/2 1 0 9 2 1 1
Tambahkanlah -1 kali baris kedua
pada baris pertama untuk
mendapatkan 3 1 0 0 17/2 7/2 1 0 35/2 11/2 0 1
Tambahkanlah -11/2 kali baris ketiga pada baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga pada baris kedua untuk mendapatkan 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1
Pemecahan tersebut adalah
x = 1, y = 2, z = 3 kini jelaslah bagi anda
TUGAS (dikumpulkan paling lambat Rabu tanggal 12 Oktober 2016)
1. Yang manakah dari persamaan berikut merupakan persamaan linear dalam x1, x2,
dan x3 ?
(a) x1 + 2x1x2 + x3 = 2
(b) x1 + x2 + x3 = sin k (k adalah sebuah konstanta)
(c) x1 - 3x2 + 2x31/2 = 4
(d) x1 = √2x3 – x2 + 7
(e) x1 + x2-1 - 3x3 = 5
(f) x1 = x3
2. Carilah himpunan pemecahan untuk masing-masing berikut : (a) 6x – 7y = 3
(b) 2x1 + 4x2 – 7x3 = 8
(c) -3x1 + 4x2 – 7x3 + 8x4 = 5
(d) 2v – w + 3x + y – 4z = 0
3. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap sistem persamaan linear berikut : (a) x1 – 2x2 = 0 3x1 + 4x2 = - 1 2x1 - x2 = 3 (b) x1 + x3 = 1 -x1 + 2x2 – x3 = 3 (c) x1 + x3 = 1 2x2 – x3 + x5 = 2 2x3 + x4 = 3 (d) x1 = 1 x2 = 2
4. Carilah sistem persamaan linear yang bersesuaian dengan masing-masing matriks yang diperbesar berikut :
(a) 4 2 1 0 3 1 1 2 2 1 0 1 (c) 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 (b) 1 1 1 0 1 0 0 0 1 (d) 4 1 0 0 0 3 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1
5. Pecahkanlah sistem berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.
-x1 - 2x2 + 3x3 = 1 -2x1 - 5x2 + 2x3 = 0 3x1 - 7x2 + 4x3 = 10 -7x1 + 7x2 + x3 = 1 (c) x – y + 2z – w = -1 -2x – y – 2z – 2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1 3x - 3w = -3
